导数的概念及性质
导数的概念与性质
导数的概念与性质导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数的概念由数学家高斯于18世纪提出，至今仍被广泛应用于各个领域。
本文将对导数的概念以及其性质进行论述。
一、导数的概念导数是用来描述函数在某一点处的变化率的数值。
设函数f(x)在点x=a处可导，那么函数在该点处的导数记作f'(a)，表示函数在点x=a处的瞬时变化率。
导数可以用极限的概念来定义，即：f'(a) = lim (x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中，f(x)表示函数f在点x处的取值。
导数的概念可以形象地理解为函数图像上某一点处切线的斜率。
当函数在某点处的导数存在时，说明函数在该点处是光滑的，即函数图像在该点处没有转折或断裂的情况。
二、导数的性质导数具有以下一些重要的性质：1. 导数的存在性：一般而言，函数在某点处的导数可能存在也可能不存在。
当函数在某点处的导数存在时，我们称其为可导，否则称其为不可导。
2. 导数与函数的关系：导数是描述函数变化率的工具，它与函数的关系密切。
如果函数在某一范围内的导数都存在，那么我们可以得到函数在该范围内的变化趋势。
3. 导函数的性质：如果函数f(x)在某一点处可导，那么它的导函数f'(x)就是由f(x)导出的一个新函数。
导函数具有以下性质： - 导函数是原函数的变化率函数，描述了原函数在各点处的变化率。
4. 导数的运算规则：导数满足一些基本的运算规则，使我们能够更方便地求解复杂函数的导数。
其中，常见的导数运算规则包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商积法则等。
5. 导数与函数图像：导数不仅可以解释函数的变化率，还能给出函数图像的一些重要信息。
例如，函数在某一点处的导数为正，则说明函数在该点处上升；导数为负，则说明函数在该点处下降。
三、导数的应用导数在各个领域都有广泛的应用，例如：1. 物理学中的运动学：导数可以描述物体的位置、速度和加速度之间的关系，帮助我们分析物体的运动规律。
导数与函数的关系及应用
导数与函数的关系及应用导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数不仅与函数的性质息息相关，而且在实际问题中有着广泛的应用。
本文将探讨导数与函数的关系，以及导数在各个领域中的应用。
一、导数的定义及性质在微积分中，函数在某一点上的导数表示函数在该点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在区间内一点a上的导数可以用极限表示：f'(a) = lim(x→a) (f(x) - f(a))/(x - a)其中lim表示极限，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数。
导数具有一些重要的性质：1. 导数表示了函数的斜率：函数的导数代表了函数曲线在某一点上的斜率，可以帮助我们理解函数曲线的变化趋势。
2. 导数与函数的图像：通过导数的正负性可以推断函数在不同区间的递增和递减性。
3. 导数与函数的极值点：函数在极值点处的导数为零，通过导数可以判断函数的极大值和极小值。
二、导数与函数的关系导数与函数的关系密不可分。
函数的导数可以告诉我们函数在某一点上的变化情况，并且可以帮助我们分析函数的性质。
1. 可导函数与连续函数：对于一个函数而言，如果它在某一点上的导数存在，则称该函数在该点可导。
可导函数一定是连续的，但连续函数不一定可导。
2. 一阶导数与高阶导数：除了一阶导数，也可以计算二阶导数、三阶导数等。
高阶导数描述了函数的变化率随着自变量变化而变化的快慢程度。
3. 反函数与导数：若函数f(x)在区间上可导且在某区间内连续且单调，则存在其反函数f^(-1)(x)，且两者的导数满足：(f^(-1))'(x) = 1/f'(f^(-1)(x))三、导数的应用导数在数学中有着广泛的应用，以下为几个常见的应用领域。
1. 最优化问题：导数可用于求解最值问题，例如求解函数的最大值、最小值、极大值、极小值等。
通过导数可以找到函数的可能极值点，并进一步求解最优化问题。
2. 函数图像的研究：导数可以帮助我们研究函数的图像特征，如函数的凹凸性、拐点、拐弯等。
导数的定义与性质解析
导数的定义与性质解析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数的变化率。
在本文中，我们将探讨导数的定义、性质以及其在数学中的重要应用。
1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率。
对于函数y = f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)或dy/dx。
导数的定义可以通过极限表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
2. 导数的性质导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在性：函数在某一点上导数存在的充分必要条件是函数在该点可导。
- 导数与函数图像：函数在某一点导数存在，则函数在该点的图像有切线。
切线的斜率即为导数的值。
- 导数与连续性：若函数在某点可导，则函数在该点连续。
- 导数的四则运算：若f(x)和g(x)在某点可导，则[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)；[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/g^2(x)（其中g(x) ≠ 0）。
- 链式法则：若y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别可导，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
3. 导数的应用导数在数学和实际问题中都有广泛的应用，其中包括：- 切线与法线：导数可以求得函数曲线在某点的切线和法线，从而帮助我们研究函数图像的特性。
- 极值与拐点：函数在极值点导数为零，通过导数可以判断函数的最大值、最小值和拐点。
- 函数图像的草图：通过导数可确定函数图像的趋势、拐点以及关键点，有助于绘制函数的草图。
- 物理学应用：导数在物理学中常用于描述速度、加速度以及变化率等问题。
综上所述，导数是函数变化率的重要工具，通过导数的定义与性质，我们可以深入理解函数的特性与行为。
导数的基本概念与性质知识点总结
导数的基本概念与性质知识点总结导数是微积分中的一项重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在这篇文章中，我们将介绍导数的基本概念以及它的一些重要性质。
一、导数的定义导数描述了函数在某一点处的变化率，可以想象成函数曲线在该点处的切线斜率。
设函数y=f(x)，在点x=a处有导数的充分必要条件是：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim表示极限。
这个定义告诉我们，导数可以通过极限的方式来求得。
二、用导数求函数的极值导数在微积分中有着重要的应用，其中一个重要的应用是求函数的极值。
