§5.3 Helmholtz 方程的Green函数

1 ln (kρ ) 1 kρ Q lim ln (kρ )ρ = lim = lim = lim − ρ = 0 ρ →0 ρ →0 ρ →0 ρ →0 k 1 1 − 2
ρ
ρ
上式积分为零。因此（16）式简化为
∴∫
2π
0
∫
ε
0
⎡ 1 d ⎛ dG ⎞⎤ ∇ 2GdS = −1 ⎢ R dR ⎜ R dR ⎟⎥ RdRdϕ = ∫∫Cr →0 ⎠⎦ ⎝ ⎣
§5.3 Helmholtz 方程的 Green 函数
含时 Helmholtz 方程：
v ∂ 2u (r , t ) v v = a 2∇ 2u (r , t ) + f (r , t ) 2 ∂t
当源为谐振源，即 f (r , t ) = f (r )e
（1）
− iωt
v
v
，公式（1）变为
v v − ω 2u = a 2∇ 2u (r ) + f (r ) ，整理得 v v ∇ 2u (r ) + k 2u = − f (r )
⇒ ∫ ∇Gdl == −1
l
⇒∫ ⇒
l
∂G ρdϕ == −1 ∂ρ
∂ ⎡ 2i ⎤ A ln (kρ )⎥ ρ 2π = −1 ⎢ ∂ρ ⎣ π ⎦ 2i 1 ⇒A ρ 2π = −1
π ρ
i 4
⇒ A=
3、Bessel 函数和 Hankel 函数的加法公式
y
ρ
Ψ
R
θ1
ρ0
θ θ0
x
v v v ρ = ( x, y ) ， ρ0 = ( x0 , y0 ) ， R = ρ − ρ 0
(
(
)
（9）
然后（9）式进行傅里叶逆变换得
G ( x, y ) =
(2π )2
1
− e x 0 y 0 ik x x + ik y y dk x dk y ∫ ∫− ∞ k 2 − k x2 − k y2 e
∞ ∞ −∞
−i k x + k y
)
1 =− 2π
∫
e
ik x ( x − x 0 )
1 dk x 2π
G (kR ) =
（17）
' ' Im(k y ) > 0, k y = k 2 − k x2
i G ( x, y ) = 4π
∫
∞
e
' ik x ( x − x 0 )+ ik y y − y0
−∞
ky
dk x ,
（12）式和（17）式分别为直角坐标系下和极坐标系下 Helmholtz 方程对应 Green 函数方程 的解，描述同一物理问题，因此
（1） J m (kR )e
imψ
v = J m (k ρ − ρ 0 )eimቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ =
∞
n = −∞
∑ J (kρ )J (kρ )e
n
0
∞
m+n
in (θ −θ 0 )
（19）
（2） H m (kρ )e
(1)
imψ
=
n = −∞
∑ J (kρ )H (kρ )e
n < m+n >
in (θ −θ 0 )
将（11）式代入（10）式中，得
i G ( x, y ) = 4π
∫
∞
e
−∞
ky
dk x ,
' ' Im(k y ) > 0, k y = k 2 − k x2
（12）
2、极坐标系下 以 ρ 0 作为坐标原点，R = Green 函数与极角无关， 因此极坐标系下， 二维 Helmholtz ρ − ρ0 ，
δ (R )dS ⎜R ⎟ + k G ⎥ dS = − ∫∫ ∫∫ ⎢ 2π ⎣ R dR ⎝ dR ⎠ ⎦
2 S S
⎡ 1 d ⎛ dG ⎞
2π
⎤
R
⇒∫
即
0
∫
ε
0
⎡ 1 d ⎛ dG ⎞ 1 2 ⎤ ⎢ R dR ⎜ R dR ⎟ + k G ⎥ RdRdϕ = − 2π ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
∫ ∫
0
πi e iω ( x − x 0 ) eiz ( x − x0 ) ( ) ( ) ω π π d = 2 i Re sf k = 2 i lim z − k = eik ( x − x0 ) ∫− ∞ (ω − k )(ω + k ) (z − k )(z + k ) k z→k
∞
∴
1 2π
e iω ( x − x 0 ) i ik ( x − x ) ∫− ∞ (ω − k )(ω + k ) dω = 2k e 0
