第六节 交通流理论-排队论

• 混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入队伍； 若队伍长等于L，顾客就离去，永不再来。
• 2)排队系统的3个组成部分：
• (3)服务方式(输出)指同一时刻有多少服务台可接纳顾 客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以接待单 个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载 大批乘客。
• 服务时间的分布主要有如下几种：
输出
• (1)输入过程就是指各种类型的“顾客(车辆或行人)” 按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程，例如： • 定长输入：顾客等时距到达。
• 泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。这种输 入过程最容易处理，因而应用最广泛。
• 爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
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• 2)排队系统的3个组成部分：
1

5 5 10s / 辆
两种系统比较
4个M/M/1
M/M/4
平均车辆数
平均排队长 平均耗时
20
16.68 30
6.6
3.3 10
平均等候时间
25
5
60辆 / h， 100辆 / h / 60 / 100 0.6 1，系统是稳定的。
因出入道存车量为 6辆，如果超出 6辆的概率很小时（一般 认为小于5%），则 认为合适，否则认为不 合适。 P(0) (1 ) 1 0.6 0.4，P(1) (1 ) 0.6 0.4 0.24 P(2) 2 (1 ) 0.6 2 0.4 0.14，P(3) 0.63 0.4 0.09 P(4) 0.6 4 0.4 0.05，P(5) 0.65 0.4 0.03 P(6) 0.66 0.4 0.02 P( 6) 1 P( 6) 1 P(n) 1 0.97 0.03
设顾客平均到达率为 ，则到达的平均时距为 1 / 。排队从单通道服务后 通过接受 服务后通过的平均服务 率为，则平均服务时间为 1 / 。比率 / 叫做服务强度 或交通强度，可以确定 系统的状态。所谓状态 ，指的是排队系统的顾 客数。 1)在系统中没有顾客的概 率为P(0) 1 2)在系统中有n个顾客的概率为 P(n) n (1 ) 3)系统中的平均车辆数 n 4)系统中的平均方差 2 5)平均排队长度 qn 6)非零平均排队长度 qw 1 1 n
解： 按4个M/M/1系统由题意可知： 2400 / 4 1 1 辆/ s 辆/ s 5 3600 6

5 1，系统稳定 6
n

(1 )

5/ 6 5辆 1 5 / 6
q n 5 5 / 6 4.17辆
d n


5 30 s / 辆 1/ 6
二、排队论的基本原理
• 1．基本概念 • 1) “排队”与“排队系统”的概念 • “排队”—单指等待服务的，不包括正在被服务的；
• “排队系统”—既包括等待服务的，又包括正在被服务的车辆。
排队的车辆
排队系统 中的车辆
• 排队的 • 排队系统
8辆车 10辆车
• 2)排队系统的3个组成部分：
输入
排队
d
1

30 5 25s / 辆
按单路多通道系统M/M/4计算：

2400 2 辆/ s 3600 3
1 辆/ s 5
10 3
P（0） 1
10 5 1，系统稳定 N 3 4 6

10 10 3 3 3 k! 5 k 0 4!1 6
• (2)排队(规则)指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： • 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾 客就自动消失，永不再来。
• 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们 就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服务(这 是最通常的情形)和优先权服务(如急救车、消防车 优先)等多种规则。

