分形维数简介[开题报告]

毕业论文开题报告

数学与应用数学

分形维数简介

一、选题的背景与意义

由于计算技术和计算机图形学的进展，分形几何得到了速度的发展.分形这个名词Mandelbrot在20世纪70年代为了表征复杂图形和复杂过程首先将拉丁文Fractus转化后引入自然科学领域的.

在分形名词使用之前的一个世纪，一些数学家就研究过不少奇异的、不光滑的集合，如Weierstrass型函数、Cantor集、Peano曲线、Koch曲线、Sierpinski缕垫和海绵等.这些都属于规则的分形图形，它们是数学家按一定的规则构造出来的、具有严格的自相似性的分形图形，它们都属于自相似分形集.

1913年Perrin对变换无穷的布朗运动轨迹进行了深入的研究，明确指出布朗运动轨迹不具有导数.自然界的许多事物也具有不光滑性和不规则性.它们和几何学中的规则图形是不同的，这表现在对它们进行测量时，其被测值的大小一般随测量尺寸的变化而发生着变化，在一定测量范围内两者存在着幂函数关系.为了测量这些集合，1915年豪斯道夫引入了豪斯道夫维数的概念，这类统计自相似性图形和曲线的豪斯道夫维数一般都不是整数，而是一个分数值.20世纪20年代到70年代，维数理论得到了进一步的发展，引入了多种不同定义的维数使分形理论初具雏形.但这些研究大多局限于纯数学领域，基本上没有在其他学科中得到应用.

Mandelbrot在1988年出版了《Fractal： Chance and Dimension》一书，1982年又出版了《The Fractal Geometry of Nature》一书.在这两本书中他将分形的理论及应用推动道一个全新的阶段.在这个阶段中分形理论本身得到迅速的发展、并得到科学界的广泛重视，同时在物理学、化学、生物学、地学、材料科学、表面科学、纳米科学乃至经济学等广泛的领域得到了应用．

“世界是非线性的”，分形无处不在.分形学科的诞生，使得我们重新审视这个世界.当人们用分形的观点重新审视自然物时，发现自然界的各种各样自然形态本质上都具有分形的结构. 而分形维数是描述分形最主要的参量.它反映了复杂形体占有空间的有效性和复杂形体不规则性的量度.它不仅在理论上，而且在实际上都具有着重要的价值.

二、研究的基本内容和拟解决的主要问题

本论文主要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来了解分形维数的一些常用定义，和简单计算方法，并且通过分形维数解决一些实际问题.

本论文首先先介绍了分形维数的一些常用定义：豪斯道夫（Hausdorff）维数;计盒维数;自相似集的维数;关联维数;广义维数；填充维数.

其次，介绍一些分形维数的计算方法和技巧.计算方法:根据分布函数求维数;根据测度关系求维数;根据关联函数求维.计算技巧除了基本方法、还有有限测度子集;位势理论方法;傅里叶变换法.

最后，介绍了一些分形维数的应用:分形维数-固体“类流态”在地震研究中的应用；分形维数在人文地理学中的应用；分形维数在地理信息科学研究中的应用；分形维数在活性炭研究中的应用；分形维数在图像分析中的应用.

三、课题的研究内容及拟采取的研究方法、技术路线及研究难点，预期达到的目标

（1）研究内容

主要的研究内容是分形维数．

（2）研究方法

探讨分形维数的一些常用定义、计算方法和在各学科当中的应用．主要是通过大量的搜查相关资料，寻找相关信息，总结分形维数的一些常用定义、简单的计算方法和应用.我将会通过上网和去图书馆借相关的书来得到资料信息．

（3）技术路线

尽可能的收集足够的相关资料，对资料中的理论研究成果进行整理分析，相互比较后进行总结并尽量得到新的应用．

（4）研究难点

分形维数在各个学科中的应用．

（5）预期达到的目标

能够用分形维数更有效的解决实际中的一些问题．

四、论文详细工作进度和安排

（一）第七学期第9-10周：

确定论文题目；开始查阅文献资料，收集各种纸质、电子文件信息、材料并对其进行加工整理，形成系统材料；确定外文翻译资料；

（二）第七学期第11-12周：

仔细研读，分析资料，完成外文翻译；

（三）第七学期第13-17周：

认真阅读文献资料，加以归纳总结，完成文献综述及开题报告；

（四）第七学期第18周：

完成网上确认；

（五）寒假期间：

完成论文初稿；

（六）第八学期第1-3周：

修改论文初稿，并确定进入实习阶段；

（七）第八学期第4-10周：

进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改；

（八）第八学期第11周：

完成毕业实习返校，并提交毕业实习报告；

（九）第八学期第12-14周：

对论文进一步修改，并定稿；

（十）第八学期第15-16周：

准备并完成毕业答辩.

五、主要参考资料

[1]Claude Tricot. Curves and Fractal Dimension [M]. Springer-Verlag, 1993.

[2]孙霞, 吴自勤, 黄畇. 分形原理及其应用[M]. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2003.

[3]李水根. 分形[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.

[4]Kenneth Falconer. Fractal Geometry – Mathematical Foundations and Applications [M]. Wiley, 2003.

[5]文志英. 分形几何的数学基础[M]. 上海: 上海科技教育出版社. 2000.

[6]孙博玲. 分形维数Fractal dimension及其测量方法[J]. 东北林业大学学报. 2004, 32(3): 116-119.

[7]叶弘, 麻亚宁. 奇妙的分形与分维-固体“类流态”在地震研究中的应用[J]. 天津科技. 2002, 29(3):

10-12.

[8]岳文泽, 徐建华, 司有元, 徐丽华. 分形理论在人文地理学中的应用研究[J]. 地理学与国土研究. 2001,

17(2): 51-56.

[9]吴兵, 葛昭攀. 分型理论在地理信息科学研究中的应用[J]. 地理学与国土研究. 2002, 18(3): 23-26.

[10]庄强, 李铁虎, 陈青香, 李凤娟, 程有亮. 分形理论及其在活性炭研究中的应用[J]. 炭素技术. 2009,

28: 36-40.

[11]朱凯, 李晓宁. 分形维数及其在图像分析中的应用研究[J]. 河南师范大学学报. 2010, 38(2): 176-179.

[12]曹文伦, 史忠科, 封建湖. 分形维数及其在图像分类中的应用研究[J]. 计算机应用研究. 2007, 24(4):

156-208.