机器人运动学建模
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Z(i - 1) Y(i -1) a(i - 1 ) di Yi Zi Xi X(i -1) α( i - 1) ai Υi
2、中间连杆坐标系规定 {i}
坐标系i的Z轴与关节轴 i共线，指向不定；X轴与 公垂线重合，指向从i到i+1 当相交时， X i = ± Z i+1 × Z i
Z(i) Y(i) α(i) X(i) a(i) d i+1 Y i+1 Z i+1 X i +1 a i+1
连杆6 连杆5 连杆4 连杆3 连杆2 连杆1 连杆0
2、连杆与连杆间关系的描述 一个长度不为零的连杆的两端连接了两个关节，连杆的运动学 功能在于保持两端关节轴线之间固定的几何关系。 i-1关节 i关节
a(i - 1 )
α( i - 1)
关节轴线i-1和关节轴线i 的公法线长度； 2）连杆i-1的扭角α(i-1)： 关节轴线i-1和关节轴线i的夹角； 指向为从轴线i-1到轴线i。
（4）关节角 θ i
3、其他说明 1)为了简化计算（使齐次矩阵简单），习惯约定首末连杆： 相交且平行的两条直线是什么关系？
Z1 Z2 Y1 Y0 Y2
a0 = an = 0
Z0
α0 = αn = 0
X0 X1 X2
a0
a1
2)每个连杆用4个参数描述，2个描述连杆本身，另2个描述 与相邻连杆的位姿（连接/几何）关系，对于旋转关节， θi 是关节变量，其他3个固定不变，为连杆参数；对于移动关 节， d i 是关节变量，其他3个为连杆参数。
i-1关节
i关节
每一关节 轴线有两 条公法线 与之垂直
a(i - 1 )
di
ai
θi
α( i - 1)
（3）连杆i 相对于连杆i-1的偏置di： 关节i上的两条公法线ai与ai-1之间的距离，沿关节轴线i测量，如关节
是移动关节，则它是关节变量。 连杆i 相对于连杆i-1绕轴线i的旋转角度，绕关节轴线i测量，如关节i是 转动关节，则它是关节变量。
机器人学
战强
北京航空航天大学机器人研究所
第三章、机器人的运动学（Kinematics）
机器人运动学研究的是机器人的工作空间与关节空间之间的影射 关系或机器人的运动学模型（Model），包括正（Forward） 运动学和逆（Inverse）运动学两部分内容。
物料搬运
平 面 连 杆 机 构Y
Y
l
X
θ θ2
⎧ x = l cos θ 末端位置(几何法): ⎨ ⎩ y = l sin θ
⎧ y = l1 sin θ1 + l 2 sin(θ1 − θ 2 ) ⎨ ⎩ x = l1 cos θ1 + l 2 cos(θ1 − θ 2 )
l1 θ1
X
l2
Z Y X
?
?
3-1、 Denavit-Hartenberg ( D-H) 建模方法
3-1-2 D-H坐标系的建立
为了确定各连杆之间的相对运动和位姿关系，在每个连杆上 固接一个坐标系。基坐标系{0}、坐标系{n}、坐标系{i}。 1、坐标系{0}和{n}的规定
Z0轴沿关节轴1的方向，关节变 量1为零时，坐标系{0}与{1}重合 关节1是旋转关节时，d0=0, 关节1是移动关节时，θ0=0 Zn轴沿关节轴n-1的方向，关节变 量n-1为零时，坐标系{n-1}与{n}重合 关节n-1是旋转关节时，dn=0, 关节n-1是移动关节时，θn=0
Denavit J. and R. S. Hartenberg. A kinematic notation for low-pair mechanisms based on matrices. Journal of Applied Mechanics, 1955: 215-221. 用齐次变换矩阵描述两个相邻连杆坐标系间的空间位姿关系 α, a , d, θ
1）连杆i-1的长度a(i-1) :
◆两关节i和i-1的轴线平行时 α(i-1) =0 ◆两关节i和i-1的轴线相交时
a(i-1)=0，指向可任意规定。
例：
i-1
45o
i-1
i 求a(i-1) 和 α(i-1)
i
50 150 50
i-1
90o
i-1
i
i 求a(i-1) 和 α(i-1)
50
150
50
θ i +1
原点O取为XZ的交点；
Z i和Z i+1 相交时，其交点为{i}原点， Z i和Z i+1 平行时，{i}原点取在使偏置为零处。