一个函数在某一点的导数为零，说明在该点处函数取得极值。
具体而言，如果函数在某一点的导数为零，且在该点的导数的左右两侧的值符号不同，那么该点即为函数的极值点。
三、导数的四则运算导数具有很多运算特性，这使得我们能够更轻松地对函数进行分析。
导数的四则运算规则如下：1. 常数规则：如果c是常数，f(x)=c，则f'(x)=0。
2. 基本初等函数规则：对于基本初等函数来说，我们可以直接通过求导公式得到它们的导数。
例如，对于常数函数f(x)=c，它的导数为0；对于幂函数f(x)=x^n，它的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 和差规则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的和（差）的导数等于各自函数的导数之和（差）。
即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)。
4. 乘积规则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
5. 商法则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数再减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。
导数的定义及其应用领域
导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。
本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。
一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。
二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。
如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。
2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。
函数在极值点处的导数为零或不存在。
3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。
三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。
例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。
通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。
例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。
这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。
3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。
例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。
这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。
4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。
生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。
导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。
5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。
导数性质知识点总结
导数性质知识点总结导数性质知识点总结「篇一」导数的定义：当自变量的增量Δx=x-x0，Δx→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)。
函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示函数曲线在P0[x0，f(x0)] 点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性(单调性)的.法则：设y=f(x )在(a，b)内可导。
如果在(a，b)内，f'(x)>0，则f(x)在这个区间是单调增加的(该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状)。
如果在(a，b)内，f'(x)<0，则f(x)在这个区间是单调减小的。
所以，当f'(x)=0时，y=f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值求导数的步骤：求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)—f(x0)② 求平均变化率③ 取极限，得导数。
导数公式：① C'=0(C为常数函数);② (x^n)'= nx^(n—1) (n∈Q*);熟记1/X的导数③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = — sinx;(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 —(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanxsecx (cscx)'=—cotxcscx (arcsinx)'=1/(1—x^2)^1/2 (arccosx)'=—1/(1—x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=—1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2—1)^1/2) (arccscx)'=—1/(|x|(x^2—1)^1/2)④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=—hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=—1/(sinhx)^2=—(cschx)^2 (sechx)'=—tanhxsechx (cschx)'=—cothxcschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2—1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2—1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2—1) (|x|>1)(arsechx)'=1/(x(1—x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数) (Inx)' = 1/x(ln为自然对数) (logax)' =(xlna)^(—1)，(a>0且a不等于1)(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(—1) (1/x)'=—x^(—2)导数的应用：1.函数的单调性(1)利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想。
