高中数学必修1第一章基础训练题(有详解)

高中数学必修1第一章基础训练题（有详解) 一、单选题 1．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x ，则（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是偶函数 D ．()()f x g x ⋅是偶函数 2．已知奇函数()f x 定义在(1,1)-上，且对任意1212,(1,1)()x x x x ∈-
≠都有2121()()0f x f x x x -<-成立，若(21)(32)0f x f x -+->成立，则x 的取值范围为（ ）
A ．(0,1)
B ．1(,1)3
C ．13(,)35
D ．3(0,5 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0- B ．(],8∞-- C ．[)2,∞+ D ．(],0∞- 4．已知函数是定义在上的奇函数，对于任意的，且，有.若，则的解集为（ ） A ． B ． C ． D ． 5．设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集为 ( ) A ． B ． C ． D ． 6．定义在的偶函数，当时，，则的解集为( ) A ． B ． C ． D ． 7．设奇函数在上是减函数，且，若不等式对所有的都成立，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
8．函数，则下列结论错误的是( ) A ．是偶函数 B ．的值域是 C ．方程的解只有 D ．方程的解只有 二、填空题 9．给定映射22f a b a b a b →+-：（，）（，），则在映射f 下，31（，）的原象是______．
10．若函数f （x ）同时满足： ①对于定义域上的任意x 恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0，
②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有0，则称函数f （x ）为“理想函数”．
给出下列四个函数中①f （x ）； ②f （x ）； ③f （x ）；④f （x ），
能被称为“理想函数”的有_______________（填相应的序号）．
11．给出下列五个命题：
①函数f （x ）＝22a x ﹣1﹣1的图象过定点（1
2，﹣1）；
②已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f （x ）＝x （x+1），若f （a ）＝﹣2则实数a ＝﹣1或2．
③若log a 12＞1，则a 的取值范围是（1
2，1）；
④若对于任意x ∈R 都f （x ）＝f （4﹣x ）成立，则f （x ）图象关于直线x ＝2对称； ⑤对于函数f （x ）＝lnx ，其定义域内任意12x x ≠都满足f （122x x +）()()
122f x f x +
≥
其中所有正确命题的序号是_____．
12．下列结论中:
①定义在R 上的函数f (x )在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f (x )在R 上是增函数;②若f (2)=f (-2),则函数f (x )不是奇函数;③函数y=x -0.5是(0,1)上的减函数;④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同;⑤若x 0是二次函数y=f (x )的零点,且m<x 0<n ,那么f (m )f (n )<0一定成立.
写出上述所有正确结论的序号:_____. 13．已知函数，若函数过点，那么函数一定经过点____________ 14．已知是R 上的增函数，则的取值范围是__________； 15．函数在区间上的最小值为___________．
三、解答题 16．已知函数． （Ⅰ）用定义证明是偶函数； （Ⅱ）用定义证明在上是减函数； （Ⅲ）作出函数的图像，并写出函数当时的最大值与最小值. 17．设函数y ＝f （x ）的定义域为R ，并且满足f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），f （）＝1，当x ＞0时，f （x ）＞0． （1）求f （0）的值； （2）判断函数的奇偶性； （3）如果f （x ）+f （2+x ）＜2，求x 的取值范围． 18．已知全集为R ，集合， . （1）求， ； （2）若，且，求a 的取值范围. 19．已知f （x ）为一次函数，g （x ）为二次函数，且f[g （x ）]=g[f （x ）]． （1）求f （x ）的解析式； （2）若y=g （x ）与x 轴及y=f （x ）都相切，且g （0）= ，求g （x ）的解析式． 20．已知函数． （1）求； （2）求值域．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
