高中数学讲义之集合专题

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高中数学全套讲义 必修1 集合 基础学生版

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目录集合 (2)模块一:集合与元素 (2)考点1:集合与元素的关系 (2)模块二:集合间关系与运算 (4)考点2:集合相等 (5)考点3:已知集合关系反求参 (6)考点4:集合关系、运算综合 (7)课后作业 (9)集合模块一:集合与元素1.集合:一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.集合一般用英文大写字母,,,A B C 表示.元素一般用英文小写字母,,,a b c 表示;不含任何元素的集合叫做空集,记作∅.2.元素与集合的关系:∈、∉;3.常见的数集的写法:45.集合的表示法⑴ 列举法.⑵ 描述法(又称特征性质描述法):形如{|()}x A p x ∈,()p x 称为集合的特征性质,x 称为集合的代表元素.A 为x 的范围,有时也写为{|()}x p x x A ∈,.⑶ 图示法,又叫韦恩(Venn )图.⑷ 区间表示法:用来表示连续的数集.考点1:集合与元素的关系例1.(1)(2016秋•凉州区校级月考)已知集合{M a =,b ,}c 中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定不是( )A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形(2)(2017秋•河南月考)若1{2-∈,21a a --,21}a +,则(a = )A .1-B .0C .1D .0 或1例2.(1)(2010•安徽模拟)已知集合2{|210A x ax x =++=,}a R ∈只有一个元素,则a 的值( )A .0B .1C .0或1D .1-(2)(2018秋•宽城区校级期末)已知集合2{|320}A x ax x =-+=至多有一个元素,则a 的取值范围是 .例3.(2016秋•钦州月考)已知集合A 的元素全为实数,且满足:若a A ∈,则11a A a+∈- (1)若2a =,求出A 中其他所有元素;(2)0是不是集合A 中的元素?请你设计一个实数a A ∈,再求出A 中所有元素.例 4.(2017秋•杨浦区校级期中)设a ,b ,c 为实数,2()()()f x x a x bx c =+++,2()(1)(1)g x ax cx bx =+++记集合{|()0S x f x ==,}x R ∈,{|()0T x g x ==,}x R ∈.若||S ,||T 分别为集合S ,T 的元素个数,则下列结论不可能的是( )A .||1S =且||0T =B .||1S =且||1T =C .||2S =且||2T =D .||2S =且||3T =模块二:集合间关系与运算1.子集:如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素,则A 是B 的子集,记作A B ⊆或B A ⊇;规定:∅是任意集合的子集.如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素,那么集合A 不包含于B ,记作A B 或B A . 2.真子集:如果集合A B ⊆,且存在x B ∈,但x A ∉,我们称集合A 是集合B 的真子集,记作A B (或B A ),读作A 真包含于B (B 真包含A ). 规定:∅是任意非空集合的真子集.3.集合相等:如果A B ⊆,且B A ⊆,我们说集合A 与集合B 相等,记作A =B .4.交集:{}|AB x x A x B =∈∈且; 5.并集:{}|AB x x A x B =∈∈或;6.补集:①全集:如果所研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,常用U 表示.②补集:A 在U 中的补集的数学表达式是{}|U A x x U x A =∈∉,且.7.A B A B A A B B ⊆⇔=⇔=. 考点2:集合相等例5.(1)(2014秋•大竹县校级月考)设a ,b R ∈,集合{0,b ,}{1b a=,a ,}a b +,则2(a b += )A .1B .0C .1-D .不确定(2)(2018•浙江模拟)已知集合{1A =,2},2{|(1)0B x x a x a =-++=,}a R ∈,若A B =,则(a = )A .1B .2C .1-D .2-(3)(2018秋•香坊区校级月考)已知{3M a =-,21a -,21}a +,{2N =-,43a -,31}a -,若M N =,则实数a 的值为 .考点3:已知集合关系反求参例6.(1)(2017秋•雁峰区校级期中)若集合2{|60}P x x x =+-=,{|10}S x mx =+=,且S P ⊆,求由m 的可能取值组成的集合.(2)(2019•湘潭三模)已知集合2{|}A x ax x ==,{0B =,1,2},若A B ⊆,则实数a 的值为( )A .1或2B .0或1C .0或2D .0或1或2(3)(2019•临沂三模)已知集合2{|2}A x x x =<+,{|}B x x a =<,若A B ⊆,则实数a 的取值范围为( )A .(-∞,1]-B .(-∞,2]C .[2,)+∞D .[1-,)+∞(4)(2018秋•磐安县校级月考)已知{|1}A x x =<,2{|40}B x x x m =--,若A B ,则实数m 的取值范围是( )。

高中必修1第一章集合复习(讲义+例题+练习)

高中必修1第一章集合复习(讲义+例题+练习)

