第二章光学谐振腔理论
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第二章 光学谐振腔理论
本章大纲
§2.1 激光振荡条件 了解光波模式的基本概念，掌握激光振荡的增益条件和光学正反馈条件。
§2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性 掌握稳定性判别原理和方法。
§2.3 光学谐振腔的损耗 掌握光学谐振腔几种损耗术语与概念。
§2.4 开放谐振腔模式衍射理论 了解衍射积分理论，掌握基模参数的计算公式，熟悉高阶模的特点。
n为横模指数。模的纵向电磁场分布由纵模指数表征，横向 电磁场分布与横模指数有关。
m与n为零的模称作基模，m>=1或n>=1的模称作高阶模。
一个完整的模式不但有确定的横向分布，而且沿纵向形成 驻波（驻波型谐振腔）。横模与纵模体现了电磁场模式的 两个方面。
2.1 光学谐振腔概论
谐振腔内只能存在满足以下条件的光场：经腔内往返一周再 回到原来位置时，与初始出发波同相（即相差是2的整数 倍——相长干涉
(2n1)((G0 )l / 2ikl )
02 2 12
n0
n0
e(G0 )l / 2ikl E0t1t2 1 r1r2e(G0 )l2ikl
2.1 光学谐振腔概论
FP腔输出光场：E
e(G0 )l / 2ikl E0t1t2 1 r1r2e(G0 )l 2ikl
1
r1r2e(G0
3 3
kxkykz abl V
模式密度 n 8 2 / c3
z方向开放两维矩形谐振腔
n 4 / c2
y方向或x方向限制去掉，一维谐振 腔，F-P结构，模式密度将变为一个 常数——光学谐振腔
2.1 光学谐振腔概论
开零腔的中横的电振磁荡波模，式m、以nT、EMq为mn正q表整征数。，T其E中M表q为示纵纵模向指电数场，为m、
b
y
sin
p
l
z e im,n,pt
v k
k x evx
k yevy
kzevz ,kx
m
/ a,ky
n
/ b,kz
p
/l
m,n,p c / k
c
m / a2 n / b2 p / l 2
2.1 光学谐振腔概论
相邻两个模式波矢之间的间距
kx a ,ky b ,kz l
一个模式在波矢空间中占有体积
光学谐振腔：使受激辐射的光能够在谐振腔内维持振荡， 提高光能密度
光学谐振腔的结构：
在增益介质的两端各加 一块反射镜M1、M2。 其中一块为全反射镜；另 一块为部分反射镜（反射 率接近于1）。
M1
M2
受激光在谐振腔中的放大
放大的条件：光在腔内往返一次时放大的量大于损耗的量
光学谐振腔的作用：延长增益介质作用长度; 控制光束传 播方向; 选频（激光技术部分会讲）
激活介质的增益系数G ：光波在介质中经过单位长度路程 光强的相对增长率，也代表介质对光波放大能力的大小
I
I0eGz
dI dz
GI0eGz
GI
G
1 I
dI dz
考虑损耗： I I0e(G0 )l 为损耗系数
2.1 光学谐振腔概论
I I0e(G0 )l I E 2
E (l )
E e(G0 )l / 2ikl 0
E E r r t t e (n)
nn
((G0 )l / 2ikl )(2n1)
01 2 12
r 振幅反射率，t振幅透射率
2.1 光学谐振腔概论
E E r r t t e (n)
nn
((G0 )l / 2ikl )(2n1)
01 2 12
出射的光场E1~En振幅叠加：
E
E(n)
E r r t t e n n
)l
2 ikl
0
自激振荡：E / E0
1
r1r2e(G0
)l
[cos(2kl
)
i
sin(2kl
)]
0
sin(2kl) 0
1
r1r2e(G0
)l
cos(2kl
)
0
2kl
2
q(q
0,1,
2,
3,L
L
)
k
q
l
1
r1r2e(G0 )l
0 G0
ln(r1r2 ) l
q
cq 2l c : 介质中的波速 l : 腔长
2.1 光学谐振腔概论
麦克斯韦方程的本征解的电场分量
