过一点作曲线的切线问题

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第1讲：过定点作曲线的切线问题

过定点作曲线的切线问题
问题引入——过点)1,1(作曲线3x y =的切线，则切线方程为。

错因回放——许多学生解作：（略写）观察知点)1,1(在曲线3x y =上，则此点理解为切点，由导数的几何意义可知，该点处的导数值即为切线的斜率，因为332=⇒='k x y ，所以切线方程由点斜式有.023.1)1(3=--∴+-=y x x y
分析：主要问题出在误认为该点就是切点，当然后面就“顺理成误”了。

知识背景——首先我们要明确学习了导数之后，曲线的切线的定义和以往的认识有所不同，不能由交点的个数决定了（以往相切意味着只有一个交点），则此点虽然在曲线上，但并不能说明一定就是切点；然后我们要明确处理这种问题的一般解法就是利用好两个关系：一是切点在切线上、切点也在曲线上，二是在切点处的导数值等于该点处切线的斜率；最后根据题中提供的条件，合理建立式子解题。

正确解答：.
0143023:.0143,1)1(43
.43
.21113),,(,)1,1(.
023.1)1(3.33,)1,1(030
00020002=+-=--=+-∴+-==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--==--∴+-==∴='y x y x y x x y k x x y x y x y x y x x y k x y 或切线方程为综上此时切线方程为故则则设切点为不为切点若点为则切线方程则由导数的几何意义有
为切点若点
相关练习——已知曲线方程为2
x y = （1）求过点)4,2(A 且与曲线相切的直线方程；
（2）求过点)5,3(B 且与曲线相切的直线方程。

练习答案：.02510012)2(;044)1(=--=--=---y x y x y x 或。

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
空间曲线在一点处的切线方程可以通过以下步骤求得：
1. 求出曲线在该点处的切向量，假设曲线的参数方程为
$r(t)=(x(t), y(t), z(t))$，则曲线在该点处的切向量为
$r'(t_0)=(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$，其中 $t_0$ 是曲线参数在该点处的取值。

2. 将切向量除以它的长度 $|r'(t_0)|$，得到单位切向量
$T=\frac{r'(t_0)}{|r'(t_0)|}$。

3. 曲线在该点处的切线方程为 $r(t_0)+sT$，其中 $s$ 是实数。

空间曲线在一点处的法平面方程可以通过以下步骤求得：
1. 求出曲线在该点处的切向量，根据上面的求法，可以得到单位切向量 $T=\frac{r'(t_0)}{|r'(t_0)|}$。

2. 求出曲线在该点处的法向量，假设曲线的参数方程为
$r(t)=(x(t),y(t),z(t))$，则法向量为
$N=\frac{d^2r}{dt^2}|_{t=t_0}\times T$，其中 $\times$ 表示向量的叉积运算符。

3. 法平面方程为 $N\cdot(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)$，其中
$(x_0,y_0,z_0)$ 是曲线在该点处的一个点。

圆锥曲线中的切线问题

圆锥曲线中的切线问题过曲线上一点P(x o ,y o )的切线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以双曲线为例.442222020220220420222022022020242022202222202022222020)(4)1)(b a x (4)2(,012)b a x (x .11.11b a b a a y x b x a x b y b y a x b y y y b y b y ax b y y a x x b y a x b y y a x x ---=---=∆=-+--⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-得消去①式平方后除以②式，，，.0012222202202220220，即证，所以，得又=∆=--=-b a b a y a x b b y a x 过曲线外一点P(x o ,y o )作曲线的切线，切点A 、B ，过切点A 、B 的直线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以椭圆为例.设切点),(),,(2211y x B y x A ，以A ，B 为切点的直线方程分别为.1122222121=+=+b y y a x x b y y a x x ，若两切线均是P(x o ,y o )点引出的，即两切线均过点P ，则有.112022********=+=+by y ax x by y ax x ，可知点),(),,(2211y x B y x A 均在直线12020=+b y y a x x 上，所以过切点A ，B 的直线方程为12020=+by y a x x .即证.思考１．（2021全国乙卷）已知抛物线C ：x 2=2py(y>0)的焦点为F ，且点F 与圆M ：x 2+(y+4)2=1上的点最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求PAB ∆面积的最大值．).520;2(最大值为=p 解：(1)焦点坐标为(0,2p )，于4142p=-+是得到p=2;(2)设P(x 0,y 0)，切点为),(),,(2211y x B y x A ，设过点),(11y x A 的方程为x 1x=2(y+y 1)，联立x 2=4y ，化为关于x 的一元二次方程X 2-2x 1x+4y 1=0，得0=∆，所以x 1x=2(y+y 1)是抛物线上过A 的切线方程,同理可得x 2x=2(y+y 2)是抛物线上过B 点的切线方程.于是过P(x 0,y 0)作抛物线的切线，则过切点A ，B 的方程为x 0x=2(y+y 0)，联立抛物线方程消去y 得X 2-2x 0x+4y 0=0，4|4|d AB P 16441||200200202+-=-+=x y x y x x AB 的距离到，点.520S -5)35(151221S 4-114)4(214|4|1644121d ||21S PAB 00020PAB 2020202030202002002020PAB取最小值为时，当，）（，于是）（而所以∆∆∆=-≤≤----=+==++-=+--+=⋅=y y y y y x y x y x x y x y x x AB ２．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点M 在直线x=-2上运动，线段MF 2与椭圆相交于N ，当NF 1⊥x 轴时，直线MF 2的斜率的绝对值为42.(1)求椭圆方程；(2)设P 是椭圆上一点，直线PF 1的斜率与直线MF 2的斜率之积为31-，证明直线MP 始终与椭圆相切.（1222=+y x ）解：(1).12.2,0122,,22,22,422222222221=+==--=-====y x a a a c b a a b c c a b k NF MF 所以得所以又得为通径的一半，所以（2）设P(x 0,y 0)，M(-2,y 1)，设过P 的直线方程为1200=+y y xx ，联立椭圆方程消去x 得，.0,12,884024)2(20202020204020022020=∆=+-+=∆=-+-+所以而，y x x y x x x y y y x y .3131,31.121000021-=-⋅+-=⋅=+y x y k k y y x x MF PF 即由是椭圆的切线方程所以.MP .12M )1,2(M ,10000001与椭圆相切即证明直线满足椭圆的切线切线，点于是点=++-+=y y xx y x y x y。

抛物线外一点做两条切线轨迹方程

抛物线外一点做两条切线轨迹方程1. 概述抛物线是数学中常见的一种曲线，其在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

抛物线外一点做两条切线是一个经典的问题，其涉及到抛物线的性质和切线的几何关系。

本文将探讨抛物线外一点做两条切线的轨迹方程，希望能够为读者对此问题的理解提供一些帮助。

2. 抛物线的一般方程一般来说，抛物线的一般方程可以表示为：\[y = ax^2 + bx + c \]其中a、b、c为常数且a不为0。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

3. 抛物线外一点做两条切线的条件对于给定的抛物线和一点P(x, y)外，我们希望找到通过点P的两条切线。

根据几何性质，抛物线外一点做两条切线的条件为：点P到抛物线的切线长度相等。

设点P到抛物线的距离为d，则点P到抛物线的两个切点为A和B，过点P作AB的垂线交抛物线于C和D，则PC=PD。

4. 推导轨迹方程我们可以找到切线的一般方程。

设抛物线的方程为y = f(x)，点P的坐标为(x, y)，则点P到抛物线的距离 \[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 +f'(x)^2}} \] 其中f'(x)为抛物线的导数。

根据切线的性质，切线的斜率为f'(x)。

由上式我们得到\[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = \frac{|ax^2 + bx + c -f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} \]根据点到直线的距离公式，我们知道点P到抛物线的切线的距离为d，于是我们得到抛物线外一点做两条切线的轨迹方程。

