高中数学讲义之集合专题

集合

一、学习要求

1、理解集合，子集，并集，交集，补集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义；

2、掌握集合相关的术语和符号，并会运用它们正确表示一些简单的集合；

3、掌握集合的并、交、补运算.

知识网络结构图：

概念绝对值不等式的解法

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集合 集合的应用

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运算一元二次不等式或绝对值不等式的解法

二、知识要点

1. 集合元素的三个属性：

①确定性：每一个对象都能被确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合。例如，“个子高的同学”；“很小的数”都不能构成集合。集合的确定性主要用于判定一个总体是否能够形成集合。

②互异性：集合中的任意两个元素都是不同的对象。例如，写成｛1,1,2｝等同于｛1,2｝。集合的互异性使得集合中的元素没有重复。当两个相同的对象在同一集合中出现时，它们只能算作是这个集合中的一个元素。

③无序性：集合中的元素可以任意排列，没有严格的次序要求。例如，集合｛a,b,c｝与集合｛c,b,a｝表示同一集合。

2. 常见的几种集合：

①有限集：含有有限个元素的集合；

②无限集：含有无限个元素的集合；

③单点集：仅含有一个元素的集合；

④空集：不含有任何元素的集合。

注：单点集又称单元素集，其元素个数为1；空集又称虚无集，其元素个数为0.单点集和空集都是有限集。

3. 集合的表示方法：

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

列举法的表述形式有以下三种：

① 集合是有限集且元素个数较少。例如，由0,2,3,5组成的集合可表示为｛0,2,3,5｝ ② 集合是有限集但元素个数较多。例如，由从50到100的所有整数组成的集合可表示为

｛50,51,52,…，98,99,100｝

③ 集合是无限集而元素离散。例如，由所有的正偶数组成的集合可表示为｛2,4,6,8，…｝

（2）描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法 。 描述法的表述形式有以下两种：

① 数式形式：例如，由不等式32x ->的所有解组成的集合可表示为{}32x x ->；由直

线1y x =+上所有点的坐标组成的集合可表示为(){},1x y y x =+。

② 语言形式：例如，由所有直角三角形组成的集合可表示为｛直角三角形｝；由所有小于6

的正整数组成的集合可表示为｛小于6的正整数｝。

4. 元素与集合之间的关系：

元素与集合之间的关系有“属于”和“不属于”两种。

设A 是一个集合，a 是一个元素,若a 是A 的元素，则称a 属于A ，记作a A ∈;若a 不是A 的元素，则称a 不属于A ，记作a A ∉。

注：对于任意给定的集合A 及任意给定的元素a 来说，a 是否是A 的元素必定是完全确定的。也就是说，a A ∈与a A ∉这两者之中必定有且只有一个是成立的。

5. 集合与集合之间的关系：

集合与集合之间的关系有“包含”，“不包含”及“相等”三种。

（1）子集的定义：

设A,B 是两个集合，若集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 包含于集合B ，或称集合B 包含集合A ，记作A B ⊆(B A ⊇)，此时我们也称集合A 是集合B 的子集。也就是说，对于任意两个集合A,B ，若A B ⊆，则称集合A 是集合B 的子集。若集合A 不包含于集合B ，则记作A B ⊄，此时集合A 显然不会是集合B 的子集。

（2）集合相等的定义：

设A,B 是两个集合，若B A ⊆，同时A B ⊆，则称集合A 与集合B 相等，记作A = B 。 注：这一简单的事实在今后判定两个集合相等时会经常遇到。

（3）真子集的定义：

设A,B 是两个集合，若A B ⊆且A B ≠，则称集合A 是集合B 的真子集。

规定：空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

6. 集合的基本运算：

集合有三种基本运算：并、交，补。

（1）并集的定义：

设A,B 是两个集合，我们把A 中一切元素与B 中一切元素所组成的集合称为A 与B 的并集或并，记作A B ⋃，即{}A B x x A x B ⋃=∈∈或

（2）交集的定义：

设A,B 是两个集合，我们把A 与B 中公共的元素所组成的集合称为A 与B 的交集或交，记作A B ⋂，即{}A B x x A x B ⋂=∈∈且

（3）补集的定义：

设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A S ⊆），则称所有属于S 但不属于A 的元素组成的集合为S 中集合A 的补集（或余集），记作S C A ，即{}

s C A x x S x A =∈∉但

关于集合的并、交、补这三种运算，我们有以下基本规律：

定理：设A ，B 是两个集合，则以下三个条件等价：

①A B ⊆;

②A B B ⋃=;

③A B A ⋂=.

注：定理1即是说：对于任意两个集合A ，B ，

A B ⊆⇔A B B ⋃=； A B ⊆⇔A B A ⋂=; A B B ⋃=⇔A B A ⋂=.

7. 全集的定义：

若集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则我们可把这个集合看作一个全集，记作U.

8. 集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆；

②空集∅是任何集合的子集，即A ∅⊆；

③空集∅是任何非空集合的真子集；

④空集的补集是全集；

⑤若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅；

⑥若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆.

9. 集合元素的个数：

设集合A 含有n 个元素，则

①A 的子集有2n 个.

②A 的真子集有2n －1个.

③A 的非空真子集有2n －2个.

10. De Morgan （德摩根）公式：

①())()U U U C A

B C A C B =( ②())()U U U C A B C A C B =(

③U C U ∅=

④U C U =∅

三、例题精讲

例1、下列各组对象中不能形成集合的是（）

A. 正三角形的全体

B. 大于2的所有整数

C ．所有的无理数 D. 高一数学书中的所有难题

例2、用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.

（1）方程2

10x x -+=的实数解组成的集合

（2）方程2313x y +=与320x y -=的公共解组成的集合

（3）2与3的正公倍数组成的集合

（4）平面上到两定点A,B 的距离相等的点的集合