集合章节复习1.集合元素的三个特性:确定性,互异性,无序性.2.元素与集合有且只有两种关系:∈,∉.(属于、不属于)3.集合表示方法有列举法,描述法,韦恩图法,常用数集字母代号.4.集合间的关系与集合的运算符号定义Venn图子集A⊆B x∈A⇒x∈B真子集A B A⊆B且存在x0∈B但x0∉A并集A∪B {x|x∈A或x∈B}交集A∩B {x|x∈A且x∈B}补集∁U A(A⊆U) {x|x∈U且x∉A}5.常用结论(1)∅⊆A.(2)A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=A⇔A⊇B.(3)A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=A⇔A⊆B.(4)A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)=∅;∁U(∁U A)=A.1.若A ={}x ,|x |,则x <0.( √ ) 2.任何集合至少有两个子集.( × )3.若{}x |ax 2+x +1=0有且只有一个元素,则必有Δ=12-4a =0.( × ) 4.设A ,B 为全集的子集,则A ∩B =A ⇔A ∪B =B ⇔∁U A ⊇∁U B .( √ )类型一 集合的概念及表示法例1 下列表示同一集合的是( ) A .M ={(2,1),(3,2)},N ={(1,2)} B .M ={2,1},N ={1,2}C .M ={y |y =x 2+1,x ∈R },N ={y |y =x 2+1,x ∈N }D .M ={(x ,y )|y =x 2-1,x ∈R },N ={y |y =x 2-1,x ∈R } 答案 B解析 A 选项中M ,N 两集合的元素个数不同,故不可能相同;B 选项中M ,N 均为含有1,2两个元素的集合,由集合中元素的无序性可得M =N ;C 选项中M ,N 均为数集,显然有NM ;D 选项中M 为点集,即抛物线y =x 2-1上所有点的集合,而N 为数集,即抛物线y =x 2-1的值域,故选B.反思与感悟 要解决集合的概念问题,必须先弄清集合中元素的性质,明确是数集,还是点集等.跟踪训练1 设集合A ={(x ,y )|x -y =0},B ={(x ,y )|2x -3y +4=0},则A ∩B =________. 答案 {(4,4)}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x -y =0,2x -3y +4=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =4.∴A ∩B ={(4,4)}.类型二 集合间的基本关系例2 若集合P ={x |x 2+x -6=0},S ={x |ax +1=0},且S ⊆P ,求由a 的可能取值组成的集合.解 由题意得,P ={-3,2}. 当a =0时,S =∅,满足S ⊆P ;当a ≠0时,方程ax +1=0的解为x =-1a ,为满足S ⊆P ,可使-1a =-3或-1a =2,即a =13或a =-12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,13,-12.反思与感悟 (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则,然后对于每一类情况都要给出问题的解答.(2)对于两集合A ,B ,当A ⊆B 时,不要忽略A =∅的情况. 跟踪训练2 下列说法中不正确的是________.(填序号) ①若集合A =∅,则∅⊆A ;②若集合A ={x |x 2-1=0},B ={-1,1},则A =B ; ③已知集合A ={x |1<x <2},B ={x |x <a },若A ⊆B ,则a >2. 答案 ③解析 ∅是任何集合的子集,故①正确; ∵x 2-1=0,∴x =±1,∴A ={-1,1}, ∴A =B ,故②正确;若A ⊆B ,则a ≥2,故③错误.类型三集合的交、并、补运算命题角度1用符号语言表示的集合运算例3设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.解把全集R和集合A,B在数轴上表示如下:由图知,A∪B={x|2<x<10},∴∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10},∵∁R A={x|x<3或x≥7}.∴(∁R A)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.反思与感悟求解用不等式表示的数集间的集合运算时,一般要借助于数轴求解,此法的特点是简单直观,同时要注意各个端点的画法及取到与否.跟踪训练3已知集合U={x|0≤x≤6,x∈Z},A={1,3,6},B={1,4,5},则A∩(∁U B)等于() A.{1} B.{3,6}C.{4,5} D.{1,3,4,5,6}答案 B解析∵U={0,1,2,3,4,5,6},B={1,4,5},∴∁U B={0,2,3,6},又∵A={1,3,6},∴A∩(∁U B)={3,6},故选B.命题角度2用图形语言表示的集合运算例4设全集U=R,A={x|0<x<2},B={x|x<1}.则图中阴影部分表示的集合为____________.答案{x|1≤x<2}解析图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B),因为∁U B={x|x≥1},画出数轴,如图所示,所以A∩(∁U B)={x|1≤x<2}.反思与感悟解决这一类问题一般用数形结合思想,借助于Venn图和数轴,把抽象的数学语言与直观的图形结合起来.跟踪训练4学校举办了排球赛,某班45名同学中有12名同学参赛,后来又举办了田径赛,这个班有20名同学参赛,已知两项都参赛的有6名同学,两项比赛中,这个班共有多少名同学没有参加过比赛?解设A={x|x为参加排球赛的同学},B={x|x为参加田径赛的同学},则A∩B={x|x为参加两项比赛的同学}.画出V enn图(如图),则没有参加过比赛的同学有:45-(12+20-6)=19(名).答这个班共有19名同学没有参加过比赛.类型四关于集合的新定义题例5设A为非空实数集,若对任意的x,y∈A,都有x+y∈A,x-y∈A,且xy∈A,则称A 为封闭集.①集合A={-2,-1,0,1,2}为封闭集;②集合A={n|n=2k,k∈Z}为封闭集;③若集合A1,A2为封闭集,则A1∪A2为封闭集;④若A为封闭集,则一定有0∈A.其中正确结论的序号是________.答案②④解析①集合A={-2,-1,0,1,2}中,-2-2=-4不在集合A中,所以不是封闭集;②设x,y∈A,则x=2k1,y=2k2,k1,k2∈Z,故x+y=2(k1+k2)∈A,x-y=2(k1-k2)∈A,xy=4k1k2∈A,故②正确;③反例是:集合A1={x|x=2k,k∈Z},A2={x|x=3k,k∈Z}为封闭集,但A1∪A2不是封闭集,故③不正确;④若A为封闭集,则取x=y,得x-y=0∈A.故填②④. 反思与感悟新定义题是近几年高考中集合题的热点题型,解答这类问题的关键在于阅读理解,也就是要在准确把握新信息的基础上,利用已有的知识来解决问题.跟踪训练5 设数集M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ m ≤x ≤m +34,N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪n -13≤x ≤n ,且M ,N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集,如果b -a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }(b >a )的“长度”,那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23 C.112 D.512 答案 C解析 方法一 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0,m +34≤1,⎩⎪⎨⎪⎧n -13≥0,n ≤1,解得0≤m ≤14,13≤n ≤1.取字母m 的最小值0,字母n 的最大值1,可得M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤34,N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23≤x ≤1, 所以M ∩N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 0≤x ≤34∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 23≤x ≤1=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 23≤x ≤34, 此时得集合M ∩N 的“长度”为34-23=112.方法二 集合M 的“长度”为34,集合N 的“长度”为13.由于M ,N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集, 而{x |0≤x ≤1}的“长度”为1,由此可得集合M ∩N 的“长度”的最小值是⎝⎛⎭⎫34+13-1=112.1.已知集合M ={0,1,2,3,4},N ={1,3,5},P =M ∩N ,则P 的子集共有( ) A .2个 B .4个 C .6个 D .8个答案 B2.下列关系中正确的个数为( ) ①22∈R ;②0∈N +;③{-5}⊆Z . A .0 B .1 C .2 D .3答案 C解析 ①③正确.3.已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |0<x <3},则A ∪B 等于( ) A .{x |-1<x <3} B .{x |-1<x <0} C .{x |0<x <2} D .{x |2<x <3}答案 A解析 由A ={x |-1<x <2},B ={x |0<x <3}, 得A ∪B ={x |-1<x <3}.故选A.4.设全集I ={a ,b ,c ,d ,e },集合M ={a ,b ,c },N ={b ,d ,e },那么(∁I M )∩(∁I N )等于( ) A .∅ B .{d } C .{b ,e } D .{a ,c } 答案 A5.已知集合U =R ,集合A ={}x |x <-2或x >4,B ={}x |-3≤x ≤3,则(∁U A )∩B =________. 考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算 答案{}x |-2≤x ≤3.解析 由图知(∁U A )∩B ={}x |-2≤x ≤3.1.要注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系,二是集合与集合的包含关系. 2.在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时,要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验,忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一.课时对点练一、选择题1.若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)·(x-1)=0},则M∩N等于() A.{1,4} B.{-1,-4}C.{0} D.∅答案 D解析因为M={x|(x+4)(x+1)=0}={-4,-1},N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},所以M∩N =∅,故选D.2.已知集合A={x|x+3>0},B={x|x≥2},则下列结论正确的是()A.A=B B.A∩B=∅C.A⊆B D.B⊆A考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案 D解析A={x|x>-3},B={x|x≥2},结合数轴可得:B⊆A.3.已知集合A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,若A∩B={1,3},(∁U A)∩B={5},则集合B等于()A.{1,3} B.{3,5}C.{1,5} D.{1,3,5}答案 D解析画出满足题意的Venn图,由图可知B={1,3,5}.4.设集合M={-1,0,1},N={a,a2},若M∩N=N,则a的值是()A.-1 B.0 C.1 D.1或-1答案 A解析由M∩N=N得N⊆M.当a=0时,与集合中元素的互异性矛盾;当a=1时,也与集合中元素的互异性矛盾;当a=-1时,N={-1,1},符合题意.5.设全集U=R,已知集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x<a}.若(∁U A)∩B≠∅,则a的取值范围为()A.a>3 B.a≥3C.a≥7 D.a>7答案 A解析因为A={x|x<3或x≥7},所以∁U A={x|3≤x<7},又(∁U A)∩B≠∅,则a>3.6.定义差集A-B={x|x∈A,且x∉B},现有三个集合A,B,C分别用圆表示,则集合C-(A-B)可表示下列图中阴影部分的为()答案 A解析如图所示,A-B表示图中阴影部分,故C-(A-B)所含元素属于C,但不属于图中阴影部分,故选A.二、填空题7.设全集U=R,若集合A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},则A∩(∁U B)=________.答案{1,4}解析∵∁U B={x|x<2或x>3},∴A∩(∁U B)={1,4}.8.设集合A={1,-1,a},B={1,a},A∩B=B,则a=______.答案0解析∵A ∩B =B ,即B ⊆A ,∴a ∈A . 要使a 有意义,a ≥0. ∴a =a ,∴a =0或a =1, 由元素互异,舍去a =1.∴a =0.9.已知集合M ={(x ,y )|x +y =2},N ={(x ,y )|x -y =4},那么集合M ∩N =________. 答案 {(3,-1)}解析 M ,N 中的元素是平面上的点,M ∩N 是集合,并且其中的元素也是点,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =2,x -y =4, 得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-1.∴M ∩N ={(3,-1)}.10.已知集合A ={x |2a ≤x ≤a +3},B ={x |x <-1或x >5},若A ∩B =∅,则a 的取值范围是________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪-12≤a ≤2或a >3 解析 ①若A =∅,则A ∩B =∅, 此时2a >a +3,即a >3.②若A ≠∅,如图,由A ∩B =∅,可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥-1,a +3≤5,2a ≤a +3,解得-12≤a ≤2.综上所述,a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪-12≤a ≤2或a >3. 三、解答题11.如图,用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M .解结合图形可得M=⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x,y)⎪⎪xy≥0,-2≤x≤52,-1≤y≤32.12.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.(1)若A∪B=A,求实数m的取值范围;(2)当A={x∈Z|-2≤x≤5|}时,求A的非空真子集的个数;(3)若A∩B=∅,求实数m的取值范围.考点集合各类问题的综合题点集合各类问题的综合解(1)因为A∪B=A,所以B⊆A,当B=∅时,由m+1>2m-1,得m<2,符合;当B≠∅时,根据题意,可得⎩⎪⎨⎪⎧2m-1≥m+1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m≤3.综上可得,实数m的取值范围是{m|m≤3}.(2)当x∈Z时,A={x∈Z|-2≤x≤5}={-2,-1,0,1,2,3,4,5},共有8个元素,所以A的非空真子集的个数为28-2=254.(3)当B=∅时,由(1)知m<2;当B≠∅时,根据题意作出如图所示的数轴,可得⎩⎪⎨⎪⎧2m-1≥m+1,2m-1<-2或⎩⎪⎨⎪⎧2m-1≥m+1,m+1>5,解得m>4.综上可得,实数m 的取值范围是{m |m <2或m >4}.13.设集合A ={0,-4},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0,x ∈R }.若B ⊆A ,求实数a 的取值范围.解 因为A ={0,-4},所以B ⊆A 分以下三种情况:①当B =A 时,B ={0,-4},由此知0和-4是方程x 2+2(a +1)x +a 2-1=0的两个根, 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)>0,-2(a +1)=-4,a 2-1=0,解得a =1;②当B ≠∅且B A 时,B ={0}或B ={-4},并且Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)=0,解得a =-1,此时B ={0}满足题意;③当B =∅时,Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)<0,解得a <-1.综上所述,所求实数a 的取值范围是a ≤-1或a =1.四、探究与拓展14.已知全集U ={2,4,a 2-a +1},A ={a +4,4},∁U A ={7},则a =________.答案 -2解析 由题意,得a 2-a +1=7,即a 2-a -6=0,解得a =-2或a =3.当a =3时,A ={7,4},不合题意,舍去,故a =-2.15.对于集合A ,B ,我们把集合{}(a ,b )|a ∈A ,b ∈B 记作A ×B .例如,A ={}1,2,B ={}3,4,则有:A ×B ={}(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),B ×A ={}(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),A ×A ={}(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),B ×B ={}(3,3),(3,4),(4,3),(4,4). 据此,试回答下列问题:(1)已知C ={}a ,D ={}1,2,3,求C ×D ;(2)已知A ×B ={}(1,2),(2,2),求集合A ,B ;(3)若集合A 中有3个元素,集合B 中有4个元素,试确定A ×B 中有多少个元素. 考点 集合各类问题的综合题点 集合各类问题的综合解析 (1)C ×D ={}(a ,1),(a ,2),(a ,3).(1,2),(2,2),(2)因为A×B={}所以A={}1,2,B={}2.(3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关,即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后,得到A×B中的一个新元素.若A中有m个元素,B中有n个元素,则A×B中应有m×n个元素.于是,若集合A中有3个元素,集合B中有4个元素,则A×B中有12个元素.。

