导数的概念及性质

姓名学生姓名填写时间2016-1-7 学科数学年级高二教材版本人教版

阶段第（2 ）周观察期□：维护期□本人课时统计第（）课时共（）课时

课题名称导数的概念及其极值问题课时计划

第（）课时

共（）课时

上课时间2016-1-9

教学目标1、掌握导数的相关概念问题

2、掌握导数的运算法则

3、掌握极值问题在函数图象中的具体运用问题

教学重点1、导数的概念的理解及其运算问题

2、极值在函数图象中的反映

教学

难点

数形结合思想加以分析导数问题的过程以及函数与导函数问题的相互关系

教学过程

教师活动

一、导数的概念及其运算问题

1、函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．相应的,

y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为：

例1.设函数1

)

(2-

=x

x

f，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率（）

A．2.1 B．1.1 C．2 D．0

例2.已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则

x

f

x

f

x

)1(

)

1(

lim

-

+

→

= ( )

A．2 B．1 C．

2

1

D．

4

1

例3、求曲线1

22-

=x

y的斜率等于4的切线方程．

例4、抛物线1)(2

+=x x f 在哪一点处的切线平行于直线54-=x y .

例5、求过曲线x y cos =上点⎪⎭

⎫

⎝⎛21,3πP 且与过这点的切线垂直的直线方程．

练习1：

1.函数)1()1(2

-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．若曲线4

y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++=

3．函数 A ．4x +3 B ．4x -1 C ．4x -5 D ．4x -3

4．设()f x 在0x x =处可导，且000(3)()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆＝1,则0()f x '＝( )

A.1

B.0

C.3

D.1

3

二、导数的运算

=

-=-)(',2)1(2

x f x x x f 则

（1） （2）

（3）

例：求下列函数的导数：

（1）41

x

y =

（2）53x y =． （3）y=3x(x2+2) （4）y=(x-1)(2x2+1) （5）;sin 2

5x x

x x y ++=

（6）);3)(2)(1(+++=x x x y

二、导数在函数单调性中的具体反映 1、函数单调性的求法

2、参数问题下的函数单调性

例、若函数5)(2

3

-+-=x x ax x f 在的取值范围上单调递增，求a ),(+∞-∞

练习：上是增函数在若已知函数]1,0()(,0],1,0(,2)(3

x f a x x ax x f >∈-=，求a 的取值范围

3、函数的图象与导函数图象的相互关系

例、设

)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能是

( )

例2、方程x 3－6x 2

+9x －10=0的实根个数是（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

例3、若函数f (x )=132

3

+-x a x 的图象与直线y =3只有一个公共点,则实数a 的取值范围是

例4.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=)(x f '的图象可能是 ( )

练习：1、如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断：

x

y

O

1 2

x y

y

x y x

y

x

O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2

A D

C B

①f(x ）在［-2，-1］上是增函数； ②x=-1是f(x)的极小值点；

③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；

④x=3是f(x)的极小值点.

其中判断正确的是 .

2.函数f(x)的导函数y=)(x f '的图象如右图，则函数f(x)的单调递增区间为 .

一、函数的极值及最值问题

1、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f ’(x)=0的根

（3）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 注：

（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值 或极小值

（2）极大值不一定比极小值大

（3）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该点的导数为0 例：y=x3

例1、求函数()31

443

f x x x =-+的极值

例2. 函数y=x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.