离散数学 群论

§ 6.1
半群与单位半群
定义6.1.1 设S是一个非空集合，若“O” 为S 上的二元代数运算，且满足结合律，则称 该代数系统（S，O ）为半群。即:对S内的 任意元素a,b,c,有(ab)c=a(bc) 一个半群，如果其运算又满足交换律， 则称其为可换半群. 例1 设S是一个非空集合，ρ（S） 是S的幂 集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算， 则（ρ（S），∩）为半群，（ρ（S），∪） 为半群。
在这一时期, 碰巧还有一位年轻人 也在勤奋地钻研这个问题, 而且最终取 得了成功, 他就是伽罗华(Galois). 可是这位年轻人获得的非凡成果, 在他因决斗去世11年后才开始得到数 学界的承认. 伽罗华1811年10月降生于巴黎近 郊. 14岁那年因考试不及格而重上三年 级.
15岁参加声望很高的巴黎高等工 科大学的入学考试时, 伽罗华失败了, 不得不进入较普通得师范学校. 就是在这所学校, 伽罗华写出了他 的第一篇关于连分数的数学论文, 显示 了他的能力. 他的下两篇关于多项式方程的论 文遭到法国科学院的拒绝. 更遭的是, 两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了.
7月4日, 他终于打听到他给科学院的那 篇论文的命运: 因“无法理解”而遭拒绝. 审稿人是著名的数学家泊松(Poisson). 7月14日他又遭逮捕并被判了六个月监 禁, 因为他在公共场所身着已被解散的国民 卫队的制服. 在获释不久, 他陷入了与斯特凡妮小姐 的恋情. 这导致了他的早亡. 这次恋爱事件 不知何故引出了一场决斗.
定理6.4 一个有可列个元素的单元半群的运 算组合表每行（列）内容均不相同 定理6.5一个单元半群(M, O)如果存在一个子 系统(M′, O)且其单位元素1∈M ′，则(M′, O) 亦是一个单元半群 定义6.5一个单元半群(M, O)如果存在一个子 系统(M′, O)且1∈M ′，则(M′, O)亦是一个单 元半群，称为(M, O)的子单元半群
定义6.6 一个单元半群如果由它的一个元素a所生 成（单位元素也可由a生成），则称由a所生成的 循环单元半群；而a叫做单元半群的生成元素.
定理6.6一个循环单元半群是一个可换单元半群
定理6.7 一个可换单元半群它的所有等幂元素构成 一个子单元半群. 定理6.8一个单元半群的任一子系统均可加上单位元 素而构成一个子单元半群
定理6.2 一循环半群一定是可换半群.
定理 6.3 一个半群内的任一元素和它所有的 幂组成一个由a生成的循环子半群.
6.1.2 单元半群
定义 6.4 设一个代数系统 (M, O) ，其中“O”二元运 算，它满足结合律，并且存在单位元素，则称该 代数系统（M，O ）为单元半群。即:对M内的任 意元素a,b,c,有(ab)c=a(bc) 且存在一个 1∈M，对任一个a∈M有1a= a1=a 一个单元半群，如果其运算又满足交换律，则 称其为可换单元半群. 如，整数集上的模m同余关系R所划分的类它的商 集I/R记为Zm，故有Zm ={ [0] ，[1] ，…， [m-1] }
注意：群的定义实际上包含5个条件：
（1） G非空； （2）O 运算封闭； （3）O 运算满足结合律； （4）O 运算在G中有单位元； （5） G中任意元素对 O 运算有逆。
例1 设Z为整数集，+、 O是数的加法和乘法， 则半群（Z， +）是群，称为整数加法群。 因为存在元素0，适合对于Z中任意元 素a，都有0 + a = a + 0= a，即0为单位元 素；且对于Z中任意a，都可找到Z中一个 元素-a，满足a + （-a） = （-a） + a = 0， 即-a为a的逆元素。
这时，Abel敏感地猜想到一般五 次方程不可能用根式求解的结论Baidu Nhomakorabea 接着，Abel成功地证明了一条定 理，今天称之为Abel定理。由此定理， Abel就证明了：“高于四次的一般方 程不可能有一般形式的根式解”。这 是数学史上的一项重要成就。
但是虽然没有通用公式, 有些特殊的五 次方程有求根公式, 那么自然会问: 如何判 定一个给定的五次方程是否有这样的求根 公式? 对具有根式解的代数方程的特征问题， 阿贝尔一直在竭尽全力地研究这个问题.不 幸的是，1829年死神夺去了年仅26岁的他， 使他即将完成的光辉事业功亏一篑。
例2 设S是一个非空集合，规定S上的运算如 下：ab=b，其中a，b是S中任意元素。 显然,“”为S上的二元代数运算。 对S中任意三个元素a，b，c，有： (ab)c=bc=c， a(bc)=a c=c 故，(ab)c = a(bc)， “”满足结合律，因此，(S， )为半群。 例3 自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实 数集R关于普通加法或乘法都可以构成半 群.