高中数学 集合的表示讲义

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第2讲:集合的表示【知识梳理】一、集合的表示【考点解读】考点一:用列举法表示集合例1.用列举法表示下列给定的集合:(1)不大于12的非负偶数组成的集合A ;(2)小于9的质数组成的集合B ;(3)方程2230x x --=的实数根组成的集合C ; (4)方程组42x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集D .变式训练1:用列举法表示下列集合:(1)方程22x x =的所有实数解组成的集合;(2)直线21y x =+与y 轴的交点所组成的集合;(3)由所有正整数构成的集合.考点二:用描述法表示集合文字描述;式子描述例2.用描述法表示下列集合:(1)不等式231x -<的解组成的集合A ;(2)被3除余1的正整数的集合B ;(3){2,4,6,8,10}C =;(4)平面直角坐标系中第一象限内的点组成的集合D .变式训练1:用描述法表示下列集合:(1)比1大又比11小的实数组成的集合;(2)不等式342x x +≥的所有解;(3)到两坐标轴距离相等的点的集合.考点三:集合的表示综合例3.下列命题中正确的( )①0与{0}表示同一个集合;②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};③方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{|45}x x <<可以用列举法表示.A .只有①和④B .只有②和③C .只有②D .以上语句都不对变式训练1:方程组149x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是( )A .()2,1-B .()1,2-C .(){}1,2-D .(){}2,1-变式训练2:下列集合恰有2个元素的集合是( )A .2{0}x x -=B .2{|}x y x x =-C .2{|0}y y y -=D .2{|}y y x x =-变式训练3:已知集合{}21,1,3A a a a =+--,若1A ∈,则实数a 的值为__________.考点四:元素个数相同元素根据互异性,只能计算一次(主要考查互异性)例4.设集合{123}{45}}{|A C x B y x A y B ===+∈∈,,,,,,,则C 中元素的个数为( )A .3B .4C .5D .6变式训练1:已知集合{}1,2A =,{}2,4B =,则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为()A .1个B .2个C .3个D .4个变式训练2:设集合(){},1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈,则A 中元素的个数为( )A .3B .4C .5D .6变式训练3:集合{}2*70,A xx x x =-<∈N ∣,则*8{,}B y y A y =∈∈N ∣中元素的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个考点五:元素个数(求参) 相同元素根据互异性,只能计算一个(主要考查互异性)例5.已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素,则a 的取值集合为( )A .{1}B .{0}C .{0,1,1}-D .{0,1}变式训练1:已知集合{}2310A x ax x =-+=中有且只有一个元素,则实数a 的取值集合是( )A .9{0,}4B .1{0,}3C .{0}D .9{}4变式训练2:式子22a b a a b a++________.变式训练3:已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.(1)若A 是空集,求a 的取值范围;(2)若A 中只有一个元素,求a 的值,并求集合A ;(3)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围考点六:集合新定义例6.给定集合A ,若对于任意a 、b A ∈,有a b A +∈,且a b A -∈,则称集合A 为闭集合,给出如下三个结论:①集合{}4,2,0,2,4A =--为闭集合; ②集合{}3,A n n k k Z ==∈为闭集合;③若集合1A 、2A 为闭集合,则12A A 为闭集合. 其中正确结论的个数是( )A .0B .1C .2D .3变式训练1:已知集合A 中的元素均为整数,对于k A ∈,如果1k A -∉且1k A +∉,那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S =,由S 中的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.变式训练2:已知集合{|31,},{|32,},{|63,}A x x n n B x x n n M x x n n ==+∈==+∈==+∈Z Z Z .(1)若m M ∈,则是否存在,a A b B ∈∈,使m a b =+成立?(2)对于任意,a A b B ∈∈,是否一定存在m M ∈,使a b m +=?证明你的结论.【课堂检测】1、若用列举法表示集合27{(,)|}2y x A x y x y -=⎧=⎨+=⎩,则下列表示正确的是( )A .{1,3}x y =-=B .{(-1,3)}C .{3,-1}D .{-1,3}2、已知集合{}1,2,3,4,5A =,(){},|,,B x y x A y A x y A =∈∈+∈,则集合B 中所含元素的个数为( )A .4B .6C .8D .103、已知集合{}2,2A =-,{}|,,B m m x y x A y A ==+∈∈,则集合B 等于( )A .{}4,4-B .{}4,0,4-C .{}4,0-D .{}04、已知{}232,2a a ∈++,则实数a 的值为( )A .1或1-B .1C .1-D .1-或05、下列四个命题:①{0}是空集;②若a ∈N ,则a -∉N ;③集合2{|210}x x x ∈-+=R 含有两个元素;④集合6{|}x Q N x ∈∈是有限集.其中正确命题的个数是( )A .1B .2C .3D .06、若集合{}210x ax x -+=中只有一个元素,则实数a 的值为( )A .14B .0C .4D .0或147、设P 是一个数集,且至少含有两个元素.若对任意的,a b P ∈,都有,,,a ab a b ab P b +-∈(除数0b ≠),则称P 是一个数域,例如有理数集Q 是一个数域,有下列说法正确的是( )A .数域必含有0,1两个数;B .整数集是数域;C .若有理数集Q M ⊆,则数集M 必为数域;D .数域必为无限集.8、设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a b P ∈、,都有+a b 、-a b 、ab 、a P b ∈(除数0b ≠)则称数集P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域;数集{,}F a a b Q =+∈也是数域.下列命题是真命题的是( )A .整数集是数域B .若有理数集Q M ⊆,则数集M 必为数域C .数域必为无限集D .存在无穷多个数域9、用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合.(2)30的正因数组成的集合.(3)由0,1,2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合.10、已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈.(1)若A 中只有一个元素,求a 的值;(2)若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围;(3)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.11、已知集合{}2|210A x R ax x =∈++=,其中a R ∈.(1)1是A 中的一个元素,用列举法表示A ;(2)若A 中至多有一个元素,试求a 的取值范围.。

高中数学集合ppt课件

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描述法
总结词
通过描述集合中元素的共同特征来展 示集合的方法。
详细描述
描述法适用于集合元素数量较多,无 法一一列举的情况。例如,集合 B={x|x>2},可以通过描述法表示为 {x|x>2}。
韦恩图法
总结词
通过图形表示集合及其关系的方法。
详细描述
韦恩图法是一种直观的表示方法,通过圆圈、椭圆等图形来 表示不同的集合,以及它们之间的关系。这种方法有助于理 解集合的并、交、差等运算。
总结词
表示两个或多个集合中共有的元 素
详细描述
交集是指两个或多个集合中共有 的元素组成的集合。可以用符号 "∩"表示交集,例如A∩B表示集合 A和集合B的交集。
并集
总结词
表示两个或多个集合中所有的元素, 不考虑重复
详细描述
并集是指两个或多个集合中所有的元 素组成的集合,不考虑重复。可以用 符号"∪"表示并集,例如A∪B表示集 合A和集合B的并集。
互异性
• 互异性是指集合中的元素互不相同,即集合中不会有重复的元素。例如,集合 {1,2,3}中没有重复的元素,而集合{1,2,2,3,3}中有重复的元素2和3。
05
集合的应用
在数学中的应用
1 2
3
集合论
集合论是数学的基础理论之一,它为数学概念提供了一种抽 象的描述方式。通过集合,数学中的许多概念,如函数、数 列、平面几何等都可以被统一地表达和描述。
在经济学中,集合的概念也经常被使 用。例如,可以将一组商品看作一个 集合,然后对这组商品进行分析和比 较。
计算机科学
在计算机科学中,集合的概念被广泛 应用于数据结构和算法的设计。例如 ,数组、链表、栈、队列等数据结构 都是基于集合的。

高一数学《集合》PPT课件

高一数学《集合》PPT课件
• 图示法:画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一 个集合。 例子: 1,2,3,4,5
特定集合的表示
• N:全体非负整数的集合。 • Z:全体整数的集合。 • Q:全体有理数的集合。 • R:全体实数的集合。
集合的分类
有限集:含有有限个元素的集合。
例子:{1,2,3,4,5,6}
无限集:含有无限个元素的集合。 例子:自然数集。
1.1 集合
主讲人:六班六组
内容
• 集合的概念 • 元素与集合的关系 • 集合中元素的特性 • 集合的表示方法 • 特定集合的表示 • 集合的分类
集合的概念
• 概念:一般地,某些指定对象在一起就成 为一个集合。
• 例子(1)我校足球队员 (2)七大洲:亚洲,非洲,欧洲,北
美洲,南美洲,大洋洲,南极洲
元素与集合的关系
集合中元素的概念:集合中的每个对象叫做这个集合 的元素。 元素的表示方法:常用的小写拉丁字母表示。
集合与元素的关系:属于
不属于

集合中元素的特性
• 确定性 • 互异性 • 无序性
集合的表示方法
• 列举法:把集合中的元素一一列举出来的方法。 例子:A={1,2,3}
• 描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个 集合的方法。 例子:{x R x 3 4}

高中数学集合知识点总结6篇

高中数学集合知识点总结6篇

高中数学集合知识点总结6篇篇1一、集合的基本概念集合是数学中非常重要的概念,它是具有某种特定性质的事物的总体。

集合通常由大括号{}括起来,其元素之间用逗号隔开。

集合分为有限集合和无限集合,有限集合的元素个数是有限的,无限集合的元素个数是无限的。

例如,自然数集合就是一个无限集合。

二、集合的表示方法集合的表示方法有多种,包括列举法、描述法、图示法等。

列举法是将集合中的元素一一列举出来;描述法是通过描述元素的一般性质来确定集合;图示法则是通过画图来表示集合。

在实际应用中,可以根据需要选择适当的表示方法。

三、集合的分类根据元素的性质,集合可以分为多种类型,包括数集、点集、线集等。

数集是最常见的集合类型,它包含具有一定数学规律的数的总体。

点集则是包含具有某种几何性质的点的总体,如平面上的点集。

线集则包含直线、线段等几何图形的总体。

四、集合的基本运算集合的基本运算包括并集、交集、差集和对称差等。

并集是两个或多个集合中所有元素的集合;交集是两个集合中共有的元素的集合;差集是一个集合中不属于另一个集合的元素的集合;对称差是两个集合的并集中去掉它们的交集后的元素构成的集合。

在进行集合运算时,需要明确各个运算的定义和性质。

五、数集的表示及基本性质数集是数学中最重要的集合之一,它包含具有一定数学规律的数的总体。

常见的数集包括自然数集、整数集、有理数集和无理数集等。

自然数集包括所有非负整数;整数集包括所有正整数、负整数和零;有理数集包括所有可以表示为两个整数之比的数;无理数集则是无法表示为两个整数之比的数。

数集具有一些基本性质,如可数性、有序性等。

这些性质在进行数学运算和证明时非常重要。

六、高中数学中的其他相关知识点高中数学中还有许多与集合相关的知识点,如区间与邻域的概念、数列与序列的概念、映射与函数的概念等。

这些知识点都与集合有着密切的联系,在进行数学学习时需要掌握这些知识点。

区间和邻域的概念对于理解数列和函数的性质非常重要;数列和序列的概念有助于理解数学中的有序结构;映射和函数的概念则是数学中非常重要的基础概念之一。

高中数学集合知识点总结8篇

高中数学集合知识点总结8篇

高中数学集合知识点总结8篇篇1一、集合的基本概念集合是数学中的基本概念之一,它是由具有某种共同属性的事物组成的总体。

在数学中,我们常常用集合来表示一些数、点、线等的总体。

集合的基本特性包括确定性、互异性、无序性以及可表示性。

常见的集合表示方法有列举法、描述法以及图像法等。

对于集合的学习,首先要明确集合的概念及其表示方法,这是后续学习的基础。

二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。

并集表示两个或多个集合中所有元素的集合;交集表示两个集合中共有的元素组成的集合;差集表示在一个集合中但不在另一个集合中的元素组成的集合;补集则表示属于某个集合的所有元素之外的所有元素组成的集合。

