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数学概念的分类、特征及其教学探讨章建跃(2012-01-31 17:13:00)转载▼标签：教育分类：数学教育大视野
数学概念的分类、特征及其教学探讨
宁波大学教师教育学院邵光华人民教育出版社中学数学室章建跃
摘要：概念教学在数学教学中有重要地位．根据来源可将数学概念分为两类，相应地有两类概
念教学方法．数学概念有多重特征，揭示这些特征是概念教学的重要任务．概念教学有多种策略，
策略的使用能提高教学的有效性，数学教师应增长这方面知识．
关键词：数学概念；概念特征；概念教学
概念教学在数学教学中有关键地位，它一直是数学教学研究的一个主题．当前的课改实践中，存
在忽视数学概念的抽象逻辑建构特征，过于强调情境化、生活化、活动化的倾向。

所以，应更深
入地研究概念教学，以丰富概念教学法的知识并指导实践．
本文在讨论概念分类及其特征的基础上，探讨数学概念有效教学的策略．
一、数学概念及其分类
数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映，是建立数学法则、公式、定理的基
础，也是运算、推理、判断和证明的基石，更是数学思维、交流的工具．一般地，数学概念来源
于两方面：一是对客观世界中的数量关系和空间形式的直接抽象；二是在已有数学理论上的逻辑
建构．相应地，可以把数学概念分为两类：一类是对现实对象或关系直接抽象而成的概念，这类概念与现实如此贴近，以至人们常常将它们与现实原型“混为一谈”、融为一体，如三角形、四
边形、角、平行、相似等都有这种特性；另一类是纯数学抽象物，这类概念是抽象逻辑思维的产
物，是一种数学逻辑构造，没有客观实在与之对应，如方程、函数、向量内积等，这类概念对建
构数学理论非常重要，是数学深入发展的逻辑源泉．
二、数学概念的特征
上世纪八十年代，国外有人提出，数学内容可以分为过程和对象两个侧面．“过程”就是具备可
操作性的法则、公式、原理等；“对象”则是数学中定义的结构、关系．数学概念往往兼有这样的
二重性，许多概念既表现为过程操作，又表现为对象结构．如“等于”概念，在数与式的运算
中具有过程性，它表示由等号前的算式经运算得出等号后的结果的过程指向，在式的恒等变形中
蕴涵着“往下继续算”的操作属性；而方程中“等于”的意义则不同，它没有过程指向性，只有
结构意义，表示了等号两边代数式的一种关系．Sfard(1991,1994) 等人的研究表明，概念的过程和对象有着紧密的依赖关系，概念的形成往往要从过程开始，然后转变为对象的认知，最后共存于认知结构中．在过程阶段，概念表现为一系列固定操作步骤，相对直观，容易模仿；进入对象状
态时，概念呈现一种静态结构关系，有利于整体把握，并可转变为被操作的“实体”.
我们认为，关于数学概念特征的上述描述稍嫌抽象。

为有利于教师把握，下面对数学概念的特征
作更具体的描述。

（1）判定特征概念具有判定特征，也即依据概念的内涵，人们便能判定某一对象是概念的正例还是
反例．
（2）性特征概念的定就是概念所指象基本性的概括，因而具有性特征．
上述两个特征从另一个面表了“概念的二重性”．判定特征有助于厘清概念的外延，性特征有助
于概念的内涵．
（3）程性特征（运算程或几何操作程）有些概念具有程性特征，概念的定就反映了某种数学程
或定了操作程．如“分母有理化” 含着将分母形有理数（式）的操作
程；“平均数”概念含着将几个数相加再除以个数的运算操作程；“ n 的乘” 涵着从 1 乘到 n 的运算操作程；“向量的加法”概念定了“形”（三角形法）的操作程；等。

（4）象特征（思的胞，交流的言）概念是一象的泛指，如三角形、四形、复
数、向量等概念都是某象的名称，泛指一象；又如复数的模，就是与复数 a+bi（ a， b ∈R）的构式，定个式子就是模．
（5）关系特征有些概念具有关系特性，反映了象之的关系．如垂直、平行、相切、异面直、集合的
包含等，都反映了两个象的相互关系，具有关性、称性．些概念，静角度
看是一种构关系，化点看是运程中的某种特殊状．特的，具有主从关系的概念反映了相于另一概念象而言的象，具有相依性、滋生性．如三角形的外接、角的平分、二面角的平面角等，都是在其他概念象基上生成的．些概念反映的都是特殊象，其特殊性由明确的定性所限制，些定性也是概念内涵的一部分．
（6）形特征有些概念描述了数学象的形，从形上定概念的属性特征．如三角形、四
形、三棱、四棱台等概念都具形特征，它人留下的多是直形象，用于判断多从形上先，根据形就可大致判断是概念的正例是反例．一般而言，“形如⋯⋯的象叫⋯⋯”概念都具有形特征．
三、概念的教学
上述数学概念的多重性，教学指明了方向。