群的一些性质
（1）群满足消去律 （2）阶大于1的群一定没有零元素，因为零 元素不存在逆元素 （3）除单位元素外，一个群一定没有等幂元 素 （4）一个群（G，O ）的方程：a O x=b 与 y O a=b 中a，b ∈ G在群内有唯一解
性质（2） 当G≠{e}时, 群（G，*）中不可
能有零元. 证明: 由G≠{e}知,︱G︱>1,反设 （G，*）中有零元θ,则对x∈G， x*θ=θ*x=θ ≠ e.故θ无逆元, 与 （G，*）是群矛盾. （注意，G={e}时,e既是单位元，又是零元。）
1829年7月, 他在巴黎高等工科大学的 入学考试中再次失败. 怀着沮丧之情, 伽罗华于1830年初又向 科学院提交了另一篇论文, 这次是为竞争一 项数学大奖.
科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿
拿回家去审读, 不料在写出评审报告前去世 了, 此文再也没有找到.
三失手稿, 加之考巴黎高等工科大学两 度失败, 伽罗华遂对科学界产生排斥情绪, 变成了学生激进分子, 被学校开除. 担任私人辅导教师谋生, 但他的数学研 究工作依然相当活跃. 在仔细研究了 Lagrange、Gauss、Abel、Cauchy等人著 作的基础上写出了最著名的论文“关于方 程可根式求解的条件”, 并于1831年1月送 交科学院. 到3月, 科学院方面仍杳无音讯, 于是他 写信给院长打听他的文章的下落, 结果又如 石沉大海.
Lagrange的洞察力启发了年轻的Abel与 Galois，他们在继承了Lagrange留下的宝 贵遗产基础上，各自作出了重要的贡献。 尤其是，犹如划破黑夜长空的一颗彗星— —Galois的出现，开创了置换群论的研究. 1824年, 挪威数学家阿贝尔(Abel)证明 了拉格朗日的看法. 阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗 日、高斯有关方程式论的著作。开始时， 他利用高斯处理二项式方程的具体方法去 研究五次方程，曾一度以为能用根式解出 五次方程，但很快他发现其中存在的问题。
ax bx c 0
2
的求根公式
b b 4ac x 2a
2
与一次方程的解得到原方程的解。为此， 人们试图对次数更高的方程得到类似的 求解公式.
形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求 根公式直至16世纪才被发现. 它是由意大利数学家费罗(Ferro)和丰 塔那(Fontana) 彼此独立得到的. 1545年, 卡尔达塔(Cardano)在他的 《大术》(Ars Magna)一书中公开发表了丰 塔那的方法. 这部书还讲述了费拉里 ( Ferrari)求解四次方程的方法.
群的第二定义
定义6.12 一个代数系统若满足下列条件，则 称为群 （1）满足结合律 （2）如果a，b ∈ G，则方程式a O x=b 与 y O a=b 在G内有唯一解
定义6.13 设（G，O ）与（H，*）是两个群， 若存在一个函数g：G→H,使得对每个a，b ∈ G有g(a O b)=g(a) * g(b)则称g是从（G， O ）到（H，*）的群同态 如果g：G→H是一一对应的，则称g是从（G， O ）到（H，*）的群同构
例2 令G={e,a,b,c}，*运算由下表给出。容易 验证*运算满足结合律，e是G中的单位元，任 意元素a的逆a-1=a。G关于*运算构成一个群， 称为Klein四元群。
e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e
e a b
c
例6.2.6 G={1,-1}关于普通乘法运算 构成一个群. 例6.2.7 G={1, -1, i, -i}关于普通乘法 运算构成一个群, 其中 i=(-1)1/2. 例6.2.8 G={0, 1, …, n-1}关于模n的 加法作成一个群, 记为Zn.