Ex
(
x,
y,
z,
t
)
E0
sin
m
a
x
sin
n
b
y
cos
p
l
z
e
im
,n
,
p
t
E y ( x,
y,
z,
t)
E0
cos
m
a
x
sin
n
b
y
sin
p
l
z e im,n,pt
Ez
(
x,
y,
z,
t
)
E0
sin
m
a
x
cos
n
§2.5 一般球面稳定腔模式
§2.6 非稳腔 掌握共轭像点的计算方法，了解损耗的计算方法。
激光产生的三个前提条件（激光器的基本结构）
激光工作物质：其激活粒子(原子、分子或离子)有适合于 产生受激辐射的能级结构，能够实现粒子数反转，产生受 激光放大
激励源：能将低能级的粒子不断抽运到高能级，补充受激 辐射减少的高能级上粒子数，使激光上下能级之间产生集 居数反转
FP腔能形成自激振荡的条件
q
G 0
Hale Waihona Puke Baidu
c 2l
q（ 光学正反馈条件） ln(r1r2 （) 稳定振荡条件）
l
2.1 光学谐振腔概论
光强反射率：R(1) r12；R(2) r22；ri振幅反射率
G0 ln( R(1) R(2) )
2l 全反镜R(1) 1；部分透射R(2) 1 T
腔内光强沿z轴的分布不是均匀的，而是强弱相间地分布着。 光强最强的明亮区，称为波腹；最弱的黑暗区，称为波节。
将由整数q所表征的腔内纵向光场的分布称为腔的纵模，不 同的q相应于不同的纵模，或相应于驻波场波腹的个数。
纵模间隔与q无关，腔的纵模在频率尺度上是等间隔排列的
2.1 光学谐振腔概论
2）增益系数与激光振荡的条件
2.1 光学谐振腔概论
1）光波模式
光学谐振腔内可能存在的电磁波的本征态称为腔的模式
腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。同一模式内 的光子，具有完全相同的状态（如频率、偏振等）。
腔内电磁场的本征态（模式）由麦克斯韦方程组及腔的 边界条件决定。一旦给定了腔的具体结构，则其中振荡 模的特征也就随之确定下来——腔与模的一般联系。
q
q
c 2L
q
c 2L
2 2L q 2 L q q
q
2
L'一定的谐振腔只对一定频率的光波才能提供正反馈，使之谐 振； F-P腔的谐振频率是分立的
2.1 光学谐振腔概论
腔光学长度为半波长的整数倍 L l q q （驻波条件）
2
2.1 光学谐振腔概论
L l q q
2
达到谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍。满足此 条件的平面驻波场称为平行平面腔的本征模式
本章大纲
§2.1 激光振荡条件 了解光波模式的基本概念，掌握激光振荡的增益条件和光学正反馈条件。
§2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性 掌握稳定性判别原理和方法。
§2.3 光学谐振腔的损耗 掌握光学谐振腔几种损耗术语与概念。
§2.4 开放谐振腔模式衍射理论 了解衍射积分理论，掌握基模参数的计算公式，熟悉高阶模的特点。
n为横模指数。模的纵向电磁场分布由纵模指数表征，横向 电磁场分布与横模指数有关。
m与n为零的模称作基模，m>=1或n>=1的模称作高阶模。
一个完整的模式不但有确定的横向分布，而且沿纵向形成 驻波（驻波型谐振腔）。横模与纵模体现了电磁场模式的 两个方面。
2.1 光学谐振腔概论
谐振腔内只能存在满足以下条件的光场：经腔内往返一周再 回到原来位置时，与初始出发波同相（即相差是2的整数 倍——相长干涉
(2n1)((G0 )l / 2ikl )
02 2 12
n0
n0
e(G0 )l / 2ikl E0t1t2 1 r1r2e(G0 )l2ikl
2.1 光学谐振腔概论
FP腔输出光场：E
e(G0 )l / 2ikl E0t1t2 1 r1r2e(G0 )l 2ikl
1
r1r2e(G0
3 3
kxkykz abl V
模式密度 n 8 2 / c3