在解题过程中,要根据题目的要求,选择合适的集合运算方法。

三、集合的基本关系集合之间的关系包括子集、真子集、相等集合等。

子集表示一个集合的所有元素都在另一个集合中;真子集表示一个集合是另一个集合的子集,且两者不相等;相等集合表示两个集合完全相同。

此外,还要了解空集的概念,即不含有任何元素的集合。

掌握集合的基本关系,有助于理解集合的运算及其性质。

四、数列与集合数列是一种特殊的集合,它按照一定规律排列的数序列。

等差数列和等比数列是数列中最常见的两种形式。

等差数列中的任意两项之差相等,等比数列中的任意两项之比相等。

在解决数列问题时,要充分利用数列的性质和公式,简化计算过程。

五、函数的定义域与值域与集合的关系函数的定义域与值域是函数概念的重要组成部分。

函数的定义域是指函数自变量的取值范围,值域则是函数因变量的取值范围。

这两个范围都可以用集合来表示。

在求解函数的定义域和值域时,要充分利用函数的性质,结合数轴或不等式等方法进行求解。

六、总结与应用掌握高中数学集合知识点,首先要明确集合的基本概念、表示方法以及运算性质。

在此基础上,要理解数列与集合的关系,掌握函数的定义域与值域与集合的联系。

在实际应用中,要灵活运用所学知识,解决数学问题。

家教讲义之集合及其运算 适合复习课

家教讲义之集合及其运算    适合复习课

第1章集合与常用逻辑用语第1节集合1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)集合中元素与集合的关系:元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为∈和∉.(3)集合的表示法:列举法、描述法、Venn图.2.集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系子集A中任意一元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A 真子集A中任意一元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素A中没有A B或B A 相等集合A与集合B中的所有元素都相同A=B集合与集合之间的关系:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C,空集是任何集合的子集,含有n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1,非空真子集数为2n-23.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U,则集合A的补集为∁U A图形表示意义{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2.要注意区分元素与集合的从属关系;以及集合与集合的包含关系.3.易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身.4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心.5.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.考点一 集合的含义与表示1. 正确理解集合的概念研究一个集合,首先要看集合中代表元素的属性(是点集、数集或其他情形),然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.注意区分{x |y =f (x )}、{y |y =f (x )}、{(x ,y )|y =f (x )}三者的不同.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.2. 注意元素的互异性对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性.3.注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A ⊆B ,则需考虑A =∅和A ≠∅两种可能的情况.1.(2016福建,5分)若集合A ={1,2,3},B ={1,3,4},则A ∩B 的子集个数为( )A .2B .3C .4D .162.(2013江西,5分)若集合A ={x ∈R |ax 2+ax +1=0}中只有一个元素,则a =( )A .4B .2C .0D .0或43.(2018山东,5分)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A .1B .3C .5D .94.(2011广东,5分)已知集合A ={(x ,y )|x ,y 为实数,且x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|x ,y 为实数,且x +y =1},则A ∩B 的元素个数为( )A .4B .3C .2D .15.已知集合M ={1,m },N ={n ,log 2n },若M =N ,则(m -n )2 013=________.6.已知集合A ={m +2,2m 2+m },若3∈A ,则m 的值为________.7.(2010福建,5分)设非空集合S ={x |m ≤x ≤l }满足:当x ∈S 时,有x 2∈S .给出如下三个命题:①若m =1,则S ={1};②若m =-12,则14≤l ≤1;③若l =12,则-22≤m ≤0. 其中正确命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3考点二集合的基本关系1.已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析.2.当题目中有条件B⊆A时,不要忽略B=∅和A=B的情况.1.(2016新课标全国Ⅰ,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=( ) A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}2.(2013新课标全国Ⅱ,5分)已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=( )A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0}C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1}3.(2018山东,5分)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩∁U B=( )A.{3} B.{4} C.{3,4} D.∅4.(2013广东,5分)设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T=( ) A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2}5.(2015安徽,5分)已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(∁R A)∩B=( )A.{-2,-1} B.{-2} C.{-1,0,1} D.{0,1}6.(2013浙江,5分)设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=( )A.[-4,+∞) B.(-2, +∞) C.[-4,1] D.(-2,1]7.(2013辽宁,5分)已知集合A={0,1,2,3,4},B={x||x|<2},则A∩B=( )A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2}8.(2016天津,5分)已知集合A={x∈R| |x|≤2}, B= {x∈R| x≤1},则A∩B=( )A.(-∞,2] B.[1,2] C.[-2,2] D.[-2,1]9.(2014北京,5分)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=( )A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D. {-1,0,1}10.(2017陕西,5分)设全集为R,函数f(x)=1-x的定义域为M, 则∁R M为( )A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞)11.(2013湖北,5分)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},B={2,3,4},则B∩∁U A=( ) A.{2} B.{3,4} C.{1,4,5} D.{2,3,4,5}12. (2013四川,5分)设集合A={1,2,3},集合B={-2,2},则A∩B=( )A.∅B.{2} C.{-2,2} D.{-2,1,2,3}13.(2017重庆,5分)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)=( ) A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4}14.(2012新课标全国,5分)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( )A.A⊆B B.B⊆A C.A=B D.A∩B=∅15.(2012湖北,5分)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )16.(2011浙江,5分)若P ={x |x <1},Q ={x |x >-1},则( )A .P ⊆QB .Q ⊆PC .∁R P ⊆QD .Q ⊆∁R P17.(2013·福建高考)已知集合A ={1,a },B ={1,2,3},则“a =3”是“A ⊆B ”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件18.已知集合A ={x |-3≤x ≤4},B ={x |2m -1<x <m +1},且B ⊆A .则实数m 的取值范围为________.考点三 集合的基本运算集合的基本运算的关注点(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.(2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决.(3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图.1.(2016广东,5分)设集合U ={1,2,3,4,5,6},M ={1,3,5},则∁U M =( )A .{2,4,6}B .{1,3,5}C .{1,2,4}D .U2.(2014安徽,5分)设集合A ={x |-3≤2x -1≤3},集合B 为函数y =lg(x -1)的定义域,则A ∩B =( )A .(1,2)B .[1,2]C .[1,2)D .(1,2]3.(2017浙江,5分)设全集U ={1,2,3,4,5,6},集合P ={1,2,3,4},Q ={3,4,5},则P ∩(∁U Q )=( )A .{1,2,3,4,6}B .{1,2,3,4,5}C .{1,2,5}D .{1,2}4.(2013·山东高考)已知集合A ,B 均为全集U ={1,2,3,4}的子集,且∁U (A ∪B )={4},B ={1,2},则A ∩∁U B =( )A .{3}B .{4}C .{3,4}D .∅4.(2012湖南,5分)设集合M ={-1,0,1},N ={x |x 2=x },则M ∩N =( )A .{-1,0,1}B .{0,1}C .{1}D .{0}5.(2015江西,5分)若全集U ={}x ∈R |x 2≤4,则集合A ={}x ∈R ||x +1|≤1的补集∁U A 为( ) A.{}x ∈R |0<x <2B.{}x ∈R |0≤x <2C.{}x ∈R |0<x ≤2D.{}x ∈R |0≤x ≤26.(2011新课标全国,5分)已知集合M ={0,1,2,3,4,},N ={1,3,5,},P =M ∩N ,则P 的子集共有( )A .2个B .4个C .6个D .8个7.(2011山东,5分)设集合M ={x |(x +3)(x -2)<0},N ={x |1≤x ≤3},则M ∩N =( )A .[1,2)B .[1,2]C .(2,3]D .[2,3]8.(2011北京,5分)已知全集U=R,集合P={x|x2≤1},那么∁U P=( )A.(-∞,-1) B.(1,+∞)C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)9.(2010新课标全国,5分)已知集合A={x| |x|≤2,x∈R},B={x|x≤4,x∈Z},则A∩B=( ) A.(0,2) B.[0,2]C.{0,2} D.{0,1,2}10.(2014·武汉市武昌区联考)已知全集U=R,集合A={x|lg(x+1)≤0},B={x|3x≤1},则∁U(A∩B)=( )A.(-∞,0)∪(0,+∞) B.(0,+∞)C.(-∞,-1]∪(0,+∞) D.(-1,+∞)11.已知全集U=R,集合A={x|x2-2x>0},B={x|y=lg(x-1)},则(∁U A)∩B=( )A.{x|x>2或x<0} B.{x|1<x<2}C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2}10.(2009·山东,5分)集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.411.设全集U是自然数集N,集合A={x|x2>4,x∈N},B={0,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x|x>2,x∈N}B.{x|x≤2,x∈N}C.{0,2}考点四抽象集合与新定义集合以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点,此类题目常常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托,考查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有:1创新集合新定义;2创新集合新运算;3创新集合新性质.解决新定义问题应注意的问题(1)遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质;(2)按新定义的要求,“照章办事”逐步分析、验证、运算,使问题得以解决;(3)对于选择题,可以结合选项通过验证,排除、对比、特值等方法解决.角度一创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合,对集合的知识加以深入地创新,结合原有集合的相关知识和相应数学知识,来解决新定义的集合创新问题.1.若x ∈A ,则1x ∈A ,就称A 是伙伴关系集合,集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,0,12,2,3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A .1B .3C .7D .31角度二 创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则,并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等,从而达到解决问题的目的.2.如图所示的Venn 图中,A ,B 是非空集合,定义集合A ⊕B 为阴影部分表示的集合.若x ,y ∈R ,A ={x |y =2x -x 2},B ={y |y =3x,x >0},则A ⊕B为( ) A .{x |0<x <2}B .{x |1<x ≤2}C .{x |0≤x ≤1或x ≥2}D .{x |0≤x ≤1或x >2} 角度三 创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题,通过创新性质,结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题. 3.对于复数a ,b ,c ,d ,若集合S ={a ,b ,c ,d }具有性质“对任意x ,y ∈S ,必有xy ∈S ”,则当⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b 2=1,c 2=b时,b +c +d 等于( )A .1B .-1C .0D .i 1.(2017福建,5分)在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k ],即[k ]={5n +k |n ∈Z },k =0,1,2,3,4.给出如下四个结论:①2011∈[1],②-3∈[3],③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a ,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a -b ∈[0]”.其中,正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .42.(2010湖南,5分)若规定E ={a 1,a 2,…,a 10}的子集{a i 1,a i 2,…,a in }为E 的第k 个子集,其中k =2i 1-1+2i 2-1+…+2i n -1,则(1){a 1,a 3}是E 的第________个子集;(2)E 的第211个子集为________.。