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数，是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
它在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍导数的定义与性质，以帮助读者更好地理解和运用导数。
一、导数的定义导数，通常用符号"f'(x)"或"dy/dx"表示，表示函数f(x)在某一点x处的变化率。
具体地说，导数定义为以下极限：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗其中，h为自变量x的增量。
这个极限表示当h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率的极限值。
二、导数的几何意义导数可以给出函数图像的切线斜率。
在函数图像上任意一点x处，函数的导数等于切线的斜率。
这是因为在极小的增量h内，函数值的变化就近似于切线的斜率。
三、导数的计算1. 基本导数公式：可以通过基本导数公式计算导数，例如：常数函数（f(x)=c）的导数为0；幂函数（f(x)=x^n）的导数为f'(x)=nx^(n-1)；指数函数（f(x)=a^x，其中a>0）的导数为f'(x)=a^x * ln(a)；对数函数（f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1）的导数为f'(x)=1/(x *ln(a))；三角函数的导数为f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)等。
2. 导数运算法则：导数具有一系列运算法则，包括常数倍数法则、加减法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则等。
通过运用这些法则，可以计算复杂函数的导数。
四、导数的性质导数具有许多重要的性质，如下所示：1. 导数存在性：如果函数在某一点处可导，则该点处一定存在导数。
但是反过来并不一定成立，存在函数在某点的导数不存在的情况。
2. 函数连续性与可导性：如果函数在某一点可导，则该点处函数一定连续。
但是反过来也不一定成立，存在函数在某点连续但导数不存在的情况。
函数的导数性质与计算方法
函数的导数性质与计算方法函数的导数是微积分中重要的概念之一，它不仅具有一系列重要的性质，还有多种计算方法。
本文将探讨函数的导数性质以及几种常见的计算方法。
一、导数的定义与性质函数的导数定义为函数在某一点处的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。
导数的定义如下：如果函数f(x)在点x处的导数存在，则称函数f(x)在点x处可导。
导数用f'(x)或者dy/dx来表示。
对于可导函数，它具有以下性质：1. 导数的唯一性：一个函数在某一点处的导数只有一个值。
2. 运算性质：如果函数f(x)和g(x)都在某一点x处可导，那么它们的和、差、乘积和商的导数分别为：(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)(f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)(f / g)'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g^2(x))这些运算性质可通过导数的定义和极限运算进行推导。
3. 反函数与复合函数的导数：如果函数f(x)在某一点x处可导，且其反函数f^(-1)(x)也在相应点处可导，那么反函数的导数可以表示为： (f^(-1))'(x) = 1 / f'(f^(-1)(x))对于复合函数，如(f(g(x))), 它的导数可以表示为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)这些性质提供了计算导数的基础。
二、常见的导数计算方法1. 基本导数公式：对于常见的基本函数，存在一些常用的导数公式，如：- 常数函数的导数为0：(k)' = 0- 幂函数的导数为幂乘以原函数的幂减一：(x^n)' = n * x^(n-1)- 指数函数的导数等于指数乘以常数：(a^x)' = a^x * ln(a)- 对数函数的导数等于1除以自变量：(ln(x))' = 1 / x- 三角函数的导数与函数本身有关：(sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x)这些公式可以通过导数的定义以及对基本函数的求导规律导出。
导函数的知识点总结
导函数的知识点总结一、基本概念1.1 导数的定义在微积分中，导数是描述函数在某一点附近的变化率的概念。
对于函数f(x)，它在点a处的导数可以用极限表示为：f'(a) = lim(x→a)((f(x)-f(a))/(x-a))其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数，也可以记作dy/dx|_(x=a)或y'。
导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率，也可以理解为函数在该点处的瞬时速度。
导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，所以在物理学、经济学、生物学等领域都有广泛的应用。
1.2 导函数的概念导函数是原函数的导数，它可以表示为f'(x)。
导函数可以帮助我们更直观地理解函数的变化规律，同时也方便了对函数的最优化求解。
二、求导法则2.1 基本函数的导数常见的基本函数的导数如下：1) 常数函数：f(x) = C，其中C为常数，则f'(x) = 0；2) 幂函数：f(x) = x^n，其中n为实数，则f'(x) = nx^(n-1)；3) 指数函数：f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，则f'(x) = (lna)*a^x；4) 对数函数：f(x) = log_ax，其中a为常数且a>0，且a≠1，则f'(x) = 1/(x*lna)；5) 三角函数：f(x) = sinx，f'(x) = cosx；f(x) = cosx，f'(x) = -sinx；6) 反三角函数：f(x) = arctanx，f'(x) = 1/(1+x^2)；7) 指数对数函数：f(x) = e^x，f'(x) = e^x；f(x) = lnx，f'(x) = 1/x。
2.2 导数的基本性质导数具有以下的基本性质：1) 和差法则：(u±v)' = u'±v'；2) 数乘法则：(ku)' = ku'，其中k为常数；3) 积分法则：(uv)' = u'v+uv'；4) 商的导数：(u/v)' = (u'v-uv')/v^2，其中v≠0；5) 复合函数求导法则：若y=f(g(x))，则dy/dx = f'(g(x))*g'(x)。
高中数学导数3篇