（20）
其中， ρ < = min (ρ , ρ 0 ),
ρ > = max(ρ , ρ0 )
证明略 4、二维 Helmholtz 方程的级数解
∂ 2G ∂ 2G + + k 2G = −δ (ρ − ρ 0 ) ∂x 2 ∂y 2
（8） 对其进行傅里叶变换，
(− k
2 x
~ 2 ~ (k x , k y ) = −e−i (k x x0 + k y y0 ) )G (k x , k y ) + k 2G − ky
−i k x + k y
~ −e x 0 y 0 ⇒ G (k x , k y ) = 2 2 k − k x2 − k y
e y 0 ∫− ∞ k 2 − k x2 − k y2 dk y
∞
ik
(y− y )
（10）
其中（10）式中后面的积分
1 2π
e y 0 1 ∫−∞ k 2 − k x2 − k y2 dk y = − 2π
∞
ik
(y− y )
∫
∞
−∞
(k
e
y
ik y ( y − y 0 )
− k 2 − k x2 k y + k 2 − k x2
∞
（2） 当 x − x0 < 0 时，在 x 轴下半平面建立闭合曲线路径，可得
k
∫
−∞
∞
eiω ( x − x0 ) eiz ( x − x0 ) dω + ∫ dz = 2πi Re sf (− k ) CR ( z − k )( z + k ) (ω − k )(ω + k ) eiz ( x − x0 ) dz = 0 ，因此 R → ∞ ∫CR ( z − k )( z + k )
d 2G dG R +R + k 2 R 2G = 0 2 dR dR
2
（14）
（14）式为零阶 Bessel 方程 其解可能为
(1) (2 ) J 0 (kR ), N 0 (kR), H 0 (kR), H 0 (kR) 线性组合而成。
考虑到 R → ∞, G (kR ) → Ce 上述四个特解中 H 0 ( kR ) → 因此， G (kR ) = AH 0 (kR)
对无限空间来说，只要得到上述三个 Helmholtz 方程相对应的 Green 函数方程的解，然 后再利用
v v v v u (r ) = ∫∫∫ f (r0 )G (r , r0 )dV0
Ω
（3）
即可得到一维、二维、三维 Helmholtz 方程的解。 因此，下面，我们将针对一维、二维、三维 Helmholtz 方程对应的 Green 函数方程的解 分别进行讨论。 一、一维 Helmholtz 方程对应 Green 函数方程的解 一维 Helmholtz 方程
d 2u + k 2u = − f ( x ) 2 dx
其对应的 Green 函数方程：
（4）
d 2G + k 2G = −δ ( x − x0 ) 2 dx
利用傅里叶变换，可得
（5）
~ ~ − ω 2G (ω ) + k 2G (ω ) = −e −iωx0
~ e −iωx0 ∴ G (ω ) = 2 ω − k2
)(
)dk
y
⎧ i ik y' y − y 0 , ⎪− 2 k ' e y ⎪ =⎨ ' ⎪ i e − ik y y − y 0 , ' ⎪ ⎩ 2k y
其中， k y =
'
' >0 Im k y
( )
（11）
' <0 Im k y
( )
k 2 − k x2
' ik x ( x − x 0 )+ ik y y − y0
由约当引理得，当 x − x0 < 0 ，下半圆的积分 lim
e iω ( x − x 0 ) πi ∴∫ dω = − 2πi Re sf (− k ) = e −ik ( x − x0 ) − ∞ (ω − k )(ω + k ) k
∞
综上，
1 2π
e iω ( x − x 0 ) i ik x − x ∫− ∞ (ω − k )(ω + k ) dω = 2k e 0 , Im(k ) > 0
(1)
(1)
ikR
，
2 i (kR −π 4 ) 与 G (kR ) 的渐进趋势相近， e πkR
（15）
为确定其系数 A ,以 ρ 0 为中心，半径 ε (ε → 0 ) 的圆作为积分区域对 Helmholtz 方程
1 d ⎛ dG ⎞ δ (R ) 2 进行积分，即 ⎜R ⎟+k G =− R dR ⎝ dR ⎠ 2πR
