解三角形大题专练

解三角形大题专练

1、（2008全国Ⅰ卷）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3

20

tan =

B a ，sin 4b A =． （Ⅰ）求B cos 和边长a ；（Ⅱ）若AB

C △的面积10S =，求C 4cos 的值． 解：（1）由sin 4b A =得4sin =B a ，

由320tan =B a 与4sin =B a 两式相除，有：05

3

cos >=B ，

又通过320tan =B a 知：0tan >B ， 则3cos 5B =，4sin 5B =，34

tan =B 则5a =．……

（2）由1

sin 2

S ac B =，得到5c =．C A =∴

由25

7

1)53(21cos 21)(cos 212cos 24cos 2222-=-⨯=-=-+=-=B C A C C

2．（2009（全国Ⅰ理））在ABC ∆中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,已知222a c b -=,且

sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b

解法一:在

ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理

有:222222

3,22a b c b c a a c ab bc

+-+-=化简并整理得:2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得

40(b b ==或舍）

. 解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠. 所以2cos 2b c A =+① 又sin cos 3cos sin A C A C =,sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=

sin()4cos sin A C A C +=,即sin 4cos sin B A C =

由正弦定理得sin sin b

B C c

=

,故4cos b c A =② 由①,②解得4b =. 3．（2010年高考（全国理1））已知ABC V 的内角A ,B 及其对边a ,b 满足cot cot a b a A b B +=+,求内角C .

【答案】解：由cot cot a b a A b B +=+及正弦定理得

sin sin cos cos sin cos cos sin A B A B A A B B

+=+-=-

从而sin cos

cos sin

cos sin

sin cos

4

4

4

4

A A

B B π

π

π

π

-=- sin()sin()44

A B π

π

-=-

又0A B π<+<故4

4

A B π

π

-

=

-2

A B π

+=

所以2

C π

=

4．（2011年高考（理））(本小题满分l0分)

ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .己知90A C -=,a c +=,求C .

【答案】解：由a c +=

及正弦定理可得sin sin .A C B +=…………3分

又由于90,180(),A C B A C -=︒=︒-+故

cos sin )C C A C +=+2)C =︒+2.C =

………7分

cos 2,C C C +=cos(45)cos 2.C C ︒-=因为090C ︒<<︒，所以245,C C =︒-15C =︒

5．（2012年高考（大纲理））ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos()cos 1,2A C B a c -+==,

求C .

【答案】由()A B C B A C ππ++=⇔=-+, 由正弦定理及2a c =可得sin 2sin A C = 所以cos()cos cos()cos(())cos()cos()A C B A C A C A C A C π-+=-+-+=--+

cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C =+-+=

故由cos()cos 1A C B -+=与sin 2sin A C =可得22sin sin 14sin 1A C C =⇒= 而C 为三角形的内角且2a c c =>,故02

C π

<<

,所以1sin 2C =

,故6

C π

=. 6．（2013年高考新课标1）如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°

(1) 若PB=1

2

,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA

(2) 【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o

60

,∴∠PBA=30o

,在△PBA

中,由余弦定理得

2PA =o 1132cos3042+-=74;

(Ⅱ)设∠PBA=

α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得,

o sin sin(30)

α

α=

-,化简

得4sin αα=, ∴tan α,∴tan PBA ∠. 7．(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcos C ＋csin B.

(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．

解 (1)由已知及正弦定理，得sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ，①又A ＝π－(B ＋C)， 故sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ．②

由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B. 又B ∈(0，π)，所以B ＝π

4

.

(2)△ABC 的面积S ＝12acsin B ＝24ac.由已知及余弦定理，得4＝a 2＋c 2－2accos π4.又a 2＋c 2

≥2ac，故ac≤42－2，

当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.

8.【2013理科】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，()()a b c a b c ac ++-+=.