高中数学导数第一篇：导数的定义及性质导数是微积分中的重要概念之一，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
导数的定义和性质是学习导数的重要基础，本文将对导数的定义和性质进行详细介绍。
一、导数的定义导数是函数在某一点的变化率，它表示函数在该点附近的变化趋势。
导数的定义如下：设函数y=f(x)，x0为区间I内的一点，若极限f（x0 + Δx）-f（x0）Δx→0------- = kΔx存在，且与x0的取值有关，则称k为函数f（x）在点x0处的导数，记为f'（x0）或y'（x0），即f'（x0）=lim ──────（x→x0）Δx→0 Δx其中，Δx表示自变量x的增量，即x-x0。
从几何上来看，导数就是函数图像在某一点切线的斜率。
二、导数的性质导数存在的充分条件是函数在该点连续。
导数也具有一些基本的性质，如下：1. 常数函数的导数为0对于常数函数y=c，其导数为dy/dc=lim [(c+Δc)-c]/Δc=0即常数函数的导数恒为0。
2. 幂函数的导数对于幂函数y=x^n，其导数为dy/dx=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim [x^n+(n*x^(n-1))*Δx+O(Δx^2)-x^n]/Δx=(n*x^(n-1))即幂函数y=x^n的导数为n*x^(n-1)。
3. 求和、差、积的导数对于函数y=u(x)+v(x)的导数，有dy/dx=[u(x)+v(x)]'=[u(x)]'+[v(x)]'对于函数y=u(x)-v(x)的导数，有dy/dx=[u(x)-v(x)]'=[u(x)]'-[v(x)]'对于函数y=u(x)*v(x)的导数，有dy/dx=[u(x)*v(x)]'=u(x)*[v(x)]'+v(x)*[u(x)]'4. 商的导数对于函数y=u(x)/v(x)的导数，有dy/dx=[u(x)/v(x)]'=[u(x)*v'(x)-v(x)*u'(x)]/[v(x)]^2其中，v(x)≠0。
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数是微积分中的核心概念之一，它是用来描述一个函数的变化趋势的。
导数被广泛应用于物理、工程、经济和生物等领域，因此理解导数的定义和性质是非常重要的。
一、导数的定义导数的定义是函数在某一点处的切线斜率。
这个定义是通过极限的概念来实现的。
假设f(x)是定义在R上的一个函数，如果它在x=a处可导，那么导数f’(a)的定义如下：f’(a) = lim [f(x) - f(a)] / (x - a)其中x是趋向于a的一个实数。
这个极限表达式表示当x接近a时，f(x)和f(a)之差除以x-a的商会趋向于一个特定的实数，这个实数就是导数。
注意，这个定义只能在限定的点上使用。
对于连续的函数，可以求得每个点的导数，从而知道函数整体的单调性，极值等重要信息。
二、导数的性质导数具有许多有用的性质。
以下是其中一些：1. 导数的可加性如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么(f(x)+g(x))在x=a处也可导，且有：[f(x)+g(x)]’|x=a = f’(a) + g’(a)这个性质表明如果一个函数可以写成两个函数的和，那么它的导数是两个函数的导数之和。
2. 导数的乘法规则如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么(f(x)g(x))在x=a处也可导，且有：[f(x)g(x)]’|x=a = f’(a)g(a) + f(a)g’(a)这个性质是求导时最常用的，它叫做导数的乘法规则。
它表明如果一个函数可以写成两个函数的乘积，那么它的导数可以通过这两个函数及其导数的乘积来计算。
3. 链式法则如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么f(g(x))在x=a处也可导，且有：[f(g(x))]’|x=a = f’(g(a))g’(a)这个性质是一个很重要的求导方法，叫做链式法则。
它表明如果一个函数有一个内部函数，那么它的导数可以通过内部函数的导数和外部函数的导数的乘积来计算。
4. 高阶导数如果f(x)在x=a处具有导数，那么f(x)也可以在x=a处具有二阶导数、三阶导数等。
导数的概念与基本性质
导数的概念与基本性质导数是微积分中的一项重要概念，它用于描述函数在某一点的变化率。
通过导数，我们可以了解函数在不同点的斜率，从而揭示函数的性质和变化趋势。
本文将介绍导数的基本概念和其一些重要性质，并探讨其在数学和实际应用中的意义。
概念在数学中，导数可以定义为函数在某一点上的瞬时变化率。
具体来说，给定函数f(x)，它在点x处的导数记为f'(x)，定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示一个非常小的增量。
导数f'(x)表示当自变量x发生微小改变时，函数f(x)相应的变化量。
如果导数为正，表示函数在该点上升；如果导数为负，表示函数在该点下降；如果导数为零，表示函数在该点取得极值。
基本性质导数具有一些重要的基本性质，下面将介绍其中的几个。
1. 可微性：如果函数在某一点上的导数存在，则称该函数在该点可导。
可导函数必然是连续的，但连续函数不一定可导。
2. 常数函数：对于常数函数f(x)=c，其中c为常数，任意一点上的导数都为零。
3. 幂函数：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为正整数，导数为f'(x)=nx^(n-1)。
例如，对于f(x)=x^2，导数为f'(x)=2x。
4. 基本初等函数：常见的初等函数如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等，它们在其定义区间上都是可导的。
5. 导数的四则运算：在一定条件下，导数具有加法、减法、乘法和除法的运算法则。
例如，给定函数f(x)和g(x)，它们在某一点上都可导，则它们的和、差、乘积和商的导数分别为(f+g)'(x)、(f-g)'(x)、(fg)'(x)和(f/g)'(x)。
意义和应用导数在数学和实际应用中具有广泛的应用价值。
下面将介绍其一些重要的意义和应用。
1. 函数性质分析：导数可以帮助我们分析函数的性质，例如函数的单调性、极值点、拐点等。
导数知识点归纳总结
导数知识点归纳总结一、导数的定义1. 导数的几何意义导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数曲线在该点的瞬时变化率。
在几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率，它表示了函数在该点的瞬时变化情况。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在x=a处可导的充分必要条件是改点的柯西收敛序列极限为相同的值。
这个值就是在点a处的导数。
它是一个数值，常常用f'(a)表示。
3. 导数的表示导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示。
4. 导数的图形意义导数的图形意义是函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，即在该点函数的线性增长率。
