高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案

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第2章无限期模型与世代交叠模型

2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。

（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。

（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。

证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。这是一个典型的最优化问题。

min wAL +rK

s.t.Y =ALf (k )

构造拉格朗日函数：

F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]

求一阶导数：

ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL

=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：

r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )

w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]

r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )

上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。很明显，k 的选择独立于Y 。

上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，

这便是成本最小化条件。

（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：

∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i N

i=1

=AL

̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，

k 的决定独立于Y 的选择。因此，如果单一厂商拥有L

̅的劳动人数，则它也会生产Y =AL

̅f (k )的产量。这恰好是N 个厂商成本最小化的总产量。 2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。令P 1和P 2分别表示消费品在这两期中的价格，W 表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：P 1C 1+P 2C 2=W

（a ）已知P 1和P 2和W ，则此人效用最大化的C 1和C 2是多少？

（b ）两期消费之间的替代弹性为

−[(P 1P 2⁄)(C 1C 2⁄)⁄][ð(C 1C 2⁄)ð(P 1P 2⁄)⁄]，或−ðln (C 1C 2⁄)ðln (P 1P 2⁄)⁄。证明，若效用函数为（2.43）式，是则C 1与C 2之间的替代弹性为1θ⁄。

答：（a ）这是一个效用最大化的优化问题。

max U =C 11−θ1−θ+11+ρC 21−θ1−θ （1）

s.t.P 1C 1+P 2C 2=W （2） 求解约束条件：

C 2=W P 2⁄−C 1P 1P 2⁄

（3）

将方程（3）代入（1）中，可得：

U =C 11−θ1−θ+11+ρ[W P 2⁄−C 1P 1P 2⁄]1−θ1−θ （4）

这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两边对C 1求一阶条件可得：

ðU ðC 1⁄=C 1−θ+11+ρ

C 2−θ(−P 1P 2⁄)=0 解得： C 1=(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄C 2

（5） 将方程（5）代入（3），则有：

C 2=W P 2⁄−(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄C 2P 1P 2⁄

解得：

C 2=W P 2

⁄1+(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)(1−θ)θ⁄ （6）

将方程（6）代入（5）中，则有：

C 1=(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄(W P 2⁄)1+(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)(1−θ)θ⁄ （7）

（b ）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：

C 1C 2⁄=(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄

（8） 对方程（8）两边取对数可得：

ln (C 1C 2⁄)=(1θ⁄)ln (1+ρ)+(1θ⁄)ln (P 2P 1⁄)

（9）

则消费的跨期替代弹性为：

−ð(C 1C 2⁄)ð(P 2P 1⁄)P 2P 1⁄C 1C 2⁄=ðln (C 1C 2⁄)ðln (P 2P 1⁄)=1θ

因此，θ越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。

2.3 （a ）假设事先知道在某一时刻t 0，政府会没收每个家庭当时所拥有财富的一半。那么，消费是否会在时刻t 0发生突然变化？为什么？（如果会的话，请说明时刻t 0前后消费之间的关系。）

（b ）假设事先知道，在某一时刻t 0，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻t 0发生突然变化？为什么？(如果会，请说明时刻t 0前后消费之间的关系。)

答：（a ）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期△t 内，从(t 0−ε)到(t 0+ε)。

考虑家庭在(t 0−ε)时期减少每单位有效劳动的消费为△c 。然后他在(t 0+ε)投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。

这一变化有一效用成本u ′(c 前)△c ，在(t 0+ε)会有一收益e [r (t )−n−g ]△t △c ，财富的回报率为r (t )，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为(12⁄)u ′(c 后)e [r (t )−n−g ]△t △c 。总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满