5. 结论通过以上推导，我们得到了通过抛物线外一点的两条切线的轨迹方程。

这个问题的解决不仅涉及到抛物线的性质，也考虑到切线的几何特性。

抛物线作为数学中的经典曲线，在这个问题中展现了其独特的魅力。

希望读者通过本文能够对抛物线外一点做两条切线的轨迹方程有一个更清晰的认识。

过点1,0作曲线y=x2的切线,所围成的面积

过点(1,0)作曲线y=x^2的切线所围成的面积是一个经典的数学问题，它涉及到微积分中的定积分求解以及几何图形的面积计算。

本文将通过逐步分析和求解这一问题，深入探讨相关数学原理，帮助读者更好地理解和掌握这一数学知识。

1. 几何问题的提出在平面直角坐标系中，曲线y=x^2可以被描述为一条开口朝上的抛物线。

我们需要找到曲线上一点(1,1)，并作出与曲线切线相切的直线，以此为基础来求解切线所围成的面积。

2. 切线的求解我们来求解曲线y=x^2在点(1,1)处的切线。

设切线的方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

由于切线经过点(1,1)，所以有1=k*1+b，即b=1-k。

切线的斜率k应与曲线在点(1,1)处的切线斜率相同。

曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率可以通过求导得到，即y'=2x，在点(1,1)处的切线斜率为2。

切线方程为y=2x+(1-2)=2x-1。

3. 切线与曲线的交点接下来，我们需要求出切线y=2x-1与曲线y=x^2的交点坐标。

将切线方程代入曲线方程中得到2x-1=x^2，整理得到x^2-2x+1=0，进一步化简为(x-1)^2=0。

由此可得，切线与曲线的交点为(1,1)。

4. 切线所围成的面积切线y=2x-1与曲线y=x^2所围成的面积可以通过定积分来求解。

由于切线与曲线的交点为(1,1)，因此需要求解从x=0到x=1的积分∫(2x-1-x^2)dx。

通过对被积函数进行积分运算，即可得到切线所围成的面积。

5. 数学原理的解析以上通过对几何问题进行逐步分析和求解，我们得到了切线y=2x-1与曲线y=x^2所围成的面积。

这一过程涉及到微积分中的定积分运算，以及对图形的几何分析。

通过这一问题的讨论，我们加深了对定积分和几何图形面积计算的理解，同时也加强了对相关数学原理的掌握和运用。

6. 结语通过本文的讨论，我们对过点(1,0)作曲线y=x^2的切线所围成的面积进行了全面的分析和求解。

曲线上某一点处的切线方程

曲线上某一点处的切线方程作者：付文来源：《数学大世界·教师适用》2011年第10期【摘要】曲线上某一点处的切线方程的三种类型及其解法：第一种已知曲线上任意一点的坐标求切线方程；第二种已知曲线上任意一点的横坐标求切线方程；第三种已知曲线上任意一点处的斜率求切线方程。

【关键词】曲线；切线方程；三种类型；解法导数是中学数学选学内容中较为重要的知识，近几年高考对导数的考察每年都有，考察时以求曲线上某一点处的切线方程为题目的问题比较多，约占10分左右。

在此类问题当中，导数的解题地位已经由以前只是在解决问题中起辅助作用上升为分析问题，解决问题是必不可少的工具。

因此本人根据近几年的高考和本人的一些思考和见解，现将该问题做一归纳，得到如下三种情形。

第一种已知曲线上任意一点的坐标求切线方程。

例如，求曲线y=x3在点（1，1）的切线方程。

分析如下：要求切线方程需知道点和斜率。

点已知，故只求斜率，我们知道曲线上某一点出的导数的几何意义是曲线上某一点处的导函数的函数值是该点处的切线的斜率。

即k=y'︳x=x0故，解答如下：由k=y'︳x=x0=3x02=3×12=3 。

由直线方程的点斜式y-y'=k（x-x0）得y-1=3（x-1），即3x-y-2=0。

第二种已知曲线上任意一点的横坐标求切线方程。

例如，求曲线y=x2在点（1，y0）的切线方程。

分析如下：如上题，需求切点和斜率。

我们知道切点是一点二用即它既在曲线上，又在直线上。

故用点在曲线上代入曲线方程求出切点，这样该问题就转变成第一种类型的问题了。

解答如下：∵点（1，y0）在曲线y=x3上，∴y=13=1即切点为（1，1）。

后面解答和上面的一样的切线方程为3x-y-2=0。

第三种已知曲线上任意一点处的斜率求切线方程。

例如已知曲线y=x3在某一点处的切线的斜率为k=3，求该切线方程。

分析如下：由k=y'︳x=x0可解答得到x'，即已知切点的横坐标有转化为第二种类型了，在此类问题当中斜率是已知的，直接代入即可。

过一点求曲线的切线方程的三种类型

过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒解：由题设知点P 在曲线上，∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ，切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得)1)(23()2(100030x x x x --=---﹒解得10=x ，或210-=x ﹒所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒例 3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编）解：由题设知原点O 不在曲线上，设切点坐标为P )63,(20400+-x x x ， x x y 643-='，切线斜率为（03064x x -），切线方程为：))(64()63(00302040x x x x x x y --=+--﹒ 又知切线过点)0,0(，把它代入上述方程，得))(64()63(000302040x x x x x --=+--﹒ 整理得：0)2)(1(2020=-+x x ﹒ 解得20-=x ，或20=x ﹒ 所求切线方程为：x y 22-=或x y 22=﹒练习：1.求曲线14)(23+-=x x x f 在点)2,1(-P 处的切线方程﹒2. 求过曲线34313+=x y 上的点)4,2(的切线方程﹒3.过点)2,0(作抛物线12++-=x x y 的切线，求切线方程﹒ 答案：1.035=-+y x ；2.044=--y x 或02=+-y x ；3.023=+-y x 或02=--y x ﹒。

过某个点的切线方程

过某个点的切线方程过某个点的切线方程是指通过给定点并且与曲线相切的直线方程。

在数学中，我们可以使用导数来求解过某个点的切线方程。

下面将详细介绍如何求解过某个点的切线方程。

一、导数的定义和求解1. 导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率，即函数在该点附近的斜率。

对于函数y=f(x)，其导数可以表示为dy/dx或f'(x)。

2. 导数的求解要求解一个函数在某一点处的导数，可以通过以下步骤进行：a. 计算函数f(x)。

b. 使用求导法则计算f'(x)。

c. 将给定点(x0, y0)代入f'(x)中，得到斜率k。

二、过给定点的切线方程1. 切线方程的一般形式对于曲线上任意一点P(x0, y0)，其切线方程可以表示为y = k(x - x0) + y0，其中k为斜率。

2. 求解斜率k将给定点P(x0, y0)代入函数f'(x)中，得到斜率k。

a. 计算f'(x)。

b. 将x = x0代入f'(x)，得到斜率k。

3. 切线方程的具体形式将斜率k和给定点P(x0, y0)代入切线方程的一般形式中，得到过给定点的切线方程。

三、实例演示假设我们要求解曲线y = x^2 + 2x + 1在点P(2, 9)处的切线方程。

1. 计算函数f(x)根据给定曲线，我们可以得到f(x) = x^2 + 2x + 1。

2. 求解导数f'(x)使用求导法则对f(x)进行求导：f'(x) = 2x + 2。

3. 求解斜率k将给定点P(2, 9)代入f'(x)中，得到斜率k：k = f'(2) = 2(2) + 2 = 6。

4. 求解切线方程将斜率k和给定点P(2, 9)代入切线方程的一般形式中：y = k(x - x0) + y0y = 6(x - 2) + 9y = 6x - 3曲线y = x^2 + 2x +1在点P(2,9)处的切线方程为y = 6x -3。