的来，教在分析所教概念特性的基上，
适当的素材，恰当的情景，使学生在概念生展程中，概念的不同特
征；通概念的运用，使学生掌握根据具体的需要改角度、反映概念不同特征的方法，而有效地用概念
解决．
1．概念教学的目
概念教学的基本目是学生理解概念，并能运用概念表达思想和解决．里，理解是基
．从知心理学看，“理解某个西是指把它入一个恰当的式”，式就是一相互
的概念，式越丰富，就越能理相关的式情景．数学概念理解有三种不同水平：工具性理解（Instrumental Understanding ）、关系性理解（ Relational Understanding ）和形式性理解（ Formal understanding ）．工具性理解指会用概念判断某一事物是否概念的具体例，概念作甄的
工具而并不清楚与之相关的系；关系性理解指不能用概念作判断，而且将它入到概念系
中，与相关概念建立了系；形式性理解指在数学概念符号和数学思想之建立起系，并用推理构建起概念体系和数学思想体系．理解概念是明确概念的关系、灵活用概念的前
提，否则会产生判断错误，思维就会陷入困境．例如，如果角的弧度概念不明确，就会导致理解
上的困难： sinx 是一个实数， x 是一个角度，如何比更不用说求极限了．
概念学习不仅是理解定义描述的语义，也不只是能用以判断某个对象是否为它的一个例，还要认识它的所有性质，这样才能更清楚地掌握这个概念．从概念系统观看，概念的理解是一个系统工程，概念学习的最终结果是形成一个概念系统．学生要理解一个数学概念，就必须围绕这个概念
逐步构建一个概念网络，网络的结点越多、通道越丰富，概念理解就越深刻．所以，概念的学习需
要一个过程，但不是一个单纯的逻辑解析过程，“讲清楚”定义并不足以让学生掌握概念．
概念教学不能只满足于告诉学生“是什么”或“什么是”，还应让学生了解概念的背景和引入它的
理由，知道它在建立、发展理论或解决问题中的作用。

核心概念的教学尤应如此．所以，概念
教学前需要对概念进行学术解构和教学解构．学术解构是指从数学学科理论角度对概念的内涵及
其所反映的思想方法进行解析，包括概念的内涵和外延、概念所反映的思想和方法、概念的历史背景和发展、概念的联系、地位作用和意义等．教学解构是在学术解构的基础上，对概念的教育
形态和教学表达进行分析，重点放在概念的发生发展过程的解析上，包括对概念抽象概括过程的“再造”、辨析过程（内涵与外延的变式、正例和反例的举证）和概念的运用（变式应用）等，
其中寻找精当的例子来解释概念是一件具有创造性的教学准备工作．
2．概念教学的方式
众所周知，概念的获得有两种基本方式──概念形成与概念同化．同类事物的关键属性由学生从
同类事物的大量例证中独立发现，这种方式叫概念形成；用定义的方式直接揭示概念，学生利用已有认知结构中的有关知识理解新概念，这种方式叫概念同化．两种获得方式对应着两类概念及
两种教学方式．
（1）概念形成教学方式
新概念是对现实对象或关系直接抽象而成时，常采用概念形成教学方式，即通过创设情境从客观
实例引入，抽象共性特征，概括本质特征，形成数学概念。