二、导数的性质1. 导数存在性函数在某点可导的充分必要条件是函数在该点连续，连续函数一定可以导。
2. 导数的基本性质导数满足加法性、乘法性、常数法则、幂法则、反函数法则、复合函数法则、分段函数法则等性质。
三、求导法则1. 基本函数的导数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数。
2. 导数的四则运算导数的四则运算包括两个导数相加、导数与常数相乘、导数的乘积法则、导数的商法则。
3. 高阶导数函数的二阶导数为对其一阶导数进行求导，即f''(x)=(f'(x))'，依次类推，得到高阶导数。
四、导数的应用1. 导数在最值问题中的应用y=f(x)在[a,b]上可导，且在[a,b]的端点不可导，则y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，它们一般在驻点或者在区间的端点。
2. 导数在凹凸性与拐点判别中的应用y=f(x)的凹凸性和拐点以及弯曲率的研究，主要利用f''(x)的正负性和零点。
3. 导数在函数图形的创作中的应用利用导数的计算公式，可以绘制函数的图形，描绘函数的特点，掌握图形的整体特征。
4. 导数在微分中的应用微分可以看作函数的变化量，它与导数之间有着密切的联系。
微分和导数的关系可以帮助我们求解函数的变化率、近似值、极限值等问题。
导数的定义和基本性质解析
导数的定义和基本性质解析导数是微积分中一个重要的概念，对于研究函数的局部变化有着重要的作用。
在本文中，我们将解析导数的定义和基本性质，并探讨其在求解函数极值、切线方程等方面的应用。
一、导数的定义导数的定义最早由法国数学家拉格朗日提出，它描述了函数在某一点处的变化率。
设函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在x=a处的导数可表示为：f'(a) = lim┬(Δx→0)(f(a+Δx)-f(a))/Δx其中，Δx表示自变量x的增量，lim表示当Δx趋近于0时的极限值。
导数的定义可以通过斜率来理解。
当自变量x在a点做微小的增量Δx时，函数f(x)在x=a处的导数就是通过点(x=a,f(a))和(x=a+Δx,f(a+Δx))这两点连线的斜率。
二、导数的基本性质1. 常数的导数为0：如果f(x)是一个常数，那么f'(x)=0。
2. 线性性质：对于任意常数c和任意函数f(x)、g(x)，有(cf(x))' = cf'(x)和(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)。
3. 乘法法则：如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，则(f⋅g)'(a) =f'(a)⋅g(a) + f(a)⋅g'(a)。
4. 除法法则：如果f(x)和g(x)都在x=a处可导且g(a)≠0，则(f/g)'(a) = (f'(a)⋅g(a) - f(a)⋅g'(a))/[g(a)]²。
5. 链式法则：如果f(x)在x=g(x)处可导，而g(x)在x=a处可导，则复合函数(f∘g)(x)在x=a处可导，并且有(f∘g)'(a) = f'(g(a))⋅g'(a)。
三、导数的应用导数在微积分中有着广泛的应用。
以下是其中一些重要的应用：1. 求函数的极值：导数可以帮助我们确定函数的极大值和极小值。
导数的定义与性质解析与归纳
导数的定义与性质解析与归纳引言：导数作为微积分中的一个重要概念，在数学领域中有着广泛的应用。
导数的定义和性质是理解和应用导数的基础。
本文将对导数的定义进行解析，并探讨导数的性质，最后对所得到的结论进行归纳。
一、导数的定义解析导数是函数改变率的一种表示，它描述了函数在特定点的变化趋势。
导数的定义可以从极限的角度进行解析。
设函数 f(x) 在点 x0 的某一邻域内有定义，如果极限lim {x→x0} [f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在，则称该极限值为函数 f(x) 在点 x0 处的导数，记作 f'(x0) 或dy/dx |x=x0。
二、导数的性质解析导数具有一些特殊的性质，这些性质对于理解导数的应用十分重要。
1. 导数的唯一性如果函数 f(x) 在某一点 x0 处可导，则该点的导数唯一。
2. 导数与函数连续性的关系如果函数 f(x) 在一点 x0 可导，那么 f(x) 在该点必连续。
但反过来不一定成立，即函数在某一点处连续并不一定可导。
3. 基本运算法则导数具有一些基本的运算法则，如常数乘法法则、和差法则、积法则、商法则等。
这些运算法则有助于简化导数的计算。
4. 链式法则对于复合函数，导数的求解可以应用链式法则。
链式法则是导数计算中的重要工具之一，可用于求解复杂函数的导数。
三、导数的归纳与应用通过对导数的定义和性质的分析，我们可以得出一些重要结论，并将其应用到实际问题中。
1. 导数与函数单调性的关系函数在某一区间上单调增加，当且仅当其导数在该区间上大于零；函数在某一区间上单调减少，当且仅当其导数在该区间上小于零。
2. 导数与函数的极值点在函数的定义域内，如果函数在某一点 x0 处可导，并且导数在该点处为0，则该点可能是函数的极值点。
3. 导数与函数的凹凸性函数在某一区间上为凹函数，当且仅当其导数在该区间上递增；函数在某一区间上为凸函数，当且仅当其导数在该区间上递减。
4. 导数与函数的图像特征通过分析导数的符号和变化趋势，可以推测函数的图像特征，如拐点、水平渐近线等。
导数的定义与基本性质
导数的定义与基本性质一、导数的定义导数是微积分中的一个重要概念，用以描述函数在某一点的变化率或斜率。
给定一个实数集上的函数 f(x)，若存在一个实数 a，使得函数 f(x) 在 a 点的某个邻域内有定义，并且极限$$\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}$$存在，则称这个极限为函数 f(x) 在点 a 处的导数，记作 f'(a)。
导数可以看作是函数在某一点的瞬时变化率。
进一步地，如果导数的极限在整个函数定义域内都存在，则称函数 f(x) 在该定义域上可导。
二、导数的基本性质1. 可导性的充分条件若函数 f(x) 在某一点 a 处可导，则该点的导数存在。
2. 可导函数的连续性若函数 f(x) 在某一点 a 处可导，则该点的连续。
3. 导数的和差法则设函数 f(x) 和 g(x) 都在某一点 a 处可导，则(a) (f(x) ± g(x))' = f'(a) ± g'(a)(b) 若 c 为常数，则 (cf(x))' = cf'(a)4. 导数的乘法法则设函数 f(x) 和 g(x) 都在某一点 a 处可导，则(f(x)g(x))' = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)5. 导数的除法法则设函数 f(x) 和 g(x) 都在某一点 a 处可导，且g(a) ≠ 0，则(f(x)/g(x))' = [f'(a)g(a) - f(a)g'(a)] / [g^2(a)]6. 复合函数的导数设函数 f(x) 和 g(x) 都在某一点 a 处可导，则复合函数 f(g(x)) 在该点的导数为[f(g(x))]' = f'(g(a))g'(a)7. 反函数的导数设函数 f(x) 在某一点 a 处的导数 f'(a) 存在且不为零，若反函数 g(x) 存在，则在 a 处反函数的导数为[g(x)]' = 1 / [f'(g(a))]8. 用导数判断函数的增减性(a) 若函数 f'(x) > 0，则函数 f(x) 在该区间上是递增的；(b) 若函数 f'(x) < 0，则函数 f(x) 在该区间上是递减的；(c) 若函数 f'(x) = 0，则函数 f(x) 在该点取得极值。
