关于数学概念的分类.docx

数学概念的分类、特征及其教学探讨章建跃(2012-01-31 17:13:00)转载▼标签：教育分类：数学教育大视野

数学概念的分类、特征及其教学探讨

宁波大学教师教育学院邵光华人民教育出版社中学数学室章建跃

摘要：概念教学在数学教学中有重要地位．根据来源可将数学概念分为两类，相应地有两类概

念教学方法．数学概念有多重特征，揭示这些特征是概念教学的重要任务．概念教学有多种策略，

策略的使用能提高教学的有效性，数学教师应增长这方面知识．

关键词：数学概念；概念特征；概念教学

概念教学在数学教学中有关键地位，它一直是数学教学研究的一个主题．当前的课改实践中，存

在忽视数学概念的抽象逻辑建构特征，过于强调情境化、生活化、活动化的倾向。所以，应更深

入地研究概念教学，以丰富概念教学法的知识并指导实践．

本文在讨论概念分类及其特征的基础上，探讨数学概念有效教学的策略．

一、数学概念及其分类

数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映，是建立数学法则、公式、定理的基

础，也是运算、推理、判断和证明的基石，更是数学思维、交流的工具．一般地，数学概念来源

于两方面：一是对客观世界中的数量关系和空间形式的直接抽象；二是在已有数学理论上的逻辑

建构．相应地，可以把数学概念分为两类：一类是对现实对象或关系直接抽象而成的概念，这类概念与现实如此贴近，以至人们常常将它们与现实原型“混为一谈”、融为一体，如三角形、四

边形、角、平行、相似等都有这种特性；另一类是纯数学抽象物，这类概念是抽象逻辑思维的产

物，是一种数学逻辑构造，没有客观实在与之对应，如方程、函数、向量内积等，这类概念对建

构数学理论非常重要，是数学深入发展的逻辑源泉．

二、数学概念的特征

上世纪八十年代，国外有人提出，数学内容可以分为过程和对象两个侧面．“过程”就是具备可

操作性的法则、公式、原理等；“对象”则是数学中定义的结构、关系．数学概念往往兼有这样的

二重性，许多概念既表现为过程操作，又表现为对象结构．如“等于”概念，在数与式的运算

中具有过程性，它表示由等号前的算式经运算得出等号后的结果的过程指向，在式的恒等变形中

蕴涵着“往下继续算”的操作属性；而方程中“等于”的意义则不同，它没有过程指向性，只有

结构意义，表示了等号两边代数式的一种关系．Sfard(1991,1994) 等人的研究表明，概念的过程和对象有着紧密的依赖关系，概念的形成往往要从过程开始，然后转变为对象的认知，最后共存于认知结构中．在过程阶段，概念表现为一系列固定操作步骤，相对直观，容易模仿；进入对象状

态时，概念呈现一种静态结构关系，有利于整体把握，并可转变为被操作的“实体”.

我们认为，关于数学概念特征的上述描述稍嫌抽象。为有利于教师把握，下面对数学概念的特征

作更具体的描述。

（1）判定特征概念具有判定特征，也即依据概念的内涵，人们便能判定某一对象是概念的正例还是

反例．

（2）性特征概念的定就是概念所指象基本性的概括，因而具有性特征．

上述两个特征从另一个面表了“概念的二重性”．判定特征有助于厘清概念的外延，性特征有助

于概念的内涵．

（3）程性特征（运算程或几何操作程）有些概念具有程性特征，概念的定就反映了某种数学程

或定了操作程．如“分母有理化” 含着将分母形有理数（式）的操作

程；“平均数”概念含着将几个数相加再除以个数的运算操作程；“ n 的乘” 涵着从 1 乘到 n 的运算操作程；“向量的加法”概念定了“形”（三角形法）的操作程；等。

（4）象特征（思的胞，交流的言）概念是一象的泛指，如三角形、四形、复

数、向量等概念都是某象的名称，泛指一象；又如复数的模，就是与复数 a+bi（ a， b ∈R）的构式，定个式子就是模．

（5）关系特征有些概念具有关系特性，反映了象之的关系．如垂直、平行、相切、异面直、集合的

包含等，都反映了两个象的相互关系，具有关性、称性．些概念，静角度

看是一种构关系，化点看是运程中的某种特殊状．特的，具有主从关系的概念反映了相于另一概念象而言的象，具有相依性、滋生性．如三角形的外接、角的平分、二面角的平面角等，都是在其他概念象基上生成的．些概念反映的都是特殊象，其特殊性由明确的定性所限制，些定性也是概念内涵的一部分．

（6）形特征有些概念描述了数学象的形，从形上定概念的属性特征．如三角形、四

形、三棱、四棱台等概念都具形特征，它人留下的多是直形象，用于判断多从形上先，根据形就可大致判断是概念的正例是反例．一般而言，“形如⋯⋯的象叫⋯⋯”概念都具有形特征．

三、概念的教学

上述数学概念的多重性，教学指明了方向。的来，教在分析所教概念特性的基上，

适当的素材，恰当的情景，使学生在概念生展程中，概念的不同特

征；通概念的运用，使学生掌握根据具体的需要改角度、反映概念不同特征的方法，而有效地用概念

解决．

1．概念教学的目

概念教学的基本目是学生理解概念，并能运用概念表达思想和解决．里，理解是基

．从知心理学看，“理解某个西是指把它入一个恰当的式”，式就是一相互

的概念，式越丰富，就越能理相关的式情景．数学概念理解有三种不同水平：工具性理解（Instrumental Understanding ）、关系性理解（ Relational Understanding ）和形式性理解（ Formal understanding ）．工具性理解指会用概念判断某一事物是否概念的具体例，概念作甄的

工具而并不清楚与之相关的系；关系性理解指不能用概念作判断，而且将它入到概念系

中，与相关概念建立了系；形式性理解指在数学概念符号和数学思想之建立起系，并用推理构建起概念体系和数学思想体系．理解概念是明确概念的关系、灵活用概念的前