高考数学专题《过曲线上一点的切线、切点弦》填选压轴题及答案

专题37 过曲线上一点的切线、切点弦【方法点拨】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.特别地，过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2外一点P (x 0，y 0) 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；特别地，过圆x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 说明：（1）上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入，将原方程作如下方法替换求出，20x x x →，20y y y →，02x xx +→，02y yy +→). （2）椭圆、抛物线也有类似结论，如过椭圆2222:1x y C a b +=上一点P (x 0，y 0)且与椭圆相切的直线方程是：00221x x y ya b+=，等等，不再赘述.【典型题示例】例1 已知抛物线C ：y 2＝2x ，过直线上y ＝x+2上一点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过定点．【答案】(2,1)【解析】设P 点坐标为（x 0，x 0+2）显然点P 不在抛物线C 上根据切点弦的公式，“抄一代一”得直线AB 的方程为：(x 0+2) y ＝x 0+x 即(x －2 y )＋x 0(1－y ) ＝0 所以直线AB 恒过定点(2,1).例2 过抛物线C ：x 2＝2py 上点M 作抛物线D ：y 2＝4x 的两条切线l 1，l 2，切点分别为P ，Q ，若△MPQ 的重心为G(1，32)，则p ＝．【答案】316【解析一】设11(,)P x y ，22(,)Q x y则l 1，l 2的方程分别是111()2y y x x =+，221()2y y x x =+由11221()21()2y y x x y y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得，121242y y x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即1212(,)42y y y y M + 又因为△MPQ 的重心为G(1，32)所以12121212211222413323244y y x x y y y y y x y x ⎧++⎪=⎪⎪+⎪⎪++⎨=⎪⎪⎪=⎪=⎪⎩，解之得121233y y y y =-⎧⎨+=⎩，故33(,)42M - 将33(,)42M -代入x 2＝2py 得316p =.【解析二】设200(,)2x M x p则PQ 的方程为2002()2x y x x p=+ 由20022()24x y x x p y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消x 得220040py x y px -+= 所以2012x y y p +=，1204y y x =（11(,)P x y ，22(,)Q x y ）()422012120211844x x x y y x p ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭又因为△MPQ 的重心为G(1，32)所以400022200184133232x x x p x x p p ⎧⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎪=⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解之得031634p x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，.例3 已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点M （－1，－1）满足MA ·MB ＝0，则｜AB ｜＝（） A． B． C ．5 D ．6 【答案】C【分析】（一）本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.（二）将MA ·MB ＝0直接代入坐标形式，列出关于A ，B 中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A ，B 中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，MA ·MB ＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单. 【解析一】易知p =2，y 2＝4x 由阿基米德三角形得AB 为切点弦所以AB 方程是－y ＝2（x －1），即y ＝－2 x ＋2 代入y 2＝4x 消y 得：x 2－3x ＋1=0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2=3 ∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C. 【解析二】易知p =2设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=1，y 1y 2=－4，11(1,1)MA x y =++，22(1,1)MB x y =++ ∵MA ·MB ＝0∴1212(1)(1)(1)(1)0x x y y +++++=，化简得12121x x y y +++= 设A 、B 中点坐标为（x 0，y 0），则0012x y += ① 又由直线的斜率公式得12122212121204244AB y y y y k k y y x x y y y --=====-+-，001y k x =-∴00021y y x =-，即2002(1)y x =- ② 由①、②解得032x =∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C.例4 在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆C :(x - 2)2 + (y - 2)2 ＝ 20 与x 轴交于 A 、B （点 A 在点 B 的左侧），圆C 的弦 MN 过点T (3，4)，分别过 M 、N 作圆C 的切线，交点为 P ，则线段 AP 的最小值为．【答案】285 5【分析】设出点P坐标，根据切点弦求出点P轨迹方程，再利用点线距以垂线段最小求解.【解析】设点P坐标为(a，b )则切点弦MN的方程为：(a - 2)(x - 2)+ (b - 2)(y - 2)＝20又因为弦MN 过点T(3，4)，故(a - 2)(3 - 2)+ (b - 2)(4- 2)＝20，即a +2b - 26＝0即点P的轨迹方程是x +2y - 26＝0点A（－2,0）到该直线的距离为285 5，因为定点到直线上任意一点间的距离中垂线段最小所以点A（－2,0）到该直线的距离2855即为AP 的最小值.例 5 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l与椭圆22:14xC y+=、圆222(12)x y r r+=<<都相切，切点分别是点A、B，则当线段AB长度最大时，圆的半径r的值为．【答案】2【分析】先设出点B坐标，写出直线l的方程，再利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于r ，布列约束等式，最后，利用勾股定理列出AB 关于r 的目标函数，求出最值及取得最值时r 的值．【解析】设点B 坐标为(2cos ,sin )B αα（R α∈）则过点B 的椭圆的切线，即直线l 的方程为：2cos sin 14xy αα+=，即cos 2sin 20x y αα+-=又因为直线l 与圆222x y r +=r =，且OA AB⊥在Rt OAB 中，222222244cos sin cos 4sin AB OB OA αααα=-=+-+2245[(13sin )]13sin αα=-+++而224(13sin )413sin αα++≥=+，当且仅当sin α=时，“=”成立，此时r ==AB 的最大值为1 所以当线段AB 长度最大时，圆的半径r 的．【巩固训练】1.过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为（） A ．B ．C ．D ．2. 已知圆22:1C x y +=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（） A ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,1--C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭3.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ， AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为．4.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ _ __.5. 已知P 为椭圆22:143x y C +=上的一个动点，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原(3,1)22(1)1x y -+=A B AB 230x y +-=230x y --=430x y --=430x y +-=点，O 到椭圆C 在P 点处的切线为d ，若12247PF PF ⋅=，则d = ．6. 已知点P 在直线4x y +=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点(3,2)M 到直线AB 距离的最大值为（） ABC ．2D7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(2)4x y -+=，点A 是直线20x y -+=的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4,0)，B (0,4)，从直线AB 上一点圆P 向圆C ：224x y +=引两条切线PC 、PD ，切点分别是C 、D ，设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为．【答案或提示】1.【答案】A【解析】将(3,1)直接“一抄一代”得(31)(1)1x y --+=，即230x y +-=，选A. 2.【答案】A【解析】设P ()00,2x x --则直线AB 的方程是()0021x x x y -+=，即()()0210x x y y --+=令0210x y y -=⎧⎨+=⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以直线AB 过定点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ . 3.【答案】[3【提示】设A ()0,0x则直线PQ 的方程是()0332x x y --=，即0370x x y -+= 所以直线PQ 过定点70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.则PQ 长的最小值是过70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭且平行于x 轴的弦，易得此时PQ ，直径是其上界.4.【答案】x 25＋y 24＝1【提示】AB 的方程是2x ＋y －2＝0，令x =0，y ＝2；令y =0，x ＝1.故c ＝2，b ＝1.5.【提示】P 1x y +=. 6.【答案】D【解析】设(,4)P a a -，则直线AB 的方程是(4)40ax a y +--=，即()440a x y y -+-=，当x y =且440y -=，即1x =，1y =时该方程恒成立，所以直线AB 过定点N (1，1)，点M 到直线AB 距离的最大值即为点M ，N 之间的距离，||MN =所以点M (3，2)到直线AB 故选:D7.【答案】)⎡⎣【解析】设点的坐标为00(,2)A x x + 则PQ 的方程为00(2)(2)(2)4x x x y --++=，分参得0(2)(22)0x y x x y +-+-+=所以20220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解之得11x y =⎧⎨=⎩，直线PQ 恒过点（1,1）易求得过点（1,1）最短的弦长为4（取不得）故线段PQ 长的取值范围为)⎡⎣. 说明：引圆外一点A 到圆心O 的距离为参数，建立PQ 与AO 的目标函数，再利用基本不等式解决也可以.8.【答案】【解析】设点的坐标为00(,4)P x x + 则CD 的方程为00(4)4x x x y ++=，分参得0()(44)0x y x y ++-=所以0440x y y +=⎧⎨-=⎩，解之得11x y =-⎧⎨=⎩，直线CD 恒过点N （－1,1）又因为OM⊥CD，所以点M的轨迹是以ON为直径的圆（点O除外），故其方程是22111222 x y⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2 AM==。