集合全章讲义

集合全章讲义

第一章:集合与简易逻辑讲义第一节:集合的概念Part One :基础知识(记住有以下6点) 1、集合的概念①集合:由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说,每一组对象的全体形成一个集合,或者说,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集. ②元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合记作N ,{} ,2,1,0=N(2)正整数集:非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N (3)整数集:全体整数的集合记作Z , } ,,,210±±=Z (4)有理数集:全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q (5)实数集:全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 3、元素与集合的关系(1)属于:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作a ∈A(2)不属于:如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作A a ∉ 4、集合中元素的特性(1)确定性:按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,不能模棱两可 (2)互异性:集合中的元素没有重复(3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)5.集合的表示方法:集合通常用大写的拉丁字母表示,如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示,如a 、b 、c 、p 、q ……①列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合例如,由方程012=-x 的所有解组成的集合,可以表示为{-1,1} ②描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式:{x ∈A| P (x )}含义:在集合A 中满足条件P (x )的x 的集合例如,不等式23>-x 的解集可以表示为:}23|{>-∈x R x 或23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为:}|{是直角三角形x x 注:(1)在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分 如:{直角三角形};{大于104的实数} (2)错误表示法:{实数集};{全体实数}③文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 6.集合的分类:a:以元素的个数分类:①有限集:含有有限个元素的集合 ②无限集:含有无限个元素的集合③空集:不含任何元素的集合记作Φ,如:}01|{2=+∈x R x b:以元素的种类分:点集,数集,等Part Two :例题解析(注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系,通过题目再次深刻理解基础知识) 题型一:集合的三大性的考查1.下列各组对象能确定一个集合吗?(1)所有很大的实数 (2)好心的人 (3)1,2,2,3,4,5.2.设a,b 是非零实数,那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是3、由实数x,-x,|x |,332,x x -所组成的集合,最多含( ) (A )2个元素 (B )3个元素 (C )4个元素 (D )5个元素4. 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗?题型二:集合的表示方法的考查 1、用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13} ②{-2,-4,-6,-8,-10}③{ 1, 5, 25, 125, 625 }= ;④ { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}=2、用列举法表示下列集合 ①{x ∈N|x 是15的约数}②{(x ,y )|x ∈{1,2},y ∈{1,2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n∈-= ⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x 题型三:集合的分类的考查1、关于x 的方程ax +b=0,当a,b 满足条件____时,解集是有限集;当a,b 满足条件_____时,解集是无限集第二节:子集 全集 补集(集合与集合的关系) Part One :基础知识(记住有以下8点)1.子集:一般地,对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说集合A 包含于集合B ,或集合B 包含集合A :A B B A ⊇⊆或 ,A ⊂B 或B ⊃A 读作:A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈,则若任意当集合A 不包含于集合B ,或集合B 不包含集合A 时,则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注:B A ⊆有两种可能(1)A 是B 的一部分,;(2)A 与B 是同一集合2.集合相等:一般地,对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合B ,记作A=B3.真子集:对于两个集合A 与B ,如果B A ⊆,并且B A ≠,我们就说集合A 是集合B 的真子集,记作:A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4..人为规定:空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ,则Φ A (在考虑集合问题时千万不能忘记空集这个特殊集合) 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆5.含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2,所有真子集的个数是n 2-1,非空真子集数为2-n6.易混符号①“∈”与“⊆”:元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ,{1}⊆{1,2,3}②{0}与Φ:{0}是含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合 如 Φ⊆{0}Φ={0},Φ∈{0} 7、全集:如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集通常用U 表示8. 补集:一般地,设S 是一个集合,A 是S 的一个子集(即S A ⊆),由S 中所有不属于A 的元素组成的集合,叫做S 中子集A的补集(或余集),记作AC S ,即CSA=},|{A x S x x ∉∈且 2、性质:CS (CSA )=A ,CSS=φ,CS φ=S Part Two :例题解析(注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系,通过题目再次深刻理解基础知识) 题型一:对子集等基本概念的考查1. 写出N ,Z ,Q ,R 的包含关系,并用文氏图表示2.判断下列写法是否正确①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A 3.(1)填空:N___Z, N___Q, R___Z, R___Q , Φ___{0}(2)若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗? (3)是否对任意一个集合A ,都有A ⊆A ,为什么? (4)集合{a,b}的子集有那些?(5)高一(1)班同学组成的集合A ,高一年级同学组成的集合B ,则A 、B 的关系为 . 题型二:利用集合的关系来求解具体问题(重点!)1.若{}{}A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=,112|,43|,求是实数m 的取值范围.)1(-≥m2.已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆ 题型三:全集与补集有关问题1.已知全集U =R ,集合A ={x |1≤2x +1<9},求C U A2. 已知S ={x |-1≤x +2<8},A ={x |-2<1-x ≤1},B ={x |5<2x -1<11},讨论A 与C S B 的关系Part Three :练习1、已知全集U ={x |-1<x <9},A ={x |1<x <a },若A ≠φ,则a 的取值范围是 (A )a <9 (B )a ≤9 (C )a ≥9 (D )1<a ≤92、已知全集U ={2,4,1-a },A ={2,a2-a +2}如果CUA ={-1},那么a 的值为3、已知全集U ,A 是U 的子集,φ是空集,B =CUA ,求CUB ,CU φ,CUU4、设U={梯形},A={等腰梯形},求CUA.5、已知U=R ,A={x|x2+3x+2<0}, 求CUA.6、集合U={(x ,y )|x ∈{1,2},y ∈{1,2}} , A={(x ,y )|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3},求CUA.7、设全集U (U ≠Φ),已知集合M ,N ,P ,且M=CUN ,N=CUP ,则M 与P 的关系是( ) M=CUP ,(B )M=P ,(C )M ⊇P ,(D )M ⊆P.8、设全集U={2,3,322-+a a },A={b,2},A C U ={b,2},求实数a 和b 的值.9.已知S ={a ,b },A ⊆S ,则A 与CSA 的所有组对共有的个数为 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 (D )10..设全集U (U ≠φ),已知集合M 、N 、P ,且M =CUN ,N =CUP ,则M 与P 的关系是 11..已知U=﹛(x ,y )︱x ∈﹛1,2﹜,y ∈﹛1,2﹜﹜,A=﹛(x ,y )︱x-y=0﹜,求UA12..设全集U=﹛1,2,3,4,5﹜,A=﹛2,5﹜,求U A 的真子集的个数13. 若S={三角形},B={锐角三角形},则CSB= .14.. 已知A={0,2,4},CUA={-1,1},CUB={-1,0,2},求B= 15.. 已知全集U={1,2,3,4},A={x|x2-5x+m=0,x ∈U},求CUA 、m 第二节:交集和并集Part One :基础知识(记住有以下6点)1.交集的定义 一般地,由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集.记作A B (读作‘A 交B ’), 即A B={x|x ∈A ,且x ∈B }.如:{1,2,3,6} {1,2,5,10}={1,2}.又如:A={a,b,c,d,e },B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}. 2.并集的定义 一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的并集.记作:A B (读作‘A 并B ’), 即A B ={x|x ∈A ,或x ∈B}).如:{1,2,3,6} {1,2,5,10}={1,2,3,5,6,10}. 3..交集、并集的性质 用文图表示 (1)若A ⊇B,则A B=B, A B=B(2)若A ⊆B 则A B=A A B=A(3)若A=B, 则A A=A A A=A(4)若A,B 相交,有公共元素,但不包含 则A B A,A B B A BA, A BB(5) )若A,B 无公共元素,则A B=Φ①交集的性质 (1)A A=A A Φ=ΦA B=B A (2)A B ⊆A, A B ⊆B .BA②并集的性质 (1)A A=A (2)A Φ=A (3)A B=B A (4)A B ⊇A,A B ⊇B 联系交集的性质有结论:Φ⊆A B ⊆A ⊆A B .4. 德摩根律:(CuA) (CuB)= Cu (A B), (CuA) (CuB)= Cu(A B)(可以用韦恩图来理解). 结合补集,还有①A (CuA)=U, ②A (CuA)= ΦPart Two :例题解析(注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系,通过题目再次深刻理解基础知识) 题型一:基础的交集与并集的计算:注意数集的交集和并集运算的图像法 例1 设A={x|x>-2},B={x|x<3},求A B.例2 设A={x|x 是等腰三角形},B={x|x 是直角三角形},求A B.例3 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A B.例4设A={x|x 是锐角三角形},B={x|x 是钝角三角形},求A B.例5设A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求A ∪B. 例6设A={(x,y)|y=-4x+6},{(x,y)|y=5x-3},求A B.例7已知A 是奇数集,B 是偶数集,Z 为整数集,求A B,A Z,B Z,A B,A Z,B Z.8 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1()B C A U ⋂{},8,1=()BA C U ⋂{}6,2= ()(){},7,4=⋂BC A C U U 则集合A=例9.设集合A={-4,2m-1,m2},B={9,m-5,1-m},又A B={9},求实数m 的值.例10.设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又A B={3,5},A ∩B={3},求实数a,b,c 的值.. 例11. 已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=x -5}求A ∩B,A ∪B .Part Three :练习1.P={a2,a+2,-3},Q={a-2,2a+1,a2+1},P Q={-3},求a .2..已知全集U=A B={1,3,5,7,9},A (CUB)={3,7}, (CUA) B={5,9}.则A B=____.3 已知A ={x| x2-ax +a2-19=0}, B={x| x2-5x +8=2}, C={x| x2+2x -8=0},若ο/⊂A ∩B ,且A ∩C =ο/,求a 的值4.. 已知元素(1, 2)∈A ∩B ,并且A ={(x, y)| mx -y2+n=0},B={(x, y)| x2-my -n=0},求m, n 的值5. 已知集合A={x|x2+4x-12=0}、B={x|x2+kx-k=0}.若B B A = ,求k 的取值范围6. 若集合M 、N 、P 是全集S 的子集,则图中阴影部分表示的集合是( ) A.P N M )( B .P N M )( C .P C N M S )( D .P C N M S )(集合中段测试 一、选择题1、下列六个关系式:①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ 其中正确的个数为( ) (A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个 2.下列各对象可以组成集合的是( )MN P第9题(A )与1非常接近的全体实数 (B )某校2002-2003学年度笫一学期全体高一学生 (C )高一年级视力比较好的同学 (D )与无理数π相差很小的全体实数3、已知集合P M ,满足M P M = ,则一定有( )(A) P M = (B)P M ⊇ (C) M P M = (D) P M ⊆4、集合A 含有10个元素,集合B 含有8个元素,集合A ∩B 含有3个元素,则集合A ∪B 的元素个数为( ) (A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个5.设全集U=R ,M={x|x.≥1}, N ={x|0≤x<5},则(C U M )∪(C U N )为( )(A ){x|x.≥0} (B ){x|x<1 或x≥5} (C ){x|x≤1或x≥5} (D ){x| x 〈0或x≥5 }6.设集合{}x A ,4,1=,{}2,1x B =,且{}x B A ,4,1=⋃,则满足条件的实数x 的个数是( ) (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个.7.已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有( ) (A )3个 (B )4个 (C )5个 (D )6个8.已知全集U ={非零整数},集合A ={x||x+2|>4, x ∈U}, 则C U A =( ) (A ){-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 } (B ){-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 } (C ){ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 } (D ){ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }9、已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ,则C B A )(等于 (A){0,1,2,6} (B){3,7,8,} (C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}10、满足条件{}{}1,01,0=A 的所有集合A 的个数是( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个11、如右图,那么阴影部分所表示的集合是( )(A))]([C A C B U (B))()(C B B A (C))()(B C C A U (D)B C A C U )]([ 12.定义A -B={x|x ∈A 且x ∉B}, 若A={1,2,3,4,5},B={2,3,6},则A -(A -B )等于( )(A)B (B){}3,2 (C) {}5,4,1 (D) {}6 二.填空题13.集合P=(){}0,=+y x y x ,Q=(){}2,=-y x y x ,则A ∩B= 14.不等式|x-1|>-3的解集是 15.已知集合A= 用列举法表示集合A=16 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=⋂B C A U {},6,2=B ()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A= 三.解答题17.已知集合A={}.,0232R a x ax R x ∈=+-∈1)若A 是空集,求a 的取值范围; 2)若A 中只有一个元素,求a 的值,并把这个元素写出来; 3)若A 中至多只有一个元素,求a 的取值范围18.已知全集U=R ,集合A={},022=++px xx {},052=+-=q x x x B {}2=⋂B A C U 若,试用列举法表示集合A集合单元小结基础训练 参考答案C ;2.B ;3.B ;4.D ;5.B ;6.C ;7.D ;8.B ;9.C ;10.D ;11.C ;12.B;13. (){}1,1-; 14.R; 15. {}5,4,3,2,0; 16{}8,5,3,1 ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N x17.1)a>89 ; 2)a=0或a=89;3)a=0或a≥89 18.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,319*.CUA={}321≤≤=x x x 或 CUB={}2=x x A ∩B=A A ∩(CUB )=φ (CUA )∩B={}3212≤<=x x x 或1 20*. a=-1或2≤a≤3.。

高一数学集合讲义

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高一数学:集合讲义一、集合及其基本概念1、若干个(有限个或无限个)确定对象的全体,可以看作一个集合。

