瞬时速度

解： y f (1 x) f 1 (1 x)2 12 2x (x)2
y 2x (x)2 2 x
Байду номын сангаас
x
x
f ' 1 lim y lim (2 x) 2
x x0
x0
f ' 1 2
由定义求导数（三步法）
步骤: (1)算增量y f (x0 x) f (x0 )
(2) 算比值 y f (x0 x) f (x0 ) ;
1
g(6
t)
t
t
2
跟踪练习： 1.一球沿一斜面自由滚下，其运动方程s=t2,求t=5 时的瞬时速度？
2.质点M按规律s=2t2+3做直线运动，求质点M在 t=2时的瞬时速度？
二.导数的概念
一般地,函数 y f x在x x0处的瞬时变化率是
lim f x0 x f x0 ,我们称它为函数
如何求割线的斜率?
y
y=f(x) Q
y
x
o
P
x
kPQ
f ( x0 x) f ( x0 ) y
(x x) x
x
曲线在点P处的斜率
tan lim y lim f (x0 x) f (x0)
x0 x x0
x
例1:已知 f (x) x2,求曲线
y=f(x)在x=2处的切线的斜率.
解 : 先求过(2,4)点的任意一条割线入手
△t 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001
平均速度 -13.59
-13.149 -13.1049 -13.10049 -13.100049 -13.1000049
观察 当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势?
时间区间
△t
平均速度
[1.9，2]
－0.1
-12.61
都对应着一个确定的导数 f ' x 这样就在开区间(a,b)内构成
了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的 导函数，简称为导数，记作
f
' ( x)
或
y
'
(或y
' x
)
即 y' f '(x) lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
例1.求y=x2在点x=1处的导数
跟踪练习：P119练习题
练习1：
求曲线 y 1 x3 2 在点 (1, 7)处的倾斜角
3
3
练习2:如图,已知曲线
y
1
x 3上一点
P
(
2,
8 ,
)
求:
3
3
(1)点P处的切线的斜率;
(2)点P处的切线方程.
问题情境:
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试 确定t=2s时运动员的速度。
P(2,4),Q(2 x, (2 x)2 ),则
kPQ
(2 x)2 4 (2 x) 2
4
x
当x无限趋近于0时, kPQ无限趋近于常数4 所以点P(2,4)处的切线斜率为4
利用割线求切线
求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步
（1）求⊿y； (2)求 y 并整理；(即求割线的斜率) x (3)求 lim y ； x0 x
x0
x
y f x在x x0处的 导数
记作
f
' x0 或 y'
|xx0 即 f
'
x0
lim x0
f
x0
x
x
f
x0 .
f ' x0 表示函数y= f x在点x0处的导数.
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开 区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x，
二、瞬时速度：
一般地，设物体的运动规律是s＝f(t)，则物 体在t到t+Δt这段时间内的平均速度为
s f (t t) f (t)
t
t
物体在时刻t的瞬时速度，就是物体在t到t+Δt这 段时间内，当Δt→0时的平均速度的极限；
v(t) lim s lim s(t t) s(t)
t t 0
(2)求函数 y x 1 在x=2处的导数. x
解：(1)y (1 x)2 12 2x (x)2,
y 2x (x)2 2 x,
x
x
当x
0时，y x
2,
y
|x1
2.
(2)y (2 x) 1 (2 1) x x ,
2 x 2
2(2 x)
x x
y 2(2 x) 1 1 ,
t 0
t
例1：一物体做自由落体的运动方程是：s 1 gt 2 2
其中g=9.8m/s2,求物体在t=3这一时刻的瞬时速度。
解析：取一小段时间[3,3+⊿t],在这段时间⊿t内，
物体的位移改变量为：s 1 g(3 t)2 1 g • 32
2
2
1 g(6 t)t 2
v
s
1 2
g(6 t)t
(1)计算运动员在2s到2.1s(t∈[2,2.1])内的 平均速度。
v H (2.1) H (2) 13.59(m / s) 2.1 2
(2)计算运动员在2s到2+⊿t (t∈[2,2+⊿t])内 的平均速度。
时间区间 [2，2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001]
[1.99,2]
－0.01
-13.051
[1.999,2] －0.001 -13.0951
[1.9999,2] －0.0001 -13.09951
[1.99999,2] －0.00001 -13.099951
我们发现,当t趋近于0 时,即无论t从小于2 的一边, 还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一 个确定的值 13.1. 该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。
平均变化率的概念： 一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定
义域内不同的两点 记△x=x1－x0
则△y=y1－y0 =f(x1)－f(x0) =f(x0+△x)－f(x0).
则当△x≠0时，商 y f (x0 x) f (x0 )
x
x
称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x] (或[x0+△x，x0])的平均变化率。
x
x
(3) 求导数A X 0时，y A x
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解：y [(1 x)2 2] (12 2) (x)2 2x
y 2x (x)2 2 x
x
当x
x0时，y
2
x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数;