导数专题：导数与曲线切线问题的6种常见考法(解析版)

导数专题：导数与曲线切线问题的6种常见考法一、求曲线“在”与“过”某点的切线1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。

2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）第一步：设切点为()()00,Q x f x ；第二步：求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '；第三步：利用Q 在曲线上和0()PQ f x k '=，解出0x 及0()f x '；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．二、公切线问题研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。

三、切线条数问题求曲线的切线条数一般是设出切点()(),t f t ，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。

四、已知切线求参数问题此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。

常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的根的情况或函数性质去求解。

题型一“在”点求切线问题【例1】函数2()ln 2f x x x x =++在点()()1,1f 处的切线方程为（）A．33y x =-B．3y x =C．31y x =+D．33y x =+【答案】B【解析】因为2()ln 2f x x x x =++，所以()1ln 2f x x x=++'()13f '∴=，又()13f =，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为33(1)y x -=-，即3y x =.故选：B.【变式1-1】已知函数()f x 满足()()3211f x x f x =-'⋅+.（1）求()1f '的值；（2）求()f x 的图象在2x =处的切线方程.【答案】（1）()11f '=；（2）8110x y --=【解析】（1）因为()()3211f x x f x =-'⋅+，则()()2321f x x f x ''=-，所以，()()1321f f ''=-，解得()11f '=.（2）由（1）可知()321f x x x =-+，则()232f x x x '=-，则()25f =，()28f '=，因此，()f x 的图象在2x =处的切线方程为()582y x -=-，即8110x y --=.【变式1-2】若曲线2y x ax b =++在点(0,)P b 处的切线方程为10x y -+=，则a ，b 的值分别为（）A．1，1B．1-，1C．1，1-D．1-，1-【答案】A【解析】因为2y x a '=+，所以0|x y a='=曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线10x y -+=的斜率为1，1a ∴=，又切点(0,)b 在切线10x y -+=上，010b ∴-+=1b ∴=．故选：A．【变式1-3】已知函数()2ln f x a x x =+的图象在1x =处的切线方程为30x y b -+=，则a b +=（）A．2-B．1-C．0D．1【答案】B【解析】因为()2ln f x a x x =+，所以()2af x x x'=+.又()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y b -+=，所以()123f a '=+=，解得1a =，则()2ln f x x x =+，所以()11f =，代入切线方程得310b -+=，解得2b =-，故1a b +=-.故选：B.题型二“过”点求切线问题【例2】（多选）已知曲线()()3211f x x =++，则曲线过点()0,3P 的切线方程为（）A．630x y +-=B．630x y -+=C．5260x y -+=D．3260x y -+=【答案】BD【解析】设切点坐标为()()300,211x x ++，()()261f x x '=+，∴切线斜率为()()20061k f x x '==+切线方程为()()()2003012161y x x x x ⎤=+-++⎦-⎡⎣曲线过点()0,3P ，代入得()()()20030362111x x x ⎡⎤++⎣=--⎦+可化简为()()032001113x x x +-+=，即3020023x x -=-，解得00x =或032x =-则曲线过点()0,3P 的切线方程为630x y -+=或3260x y -+=故选：BD【变式2-1】过原点的直线,m n 与分别与曲线()e xf x =，()lng x x =相切，则直线,m n 斜率的乘积为（）A．-1B．1C．eD．1e【答案】B【解析】设()(),f x g x 的切点分别为()()1122,e ,,ln xx x x ，由题意可得()e xf x '=，()1g x x'=，所以()f x 在1x x =处的切线为()111e e x xy x x -=-，()g x 在2x x =处的切线为()2221ln y x x x x -=-，又因为两条切线过原点，所以()()1112220e e 010ln 0x x x x x x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，解得121e x x =⎧⎨=⎩，所以直线,m n 斜率的乘积为()()1121e 1ef xg x ''=⨯=，故选：B【变式2-2】设点P 是曲线e e e ex xx x y ---=+上任意一点，直线l 过点P 与曲线相切，则直线l 的倾斜角的取值范围为______.【答案】π0,4⎛⎤⎥⎦⎝【解析】设直线l 的倾斜角为α2e e e e 4(e e e e e e x x x x x x x x x x y y -------''=∴=+++=（）0e e 1x x y -≥∴≤<'+2][]tan (0,1,0,ααπ∴∈∈π0,4α⎛⎤∴∈ ⎥⎦⎝【变式2-3】过点()1,0作曲线e x y =的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.【答案】2e 1-【解析】0x >时，e x y =，设切点()11,ex x ，则11e ,e x xy k=='，切线()1111:e e x xl y x x -=-过()1,0，()111e e 1x x x ∴-=-，2112,e x k ∴==，0x ≤时，e x y -=，切点()22,e xx -，22e ,e x x y k --=-=-'，切线()2222:ee x x l y x x ---=--过()1,0，()222e e 1x x x --∴-=--，220,1x k ∴==-，故212e 1k k +=-.故答案为：2e 1-.题型三切线的条数问题【例3】若过点()0,(0)b b >只可以作曲线e xxy =的一条切线，则b 的取值范围是__________.【答案】24,e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭【解析】函数e x x y =的定义域为R ，则1e x x y -'=，设切点坐标为000,e x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率为001e x x k -=，故切线方程为：()000001e e x x x x y x x --=-，又切线过点()0,(0)b b >，则()000200001e e e x x x x x x b x b --=-⇒=，设()2ex x h x =，则()()20e xx x h x -'==得，0x =或2x =，则当(),0x ∈-∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当()0,2x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当()2,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，所以()()2400,2e h h ==，又x →-∞时，()h x →+∞，x →+∞时，()0h x →，所以02ex x b =有且只有一个根，且0b >，则24e b >，故b 的取值范围是24,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：24,e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【变式3-1】若曲线(2)e x y x a =-有两条过坐标原点的切线，则实a 的取值范围为______.【答案】(,0)(8,)-∞⋃+∞【解析】设切点坐标为：00(,)x y ，(22)e x y x a '=+-，所以切线斜率为00(22)e x k x a =+-，即切线方程为0000(2)e (22)e ()x xy x a x a x x --=+--，又切线过坐标原点，所以00000(2)e (22)e (0)x x x a x a x --=+--，整理得20020x ax a -+=，又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，所以280a a ∆=->，解得(,0)(8,).a ∈-∞⋃+∞故答案为：(,0)(8,).-∞⋃+∞【变式3-2】已知过点(),0A a 可以作曲线()2e xy x =-的两条切线，则实数a 的取值范围是（）A．()2,+∞B．()(),e 2,∞∞--⋃+C．()(),22,∞∞--⋃+D．()(),12,-∞-+∞【答案】C【解析】设切点是()00,P x y ，0R x ∈，即()0002e x y x =-，而()1exy x '=-故切线斜率()001e x k x =-，切线方程是()()()00002e 1e x xy x x x x --=--，又因为切线经过点(),0A a ，故()()()00002e 1e x xx x a x --=--，显然01x ≠，则()0000021111x a x x x x -=+=-+--，在01x ≠上有两个交点，令01x x =-，设()1,0h x x x x =+≠，则()222111x h x x x-=-='，令()0h x '=得11x =-，21x =，所以当(),1x ∈-∞-时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，又()12h -=-，()12h =，且x →-∞时，()h x →-∞，0x -→时，()h x →-∞，0x +→时，()h x →+∞，x →+∞时，()h x →+∞，所以()a h x =有两个交点，则2a >或2a <-，故实数a 的取值范围是()(),22,∞∞--⋃+.故选：C.【变式3-3】已知函数()326f x x x =-，若过点()1,P t 可以作出三条直线与曲线()f x 相切，则t 的取值范围是（）A．()5,4--B．()4,3--C．()3,2--D．