导数的基本性质
导数的基本性质一、引言在微积分学中，导数是一个非常重要的概念。
它不仅是研究函数变化规律的基础，也在实际问题中具有广泛的应用。
本文将探讨导数的基本性质，包括导数的定义、导数的计算方法以及导数的应用等方面。
二、导数的定义导数是描述函数变化速率的概念。
对于函数f(x)，在点x处的导数可以定义为函数在该点的切线斜率，记作f'(x)或dy/dx。
导数的定义可以用极限的概念表示：若极限lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h存在，则称该极限为函数f(x)在点x处的导数。
三、导数的计算方法1. 导数的基本计算法则导数具有一些基本的计算法则，包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
这些法则可以大大简化导数的计算过程。
2. 高阶导数除了一阶导数外，函数还可以有更高阶的导数。
高阶导数可以通过连续求导来得到，例如二阶导数可以表示为f''(x)或d²y/dx²。
高阶导数可以描述函数的曲率、凹凸性等特征。
3. 隐函数求导对于一些隐含函数，其导数的计算可能比较困难。
这时可以使用隐函数求导的方法，通过对方程两边求导来求得隐函数的导数。
四、导数的基本性质1. 导数的线性性质若函数f(x)和g(x)都在某一点x处可导，则对于任意常数a和b，有(a*f(x)+b*g(x))' = a*f'(x) + b*g'(x)。
这个性质可以简化复杂函数的导数计算。
2. 导数的乘积法则和商法则若函数f(x)和g(x)都在某一点x处可导，则(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)，(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/[g(x)]²。
这两个法则是导数计算中常用的规则。
3. 链式法则链式法则是导数计算中的重要工具。
高等数学中的导数及其应用
高等数学中的导数及其应用导数是高等数学中的重要概念，它是描述函数变化率的工具。
本篇文章将介绍导数的定义、性质以及它在数学和实际生活中的应用。
一、导数的定义和性质导数描述了函数在某一点上的变化率。
设函数y=f(x)，若函数在点x处有定义并且存在极限lim(x→x₀) [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)，则称该极限为函数f(x)在点x₀处的导数，记作f'(x₀)，也可表示为dy/dx|x=x₀。
导数也可以通过求导公式来计算，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都有特定的求导法则。
函数的导数具有一些重要的性质。
首先，常数函数的导数为零。
其次，导数满足加法性、乘法性和链式法则。
加法性指的是导数的和等于各导数的和，乘法性指的是导数的乘积等于某一函数的导数与另一函数的值的乘积。
链式法则是导数运算中常用的规则，它描述了复合函数的导数与原函数的导数之间的关系。
二、导数的应用导数在数学和实际生活中具有广泛的应用。
下面我们将介绍其中的一些应用。
1. 函数的极值函数的导数可以用来确定函数的极值。
对于给定函数f(x)，如果在某一点x₀处导数为零或者不存在，那么该点上可能存在极值。
通过分析函数的导数和二阶导数可以判断该极值是极大值还是极小值。
这在优化问题、经济学等领域中具有重要意义。
2. 曲线的切线和法线导数也可以用来求解曲线的切线和法线。
对于二维平面上的曲线，曲线在某一点处的切线斜率为该点处函数的导数。
在求出切线斜率后，可以通过给定点和切线斜率的方程，求解出切线方程。
法线则是与切线垂直的线，其斜率为切线斜率的负倒数。
3. 变化率和速度导数可以用来描述函数的变化率。
在实际生活中，我们经常需要计算某一物理量的变化率，例如速度。
假设物体的位置随时间变化，那么位置函数关于时间的导数即为速度函数。
通过求解速度函数，我们可以得知物体在某一时刻的速度情况。
4. 函数的凹凸性和拐点函数的导数还可以用来判断函数的凹凸性和拐点。
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
在实际应用中，导数往往帮助我们了解函数的趋势、寻找最值以及解决各种实际问题。
本文将介绍导数的定义和性质，并探讨导数在不同领域的应用。
首先，我们来定义导数。
对于一个函数f(x)，其在点x处的导数可以用极限的概念表示为：$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$其中h为趋近于0的实数，表示两个点在x轴上的距离。
导数表示函数在该点处的瞬时变化率，即函数曲线在该点处的切线的斜率。
接下来，我们来讨论导数的性质。
导数具有以下几个基本性质：1. 可导性：如果函数f(x)在某一点x处可导，那么该点必须存在极限$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$同时，如果函数在某一区间内的每一个点都可导，那么函数在这个区间内是可导的。
2. 关于导函数的连续性：在某一点x处可导等价于该点处的导函数f'(x)存在。
3. 导数的加减法规则：设函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和、差和常数倍均可导，且有如下公式：$$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$$$$(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$$其中c为常数。
4. 导数的乘法法则：设函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积也可导，且有如下公式：$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$5. 导数的链式法则：设函数f(x)和g(x)都可导，则复合函数h(x) = f(g(x))也可导，且有如下公式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这条法则非常重要，可以用来求复合函数的导数。
高二-第18讲-导数基本概念及性质