这样可使学生感到数学源于自己周围
生活而倍感亲切．如数轴的引入，从秤杆、温度计等实物引入，让学生认识到它们有如下共同要求：度量的起点，度量的单位，明确的增减方向，根据这些现实模型引导学生抽象出数学模型而
形成数轴概念．这种方式遵循了由形象到抽象的思维规律．用此方式教概念，可以先用实物、教具或多媒体展示等作为引导性材料，让学生直观感知概念，在充分感知的基础上再作概括．这里要强调引导学生仔细观察、防止出现概念类化错误（不足或过度）的重要性．
（2）概念同化教学方式
新概念是基于数学逻辑建构形成时，常采用概念同化教学方式，有知识进行同化理解．用这种方式教概念，可有不同的引入途径，入新概念的必要性．这种方式其实是通过逻辑演绎进行概念教学．即直接揭示概念的定义，借助已需要强调的是应让学生理解引
由于是从抽象定义出发，所以
应注意及时用典型实例使概念获得“原型”支持，形成概念的“模式直观”，以弥补没有经历概
念形成的“原始”过程而出现的概念加工不充分、理解不深刻的缺陷．
概念教学的基本原则是采用与概念类型、特征及其获得方式相适应的方式，以有效促进概念的理解．由于数学概念大都可通过逻辑建构而产生，因此概念同化是学生获得数学概念的主要方式，
尤其是中学阶段，这样能让学生更清楚地认识概念的系统性和层次性，有利于学生从概念的联系
中学习概念，在概念系统中体会概念的作用，从而不仅促进学生的概念理解，而且有利于概念的
灵活应用．当然，如果学生的认知结构中，作为新概念学习“固着点”的已有知识不充分时，则
只能采取概念形成方式．
概念符号化是概念教学的必要步骤，这是因为数学概念大都由规定的数学符号表示，这使数学的
表示形式更简明、清晰、准确，更便于交流与心理操作．这里要注意让学生掌握概念符号的意义，并
要进行数学符号和其意义的心理转换技能训练，以促进他们对数学符号意义的理解．
3．概念教学的策略
（1）直观化数学概念的掌握要经过一个由生动的直观到抽象的思维、再从抽象的思维到实际的
应用的过程，甚至要有几个反复才能实现．借助概念的直观背景，对抽象概念进行直观化表征，
可提高概念教学的有效性．数学中的直观是相对的，实物、教具模型、图形或多媒体呈现的图片
等属于具体而生动的直观；已经熟知的概念、原理及其例等属于抽象而相对的直观．
（2）通过正例和反例深化概念理解概念的例可加深概念理解，通过“样例” 深化概念认识是必
须而有效的教学手段．其实，数学思维中，概念和样例常常是相伴相随的．提起某一概念，头脑
中的第一反应往往是它的一个“样例” ，这表明例在概念学习和保持中的重要性．如提起“函数” ，我们头脑中可能立即浮现一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等的具体解析式及其图像．概念的反例提供了最有利于辨别的信息，对概念认识的深化具有非常重要的作用．反例的运用不但可使学生的概念理解更精确、准确，而且可以排除无关特征的干扰．要注意的是，反例应在学生
对概念有一定理解后才使用，否则，如果在学生刚接触概念时用反例，将有可能使错误概念先入
为主，干扰概念的理解．在揭示概念定义后，为进一步突出概念的本质特征，防止概念误解，可
利用概念的正例或反例．如“异面直线”概念，要通过概念的正例和反例让学生认识到：异面直
线是怎么也找不到一个平面将它们纳入其中的两条直线，而不是“在两个不同平面上的直线”．
（3）利用对比明晰概念有比较才有鉴别．对同类概念进行对比，可概括共同属性．对具有种属关系的概念作类比，可突出被定义概念的特有属性；对容易混淆的概念作对比，可澄清模糊认识，减少直观理解错误．如“排列”和“组合”，通过对比可以避免混淆；“最值”和“极值”，通
过对比可认识它们的差异，即前者有整体性而后者仅有局部性，“最值”一定能取到，“极值”
未必能取到；等．
（4）运用变式完善概念认识通过变式，从不同角度研究概念并给出例，可以全面认识概念．变式是变更对象的非本质属性特征的表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素。

简言之，变式是指事物的肯定例证在无关特征方面的变化．通过变式，可使学生更好地掌握概念的本质和规律．如“等差中项”，除了认识“若a，b， c 成等差数列，则称 b 为 a，c 的等差中项”这一定义外，还必须认识变式“a－ b＝ b－ c”“ 2b ＝ a＋ c”；必须建立算法： a 与 b 的等差中项是．由于学生习惯形象思维与记忆，对较抽象的数学概念要尽
量引导学生从形的角度进行再认识，以获得概念的直观、形象支撑，如“极值”和“最值”．值
得指出，概念变式的运用应服务于概念理解，并要掌握好时机，只有在概念理解的深化阶段运用
才能收到理想效果．否则，学生不仅不能理解变式的目的，变式的复杂性反而会干扰学生的概念
理解，甚至产生混乱．
（5）对概念精致一定意义上，概念的精致可理解为概念浓缩，即抓住概念的精要所在！概念的精练表达和“组块” 占居记忆空间少且易于提取．我们曾就增函数概念调查过 5 位非数学专业大学毕业生，结果是：一人答“当x1 大于 x2时， f(x1) 大于 f(x2) ”；一人答“好象是函数值跟着大吧”；另三人答“上凸增函数类的”，并用手比画．所以，学习“增函数”，首先应有直观形象
（图像）的引入，然后到语言描述，再到数学符号语言的描述。