()2,1--【答案】A【解析】设过点()1,P t 的切线与()f x 相切于点()32,6m m m -，()2312f x x x '=-，()2312f m m m '∴=-，则切线方程为：()()()3226312y m m m m x m --=--，又切线过点()1,P t ，()()()23232312162912t m m m m m m m m ∴=--+-=-+-，令()322912g m m m m =-+-，则问题等价于y t =与()g m 有三个不同的交点，()()()261812612g m m m m m '=-+-=---，∴当()(),12,m ∈-∞+∞时，()0g m '<；当()1,2m ∈时，()0g m '>；()g m ∴在()(),1,2,-∞+∞上单调递减，在()1,2上单调递增，又()15g =-，()24g =-，由此可得()g m 图象如下图所示，由图象可知：当()5,4t ∈--时，y t =与()g m 有三个不同的交点，即当()5,4t ∈--时，过点()1,P t 可以作出三条直线与曲线()f x 相切.故选：A.题型四两曲线的公切线问题【例4】若直线1:2l y kx b k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与曲线1()e x f x -=和()ln(1)g x x =+均相切，则直线l 的方程为___.【答案】y x=【解析】设()f x ，()g x 上的切点分别为()111,ex A x -，()()22,ln 1B x x+，由()1e xf x -'=，()11g x x '=+，可得1121e 1x k x -==+，故()f x 在A 处的切线方程为()()1111111111ee e e 1x x x x y x x y x x -----=-⇒=+-，()g x 在B 处的切线方程为()()()222222211ln 1ln 1111x y x x x y x x x x x -+=-⇒=++-+++，由已知()()()111122121221e 1ln 11e 1ln 11x x x x x x x x x --⎧=⇒-=+⎪+⎪⎨⎪-=+-⎪+⎩,所以()()()22222222221ln 1ln 1ln 11111x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+-⇒=+ ⎪++++⎝⎭，故20x =或()2ln 11x +=，而()222111ln 111e 1e 2x x x +=⇒+=⇒=<+，不合题意舍去，故20x =，此时直线l 的方程为y x =.故答案为：y x =.【变式4-1】已知函数()e xf x =与函数()lng x x b =+存在一条过原点的公共切线，则b =________.【答案】2【解析】设该公切线过函数()e xf x =、函数()lng x x b =+的切点分别为()11,ex x ，()22,ln b x x +.因为()e xf x '=，所以该公切线的方程为()1111111e e e e ex x x x x y x x x x =-+=+-同理可得，该公切线的方程也可以表示为()2222211ln ln 1y x x x b x x b x x =-++=⋅++-因为该公切线过原点，所以()112121e e 10ln 10x x xx x b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪+-=⎪⎪⎩，解得1211,e ,2x x b ===.故答案为：2【变式4-2】函数()bf x ax x =+的图象在点(1,3)处的切线也是抛物线213x y =的切线，则a b -=（）A．1B．3C．6D．2【答案】C【解析】()bf x ax x =+，则2()b f x a x '=-，则在点(1,3)处的切线的斜率为12(1)1bk f a a b '==-=-，213x y =，则6y x '=，则在点(1,3)处的切线的斜率为26k =，函数()bf x ax x =+的图象在点(1,3)处的切线也是抛物线213x y =的切线，则12k k =，即6a b -=，故选：C.【变式4-3】若曲线e x y a =与曲线y ==a __________.【解析】令()e x f x a =，()g x ()e xf x a '=，()g x '=设()f x 与()g x 的公共点为()00,x y ，()f x 与()g x 在公动点处有相同的切线，()()()()0000f x g x f x g x '⎧=∴'⎪⎨=⎪⎩，即00e e x x a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩=012x =，12e a ∴=a ==题型五切线平行、垂直问题【例5】若曲线ln x ay x+=在点()1,a 处的切线与直线:250l x y -+=垂直，则实数=a （）．A．12B．1C．32D．2【答案】C 【解析】因为21ln x ay x --'=，所以曲线ln x ay x+=在点()1,a 处的切线的斜率为()111k f a ='=-，直线l 的斜率22k =，由切线与直线l 垂直知121k k =-，即()211a -=-，解得32a =．故选：C．【变式5-1】已知曲线y =y x =--24垂直的曲线的切线方程为_________．【答案】2250x y -+=【解析】设切点为(),m n ，因为y =y '=，因为曲线的切线与直线y x =--24垂直，()21-=-，解得25m =，又点(),m n在曲线y =25n ==，所以切点坐标为()25,25，所以曲线y =y x =--24垂直的切线方程为：()125252y x -=-，即2250x y -+=，故答案为：2250x y -+=.【变式5-2】若曲线s n e i =+x y x a 存在两条互相垂直的切线，则a 的取值范围是________．【答案】()(),00,∞-+∞U 【解析】由题知，令()e sin x f x a x =+，则()e cos xf x a x '=+．若函数曲线存在两条互相垂直的切线则可得1x ∃，2x ，()()121f x f x ''⋅=-．当0a =时，()21e 0,xx x f x '=>⇒∀，()()120f x f x ''>，与题目矛盾；当0a ≠时，由()e 0,xy =∈+∞，cos y a x a=≥-可得()f x '的值域是(),a -+∞故12,x x ∃，使得()()1,0f x a '∈-，()210,f x a ⎛⎫'∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()()121f x f x ''⋅=-．故答案为：()(),00,∞-+∞U ．【变式5-3】曲线33y x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则点P 的坐标为______．【答案】()1,3或()1,3-【解析】由已知得231y x '=-，令2y '=，则2312x -=，解得1x =或=1x -，所以()1,3P 或()1,3P -．经检验，点()1,3P 与()1,3P -均符合题意．故答案为：()1,3或()1,3-【变式5-4】若曲线()21ln 2f x x x ax =++存在与直线50x y -=平行的切线，则实数a 的最大值为______.【答案】3【解析】()()10f x x a x x=++>，因为曲线()21ln 2f x x x ax =++存在与直线50x y -=平行的切线，所以15x a x ++=在()0,∞+有解.即15a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,∞+有解.设()15g x x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞，则()1553g x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当1x x=，即1x =时等号成立，即()3g x ≤.所以3a ≤，即a 的最大值为3.故答案为：3题型六与切线有关的最值问题【例6】若动点P 在直线1y x =+上，动点Q 在曲线22x y =-上，则|PQ |的最小值为（）A．14B．4C．22D．18【答案】B【解析】设与直线1y x =+平行的直线l 的方程为y x m =+，∴当直线l 与曲线22x y =-相切，且点Q 为切点时，P ，Q 两点间的距离最小，设切点()00,Q x y ，22x y =-，所以212y x =-，y x ∴'=-，0011x x ∴-=⇒=-，012y ∴=-，∴点11,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴直线l 的方程为12y x =+，,P Q ∴两点间距离的最小值为平行线12y x =+和1y x =+间的距离，,P Q ∴24=.故选：B .【变式6-1】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线24x y =上的一个动点，则点P 到直线40x y ++=的距离的最小值是_____.【答案】2【解析】设直线0x y b ++=与214y x =相切，则切线的斜率为1-且12y x '=，令112y x '==-，则2x =-，即切点的横坐标为2-，将2x =-，代入214y x =，可得1y =，即切点坐标为()2,1-，所以点P 到直线40x y ++=的距离的最小值即为()2,1-到直线的距离，即2d =，故答案为:【变式6-2】已知P 为直线210x y +-=上的一个动点，Q 为曲线423242210x x y x x --++=上的一个动点，则线段PQ 长度的最小值为______.【解析】直线210x y +-=可化为：1122y x =-+.对于曲线423242210x x y x x --++=.当0x =时，代入10=不成立，所以0x ≠.所以423242210x x y x x --++=可化为22112122y x x x =-++，导数为31142y x x -'=-所以线段PQ 的最小值即为与1122y x =-+平行的直线与423242210x x y x x --++=相切时，两平行线间的距离.设切点(),Q m n .由题意可得：322111422112122m m n m m m ⎧--=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，即32214112122m m n m m m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得：234m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或234m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩.当Q ⎝⎭时，PQ当,324Q ⎛-+ ⎝⎭时，PQ =综上所述：线段PQ.【变式6-3】点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，且点P 到直线y x a =+的距离的a 的值是__________.【答案】2-【解析】由题设12y x x '=-且0x >，令0'>y ，即22x >；令0'<y ，即202x <<，所以函数2ln y x x =-在0,2⎛⎝⎭上单调递减，在,2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，且12|ln 022x y ->，如图所示，当P 为平行于y x a =+并与曲线2ln y x x =-相切直线的切点时，距离最近.令1y '=，可得12x =-（舍）或1x =，所以1|1x y ==，则曲线上切线斜率为1的切点为(1,1)P ，=2a =（舍去）或2-，故答案为：2-.。