3、利用连杆坐标系可以明确定义连杆参数为:
Z(i - 1) Y(i -1) a(i - 1 ) di Yi Zi Xi ai Υi
X(i -1) α( i - 1)
5、连杆变换与运动学方程 1）推导相邻连杆坐标系{i}与{i-1}的齐次变换矩阵 四个参数
ai−1 α i−1 d i θ i
Z(i - 1)
ai −1:从 Z i −1到 Z i 沿 X i −1测量的距离 α i −1 :从 Z i −1到 Z i 绕 X i −1旋转的角度
di
:从 :从
θi
X i−1到 X i X i−1到 X i
沿 绕
Zi Zi
测量的距离 旋转的角度
4、步骤：
原则：先建立中间坐标系{i}，后两端坐标系{0}{n} 1）确定Z轴：找出关节轴线及关节转向采用右手定则确定Z； 2）确定原点：如果两相邻轴线Zi与Zi+1不相交，则公垂线与轴线i的交 点为原点，注意平行时原点的选择应使偏置为零；如果相交则交点 为原点，注意:如果重合则原点应使偏置为零； 3）确定X轴：两轴线不相交时，X与公垂线重合，指向从i到i+1； 若两轴线相交，则X是两轴线所成平面的法线X= － ＋Zi × Zi+1 ； 注意:如果两轴线重合，则X轴与轴线垂直且使其他连杆参数为零； 4）按右手定则确定Y ； 5）当第一个关节变量为零时，规定{0}与{1}重合，对于 末端坐标系{n}，原点与X任选，希望坐标系{n}使杆参数尽量为零。
3-1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1连杆参数
1、关节简介 关节 运动副
高副：两构件之间是线或点接触，如凸轮、齿轮 运动副 低副：两构件之间是面接触，如旋转副、移动副、 圆柱副、螺旋副、平面副、球面副
通常机器人的运动副都是低副机构，由旋转关节或移动关节组成， 每个关节具有一个自由度
7自由度机器人具有 7个关节和7个连杆 关节5 关节4 关节3 关节2 关节1
2、中间连杆坐标系规定 {i}
坐标系i的Z轴与关节轴 i共线，指向不定；X轴与 公垂线重合，指向从i到i+1 当相交时， X i = ± Z i+1 × Z i
Z(i) Y(i) α(i) X(i) a(i) d i+1 Y i+1 Z i+1 X i +1 a i+1
连杆6 连杆5 连杆4 连杆3 连杆2 连杆1 连杆0
2、连杆与连杆间关系的描述 一个长度不为零的连杆的两端连接了两个关节，连杆的运动学 功能在于保持两端关节轴线之间固定的几何关系。 i-1关节 i关节
a(i - 1 )
α( i - 1)
关节轴线i-1和关节轴线i 的公法线长度； 2）连杆i-1的扭角α(i-1)： 关节轴线i-1和关节轴线i的夹角； 指向为从轴线i-1到轴线i。
（4）关节角 θ i
3、其他说明 1)为了简化计算（使齐次矩阵简单），习惯约定首末连杆： 相交且平行的两条直线是什么关系？
Z1 Z2 Y1 Y0 Y2
a0 = an = 0
Z0
α0 = αn = 0
X0 X1 X2
a0
a1
2)每个连杆用4个参数描述，2个描述连杆本身，另2个描述 与相邻连杆的位姿（连接/几何）关系，对于旋转关节， θi 是关节变量，其他3个固定不变，为连杆参数；对于移动关 节， d i 是关节变量，其他3个为连杆参数。
i-1关节
i关节
每一关节 轴线有两 条公法线 与之垂直
a(i - 1 )
di
ai
θi
α( i - 1)
（3）连杆i 相对于连杆i-1的偏置di： 关节i上的两条公法线ai与ai-1之间的距离，沿关节轴线i测量，如关节
是移动关节，则它是关节变量。 连杆i 相对于连杆i-1绕轴线i的旋转角度，绕关节轴线i测量，如关节i是 转动关节，则它是关节变量。
机器人学
战强
北京航空航天大学机器人研究所
第三章、机器人的运动学（Kinematics）
机器人运动学研究的是机器人的工作空间与关节空间之间的影射 关系或机器人的运动学模型（Model），包括正（Forward） 运动学和逆（Inverse）运动学两部分内容。
物料搬运
平 面 连 杆 机 构Y
Y
l
X
θ θ2
⎧ x = l cos θ 末端位置(几何法): ⎨ ⎩ y = l sin θ
⎧ y = l1 sin θ1 + l 2 sin(θ1 − θ 2 ) ⎨ ⎩ x = l1 cos θ1 + l 2 cos(θ1 − θ 2 )
l1 θ1
X
l2
Z Y X
?