6.2
群
6.2.1 群与群的同构 定义6.7 一个代数系统（G，O ）如果满足下 列条件： (1)满足结合律，即:对G内的任意元素a,b,c, 有(ab)c=a(bc) (2)存在单位元素，即存在一个元素1 ∈ G， 对G中任意元素a，有1 a = a 1 = a (3)存在逆元素，即对G中任一元素a，均有 G中一个元素a-1，满足a a-1 = a-1 a = 1 则称此代数系统（G，O ）为群
定义6.3 一个半群(S, O)，若它的每个元素均 为S内某一固定元素a的某一方幂，则此半 群叫由a所生成的循环半群，元素a叫此半 群的生成元素. 推广 若一个半群(S, O)，它的生成元素不是一 个而是有限个元素，它们组成集合M，则 称此半群为由集合M所生成的半群，集合M 叫生成集. 如，代数系统(Z+,+)中Z+为正整数集，此代数 系统是一循环半群，生成元素是1
第六章 群论
§ 6.1 § 6.2 半群与单位半群 群
I. 群论的出现
群论是现代数学非常重要的分支, 群论产生的 开端非常平凡, 但是群论的创立者却充满了传奇. 代数方程根式解法的研究有很悠久的历史。大家 知道，一个实系数的代数多项式在实数域中只要 能分解成一些实系数的一次因式与二次因式的乘 积，则利用我们熟知的二次方程
定理6.1 一个半群(S, O)，若它又一个子代数 (M, O)，则此子代数也是一个半群. 定义6.2 一个半群(S, O)的子代数(M, O)，也是 半群，叫做半群(S, O)的子半群. 一个半群(S, O)对它的任一元素a，可以定义 它的幂 a1=a，a2=aa，…，an+1=an a 有(1) aman=am+n，(2) (am)n=amn 若a2=a，称a为等幂元素.
1832年5月29日, 决斗的前夜, 伽罗华 写了封很长的信给他的朋友舍瓦利耶 (A.Chevalier), 其中大致描述了他的数学 理论, 从而给数学界留下了唯一一份重要 手稿，奠定了近世代数的理论基础，否则 将使数学界乃至科学界蒙受重大损失。 在第二天的决斗中(离25步远用手枪射 击), 伽罗华的胃部中弹, 24小时后去世. 享 年不足21岁. 伽罗华留给世界的最核心的概念是(置 换)群, 他成了群论的创始人.
定义6.8 一个群（G，O ）如果满足交换律则称为可 换群或阿贝尔群. 定义6.9 一个群（G，O ）如果它的子代数（H，O ） 也是一个群，则称（H，O ）是（G，O ）的一个 子群. 定义6.10 一个群如果它的元素个数有限，则称为 有限群，如果它的元素个数无限，则称为无限群. 定义6.11 每个群（G，O ）有一个阶，记作︱G︱， 若群是有限群，它的阶即是群的元素个数，若群 是无限群，它的阶是无限大。
他放弃了一切希望, 参加了国民卫 队. 在那里和他在数学界一样运气不佳. 他刚加入不久, 卫队即遭控告阴谋造反 而被解散. 在1831年5月10日进行的一次抗 议聚宴上, 伽罗华手中举着出鞘的刀提 议为国王干杯, 这一手势被同伙们解释 成是要国王的命；第2天他就被捕了. 后来被判无罪, 并于6月15日获释.
但事情的发展似乎突然停了下来. 虽然有很多数学家作出了努力, 其 中包括18世纪中叶伟大的瑞士数学家 欧拉(Euler), 但没有一个人能找出五次 方程的求根公式.
拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测: 这样的求根公式不存在.他预见到一般 方程的可解性问题最后将归结到关于诸根 的某些排列置换问题。