因此，一维 Helmholtz 方程对应 Green 函数方程的解
⎧ i ik x − x0 e , Im(k ) > 0 ⎪ ⎪ 2k G (x ) = ⎨ ⎪− i e − ik x − x0 , Im(k ) < 0 ⎪ ⎩ 2k
补充：利用留数定理求解积分
（7）
1 2π
e iω ( x − x 0 ) ∫− ∞ (ω − k )(ω + k ) dω , Im(k ) > 0
方程对应 Green 函数方程：
1 d ⎛ dG ⎞ 2 δ (R ) ，展开整理得 ⎜R ⎟+k G = − R dR ⎝ dR ⎠ 2πR R2 d 2G dG R +R + k 2 R 2G = − δ (R ) 2 2π dR dR
（13）
（13）式为非齐次零阶 Bessel 函数 当R > 0 上述方程为：
2π
ε
δ (R )
R
0
RdRdϕ = −1
∫ ∫
0
2π
ε
0
⎡ 1 d ⎛ dG ⎞ 2 ⎤ ⎢ R dR ⎜ R dR ⎟ + k G ⎥ RdRdϕ = −1 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
i 4 i (1) H 0 (kR) 4
（16）
可证得
A=
因此，极坐标系下 Helmholtz 方程对应 Green 函数方程的解为：
∞
同理可得，
1 2π
eiω ( x − x0 ) i − ik x − x ∫− ∞ (ω − k )(ω + k ) dω = 2k e 0 , Im(k ) < 0
∞
二、二维 Helmholtz 方程对应 Green 函数方程的解 1、直角坐标系下
∂ 2G ( x , y ) ∂ 2G ( x , y ) + + k 2G ( x, y ) = −δ ( x − x0 )δ ( y − y0 ) 2 2 ∂x ∂y
其中， k =
2
（2）
ω2
a2
为波数。 （2）式即为有源 Helmholtz 方程。
一维 Helmholtz 方程：
d 2u + k 2u = − f ( x ) 2 dx
d 2u d 2 u + + k 2u = − f ( x , y ) dx 2 dy 2
二维 Helmholtz 方程：
d 2u d 2u d 2u 三维 Helmholtz 方程： 2 + + 2 + k 2u = − f ( x , y , z ) 2 dx dy dz
i 4π
∫
∞
e
' ik x ( x − x 0 )+ ik y y − y0
−∞
ky 1
dk x =
i (1) H 0 (kR) 4 dk x
（18）
即 H 0 (kR) =
(1)
π
∫
∞
e
' ik x ( x − x 0 )+ ik y y − y0
−∞
ky
其物理含义为：柱面波用平面波做展开。 补充：证明 A =
∞
（1） 当 x − x0 > 0 时，在 x 轴上半平面建立闭合曲线路径
k
e iω ( x − x 0 ) eiz ( x − x0 ) d ω + ∫− ∞ (ω − k )(ω + k ) ∫CR (z − k )(z + k ) dz = 2πi Re sf (k )
∞
eiz ( x − x0 ) 由约当引理得，当 x − x0 > 0 ，上半圆的积分 lim ∫ dz = 0 ，因此 R → ∞ CR ( z − k )( z + k )
利用傅里叶逆变换
（6）
G (x ) =
1 ∞ e −iωx0 iωx e dω 2π ∫− ∞ ω 2 − k 2 e iω ( x − x 0 ) 1 ∞ dω = 2π ∫− ∞ (ω − k )(ω + k )
⎧ i ik x − x0 , Im(k ) > 0 ⎪ 2k e ⎪ =⎨ ⎪− i e − ik x − x0 , Im(k ) < 0 ⎪ ⎩ 2k
i 4
(1)
(1)
由于 G (kR ) = AH 0 (kR) ，且 ρ → 0时， H 0 (kR) → 因此当 ρ → 0时， G (kR ) = A
2i
π
ln(kρ ) ，
2i
π
ln(kρ )
ε ε →0 0
∫ ∫
0
2π
ε
0
k 2Gρdρdϕ =
2i
π
∫ ∫
0
2π
ε
0
k 2 ln(kρ )ρdρdϕ = 4ik 2 lim ∫ ln(kρ )ρdρ