逐个选项去判断是否是奇函数或者偶函数。

【详解】
A ．若f （x ）=x ，g （x ）=2，满足条件，则f （x ）+g （x ）不是奇函数，故A 错误，
B ．|f （-x ）|g （-x ）=|-f （x ）|g （x ）=|f （x ）|g （x ）是偶函数，故B 错误，
C ．f （-x ）•g（-x ）=-f （x ）•g（x ），则函数是奇函数，故C 错误，
D ．f （|-x|）•g（-x ）=f （|x|）•g（x ），则f （|x|）•g（x ）是偶函数，故D 正确
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断，结合函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键． 2．C
【解析】
【分析】
先确定函数f （x ）在（﹣1，1）上单调递减，再利用函数是奇函数，可将不等式转化为具体不等式，从而求x 取值范围．
【详解】
∵对任意的x 1，x 2∈（﹣1，1）（x 1≠x 2），都有
()()21210f x f x x x -<-成立，
∴函数f （x ）在（﹣1，1）上单调递减
∵函数是奇函数，
∴()()21320f x f x -+->等价于f （2x ﹣1）＞f （2﹣3x ） ∴1211
{13212123x x x x
-<-<-<-<-<- ，解得
13
＜x ＜35 故选：C ．
【点睛】 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查解不等式，确定函数的单调性是关键．
3．A
【解析】
【分析】
根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[
)1,+∞上恒成立，可得a 的范围.
【详解】 ()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数
()f x ∴在(],0-∞上是减函数
对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-
2121x x a x ∴-+≤+≤- 311
x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-
当1x =时，取得两个最值
3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤
本题正确选项：A
【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.
4．D
【解析】
【分析】
由题意，对于任意的，有，得到函数在是增函数，结合函数的图象，分类讨论，即可求解不等式的解集.
【详解】 由题意，对于任意的，且，有， 即在是增函数，又， 依题意，画出的图象（如图所示），
等价于① 或②.
由①的解集为，由②的解集为，
故不等于的解集为，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性的应用，以及不等式的求解问题，其中解答中根据题意得出函数的单调性，画出出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
5．A
【解析】
【分析】
本题首先可以根据函数是奇函数将转化为，再根据“函数在上为单调递减函数且”判断出函数的函数值的正负，最后即可得出结果。

【详解】
因为函数是奇函数，
所以，即，
因为奇函数在上为单调递减函数，且，
所以奇函数在上为单调递减函数，且，
所以奇函数在上是正值，在上是负值，
在上是正值，上是负值，
所以在上满足大于等于0，故选A。

【点睛】
本题主要考察函数的单调性，对奇函数的相关性质的理解是解决本题的关键，奇函数有
，考查推理能力，考查化归思想，是中档题。

6．A
【解析】
【分析】
由题意，令，解得，即，进而可求解不等式的解集，得到答案. 【详解】
由题意，函数满足：当时，，
令，解得，即
又由函数在的偶函数，则
结合图象，可得不等式的解集为，即不等式的解集为，故选A.
【点睛】
本题主要考查了函数的解析式及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的解析式和函数的奇偶性是解答此类不等式的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
7．C
【解析】
【分析】
求f（x）在[-2，2]上的最大值，然后解即可得到t的取值范围．
【详解】
f（x）是奇函数，f（2）=-3，则f（-2）=3
f（x）在[-2，2]上是减函数，
∴f（x）的最大值为f（-2）=3．
f（x）＜2t+1对所有的x∈[-2，2]都成立，
只需3＜2t+1，∴t＞1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，考查不等式恒成立问题，恒成立问题的解决方法通常是通过变量分离，转为求函数的最值问题.
