有限单元法的基本应用

8.
计算结果输出
求解出整体结构的位移和应力后 ，可有选择地整理输出某些关键点的位移 值和应力值，特别要输出结构的 变形图、 应力图、应变图、结构仿真变形过程动画 图及整体结构的弯矩、剪力图等等。
有限单元法的基本应用
在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所 有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设 计和分析中将得到越来越广泛的重视。 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人 力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最 为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美 国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有 限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目 前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。
有限单元法的基本应用
ABAQUS分析功能简介静力分析 ABAQUS支持全范围的材料模式，包括: 均质 各项同性材料,正交各项异性材料, 各项异性 材料,随温度变化的材料。在静力分析中除线 性外, ABAQUS还可处理一系列具有非线性属 性的静力问题, 主要分为几何非线性, 材料 非线性及考虑接触状态的非线性，如塑性、 蠕变、大变形、大应变和接触问题等。
有限单元法的基本应用
目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批 规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用
有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的
PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、 ANSYS 、 BERSAFE 、 BOSOR 、 COSMOS 、 ELAS 、 MARC和STARDYNE等公司的产品。
例如：
3.
选择单元的位移模式
结构离散化后，要用单元内结点的位移通过插值 来获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是 假定单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移 多项式的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至 少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项， 则应视单元的类型而定。
f N e
1)连续性 2)均匀性 3)各向同性 4)小变形 没有完全弹性假设，因为材料力学研究的不
仅是物体的弹性阶段，还包括塑性阶段。
经过物体内任一点如P点取出一个微小的正六面
体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别 为： PA x, PB y, PC z 。将每个面上的应力分 解为一个正应力和两个切应力。正应力用 表 示，切应力用 表示。 A. 作用面的外法线方向 应力下标的含意：
非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人 员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力 和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等专长于求解非线 性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。
有限单元法的基本应用
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速 度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越 来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却日益突 出。 在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方 程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计 算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备 和结果分析上。
二、弹性力学知识回顾
初中物理－力学 高中物理－力学 大学物理－力学
理论力学 流体力学 弹性力学 材料力学 断裂力学
力的概念 理论力学其实就是质点力学和刚体力学，是从牛顿定律
演绎而来的。 研究对象：质点、质点系、刚体、刚体系。 研究内容：物体机械运动的一般规律
弹性力学知识回顾 理论力学的研究对象和内容

弹性力学基本方程（矩阵形式）

平衡方程： A f 0 （在V内）
（在V内） （在V内）
几何方程： Lu 物理方程： D

力的边界条件： T T 0 位移边界条件： u u 0
（在 S 上）
（在 Su 上）
四、有限单元法的基本应用
有限单元法的基本应用
ABAQUS分析功能简介热传导分析
ABAQUS提供广泛的温度相关的热传导分析支持 能力。 基于一维、二维、三维热分析单元, ABAQUS可以解决包括传导、对流、辐射、相 变、热控系统在内所有的热传导现象。 FEPG提供了适于稳态或瞬态热传导分析的线 性、非线性算法。
要的理论基础和计算方法。
弹性力学的研究对象
弹性 ——物体的应力和应变之间有着一一对应
的关系，且当外作用除去后，物体可 恢复原状的特性。 弹性体——仅有弹性性质的一种理想物体。 弹性力学——研究弹性体在外界因素（外力作用 温度变化、边界约束等）影响下， 其内部所产生的应力、形变和位移 的学科。
有限单元法的基本应用
从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题
有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来， 逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实 践证明这是一种非常有效的数值分析方法。 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁 场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求 解几个交叉学科的问题。
一、有限元法的基本思想 假想的把一连续体分割成数目有限的小体
彼此间只在数目有限的指定点（结点）处相互连 结，组成一个单元的集合体以代替原来的连续体， 再在结点上引进等效力以代替实际作用于单元上 的外力。选择一个简单的函数来近似地表示位移 分量的分布规律，建立位移和节点力之间的关系。
有限元法的实质是：把有无限个自由度的连 续体，理想化为只有有限个自由度的单元集合体， 使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。
函数）
再把（３－２）式代入物理方程，可导出用单元结点位 移列阵表示的单元应力表达式：
DB
e
（3-3）
5. 建立整体结构的刚度方程
k e 组集成总纲K ，并将Re 组集成 用直接刚度法将单刚 总载荷列阵 R，形成总体结构的刚度方程： K R （3-6）
例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形， 而塔的变形又反过来影响到气流的流动……这就需要 用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代 求解，即所谓"流固耦合"的问题。
有限单元法的基本应用
由求解线性工程问题进展到分析非线性问题
线性理论已经远远不能满足设计的要求。
例如：航天和动力工程的高温部件存在热变 形和热应力，要考虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡 胶和复合材料等各种新材料的出现，只有采用非线性有 限元算法才能解决。
物体在空间的位置随时间的改变 a) 静力学
b) 运动学 c) 动力学
弹性力学知识回顾 材料力学的研究对象、内容和任务
对象 ——杆状结构 内容——杆件在拉压、剪切、弯曲、扭转和组合 受力作用下的应力和位移 任务——在满足 强度 、刚度 和 稳定性形式和尺寸并选择适宜的材料提供必
6. 求解修改后的整体结构刚度方程 考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之 后，（3-6）式就变成以结点位移为未知数的代数方 程组。解此方程组可求出结点位移。 7. 由单元的结点位移列阵计算单元应力
解出整体结构的结点位移列阵 e 后，再根据单 e 元结点的编号找出对应于单元的位移列阵 ，将 代入（3-3）式就可求出各单元的应力分量值。
有限单元法的基本应用
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能 目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功 能很强的前置建模和后置数据处理模块。使用 户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动 划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将 大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图， 便于极值搜索和所需数据的列表输出。
有限单元法的基本应用
与CAD软件的无缝集成 当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件 的集成使用， 即：在用CAD软件完成部件和零件的造 型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分 析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直 到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。当 今所有的商业化有限元系统商都开发了和著名的CAD 软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、 SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。
力数值来表示。
2) 内力
定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。
求解方法：截面法
3)应力:内力集度。反映内力分布情况（应力场） z
m P
A