秒杀题型12 圆锥曲线中的切线(原卷版)

说明：圆锥曲线中的切线问题是高考压轴题的一大类型，共分下面四种题型，在高考中主要以考查重要结论为主，且重要结论的证明步骤固定，所以要求考生熟记下面的步骤，在高考中直接套用即可。

【秒杀题型】：玩转压轴题之三大曲线中的切线『秒杀策略』：当抛物线开口向上或开口向下时（此时抛物线可看作函数），主要利用导数解决，当抛物线开口向左或开口向右时利用0=∆解决。

椭圆利用0=∆解决。

【题型一】：过曲线上一点作曲线的切线。

『秒杀策略』：秒杀公式：熟记：①过椭圆12222=+by a x 上一点()00,y x P 作切线，则切线方程为：12020=+byy a x x 。

证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过()00,y x P 的切线方程为：()00x x k y y -=-，与椭圆方程联立，利用0=∆。

熟记：②过抛物线px y 22=上一点()00,y x P 作切线，则切线方程为：)(00x x p y y +=。

证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过()00,y x P 的切线方程为：()00x x k y y -=-，与抛物线方程联立，利用0=∆。

若为开口向上或开口向下的抛物线，求导，代点，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程。

〖母题〗抛物线2y x =上到直线24x y -=的距离最小的点的坐标是 ( )A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.()1,1 C.39,24⎛⎫⎪⎝⎭D.()2,4 1.(高考题)抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 ( ) A.43 B.75 C.85D.3 【题型二】：过曲线外一点作曲线的切线。

『秒杀策略』：秒杀公式：熟记：①过椭圆12222=+by a x 外一点()00,y x P 作椭圆的两条切线，则两切点连线方程为：12020=+byy a x x 。

证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设两切点为()11,y x A 、()22,y x B ，则切线PA ：12121=+byy a x x ；同理，切线PB ：12222=+b yy a x x ；点P 在两切线上，则有：1201201=+b y y a x x ①，1202202=+by y a x x ②，构造直线l ：12020=+b y y a x x ，则由①②可知点A 、B 均在直线l 上，即直线AB 的方程为12020=+byy a x x 。

过圆锥曲线外一点作曲线切线的一种方法

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图２
图１
２若Ｎ为椭圆外一点恰在长短轴所在的直线
时椭圆切线的作法：
数学教育研究
・７３・
当然我们也可以得到过双曲线外一点如何做双曲线的切线，过双曲线外一点做双曲线的切线有时一但条，时二条，时没有．以在此笔者只对双曲线外有有所