8．C
【解析】
【分析】
根据相关知识对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结论．
【详解】
对于A，当为有理数时，有；当为无理数时，有，所以函数为偶函数，所以A正确．
对于B，由题意得函数的值域为，所以B正确．
对于C，若为有理数，则方程f(f(x))=f(1)=1=f(x)恒成立；若为无理数，则方程
f(f(x))=f(0)=1≠f(x)，此时无满足条件的x，故方程f(f(x))=f(x)的解为任意有理数，所以C不正确．
对于D，若x为有理数，则方程f(f(x))=f(1)=1，此时x=1；若x为无理数，则方程f(f(x))=f(0)=1，此时无满足条件的x，故方程f(f(x))=x的解为x=1，所以D正确．
故选C．
【点睛】
解得本题的关键是正确理解函数的定义，同时结合给出的条件分别进行判断，考查理解和运用的能力，属于基础题．
9．（1，1）
【解析】
【分析】
由题意可得
23
21
a b
a b
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，求解方程组得答案．
【详解】
解：由题意，
23
21
a b
a b
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，解得
1
1
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
．
∴在映射f下，31
（，）的原象是(1,1)．
故答案为：(1,1)．
【点睛】
本题考查映射的概念，是基础的计算题．10．③④
【解析】
【分析】
由题意可得f （x ）为定义域上的奇函数和减函数，可得f （x ）为“理想函数”，对四个函数，分别考虑其奇偶性和单调性，即可得到正确结论．
【详解】
由题意可得f （x ）为定义域上的奇函数和减函数，可得f （x ）为“理想函数”，
由①f （x ）
为{x |x ≠0}的奇函数，在x ＞0，x ＜0函数递减，不为“理想函数”； 由②f （x ）
，可得f （﹣x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数，不为“理想函数”； 由③f （x ）（﹣1＜x ＜1），f （﹣x ）+f （x ）＝log 2log 2log 21＝0，
可得f （x ）为﹣1＜x ＜1的奇函数，且0＜x ＜1时，f （x ）＝log 2（
1）递减， 即有f （x ）在（﹣1，1）递减，为“理想函数”；
对于④f （x ）
，即f （x ）＝﹣x |x |，可得f （x ）为R 上的奇函数，且为减函数，
故④为“理想函数”．
故答案为：③④．
【点睛】 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
11．③④⑤
【解析】
【分析】
由指数函数的图象的特点解方程可判断①；由奇函数的定义，解方程可判断②；由对数不等式的解法可判断③；由函数的对称性可判断④；由对数函数的运算性质可判断⑤．
【详解】
解：①函数21()21x f x a -=-，则1()12
f =，故①错误； ②因为当0x ≥时， ()(1)0f x x x =+≥，且(1)2f =，所以由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数得(1)2()1f f a a -=-=∴=-，故②错误； ③若1lo
g 12a
>，可得112
a >>，故③正确； ④因为()(4)f x f x =-，则f （x ）图象关于直线x=2对称，故④正确；
⑤对于函数
()()
12121212ln ln ()ln ,ln 2222f x f x x x x x x x f x x f ++++⎛⎫==≥== ⎪⎝⎭
当且仅当12x x =取得等号，其定义域内任意12x x ≠都满足()1212()22f x f x x x f ++⎛⎫≥
⎪⎝⎭
，故⑤正确．
故答案为：③④⑤．
【点睛】
本题考查函数的单调性、奇偶性和对称性、凹凸性，以及函数图象，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
12．①③.
【解析】
【分析】
由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】
①符合增函数定义,正确;
②不正确,如f (x )=0,x ∈R 是奇函数;
③正确,如图所示，画出函数图像草图可判断函数的单调性;
④对应法则和值域相同的函数定义域不一定相同，如()()101f x x =<<和
()()102g x x =<<;
⑤对于二次函数()2
23f x x x =--，3x =是函数的零点，1003100-<<，而()()1001000f f -<不成立，题中的说法错误.
综上可得，所有正确结论的序号是①③.
【点睛】
本题主要考查函数单调性的应用，函数的定义域、值域，二次函数的性质，幂函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．
【解析】
【分析】
本道题将点坐标代入,得到,即可.
【详解】
将代入中,得到得到,所以,故
一定经过点.