集合的元素特征:确定性;互异性;无序性。

注意:集合{0}与空集∅的区别:前者是含有一个元素“0”的集合,后者是不含元素的集合。

例1:下列各项中不能组成集合的是(A )所有正三角形 (B )《数学》教材中所有的习题(C )所有数学难题 (D )所有无理数2、元素与集合的关系一个集合A 与一个对象a ,要么a 是A 中的元素,记作a A ∈(读作a 属于A );要么a 不是A 中的元素,记作a A ∉(读作a 不属于A )。

这个性质即为集合中元素的确定性。

在元素与集合之间,只能用∈或∉表示,它们之间只存在这两种关系。

例2、若A={x | x=0},则下列各式正确的是(A )φ=A (B )φ∈A(C ){ 0 }∈A (D )0 ∈A3、集合的表示方法我们用列举法与描述法表示一个集合。

列举法就是把集合中的元素一一列举出来,并写在大括号中。

描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合,一般写作{}|x x 具有某种特性。

我们应熟练记住一些常用的数学符号:自然数集可以用N 表示;正整数集可以用+N 表示;整数集可以用Z 表示;有理数集可以用Q 表示;实数集可以用R 表示。

例3、用列举法表示集合{}N y N x y x y x ∈∈=-+,,052|),(____________________例4、解不等式23<-x ,并把其正整数解表示出来__________________________.二、集合与集合的关系1、子集对于两个集合A 和B ,如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ,那么集合A 叫做集合B 的子集,记作A B ⊆。

任何集合都是自己的子集;空集是任何集合的子集。

2、真子集对于两个集合A 和B ,如果集合A B ⊆,并且B 中至少有一个元素不属于A ,那么集合A 叫做集合B 的真子集,记作A ⊂≠B 。

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第一节 集合
1.1.1 集合的含义与表示
• 1.集合与元素的定义 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,通常用大写拉丁字母A,B,C等表
示集合,用拉丁小写字母a,b,c等表示集合中的元素。如果a是A中的元素,就表示为a∈A,读作a属于A, 反之a∉A,读作a不属于A * 2.集合的三要素: 1、确定性,集合中的元素是确定的,要么在集合中要么不在,二者必居其一;(判断是否能组成集合的 方法) 2、互异性,集合里相同的元素不允许重复出现,比如{a,a,b,b,c,c}是错误的写法,应该写成{a,b,c}.(警示我 们做题后要检查) 3、无序性,集合里的元素的排列不考虑顺序问题,例如{a,b,c}与{a,c,b}表示同一个集合。(方便定义集合 相等)
• 2.交集的符号语言: A∩B={x|x∈A,且x∈B}
并集、交集的性质
• 集合交换律 A∩B=B∩A A∪B=B∪A • 集合结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) • 集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) • A∩ Ø = Ø ,A∪ Ø = Ø
全集与补集
• 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这 个集合为全集,通常记作U
• 补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作CuA 符号语言:CuA={x|x∈U,且x ∉A}
例5
• 1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则CuM=______。 • 2.已知全集U={0,1,2},A={x|x-m=0},如果CuA={0,1},则m=______。

集合的基本运算(精讲)(原卷版)--2023届初升高数学衔接专题讲义

集合的基本运算(精讲)(原卷版)--2023届初升高数学衔接专题讲义

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第八讲集合的基本运算(精讲)(原卷版)【知识点透析】一、交集1、文字语言:对于两个给定的集合A ,B ,由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合,叫做A ,B 的交集,记作A ∩B ,读作“A 交B ”2、符号语言:A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }3、图形语言:阴影部分为A ∩B4、性质:A ∩B =B ∩A ,A ∩A =A ,A ∩∅=∅∩A =∅,如果A ⊆B ,则A ∩B =A5、解题思路:单个数字交集找相同,不等式的交集画数轴,不同集合高度画不同。

二、并集1、文字语言:对于两个给定的集合A ,B ,由两个集合的所有的元素组成的集合,叫做A 与B 的并集,记作A ∪B ,读作“A 并B ”2、符号语言:A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }3、符号语言:阴影部分为A ∪B4、性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪A =A ,A ∪∅=∅∪A =A ,如果A ⊆B ,则A ∪B =B .5、解题思路:两个集合所有元素集中在一起,但是重复元素只写一次,要满足集合中的互异性三、补集1、全集:在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集.记法:全集通常记作U .2、补集(1)文字语言:如果给定集合A 是全集U 的一个子集,由U 中不属于A 的所有元素构成的集合,叫做A 在U 中的补集,记作A C U .(2)符号语言:}|{A x U x x A C U ∉∈=且(3)符号语言:(4)性质:A ∪∁U A =U ;A ∩∁U A =∅;∁U (∁U A )=A .【注意】并不是所有的全集都是用字母U 表示,也不是都是R,要看题目的。

四、利用交并补求参数范围的解题思路1、根据并集求参数范围:=⇒⊆ A B B A B ,若A 有参数,则需要讨论A 是否为空集;若B 有参数,则≠∅B 2、根据交集求参数范围:=⇒⊆ A B A A B若A 有参数,则需要讨论A 是否为空集;若B 有参数,则≠∅B 【知识点精讲】题型一并集、交集、补集的运算【例题1】(2022·浙江·杭十四中高一期中)设全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==,则S T ⋃=()A .{}3,5B .{}2,4C .{}1,2,3,4,5D .{}1,2,3,4,5,6【例题2】(2021春•山西大同期中)设集合{|1}A x x =<,{|22}B x x =-<<,则(A B = )A .{|21}x x -<<B .{|2}x x <C .{|22}x x -<<D .{|1}x x <【例题3】.(2022·江苏·高二期末)已知集合{}1,2A =,{}21,2B a a =-+,若{}1A B ⋂=,则实数a 的值为()A .0B .1C .2D .3【例题4】.(2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试(理))已知集合{}21A x x =-<≤,{}0B x x a =<≤,若{|23}A B x x =-<≤ ,A B = ()A .{|20}x x -<<B .{|01}x x <≤C .{|13}x x <≤D .{|23}x x -<≤【例题5】.(2021·北京昌平区·高二期末)已知全集{0,1,2,3,4,5}U =,集合{0,1,2,3}A =,{3,4}B =,则()U A B = ð___________.【例题6】.(2022·四川南充高一课时检测)已知全集{}16A x x =≤≤,集合{}15B x x =<<,则A B =ð().A .{}5x x ≥B .{1x x ≤或}5x ≥C .{1x x =或}56x <≤D .{1x x =或}56x ≤≤【例题7】.41.(2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中)已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-.(1)若4m =,求A B ;(2)若A B =∅ ,求实数m 的取值范围.【变式1】.(2022·河北邢台高二期末)若集合{}|24M x x =-<≤,{}|46N x x =≤≤,则A .M N ⊆B .{}4M N =C .M N ⊇D .{}26|M N x x =-<< 【变式2】.(2022·江苏常州高三开学考试)设集合{}11A x x =-<<,{}220B x x x =-≤,则A B ⋃=()A .(]1,2-B .()1,2-C .[)0,1D .(]0,1【变式3】(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(文))已知集合{}1,1,2M =-,{}2N x x x =∈=R ,则M N ⋃=()A .{}1B .{}1,0-C .{}1,0,1,2-D .{}1,0,2-【变式4】.(2022·浙江·三模)已知集合{}{}25,36P x x Q x x =≤<=≤<,则P Q = ()A .{}25x x ≤<B .{}26x x ≤<C .{}35x x ≤<D .{}36x x ≤<题型二并集、交集、补集综合运算及性质的应用【例题8】.(2022·河南洛阳高一课时检测)已知全集U ,集合{}1,3,5,7,9A =,{}2,4,6,8U C A =,{}1,4,6,8,9U C B =,则集合B =()A .{}1,5,7B .{}3,5,7,9C .{}2,3,5,7,9D .{}2,3,5,7【例题9】.(2022·重庆·西南大学附中模拟预测)已知集合{}|10A x ax =-=,{}*|14B x x =∈≤<N ,且A B B ⋃=,则实数a 的所有值构成的集合是()A .11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B .11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭C .111,,23⎧⎫⎬⎭D .110,1,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭【例题10】.(湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试)已知集合(,1][2,)A =-∞⋃+∞,{|11}B x a x a =-<<+,若A B =R ,则实数a 的取值范围为()A .(1,2)B .[1,2)C .(1,2]D .[1,2]【例题11】.(2022·云南昆明一中高一检测)已知A ,B 都是非空集合,(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉ .若{}02A x x =<<,{}0B x x =≥,则&A B =()A .{}0x x ≥B .{}02x x <<C .{0x x =或}2x <-D .{0x x =或}2x ≥【例题12】.(2021·江苏高一专题练习)已知集合{}42A x x =-<<,{}110B x m x m m =--<<->,.(1)若A B B ⋃=,求实数m 的取值范围;(2)若A B ⋂≠∅,求实数m 的取值范围.【变式1】(2022·辽宁沈阳高一课前预习)集合{}2320A x x x =-+=,{}2220B x x ax =-+=,若A B A ⋃=,求实数a 的取值范围.【变式2】.(2023·浙江高二开学考试)已知R a ∈,设集合{}22210A x x ax a =-+-<,{}2B x x =>,(1)当2a =时,求集合A .(2)若R A B ⊆ð,求实数a 的取值范围.【变式3】.(2022·四川乐山市高一单元测试)已知集合{}211A x a x a =-<<+,{}01B x x =≤≤.(1)在①1a =-,②0a =,③1a =这三个条件中任选一个作为已知条件,求A B ;(2)若R A B A ⋂=ð,求实数a 的取值范围.题型三Venn 图的应用【例题13】.(2021·贵州省思南中学高三月考(理))已知全集U =R ,集合{}23,A y y x x R ==+∈,{}24B x x =-<<,则图中阴影部分表示的集合为()A .[]2,3-B .()2,3-C .(]2,3-D .[)2,3-【例题14】.(2021·全国高三其他模拟)已知全集U x y ⎧⎫=∈=⎨⎩Z ,集合{}13M x x =∈-<Z ,{}4,2,0,1,5N =--,则下列Venn 图中阴影部分表示的集合为()A .{}0,1B .{}3,1,4-C .{}1,2,3-D .{}1,0,2,3-【例题15】.(2021·山东济南·高一期中)国庆期间,高一某班35名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》,有20人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为()A .8B .10C .12D .15【变式】.(2021·广东·广州外国语学校高一检测)某公司共有50人,此次组织参加社会公益活动,其中参加A 项公益活动的有28人,参加B 项公益活动的有33人,且A ,B 两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人,则只参加A 项不参加B 项的有()A .7人B .8人C .9人D .10人。