3_切线问题典型剖析

切线问题典型剖析【思维突破】1.按照过一点求切线方程的一般步骤，设切点、求斜率得切线方程、点代入，将切线的条数问题转化为方程解的个数问题；是否存在切线转化为方程有无解的问题.2.有时也可考虑相切为“临界状态”，利用参数的几何意义确定参数的取值范围.【典例分析】例1（2022·全国新高考Ⅰ卷·15）若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是___________．【答案】(,4)(0,)-∞-⋃+∞【解析】易知曲线不过原点，故0a ≠设切点为()000,()x x x a e +，则切线的斜率为000()(1)x f x x a e '=++所以切线方程为00000()(1))(x x y x a e x a x e x -++=-+又因为切线过原点，所以00000()(1())x x x a e x a e x +++--=即2000x ax a -=+又因为切线有两条，故上方程有两不等实根所以204a a ∆=+>，解得4a <-0a >所以a 的取值范围是(,4)(0,)-∞-⋃+∞．例2(2022·江苏南京一中学情调研模拟检测·8)若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A.1ln ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()1,-+∞C.()1,+∞ D.()2,ln +∞【答案】B【分析】由于2()g x x x a =++中要求0x <，故考虑当=0x 时的公切线所对应的实数a 的值为临界值，当a 增大时，抛物线沿直线1=2x -上移，公切线与2()g x x x a =++相切的切点左移，横坐标减小，故所求大于此时a 的临界值.【解析】先求当=0x 时，曲线2()g x x x a =++的切线方程∵()21g x x '=+，(0)1g '=∴曲线2()g x x x a =++的切线在=0x 处的切线方程为y a x -=，即y x a=+再求当曲线()ln f x x =与直线y x a =+相切时（即直线y x a =+为公切线）a 的值设曲线()ln f x x =与直线y x a =+相切时切点为()00,ln x x 则由导数的几何意义得()0011f x x '==，解得01x =，切点为()1,0将()1,0代入y x a =+得1a =-∵当a 增大时，抛物线2()g x x x a =++沿直线1=2x -上移，公切线与2()g x x x a =++相切的切点左移，横坐标减小，即切点的横坐标小于0∴故所求a 大于此时a 的值，即1a >-.例3（2022·全国甲卷·文20改编）已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线,则实数a 的取值范围是．【答案】[)1,-+∞【分析一】由于2()g x x a =+中a 的几何意义为截距，故只需求出3()f x x x =-、2()g x x a =+相切时a 的值，将2()g x x a =+图象往上平移，即a 增大，即为所求.【分析二】设出()g x 上的切点坐标，分别由()f x 和()g x 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a ，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a 的取值范围.【解析一】设公切点为()3000x x x -，则32000200+312x x x a x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解之得011a x =-⎧⎨=⎩或052713a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（不符合题意，舍去）故a 的取值范围为[)1,-+∞.【解析二】2()31x f x '=-，则()y f x =在点()11(),x f x 处的切线方程为()()32111131()y x x x x x --=--，整理得()2311312y x x x =--，设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ，()2g x x '=，则22()2g x x '=，则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-，整理得2222y x x x a =-+，则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩，整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭，令432931()2424h x x x x =--+，则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-，令()0h x '>，解得103x -<<或1x >，令()0h x '<，解得13x <-或01x <<，则x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：x1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭13-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭0()0,11()1,+∞()h x '-+-+()h x527141-则()h x 的值域为[)1,-+∞，故a 的取值范围为[)1,-+∞.例4（2022·江苏南通期末·16）已知函数3()2f x x ax =-，若a ∈R 时，直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切，且满足条件的k 的值有且只有3个，则a 的取值范围为_________．【答案】(0,8)【分析】利用过点(2,0)的曲线的切线有3条，构造函数，借助函数有3个零点求解作答.【解析】由3()2f x x ax =-求导得：2()6f x x a '=-，设直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切的切点为3(,2)t t at -，于是得2()6k f t t a '==-，且32(2)t at k t -=-，则32k t =，显然函数32t 在R 上单调递增，因直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切的k 的值有且只有3个，则有直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切的切点横坐标t 值有且只有3个，即方程2362a t t =-有3个不等实根，令32()26g t t t a =-+，求导得：2()6126(2)g t t t t t '=-=-，当0t <或2t >时，()0g t '>，当02t <<时，()0g t '<，即函数()g t 在(,0)-∞，(2,)+∞上递增，在(0,2)上递减，当0=t 时，()g t 取得极大值(0)=g a ，当2t =时，()g t 取得极小值(2)8g a =-，方程2362a t t =-有3个不等实根，当且仅当函数()g t 有3个不同的零点，因此080a a >⎧⎨-<⎩，解得08a <<，所以a 的取值范围为(0,8).故答案为(0,8).例5若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()21(0)x g x a e a =⋅+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为A ．220,e ⎛⎤ ⎝⎦B ．240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．23,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】本道题结合存在公共切线，建立切线方程，结合待定系数法，建立等式，构造新函数，将切线问题转化为交点问题，计算a 的范围，即可．【解析】设函数()f x 的切点为()200,1x x +,该切线斜率02k x =,所以切线方程为20021y x x x =-+,()g x 的切点为()11,21x x ae +,所以切线方程为111`12221x x x y ae x ae x ae =-++,由于该两切线方程为同一方程，利用待定系数法，可得111200122,1221x x x x ae x ae x ae =-+=-+,解得1001,22x x ae x x ==-得到新方程为1122x x ae -=,构造函数()()()2,1x h x e t x x a ==-解得()21x e x a=-,表示()h x 与()t x 存在着共同的交点,而()t x 过定点()1,0,得到()h x 过()1,0的切线方程,设切点为()22,x x e ,则()21x y e x =-,该切点在该直线上,代入,得到()2221x xe e x =-,解得22x =,所以直线斜率为2k e =,要使得()h x 与()t x 存在着交点,则22k e a =≤,结合0a >,所以a 的取值范围为220,e ⎛⎤⎥⎝⎦，故选A ．例6(2021·全国Ⅰ卷)若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则()A ．e b a<B ．e b a>C ．0e ba <<D ．0e ab <<【答案】D【分析】结合已知条件，利用导数的几何意义将问题转化成函数的交点问题，然后通过构造新函数，并求出新函数的单调区间以及最值，利用数形结合的方法即可求解.【解析】设切点()00,x y ，00y >，因为'e x y =，即00'|e x x x y ==，则切线方程为0e ()x y b x a -=-，由()00000e exx y b x a y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得()00e 1x x a b -+=，则由题意知，关于0x 的方程()00e 1x x a b -+=有两个不同的解．设()()e 1xf x x a =-+，则()e (1)e e ()x x x f x x a x a '=-+-=--，由()0f x '=得x a =，所以当x a <时，()0f x '>，()f x 在(,)a -∞上单调递增；当x a >时，()0f x '<，()f x 在()a +∞上单调递减，所以()f x 的最大值为()f a =()e 1e 0a aa a -+=>，当x a <时，0a x ->，所以()0f x >，当x →-∞时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →-∞，故()f x的图像如下图所示：故0e a b <<．故选:D ．【巩固训练】1.过定点()1,P e 作曲线()0xy ae a =>的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是______．2.若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A ．1(ln,)2e+∞B ．(1,)-+∞C ．(1,)+∞D ．(ln 2,)-+∞3.若存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值是（）AB ．2eC．D ．24.若过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:xC y xe =相切，则m 的取值范围是（）A ．25,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．25,e e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5.已知函数2()f x ax =，()g x lnx =，若曲线()y f x =与()y g x =有两条公切线，则实数a 的取值范围是．6.若曲线21C y x =：与曲线2(0)xe C y a a=>：存在公共切线，则实数a 的取值范围为．7.已知函数32()31f x x x =+-，若过点(1,)P m 可作曲线()y f x =的三条切线，则实数m 的取值范围是．8.已知函数3()f x x ax =+，若过点(1,1)P 只有一条直线与曲线()y f x =相切，则实数a 的取值范围是.【答案或提示】1.【答案】()1,+∞【分析】设切点为00(,)x x ae ，利用导数几何意义求得切线方程为00(1)x y ae x x =-+，由题意知00(2)x e a e x =-在02x ≠上有两个不同解，构造()(2)x eg x e x =-且2x ≠，利用导数研究单调性及值域，进而确定a 的范围.【解析】由x y ae '=，若切点为00(,)x x ae ，则00x y k ae '==>，∴切线方程为00(1)xy ae x x =-+，又()1,P e 在切线上，∴00(2)xae x e -=，即00(2)x ea e x =-在02x ≠上有两个不同解，令()(2)x e g x e x =-，即原问题转化为()g x 与y a =有两个交点，而2(1)()(2)x e x g x e x -'=-，（1）当2x >时，()0g x '>，()g x 递增，且lim ()0x g x -→+∞→，（2）当21x >>时，()0g x '>，()g x 递增；当1x <时，()0g x '<，()g x 递减；∴()()11g x g ≥=，又lim ()x g x →-∞→+∞，12x <<时()0>g x 且2lim ()x g x -→→+∞，∴要使00(2)x ea e x =-在02x ≠上有两个不同解，即()1,a ∈+∞.故答案为：()1,+∞点评：作为填空题，本着“小题小做”的策略，只需先求出点()1,P e 在曲线()0xy ae a =>上时a 的值为1a =，此时，过点()1,P e 曲线的切线洽有一条，从形上看，当a 增大时，切线就有两条，故答案为1a >.2.【答案】A【解析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，，则切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ；设公切线与函数2()2g x x x a =++切于点22222(2)(0)B x x x a x ，++<，则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-，所以有2121212(1)ln 1x x x x a⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩，∵210x x <<，∴1102x <<．又2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11t x =，∴2102ln 4t a t t t ，<<=--．设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3()1022t h t t t t--=--'=<，∴()h t 在(0，2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln 2h t h e >=--=，∴1ln2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，故选A ．3.【答案】C【解析】存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立，要求a 的最大值，临界条件即为直线y ax b =+恰为函数21()=2ln ,()2f x e xg x x e =+的公切线.设()=2ln f x e x 的切点为111(,)(0)x y x >，122()=,e e f x a x x '∴=.设21()2g x x e =+的切点为222(,)(0)x y x >，2()g x x a x '=∴=，,所以21212=,2ea x x x e x =∴=.由题得21221212112ln 22,2ln 30e x x ee a x x x x x --==∴+-=-.设111212()2ln 3(0)eh x x x x =+->，所以211331112424()x e e h x x x x -'=-=，所以函数11212()2ln 3eh x x x =+-在上单调递减，在)+∞单调递增.又22ln 3=1+23=0eh e=--，当1x →+∞时，11212()2ln 30eh x x x =+->，所以方程另外一个零点一定大于.，所以max a==.故选：C.4.【答案】A【解析】设切点为()00,M x y ，∵e xy x =，∴()1e xy x '=+，∴M 处的切线斜率()001e xk x =+，则过点P 的切线方程为()()00001e e x xy x x x x =+-+，代入点P 的坐标，化简得()02001e xm x x =-++，∵过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:e xC y x =相切，∴方程()02001e xm x x =-++有三个不等实根.令()()21e xf x x x =-++，求导得到()()22e xf x x x '=--+，可知()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,1-上单调递增，在()1,+¥上单调递减，如图所示，故()20f m -<<，即250e m -<<.故选：A.5.【答案】1(2e，)+∞【解析一】根据二次函数和代数函数的性质得：当()()f x g x >时，曲线()y f x =与()y g x =有两条公切线，即2ax lnx >在(0,)+∞上恒成立，即2lnxa x >在(0,)+∞上恒成立，设2()lnx h x x =，312()lnx h x x -'=，令312()0lnxh x x -'==，x =即12max h h e ==，因此，12a e>，【解析二】取两个函数相切的临界条件：2000012ax lnx ax x⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得0x =12a e =，由此可知，若两条曲线具有两条公切线时，12a e>，故a 的取值范围是1(2e，)+∞．6.【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【提示】取对数转化为曲线2ln y x =与直线ln y x a =-有交点，临界状态是相切.7.【答案】()5,3-【解答】设切点为0(x ，32031)x x +-切线斜率为：2000()36k f x x x '==+∴切线方程为：3220000(31)(36)()y x x x x x x -+-=+-①又切线过点(1,)P m ，带入①化简为：300261m x x =-+-令y m =与3000()261h x x x =-+-(1)5h -=-，h （1）3=，(0)1h =-；200()66h x x '=-+，令01()01h x x '=⇒=-，21x =；0()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞单调递减，(1,1)-上单调递增；过点(1,)P m 可作曲线()y f x =的三条切线，即存在三个0x ，也即是y m =与()h x 有三个交点．故如图所知：53m -<<．118.【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】设过点(1,1)P 的直线与曲线()y f x =相切于点0(x ，0)y ，则3000y x ax =+，且切线斜率为200()3f x x a '=+，所以切线方程为2000(3)()y y x a x x -=+-．因此3200001()(3)(1)x ax x a x -+=+-，整理得32002310x x a -+-=．设32()231g x x x a =-+-，则“过点(1,1)P 只有一条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 只有一个零点”．2()666(1)g x x x x x '=-=-．当x 变化时，()g x 与()g x '的变化情况如下：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '+0-0+()f x 1a - a - 所以，(0)1g a =-是()g x 的极大值，g （1）a =-是()g x 的极小值．当()g x 只有一个零点时，有(0)10g a =-<或g （1）0a =->，解得1a >或0a <．因此当过点(1,1)P 只有一条直线与曲线()y f x =相切时，a 的取值范围是1a >或0a <．。