?
3-1、 Denavit-Hartenberg ( D-H) 建模方法
3-1-2 D-H坐标系的建立
为了确定各连杆之间的相对运动和位姿关系，在每个连杆上 固接一个坐标系。基坐标系{0}、坐标系{n}、坐标系{i}。 1、坐标系{0}和{n}的规定
Z0轴沿关节轴1的方向，关节变 量1为零时，坐标系{0}与{1}重合 关节1是旋转关节时，d0=0, 关节1是移动关节时，θ0=0 Zn轴沿关节轴n-1的方向，关节变 量n-1为零时，坐标系{n-1}与{n}重合 关节n-1是旋转关节时，dn=0, 关节n-1是移动关节时，θn=0
Denavit J. and R. S. Hartenberg. A kinematic notation for low-pair mechanisms based on matrices. Journal of Applied Mechanics, 1955: 215-221. 用齐次变换矩阵描述两个相邻连杆坐标系间的空间位姿关系 α, a , d, θ
1）连杆i-1的长度a(i-1) :
◆两关节i和i-1的轴线平行时 α(i-1) =0 ◆两关节i和i-1的轴线相交时
a(i-1)=0，指向可任意规定。
例：
i-1
45o
i-1
i 求a(i-1) 和 α(i-1)
i
50 150 50
i-1
90o
i-1
i
i 求a(i-1) 和 α(i-1)
50
150
50
θ i +1
原点O取为XZ的交点；
Z i和Z i+1 相交时，其交点为{i}原点， Z i和Z i+1 平行时，{i}原点取在使偏置为零处。
3、利用连杆坐标系可以明确定义连杆参数为:
Z(i - 1) Y(i -1) a(i - 1 ) di Yi Zi Xi ai Υi
X(i -1) α( i - 1)
5、连杆变换与运动学方程 1）推导相邻连杆坐标系{i}与{i-1}的齐次变换矩阵 四个参数
ai−1 α i−1 d i θ i
Z(i - 1)
ai −1:从 Z i −1到 Z i 沿 X i −1测量的距离 α i −1 :从 Z i −1到 Z i 绕 X i −1旋转的角度
di
:从 :从
θi
X i−1到 X i X i−1到 X i
沿 绕
Zi Zi
测量的距离 旋转的角度
4、步骤：
原则：先建立中间坐标系{i}，后两端坐标系{0}{n} 1）确定Z轴：找出关节轴线及关节转向采用右手定则确定Z； 2）确定原点：如果两相邻轴线Zi与Zi+1不相交，则公垂线与轴线i的交 点为原点，注意平行时原点的选择应使偏置为零；如果相交则交点 为原点，注意:如果重合则原点应使偏置为零； 3）确定X轴：两轴线不相交时，X与公垂线重合，指向从i到i+1； 若两轴线相交，则X是两轴线所成平面的法线X= － ＋Zi × Zi+1 ； 注意:如果两轴线重合，则X轴与轴线垂直且使其他连杆参数为零； 4）按右手定则确定Y ； 5）当第一个关节变量为零时，规定{0}与{1}重合，对于 末端坐标系{n}，原点与X任选，希望坐标系{n}使杆参数尽量为零。
3-1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1连杆参数
1、关节简介 关节 运动副
高副：两构件之间是线或点接触，如凸轮、齿轮 运动副 低副：两构件之间是面接触，如旋转副、移动副、 圆柱副、螺旋副、平面副、球面副
通常机器人的运动副都是低副机构，由旋转关节或移动关节组成， 每个关节具有一个自由度
7自由度机器人具有 7个关节和7个连杆 关节5 关节4 关节3 关节2 关节1