I
p
F
ΔF p lim ΔA0 ΔA
II n
o
y 沿截面切向和法 向分解为 和
量纲： L1MT 2
x
弹性力学的研究方法
已知量：物体的形状和大小、材料性质、体力、边
1、平衡方程
x yx zx fx 0 x y z xy y zy fy 0 x y z xz yx z fz 0 x y z
A f 0
2、几何方程
u v w x y z x y z u v xy yx y x v w yz zy z y u w zx xz z x
弹性力学中的几个基本概念
1) 外力（体力、面力) 2) 内力 3) 应力 4) 位移 5) 形变
1) 外力（体力、面力）
定义：其它物体对研究对象（弹性体）的作用力。 1) 体力:分布在物体体积内的力如重力、惯性力和电
磁力。 2) 面力：分布在物体表面的力如流体压力和接触力。 体力和面力均表示单位体积、面积上的作用力，所以考 虑平衡条件求合力时，须乘以相应的体积和面积。 无论那个位置的体力、那一边界面上的面力，均以正 标向为正，且斜面上的面力是以单位斜面面积上的作用
A. 作用面的外法线方向 B. 力的指向
正六面单元体的取法
ij (i, j x, y, z )
B. 力的指向
i (i x , y , z )
ii
z
C
zx yx x P zy xz
z zy
xy xy
zx z
x
xz
yz
y
y
yz
yx
B
A
o
y
x
建立弹性力学基本方程（矩阵形式）
有限元法算题的基本步骤 1. 力学模型的选取 （平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对 称问题，空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称 y 例如： 或反对称等）

x
为平面应力问题 ，由于结构的对 称性可取结构的 1/4来研究，故 所取的力学模型
2. 单元的选取、结构的离散化
根据题目的要求，可选择适当的单元把结构离散 化。对于平面问题可用三角元，四边元等。
界上的面力或约束。 待求量：应力、形变和位移。 解法： 在弹性体内部：根据微分体上力的平衡条件，建立平 衡微分方程；根据微分线段上应变－位移的几何条件， 建立几何方程；根据应力－应变间的物理条件，建立物 理方程
在弹性体边界上：根据面力条件，建立应力边界条件
；根据约束条件，建立位移边界条件。
基本假设
（3-1）
f ——单元内任一点的位移列阵； e ——单元的结点位移列阵； N ——单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐
标的函数）
4.
单元的力学特性分析
把（3-1）式代入几何方程可推倒出用单元 结点位移表示的单元应变表达式：
B
e
（3-2）
式中：
——单元内任一点应变列阵； B ——单元的应变矩阵；（它的元素仍为位置坐标的
Lu
3、物理方程
D
1 1 1 E (1 ) D * (1 )(1 2 )
0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 0 0 2(1 ) 1 2 0 2(1 ) 1 2 2(1 ) 0 0