1


(1 ) 2
7)系统中的平均消耗时间 d

1
8)排队中的平均等待时间 w d

例2今有一停车场，到达率 为60辆 / h，服从泊松分布。停车 场的服务能力为
为100辆 / h，服从负指数分布。其 单一的出入车道可存车 6辆，问该数量
是否合适？ 解：这是一个 M / M / 1排队系统问题
• Ek代表爱尔朗分布的输入或服务。
• 于是泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排队 系统可以写成M/M/N； • 泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写成 M/D/1。
• 同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N…等符号的含义。
• 如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先服 务，单个服务通道的等待制系统。
• 3)排队系统的主要数量指标
• 最重要的数量指标有3个： • (1)等待时间即从顾客到达时起到他开始接受服务时 止这段时间。 • (2)忙期即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台 的工作强度。 • (3)队长（顾客数）有排队顾客数与排队系统中顾客 之分，这是排队系统提供的服务水平的一种衡量。
三、M/M/1系统—单通道服务系统
n 1 6
计算结果表明排队车辆 数超过6辆的可能性极小，故可 认为该出入道的 存车量是合理的。
四、M/M/N系统
1.计算公式 设为进入多通道服务系统 车辆的平均到达率，排 队行列从每个服务台 接受服务后的平均输出 率为，则每个服务台的平均 服务时间是 1 / 。 仍记 / ，则 / N称为M / M / N系统的服务强度或交通 强度，亦可称 为饱和度。和M / M / 1相仿，当 / N 1时系统是稳定的，否则 不稳定，排 队长度将趋向于无穷大 。 M / M / N系统根据车辆排队方式 的不同，可分为： 1 ）单路排队多通道服务 ：指排成一个队等待数 条通道服务的情况，排 队 中头一车辆可视哪条通 道有空就到哪里去接受 服务； 2）多路排队多通道服务 ：指每个通道各排一个 队，每个通道只为其相 应 的一队车辆服务，车辆 不能随意换队。此种情 况相当于N个M / M / 1系统 组成的系统，其计算公 式亦相同。 对于单路排队多通道服 务的M / M / N系统，计算公式如下：
(3)系统中的平均车辆数： P(0) n . N! N (1 / N ) 2
N 1
（4）平均排队长度：
q n
(5)系统中的平均消耗时间 ：
d q


1


n

(6)排队中的平均等待时间 ：

q

例3. 一加油站，今有2400辆/h的车流量通过4个通道引向4个 加油泵，平均每辆车加油时间为5s，服从负指数分布，试按多 路多通道系统（4个M/M/1系统 ）单路多通道系统（M/M/4系统） 计算各相应指标。
• ①定长分布：每一顾客的服务时间都相等（发放物 品）；
• ②负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从 相同的负指数分布(看病)； • ③爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有 相同的爱尔朗分布。
• 为叙述方便，引用下列符号，令
• M代表泊松分布输入或负指数分布服务；
• D代表定长分布输入或定长分布服务；
第八章 交通流理论
第三节 排队论的应用
一、引言
• 排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列即排队的 现象，以及合理协调需求与服务关系的一种数学理论，是运筹学中以 概率论为基础的一门重要分支，亦称“随机服务系统理论”。 • 典型的例子——食堂排队； • 排队论是20世纪初开始发展的。1905年丹麦哥本哈根电话工程师爱尔 朗首先在电话自动交换机设计时应用排队论。使电话机既能满足通话 需求而又不致设线过多。第二次世界大战以后，排队论在很多领域内 被采用。在交通工程中，对于研究车辆延误、通行能力、信号灯配时 以及停车场、加油站等交通设施的设计与管理方面得到广泛的应用。 1936年亚当斯（Adams.W.F）用以考虑未设置交通信号交叉口的行人 延误问题，1951年唐纳予以推广应用，1954年伊迪（ Edie ）应用排 队模型估计收费亭的延误。同年在摩斯柯维茨的报告中，将其应用于 车辆等候交通流空档的实验报告。
k
4
1 0.0213 16.0617 30.8642
10 0.0213 3 q . 3.3辆 2 4!4 5 1 6
5
10 n q 3.3 6.6辆 3
3.3 5s / 辆 2 3 q
d
在M / M / N排队系统中，服务通道 有N条，所以也叫“多通道 服务”系统。
多通道服务方式
(1)系统中没有车辆的概率 为： 1 P (0) N 1 k N N !(1 / N ) k 0 k! ( 2)系统中有 k个车辆的概率： k .P (0), k! P（k） k P (0), kN N! N k N k N