过任一定点的三次函数切线的条数问题

过任一定点的三次函数切线的条数问题山石过任一定点的三次函数切线的条数问题在2007年全国（II ）卷高考题中出现。

题目：已知函数3)(x x f =-x （I ）求曲线)(x f y =在点M ))(,(t f t 处的切线方程；（II ）设a ＞0，如果过点(b a ,)可作曲线)(x f y =的三条切线，证明：-a <b <)(a f题中提到过点作曲线)(x f y =的三条切线问题，那么点在什么区域内作曲线y 3x =-x 的切线能有三条呢? 点在什么区域内切线能有一条，最多能有几条切线呢？下面我们研究过任一点N(b a ,)作曲线x x x f -=3)(切线的条数问题。

解:设过点N(b a ,)作曲线3x y =-x 的切线为l ,切点为M ))(,(t f t 则切线l 的方程为b y -=(32t -1)(a x -) ∵l 过点M ))(,(t f t ∴有))(13(23a t t b t t --=-- 整理得23t -3a b a t ++2=0 ……① 方程①有多少个解,切线l 就有多少个.下面解决方程①解的个数问题。

设)(t g = 23t -3a b a t ++2 )('t g =ta t 662- 令)('t g =0 得1t =0 2t =a 1．当a ＞0，易知：当t =0时，)(t g 有极大值b a +；当a t =)(t g 有极小值b a a ++-3(1)当b a +=0或b a a ++-3=0时，方程①有两根,即当点N(b a ,)在曲线x y -= (x >0)或x x y -=3 (x >0)上时,过点N 作曲线3x y =-x 的切线只有两条.(如图1点N (2)当b a +<0或b a a ++-3>0时，方程①有一根, 即当点N(b a ,)满足y <x - (x >0)或y >x x -3 (x >0)时, 过点N 作曲线3x y =-x (如图2点N 在阴影部分)(3)当b a +>0且b a a ++-3<0时，方程①有三根,xx -即当点N(b a ,)满足y >-x (x >0)且y <3x -x (x >0)时, 过点N 作曲线3x y =-x 的切线有三条.(如图3点N 在阴影部分.) 2．当a <0, 即点N(b a ,)在y 轴左侧，方法同前可得, 过点N 作曲线3x y =-x 的切线条数如图4。

过双曲线上一点的切线方程

过双曲线上一点的切线方程双曲线是一种经典的数学曲线，它具有非常特殊的性质。

在数学中，我们常常需要求解过某一点的切线方程，下面将介绍如何通过求导来求解过双曲线上一点的切线方程。

1. 双曲线的定义双曲线是一种平面上的几何曲线，它的数学定义为：在平面直角坐标系上，两条互相垂直的直线（称为渐近线）所限定的两个分离开口相交的曲线。

双曲线的标准方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中，a和b是常数，且a ≠ 0，b ≠ 0。

2. 双曲线上某点的切线对于双曲线上的任意一点P，我们可以通过求导来求解其切线方程。

假设P的坐标为(x0, y0)，则双曲线方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1首先，对这个方程两边求导，得到：2x/a^2 - 2y/b^2 dy/dx = 0然后，将x、y代入上式，求解dy/dx，即可得到过点P的切线斜率k：dy/dx = x0b^2 / y0a^2最后，利用点斜式或一般式即可求得过点P的切线方程。

例如，点斜式为：y - y0 = k(x - x0)其中，k即为上面求得的切线斜率。

3. 一个例子考虑双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1上的点(3, 2)。

首先求解切线斜率：dy/dx = x0b^2 / y0a^2 = 3*9/2*2 = 20.25/4然后利用点斜式，求得过点(3, 2)的切线方程为：y - 2 = (20.25/4)(x - 3)化简后可得：4y - 8 = 20.25x - 60.75即为所求。

在数学中，双曲线是一道非常有趣的题目，不仅能够锻炼我们的求解和计算能力，更能够揭示出一些隐藏在其中的数学规律和性质。

对于学习数学的人来说，研究双曲线也是一个不错的选择。

过一点求曲线的切线方程的三种类型知识分享

过一点求曲线的切线方程的三种类型过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明.1•已知曲线y f(x)上一点P(x o,f(x o))，求曲线在该点处的切线方程.这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型•其求法为：先求出函数f(x)的导数f (x)，再将x o代入f (x) 求出f (x o)，即得切线的斜率，后写出切线方程y f(x o) = f (x o) (x x o)，并化简.例1 求曲线f(x) x3 3x2 3在点P(1,1)处的切线方程.解：由题设知点P在曲线上，J y 3x2 6x，二曲线在点P(1,1)处的切线斜率为f (1) 3，所求的切线方程为y 1 3(x 1)，即y 3x 4 •2.已知曲线y f(x) 上一点A(X1, f(xj)，求过点A的曲线的切线方程.这种类型容易出错，一般学生误认为点A一定为切点，事实上可能存在过点A而点A不是切点的切线，如下面例2,这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为P(x o, f (x o))，先求出函数f (x)的导数f (x)，再将x o代入 f (x)求出f (x o)，即得切线的斜率(用x o表示)，写出切线方程y f(x o) = f (x o) (x X o)，再将点A坐标(X1,yJ代入切线方程得y i f (X o ) = f(X o) (X i X o)，求出X o，最后将X o代入方程y f (X o) = f (X o) (X X o)求出切线方程.例2 求过曲线y X3 2X上的点(1,1)的切线方程.解：设切点为点(X o,X o32X o)，y 3X2 2，切线斜率为3x。

22 ,切线方程为y (X o32X o) (3X o22)(X x°) •又知切线过点(1, 1)，把它代入上述方程，得31 (X o 2X o) (3X o 2)(1 X o) •1解得X o 1，或X o •所求切线方程为y (1 2) (3 2)(X 1),或13 1 、y ( — 1) ( 2)(X-)，即X y 2 0 ,或5X 4y 1 0 •8 4 2上面所求出的两条直线中，直线X y 2 O是以(1, 1)为切点的切线，而切线5X 4y 1 O并不以(1, 1)为切点，实际上它是经过了点(1,1)且以(1,7)为切点的直线，如下图所示•这说明过曲线上一点2 8的切线，该点未必是切点.3.已知曲线y f(x)外一点A(X1, f(xj)，求过点A作的曲线的切线方程.这种类型的题目的解法同上面第二种类型.例3过原点0作曲线y x4 3x2 6的切线，求切线方程.(2009年全国卷I文21题改编)解：由题设知原点0不在曲线上，设切点坐标为P(X o,x。