导数基本概念及性质1.理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程．【知识梳理】1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：如果当Δx →0时，ΔyΔx →常数A ，就说函数y ＝f (x )在x 0处可导，并把A 叫做f (x )在点x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.题型三：求切线方程1.已知曲线y =.34313+x（1）求曲线在点()2,4P 处的切线方程； （2）求曲线过点()2,4P 的切线方程.分析：找切点或设切点坐标，利用函数导数的几何意义求切线斜率，再写出切线方程.解：（1）∵2y x '=,∴在点()2,4P 处的切线的斜率24x k y ='==.∴曲线在点()2,4P 处的切线方程为()442y x -=-，即440x y --=. （2）设曲线y =34313+x 与过点()2,4P 的切线相切于点30014,33A x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则切线的斜率02x x k y x ='==. ∴切线方程为3200014(),33y x x x x ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭即230024.33y x x x =⋅-+∵点()2,4P 在切线上，∴4=2300242,33x x -+ 即3232200000340,440,x x x x x -+=∴+-+=∴20000(1)4(1)(1)0,x x x x +-+-=∴()()200120x x +-=,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0.点评：求曲线在一点处的切线方程关键是求出曲线在这点处的导数值即些切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程；求曲线经过某点的切线与在某点处的切线最大区别是切点不明确，所以先设切点坐标，然后将切线方程用切点的坐标来表示，把已知点坐标代入求得切点坐标，把切点坐标代入切线方程中. 2.如果曲线103-+=x x y 的一条切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程．分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线()y f x =在给定点00(,())P x f x 处的切线的斜率0()k f x '=，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了． 解： 切线与直线34+=x y 平行， 斜率为4又切线在点0x 的斜率为0320(10)31x x x x y x x x ==''=+-=+∵ 41320=+x ∴10±=x2．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣2【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．3．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（）A．10 B．5 C．﹣1 D．【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f′（x）=3x2+4，∴f′（1）=7，即切线的斜率为7，又f（1）=10，故切点坐标（1，10），∴切线的方程为：y﹣10=7（x﹣1），当y=0时，x=﹣，切线在x轴上的截距为﹣，故选D．4．曲线y=sinx+e x（其中e=2.71828…是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线的斜率为（）A．2 B．3 C．D．【解答】解：∵y′=cosx+e x，k=y′|x=0=cos0+e0=2，故选：A．5．若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），则的值为（）A．f′（x0）B．2f′（x0）C．﹣2f′（x0）D．0【解答】解：由题意，根据导数的定义，可知f′（x0）=，∴=2f′（x0），故选B ．6．一物体沿直线以速度v （t ）=2t ﹣3（t 的单位为：秒，v 的单位为：米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程为（ ） A ．10米 B ．米C ．15米D ．米【解答】解：∵当0≤t ≤时，v （t ）=2t ﹣3≤0； 当≤t ≤5时，v （t ）=2t ﹣3≥0．∴物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程 S=+（2t ﹣3）dt=（3t ﹣t 2）+（t 2﹣3t ）=﹣+25﹣15﹣（﹣）=（米）故选B ．7.求下列函数的导数．（1）23x y x+=； （2）21xx y e x +=+；（3）ln cos x y e x =+； （4）32y x x x =++． 解：（1）2316'y x x =--；（2）21'1xy e x =+-； （3）'1sin y x =-；（4）21'322y x x x=++．8.已知函数f （x ）=﹣x 2+8x ，g （x ）=6lnx +m（1）求f （x ）在x=1处的切线方程．（2）是否存在实数m ，使得y=f （x ）的图象与y=g （x ）的图象有且仅有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）f'（x ）=﹣2x +8，则f'（1）=6，所以f （x ）在x=1处的切线的斜率， 所以f （x ）在x=1处的切线方程为y=6x +1；（2）函数y=f （x ）的图象与y=g （x ）的图象有且只有三个不同的交点，即函数m （x ）=g （x ）﹣f （x ）的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点． ∵m （x ）=x 2﹣8x +6lnx +m ， ∴m′（x ）=2x ﹣8+==（x ＞0），当x ∈（0，1）时，m'（x ）＞0，m （x ）是增函数；当x ∈（1，3）时，m'（x ）＜0，m （x ）是减函数； 当x ∈（3，+∞）时，m'（x ）＞0，m （x ）是增函数； 当x=1，或x=3时，m'（x ）=0．∴m （x ）最大值=m （1）=m ﹣7，m （x ）最小值=m （3）=m +6ln3﹣15． ∵当x 充分接近0时，m （x ）＜0，当x 充分大时，m （x ）＞0．∴要使m（x）的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须，即7＜m＜15﹣6ln3．∴存在实数m，使得函数y=f（x）与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15﹣6ln3）．9.若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x﹣9都相切，求实数a的值．【解答】解：设直线与曲线y=x3的切点坐标为（x0，y0），则，则切线的斜率k=3x02=0或k=，若k=0，此时切线的方程为y=0，由，消去y，可得ax2+x﹣9=0，其中△=0，即（）2+36a=0，解可得a=﹣；若k=，其切线方程为y=（x﹣1），由，消去y可得ax2﹣3x﹣=0，又由△=0，即9+9a=0，解可得a=﹣1．故a=﹣或﹣1．10.求曲线f（x）=x3﹣3x2+2x过原点的切线方程．【解答】解f′（x）=3x2﹣6x+2．设切线的斜率为k．（1）当切点是原点时k=f′（0）=2，所以所求曲线的切线方程为y=2x．