这些过程结束并理解了什么叫“增函数”后，学生会回到简单而本质的关键词上，对关键词的表征就是概念本质属性的表征，这正是概念精致所要达到的高度．这也表明，在学生的认知结构中，“概念定义”是惰性的，甚至会
被遗忘，起作用的是精致后的概念精要．因此，概念教学必须经历概念精致过程，以使学生提炼
出代表性特征．
（6）注意概念的多元表征数学概念往往有多种表征方式，如利用现实情境中的实物、模型、图像或图画进行的形象表征，利用口语和书写符号进行的符号表征等．不同的表征将导致不同的思
维方式，概念多元表征可以促进学生的多角度理解；在不同的表征系统中建立概念的不同表征形
式，并在不同表征系统之间进行转换训练，可以强化学生对概念联系性的认识；建立概念不同表征间的广泛联系，并学会选择、使用与转化各种数学表征，是有效使用概念解决复杂、综合问题的前提。

因此，使学生掌握概念的多元表征，并能在各种表征间灵活转化，是数学概念教学的基
本策略．
（7）将概念算法化学习概念的目的是应用；反之，应用能促进概念的深刻理解．概念的应用可
分为两类，一是用概念作判断，二是把概念当性质用。

为了更好地运用概念，需要将概念算法化，即要将陈述性的概念定义转化为程序性的算法化知识．如将“二面角的平面角” 算法化：①角的顶点在二面角的棱上，②角的两边分别在二面角的两个面内，③角的两边都与二面角的棱垂直。

由此得作一个二面角的平面角的算法：先在二面角的棱上任取一点，再从这点出发，在二面角的两个面内分别作与二面角的棱垂直的射线；判断一个角是否为二面角的平面角的算法：先看顶点是否在棱上，再看角的两边是否分别在二面角的两个面内，最后看角的两边是否都与棱垂直，一项不符合，就被否定．通过上述算法化学习，二面角的平面角概念才能更为好用．没有实现陈述
性概念定义的算法化是学生不能应用概念的主要原因之一．
四、核心数学概念及其教学
数学概念的最重要特征是它们都被嵌入在组织良好的概念体系中．数学概念的系统性上，后继概念大多是前概念基础上的逻辑建构，与其它概念的相互联系，或出自系统的整体特征．数学的逻辑严谨性主要体现在个别概念的意义总有部分来自
在一个概念体系中，有些概念处于核心位置，其他概念或由它生成，或与它有密切的联系，
称这种概念为核心概念（ key concept ）或本源概念（ root concept ）．
我们
核心数学概念的特征，从学科角度看有：（ 1）在数学内部具有广泛的联系性，（ 2）对数学发展具有奠基性作用和持续影响；从数学学习角度看：（ 1）是一个意义丰富的认知根源，在此基础
上，通过较简单、方便的认知扩充策略，不必进行认知重构就能得到数学认知结构的基本发展；
（2）在发展更复杂的理解时仍具有重要的作用．
从上所述可知，核心数学概念具有一般概念所不具备的基础性、可生长性．因此，核心数学概念
的教学，除了遵从一般概念教学要求外，还有其自身的特殊要求．其中，最关键的是要树立“整
体观”和“系统观”，要以核心数学概念为“纲”，将相关概念统整为一个网络系统，达成“纲
举目张”之效。

这就是说，核心数学概念的教学必须实现从工具性理解到关系性理解的过渡。

这就要求在核心数学概念的教学中，要重点考虑概念的来源、相关概念及其关系、概念的作用（新知识的诠释、旧知识的翻新）等，并更要突出概念形成的过程性．特别值得注意的是，核心数学
概念的形成不是一蹴而就的，常常需要几节课或一个阶段才能完成概念建构，甚至是一个长期、
动态的建构过程，函数概念就是最典型的例证．。