高中数学集合的概念讲义

高中数学集合的概念讲义

第1讲:集合的概念【知识梳理】一、元素与集合的概念1.元素:一般地,把研究对象统称为元素(element),常用小写字母a,b,c,…表示.2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集),常用大写字母A,B,C,…表示.3.集合相等:指构成两个集合的元素是一样的.4.集合中元素的特性:给定的集合,它的元素必须是确定的、互不相同的.二、元素与集合的关系三、【考点解析】考点一:确定性如果元素的界限不明确,就不能构成集合,例如:著名的科学家;比较高的人;成绩比较好的学生,跑得比较快的同学,接近于1的数等例1.下列各对象可以组成集合的是()A.与6非常接近的全体实数B.某校2021-2022学年度笫一学期全体高一学生C.高三年级视力比较好的同学D.与无理数π相差很小的全体实数变式训练1:下列选项中元素的全体可以组成集合的是()A.2007年所有的亚洲国家B.校园中长的高大的树木C.学校足球水平较高的学生D.中国经济发达的城市变式训练2:下列各组对象:①接近于0的数的全体;②比较小的正整数全体;③平面上到点O的距离等于1的点的全体;④正三角形的全体;⑤√2的近似值的全体.其中能构成集合的组数有()A.2组B.3组C.4组D.5组变式训练3:下列各组对象能构成集合的是()A.新冠肺炎死亡率低的国家B.19世纪中国平均气温较高的年份C.一组对边平行的四边形D.π的近似值考点二:互异性集合中的元素互相不相同例2.已知集合A是由a−2, 2a2+5a, 12三个元素组成的,且−3∈A,求a=________.变式训练1:已知集合A是由a+1,a−1,a2−3三个元素组成,若1∈A,则实数a的值为__________.变式训练2:已知集合A中的元素为−2,2a,a2−a,若2∈A,则a=__________.变式训练3:已知集合A中的元素为k+1,k−1,k2−3,若1∈A,则实数k的值为_____________.考点三:元素与集合的关系元素与集合之间只能用属于(∈)和不属于(∉).例3.下列元素与集合的关系表示正确的是()∈Q;④π∈Q.①0∈N∗;②√2∉Z;③32A.①②B.②③C.①③D.③④变式训练1:下列关系中,正确的个数为()①0∈N;②π∈Q;③√2∈Q;④−1∈Z;⑤√2∉R.A.1 B.2 C.3 D.4变式训练2:给出下列关系:①12∈R;②2∈Q;③|−3|∈N;④|−3|∈Z;⑤0∉N,其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4变式训练3:若集合A中的元素满足x−1<√3,且x R,则下列各式正确的是()A.3∈A,且−3∉A B.3∈A,且−3∈AC.3∉A且−3∉A D.3∉A,且−3∈A考点四:元素的个数例4.设集合A中的元素均为实数,且满足条件:若a∈A,则11-a∈A(a≠1,且a≠0).求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;(2)集合A不可能是单元素集.变式训练1:集合A中的元素为1, 2, 3, 5,当x∈A时,若x−1∉A,x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,则A中孤立元素的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4变式训练2:非空集合A具有下列性质:①若x、y∈A,则xy∈A;②若x、y∈A,则x+y∈A,下列判断一定成立的是()(1)−1∉A;(2)20202021∈A;(3)若x、y∈A,则xy∈A;(4)若x、y∈A,则x−y∉A.A.(1)(3)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(3)(4)【课堂检测】1、能够组成集合的是()A.与3非常数接近的全体实数B.很著名的科学家的全体C.某教室内的全体学生D.与无理数π相差很小的数2、下列各组对象不能构成集合的是()A.上课迟到的学生B.2021年高考数学难题C.所有无理数D.小于π的正整数3、下列各组对象不能构成集合的是()A.所有的长方形B.方程2x−1=0的整数解C.我国较长的河流D.出席十九届四中全会的全体中央委员4、下列判断正确的个数为()(1)所有的等边三角形构成一个集合;(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合;(3)质数的全体构成一个集合;(4)由6,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合.A.1 B.2 C.3 D.45、已知集合A中的元素为a+2,a2+2,若3∈A,则实数a的值为()A.1或−1B.1 C.−1D.−1或06、下列关系中,正确的个数为()∈Q;③0=∅;④0∉N;⑤π∈Q;⑥−3∈Z.①√5∈R;②13A.6 B.5 C.4 D.3∈N, x∈N,则集合A中的元素为______________.7、集合A中的元素x满足63−x∈A.8、设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则11−x(1)若2∈A,则A中至少还有几个元素?(2)集合A是否为双元素集合?请说明理由.,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A中(3)若A中元素个数不超过8,所有元素的和为143的元素.。

高一数学 集合(讲义)

高一数学 集合(讲义)

高一数学集合【知识要点】一、集合的含义及其表示1、一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。

集合中的每一个对象称为该集合的元素。

集合的性质:(1)确定性:班级中成绩好的同学构成一个集合吗?(2)无序性:班级位置调换一下,这个集合发生变化了吗?(3)互异性:集合中任意两个元素是不相同的。

如:已知集合A ={1,2,a},则a 应满足什么条件?常用数集及记法(1)自然数集:记作N (2)正整数集:记作*N N +或 (3)整数集:记作Z (4)有理数集:记作Q (5)实数集:记作R例:下列各种说法中,各自所表述的对象是否确定,为什么?(1)我们班的全体学生; (2)我们班的高个子学生; (3)地球上的四大洋; (4)方程x 2-1=0的解; (5)不等式2x -3>0的解; (6)直角三角形; 2、集合的表示法(1)列举法:把集合中的元素列举在一个大括号里:{…}(2)描述法:将集合的所有元素都具有的 性质(满足的条件)表示出来,写成{x| P (x )}的形式。

如:{x ︱x 为中国的直辖市}(3)集合的分类:有限集与无限集 <1>有限集:含有有限个元素的集合。

<2>无限集:若一个集合不是有限集,就称此集合为无限集。

<3>空集:不含任何元素的集合。

记作Φ,如: 二、子集、全集、补集1、子集的定义:如果集合A 的任一个元素都在集合B 中 则称集合A 为集合B 的子集,记作:A ⊆B B A ⊇或特别的:A AA ⊆∅⊆ 真子集的定义:如果A ⊆B 并且B A ≠,则称集合A 为集合B 的真子集。

2、补集的定义:设A 为S 的子集,由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集,记作:AC S ={x ∣x ∈S 且x ∉A},如果集合S 包含我们所要研究的各个集合,就把S 称为全集。

三、交集与并集的定义1、定义:一般地,由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合,称为A 与B 的交集;记作:A ∩B ;由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合,称为A 与B 的并集;记作:A ∪B 。

高一数学集合ppt课件最新版

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05
02
解析
对于A,解方程(x-1)(x+2)=0得到x=1或x=2,所以A={1,-2};对于B,解方程x^2-2x3=0得到x=3或x=-1,所以B={3,-1}。
04
解析
1.5不是自然数,所以1.5∉N;√2是 无理数,所以√2∉Q;π是实数,所以 π∈R。
06
解析
解方程x^2-4=0得到x=2或x=-2,所以 A={2,-2},又B={-2,2},所以A=B。
03
不等式与区间表示法
一元一次不等式解法
03
移项法
将不等式中的常数项移至右侧,使左侧只 含有一个未知数。
系数化为1
将未知数的系数化为1,得到标准形式的 不等式。
求解集
根据不等式的性质,求解出未知数的取值 范围。
一元二次不等式解法
配方法
通过配方将一元二次不等 式转化为完全平方形式, 从而求解。
公式法
解析
(1)因为f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x), 所以f(x)=x^2是偶函数;(2)因为 sin(-x)=-sinx=-f(x),所以f(x)=sinx 是奇函数;(3)因为|-x|=|x|=f(x), 所以f(x)=|x|是偶函数。
05
指数函数与对数函数
指数函数性质及应用
指数函数定义及图像特征 指数函数的值域和定义域
练习题与解析
解析
1. 由等差数列求和公式得 $S = frac{n}{2} times (a_1 + a_n)$,其中 $a_1 = 2, a_n = 29, n = 10$(因为 $29 = 2 + (n - 1) times 3$),所以 $S = frac{10}{2} times (2 + 29) = 155$。

数学必修1讲义

数学必修1讲义

高一数学第一章集合一、集合有关概念1.集合的含义:2.集合的中元素的三个特性:3.集合的表示:A={…}有法和法。

如:A={我校的篮球队员},B={太平洋,大西洋},C={x?R|x-3>2}★注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R4、集合的分类:(1)有限集含有个元素的集合;(2)无限集含有个元素的集合;(3)空集元素的集合。

例:{x|x2=-5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意:BA⊆有两种可能:(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

另外规定:空集是的子集。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA真子集:如果那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)规定:空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合,含有个子集,个真子集性质:如果A?B,B?C,那么AC;如果A?B同时B?A那么AB 2.“相等”关系:A=B如:(5≥5,且5≤5,则5=5)实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B即A B={x|x∈A,且x∈B}.由的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A B即A B={x|x∈A,或x∈B}).设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中A的补集(或余集)记作ACS,即CSA=},|{AxSxx∉∈且韦恩图示SAS性质 A A=AA Φ=ΦA B=B AA B ⊆AA B ⊆B A A=A A Φ=A A B=B A A B ⊇A A B ⊇B =C u (A B ) A (C u A)= A (C u A)=.记住这个结论:B B A A B A B A =⇔=⇔⊆例1:设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求例2:若集合}1,1{-=A ,}1|{==mx x B ,且A B A =⋃,求m 的值。