【点睛】
本道题考查了抽象函数过定点问题,关键在于把点坐标代入抽象函数解析式中,难度中等. 14．
【解析】
【分析】
根据函数是R上的增函数，可知函数在各段上是增函数，且的最大值要不大于的最小值,列出满足条件即可求解.
【详解】
因为是R上的增函数，
所以，解得，故的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的增减性，一次函数，指数函数的单调性，属于中档题.
15．
【解析】
【分析】
对函数进行分子常数化，结合函数的单调性即可求得最小值.
【详解】
∵函数
∴函数在区间上为单调增函数
∴当时，函数取得最小值，为.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查分式函数的单调性，分子常数化是解决分数问题中最常用的方法．16．（I）见解析（II）见解析（III）最大值，最小值
【解析】
【详解】
（Ⅰ）证明：函数的定义域为，
对于任意的，都有，
∴是偶函数．
（Ⅱ）证明：在区间上任取，且，则有
，
∵，，∴
即
∴，即在上是减函数．
（Ⅲ）作出函数的图象：
从图象可知，最大值为，最小值为．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，函数的单调性，函数的图象及最值，属于中档题. 17．（1）0（2）奇函数（3）
【解析】
【分析】
1）函数y＝f（x）的定义域为R，赋值令x＝y＝0，则可求f（0）的值；
（2）令y＝﹣x，结合f（0）的值，可得结论；
（3）利用单调性的定义，结合足f（x+y）＝f（x）+f（y），可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．
【详解】
（1）∵函数y＝f（x）的定义域为R，
令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0；
（2）令y＝﹣x，得f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）是R上的奇函数；
（3）f（x）是R上的增函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0
∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）＞0
∴f（x1）＜f（x2）
故f（x）是R上的增函数．
由f（）＝1，
∴f（）＝f（）＝f（）+f（）＝2
那么f（x）+f（2+x）＜2，可得f（2+2x）＜f（）
∵f（x）是R上的增函数．
∴2+2x，
解得：x，
故得x的取值范围是（﹣∞，）.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解不等式，考查赋值法的运用，确定函数的单调性是关键．
18．（1）,
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求出集合B，于是可得和，进而得到；（2）先求出，再将转化为不等式求解，可得所求范围．
【详解】
（1）∵，
∴，，
∴．
(2)由题意知，且.
∵，，
∴或，
解得或.
故实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查集合的基本运算，解题时根据要求逐步求解即可，其中解答（2）的关键是将集合间的包含关系转化为不等式来求解，容易出现的错误是忽视不等式中的等号能否成立．19．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设出f（x），g（x）的解析式，利用待定系数法求解．
（Ⅱ）根据y=g（x）与x轴及y=f（x）都相切，g（0）=，建立关系，利用判别式求解．【详解】
由题意，设f（x）=kx+m，g（x）=ax2+bx+c（a≠0）
∵f[g（x）]=g[f（x）]．
∴k（ax2+bx+c）+m=a（kx+m）2+b（kx+m）+c，
解得：k=1，m=0
∴f（x）的解析式为f（x）=x
（Ⅱ）∵g（0）=，
∴c=
得g（x）=ax2+bx+
又∵y=g（x）与x轴，相切，
可得：4ac=b2，即…①
又∵y=g（x）与f（x）=x相切，
可得：ax2+bx+=x，即方程ax2+x（b﹣1）+=0只有一个解．
∴…②
由①②解得：b=，a=1
故得g（x）的解析式为g（x）=x2+x+．
【点睛】
本题考查了函数解析式的求法，利用了待定系数法，属于基础题．
20．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）代值计算即可，
（Ⅱ）根据函数值得变化趋势即可求出函数的值域.
【详解】
（I）f（0）=1，；
（II）这个函数当x=0时，函数取得最大值1，
当自变量x的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并趋向于0，但永远不会等于0，于是可知这个函数的值域为集合．
【点睛】
本题考查了函数值，以及函数的值域的问题，属于基础题.。