（2）当切点不是原点时，设切点是（x0，y0），则有y0=x03﹣3x02+2x0，k=f′（x0）=3x02﹣6x0+2，①又k==x 02﹣3x 0+2，②由①②得x 0=，k==﹣．∴所求曲线的切线方程为y=﹣x ．故曲线的切线方程是y=2x ；y=﹣【巩固练习】1．一物体做直线运动，位移s 与时间t 满足关系式33s t t =-，s 的单位是,m t 的单位是s ，该物体在t=3秒时的瞬时速度是 ．解：233,(3)24m/s v s t v ==-=．注：通常在题目中会看到“求几秒末的速度”这种错误的说法，请同学们注意．2．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 ． 答案：430x y --=3．过点（0，－4）与曲线y ＝x 3＋x －2相切的直线方程是 ．答案：y ＝4x －44． 已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点(0,2)-处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且21l l ⊥．（1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形的面积解： 设直线1l 的斜率为1k ，直线2l 的斜率为2k ，'21y x =+，由题意得10'|1x k y ===,得直线1l 的方程为2y x =-122111l l k k ⊥∴=-=-。
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姓名学生姓名填写时间2016-1-7 学科数学年级高二教材版本人教版
阶段第（2 ）周观察期□：维护期□本人课时统计第（）课时共（）课时
课题名称导数的概念及其极值问题课时计划
第（）课时
共（）课时
上课时间2016-1-9
教学目标1、掌握导数的相关概念问题
2、掌握导数的运算法则
3、掌握极值问题在函数图象中的具体运用问题
教学重点1、导数的概念的理解及其运算问题
2、极值在函数图象中的反映
教学
难点
数形结合思想加以分析导数问题的过程以及函数与导函数问题的相互关系
教学过程
教师活动
一、导数的概念及其运算问题
1、函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．相应的,
y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为：
例1.设函数1
)
(2-
=x
x
f，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率（）
A．2.1 B．1.1 C．2 D．0
例2.已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则
x
f
x
f
x
)1(
)
1(
lim
-
+
→
= ( )
A．2 B．1 C．
2
1
D．
4
1
例3、求曲线1
22-
=x
y的斜率等于4的切线方程．
例4、抛物线1)(2
+=x x f 在哪一点处的切线平行于直线54-=x y .
例5、求过曲线x y cos =上点⎪⎭
⎫
⎝⎛21,3πP 且与过这点的切线垂直的直线方程．
练习1：
1.函数)1()1(2
-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=
3．函数 A ．4x +3 B ．4x -1 C ．4x -5 D ．4x -3
4．设()f x 在0x x =处可导，且000(3)()
lim
x f x x f x x
∆→+∆-∆＝1,则0()f x '＝( )
A.1
B.0
C.3
D.1
3
二、导数的运算
=
-=-)(',2)1(2
x f x x x f 则
（1） （2）
（3）
例：求下列函数的导数：
（1）41
x
y =
（2）53x y =． （3）y=3x(x2+2) （4）y=(x-1)(2x2+1) （5）;sin 2
5x x
x x y ++=
（6）);3)(2)(1(+++=x x x y
二、导数在函数单调性中的具体反映 1、函数单调性的求法
2、参数问题下的函数单调性
例、若函数5)(2
3
-+-=x x ax x f 在的取值范围上单调递增，求a ),(+∞-∞
练习：上是增函数在若已知函数]1,0()(,0],1,0(,2)(3
x f a x x ax x f >∈-=，求a 的取值范围
3、函数的图象与导函数图象的相互关系
例、设
)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能是
( )
例2、方程x 3－6x 2
+9x －10=0的实根个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
例3、若函数f (x )=132
3
+-x a x 的图象与直线y =3只有一个公共点,则实数a 的取值范围是
例4.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=)(x f '的图象可能是 ( )
练习：1、如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断：
x
y
O
1 2
x y
y
x y x
y
x
O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2
A D
C B
①f(x ）在［-2，-1］上是增函数； ②x=-1是f(x)的极小值点；
③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；
④x=3是f(x)的极小值点.
其中判断正确的是 .
2.函数f(x)的导函数y=)(x f '的图象如右图，则函数f(x)的单调递增区间为 .
一、函数的极值及最值问题
1、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f ’(x)=0的根
（3）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 注：
（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值 或极小值
（2）极大值不一定比极小值大
（3）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该点的导数为0 例：y=x3
例1、求函数()31
443
f x x x =-+的极值
例2. 函数y=x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.
4.曲线y=e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A.4
9e 2
B.2e 2
C.e 2
D.2
e
2
5.已知函数f(x)的导函数为)(x f ',且满足f(x)=3x 2+2x )2('f ,则)5('f = .
6. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=3
2时，
y=f(x ）有极值. （1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.
注：此表用作每次课的教学设计方案。