集合数学知识点高一讲解

集合数学知识点高一讲解

集合数学知识点高一讲解集合是数学中的一个基本概念,而集合论是现代数学的一个重要分支。

在高中数学的学习中,集合论也是一个重要的内容。

本文将为你带来高一阶段集合数学知识点的详细讲解,希望能够对你的学习有所帮助。

一、集合的基本概念1. 集合的定义集合是由具有某种特定性质的元素组成的整体。

常用大写字母A、B、C等表示集合,元素用小写字母a、b、c等表示。

一个集合可以用大括号括起来,元素之间用逗号隔开。

例如,集合A={1,2,3,4}表示由元素1、2、3、4组成的集合A。

2. 集合的元素关系若一个元素x是集合A的一个元素,则可以表示为x∈A。

若一个元素y不是集合A的一个元素,则可以表示为y∉A。

3. 空集和全集没有任何元素的集合称为空集,记作∅。

包含所有可能元素的集合称为全集,常常用符号U表示。

二、集合的表示方法1. 列举法通过列举集合中的元素来表示集合。

例如,集合A={1,2,3,4}。

2. 描述法通过刻画集合中元素的特点来表示集合。

例如,集合B={x|x是奇数}表示所有奇数的集合。

三、集合的运算在集合论中,常常需要对集合进行一些运算,以求出集合之间的关系。

1. 并集集合A和集合B的并集,表示为A∪B,是包含了所有属于A 或属于B的元素的集合。

例如,集合A={1,2,3},集合B={3,4},则A∪B={1,2,3,4}。

2. 交集集合A和集合B的交集,表示为A∩B,是包含了既属于A又属于B的元素的集合。

例如,集合A={1,2,3},集合B={3,4},则A∩B={3}。

3. 差集集合A和集合B的差集,表示为A-B,是包含了属于A但不属于B的元素的集合。

例如,集合A={1,2,3},集合B={3,4},则A-B={1,2}。

4. 互斥集互斥集是指两个集合没有相同的元素,即它们的交集为空集。

如果A∩B=∅,则集合A和集合B互斥。

四、集合的性质在集合论中,有一些重要的性质需要掌握。

1. 交换律对于任意的集合A和B,A∪B=B∪A,A∩B=B∩A。

高中数学_集合讲义

高中数学_集合讲义

集合第一课时含义与表示集合与元素1、元素--研究对象,用小写字母表示;2、集合--元素组成的总体,用大写字母表示3、集合特点:确定性、互异性、无序性4、集合分类:空集、有限集合、无限集合5、集合相等:不同集合的元素相同6、a 是A 的元素:a ∈A ;a 不是A 的元素:a ∉A常用数集1、非负整数N {0,1,2,3,4,5,......}2、正整数N +,N*{1,2,3,4,5,......}3、整数Z {......,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,......}4、有理数Q {x |x =p q ,p 、q ∈Z }5、实数R {x |数轴上点的坐标}6、复数C{x |x =a+bi ,a 、b ∈R }集合的表示1、列举法:{1,2,3,4,5,6,7},{1,1,3,5,8,13,21,29,......}2、描述法:{x |x 是飞机},{x |x=2n+1,n ∈Z }例:A={-2,-1,0},B={y |y=|x |,x ∉A },求B例:a 、b ∉R ,{1,a+b ,a }={0,b a,b },求b ﹣a 解析:根据b a 知a≠0,则a+b=0;b a=﹣1=a ;b=1例:{a-d ,a ,a+d }={1,q ,q 2},求q解析:由互异性知d≠0,q≠0或±1a=1a ﹣d=q a ﹢d=q 2a ﹣d=q 2a ﹢d=q得q 2﹢q ﹣2=0,即q=-2→d=±3a ﹣d=1a=q a ﹢d=q 2a=q 2a ﹢d=qa ﹢d=1a ﹣d=q a=q 2a ﹣d=q 2a=q例:A={x |x=m 2-n 2,m 、n ∈Z },①证明:3∈A ;②4k-2是否属于A解析:x=m 2﹣n 2=(m ﹣n)(m ﹢n)=3=1×3m ﹣n=1m ﹢n=3m=2n=1;m ﹣n=3m ﹢n=1m=2n=﹣1即∃m 、n ∈Z ∴x=3成立x=m 2﹣n 2=(m ﹣n)(m ﹢n)=1×(4k-2)=2×(2k-1)[讨论m ﹣n 、m ﹢n 奇偶性]思考:红帽3顶、黄帽2顶,老师给三个小孩戴上帽子(小孩不知道自己戴的颜色),要求根据其他小孩帽子的颜色说出自己帽子的颜色。

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集合一、学习要求1、理解集合,子集,并集,交集,补集的概念;了解属于、包含、相等关系的意义;2、掌握集合相关的术语和符号,并会运用它们正确表示一些简单的集合;3、掌握集合的并、交、补运算.知识网络结构图:概念绝对值不等式的解法↑↑集合 集合的应用↓↓运算一元二次不等式或绝对值不等式的解法二、知识要点1. 集合元素的三个属性:①确定性:每一个对象都能被确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合。

例如,“个子高的同学”;“很小的数”都不能构成集合。

集合的确定性主要用于判定一个总体是否能够形成集合。

②互异性:集合中的任意两个元素都是不同的对象。

例如,写成{1,1,2}等同于{1,2}。

集合的互异性使得集合中的元素没有重复。

当两个相同的对象在同一集合中出现时,它们只能算作是这个集合中的一个元素。

③无序性:集合中的元素可以任意排列,没有严格的次序要求。

例如,集合{a,b,c}与集合{c,b,a}表示同一集合。

2. 常见的几种集合:①有限集:含有有限个元素的集合;②无限集:含有无限个元素的集合;③单点集:仅含有一个元素的集合;④空集:不含有任何元素的集合。

注:单点集又称单元素集,其元素个数为1;空集又称虚无集,其元素个数为0.单点集和空集都是有限集。

3. 集合的表示方法:(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法。

列举法的表述形式有以下三种:① 集合是有限集且元素个数较少。

例如,由0,2,3,5组成的集合可表示为{0,2,3,5} ② 集合是有限集但元素个数较多。

例如,由从50到100的所有整数组成的集合可表示为{50,51,52,…,98,99,100}③ 集合是无限集而元素离散。

例如,由所有的正偶数组成的集合可表示为{2,4,6,8,…}(2)描述法:把集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法 。

描述法的表述形式有以下两种:① 数式形式:例如,由不等式32x ->的所有解组成的集合可表示为{}32x x ->;由直线1y x =+上所有点的坐标组成的集合可表示为(){},1x y y x =+。

② 语言形式:例如,由所有直角三角形组成的集合可表示为{直角三角形};由所有小于6的正整数组成的集合可表示为{小于6的正整数}。

4. 元素与集合之间的关系:元素与集合之间的关系有“属于”和“不属于”两种。

设A 是一个集合,a 是一个元素,若a 是A 的元素,则称a 属于A ,记作a A ∈;若a 不是A 的元素,则称a 不属于A ,记作a A ∉。

注:对于任意给定的集合A 及任意给定的元素a 来说,a 是否是A 的元素必定是完全确定的。

也就是说,a A ∈与a A ∉这两者之中必定有且只有一个是成立的。

5. 集合与集合之间的关系:集合与集合之间的关系有“包含”,“不包含”及“相等”三种。

(1)子集的定义:设A,B 是两个集合,若集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素,则称集合A 包含于集合B ,或称集合B 包含集合A ,记作A B ⊆(B A ⊇),此时我们也称集合A 是集合B 的子集。

也就是说,对于任意两个集合A,B ,若A B ⊆,则称集合A 是集合B 的子集。

若集合A 不包含于集合B ,则记作A B ⊄,此时集合A 显然不会是集合B 的子集。

(2)集合相等的定义:设A,B 是两个集合,若B A ⊆,同时A B ⊆,则称集合A 与集合B 相等,记作A = B 。

注:这一简单的事实在今后判定两个集合相等时会经常遇到。

(3)真子集的定义:设A,B 是两个集合,若A B ⊆且A B ≠,则称集合A 是集合B 的真子集。

规定:空集∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。

6. 集合的基本运算:集合有三种基本运算:并、交,补。

(1)并集的定义:设A,B 是两个集合,我们把A 中一切元素与B 中一切元素所组成的集合称为A 与B 的并集或并,记作A B ⋃,即{}A B x x A x B ⋃=∈∈或(2)交集的定义:设A,B 是两个集合,我们把A 与B 中公共的元素所组成的集合称为A 与B 的交集或交,记作A B ⋂,即{}A B x x A x B ⋂=∈∈且(3)补集的定义:设S 是一个集合,A 是S 的一个子集(即A S ⊆),则称所有属于S 但不属于A 的元素组成的集合为S 中集合A 的补集(或余集),记作S C A ,即{}s C A x x S x A =∈∉但关于集合的并、交、补这三种运算,我们有以下基本规律:定理:设A ,B 是两个集合,则以下三个条件等价:①A B ⊆;②A B B ⋃=;③A B A ⋂=.注:定理1即是说:对于任意两个集合A ,B ,A B ⊆⇔A B B ⋃=; A B ⊆⇔A B A ⋂=; A B B ⋃=⇔A B A ⋂=.7. 全集的定义:若集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,则我们可把这个集合看作一个全集,记作U.8. 集合的性质:①任何一个集合是它本身的子集,即A A ⊆;②空集∅是任何集合的子集,即A ∅⊆;③空集∅是任何非空集合的真子集;④空集的补集是全集;⑤若集合A =集合B ,则C B A = ∅, C A B = ∅;⑥若A B ⊆,B C ⊆,则A C ⊆.9. 集合元素的个数:设集合A 含有n 个元素,则①A 的子集有2n 个.②A 的真子集有2n -1个.③A 的非空真子集有2n -2个.10. De Morgan (德摩根)公式:①())()U U U C AB C A C B =( ②())()U U U C A B C A C B =(③U C U ∅=④U C U =∅三、例题精讲例1、下列各组对象中不能形成集合的是()A. 正三角形的全体B. 大于2的所有整数C .所有的无理数 D. 高一数学书中的所有难题例2、用适当的方法表示下列集合,并指出它们是有限集还是无限集.(1)方程210x x -+=的实数解组成的集合(2)方程2313x y +=与320x y -=的公共解组成的集合(3)2与3的正公倍数组成的集合(4)平面上到两定点A,B 的距离相等的点的集合例3、设{M x x =≤,a =A. a M ⊆B. {}a M ∈C. a M ∉D. a M ∈ 例4、写出集合61S x Z N x *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭的所有子集. 例5、已知{}2320A x R x x =∈-+=,{}22(9)(32)0B x R x x x =∈--+=。

求满足条件A P B ⊆⊆的集合P .四、课堂练习1、设A={三角形},B={等腰三角形},C={等边三角形},D={直角三角形}.则下列关系正确的是( )A .A D D ⋃= B. CB B ⋃= C.C B C ⋃= D. BD B ⋃=2、设A={1,3,x },B={2x ,1},且{}1,3,A B x ⋃=. 则这样不同的x 有( )个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 43、设M={1,-3,0},N={21t t -+},若M N M ⋃=,则t =_______.4、设{}2A x x =>-,{}3B x x =≥. 则A B ⋃=_______.5、设{}A x x =是平行四边形,{}B x x =是矩形.则A B ⋃=_______,A B ⋂=_______.6、设{}1,2,3A =,{}210,B x R x ax a R =∈-+=∈,则当A B B =时,a 的值是( ) A. 2 B. 2或3 C. 1或3 D. 1或27、若集合{}210,A x x ax a R =++=∈,集合{}1,2B =,且A B B =,则实数a 的取值范围是_______.课后作业1、集合{},,,,S a b c d e =中包含{},a b 的S 的子集共有( )A. 2个B. 3个C. 5个D. 8个2、设全集{}=1,2,3,4,5U ,集合{}14M =,,{}135N =,,,则()U N C M =( )A. {}13,B. {}15,C. {}35,D. {}45, 3、设=U R ,集合2212x A x x ⎧+⎫=≤⎨⎬-⎩⎭,{}2450B x x x =+->,则()R C A B =( ) A. [5,4)-- B. (5,4)-- C. (5,4]-- D. [5,4][1,2)--4、已知=U R ,集合{}223A y y x x ==++,{}2log (3)B x y x ==+,则)U C A B =(( )A. (2,3)-B. (2,)+∞C. [3,2)-D. (3,2)-5、设集合11()12x M x -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,{}12N x x =-≤,则N M =( )A. (1,)+∞B. (1,3]C. [1,1]-D. [1,3)-6、设{}2,1,3A a a =+-,{}23,21,1B a a a =--+,若{}3A B =-,则a =_______.7、设集合{}22(,),1A x y x y x y =+=为实数,且,{}(,),B x y x y y x ==为实数,且,则A B 的元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 08、设集合{}290A x x =-<,{}2B x x N =∈,则A B 的元素的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 6。

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