z方向开放两维矩形谐振腔
n 4 / c2
y方向或x方向限制去掉，一维谐振 腔，F-P结构，模式密度将变为一个 常数——光学谐振腔
2.1 光学谐振腔概论
开零腔的中横的电振磁荡波模，式m、以nT、EMq为mn正q表整征数。，T其E中M表q为示纵纵模向指电数场，为m、
b
y
sin
p
l
z e im,n,pt
v k
k x evx
k yevy
kzevz ,kx
m
/ a,ky
n
/ b,kz
p
/l
m,n,p c / k
c
m / a2 n / b2 p / l 2
2.1 光学谐振腔概论
相邻两个模式波矢之间的间距
kx a ,ky b ,kz l
一个模式在波矢空间中占有体积
光学谐振腔：使受激辐射的光能够在谐振腔内维持振荡， 提高光能密度
光学谐振腔的结构：
在增益介质的两端各加 一块反射镜M1、M2。 其中一块为全反射镜；另 一块为部分反射镜（反射 率接近于1）。
M1
M2
受激光在谐振腔中的放大
放大的条件：光在腔内往返一次时放大的量大于损耗的量
光学谐振腔的作用：延长增益介质作用长度; 控制光束传 播方向; 选频（激光技术部分会讲）
激活介质的增益系数G ：光波在介质中经过单位长度路程 光强的相对增长率，也代表介质对光波放大能力的大小
I
I0eGz
dI dz
GI0eGz
GI
G
1 I
dI dz
考虑损耗： I I0e(G0 )l 为损耗系数
2.1 光学谐振腔概论
I I0e(G0 )l I E 2
E (l )
E e(G0 )l / 2ikl 0
E E r r t t e (n)
nn
((G0 )l / 2ikl )(2n1)
01 2 12
r 振幅反射率，t振幅透射率
2.1 光学谐振腔概论
E E r r t t e (n)
nn
((G0 )l / 2ikl )(2n1)
01 2 12
出射的光场E1~En振幅叠加：
E
E(n)
E r r t t e n n
)l
2 ikl
0
自激振荡：E / E0
1
r1r2e(G0
)l
[cos(2kl
)
i
sin(2kl
)]
0
sin(2kl) 0
1
r1r2e(G0
)l
cos(2kl
)
0
2kl
2
q(q
0,1,
2,
3,L
L
)
k
q
l
1
r1r2e(G0 )l
0 G0
ln(r1r2 ) l
q
cq 2l c : 介质中的波速 l : 腔长
2.1 光学谐振腔概论
麦克斯韦方程的本征解的电场分量
Ex
(
x,
y,
z,
t
)
E0
sin
m
a
x
sin
n
b
y
cos
p
l
z
e
im
,n
,
p
t
E y ( x,
y,
z,
t)
E0
cos
m
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x
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n
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y
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p
l
z e im,n,pt
Ez
(
x,
y,
z,
t
)
E0
sin
m
a
x
cos
n
§2.5 一般球面稳定腔模式
§2.6 非稳腔 掌握共轭像点的计算方法，了解损耗的计算方法。
激光产生的三个前提条件（激光器的基本结构）
激光工作物质：其激活粒子(原子、分子或离子)有适合于 产生受激辐射的能级结构，能够实现粒子数反转，产生受 激光放大
激励源：能将低能级的粒子不断抽运到高能级，补充受激 辐射减少的高能级上粒子数，使激光上下能级之间产生集 居数反转
FP腔能形成自激振荡的条件
q
G 0
Hale Waihona Puke Baidu
c 2l
q（ 光学正反馈条件） ln(r1r2 （) 稳定振荡条件）
l
2.1 光学谐振腔概论
光强反射率：R(1) r12；R(2) r22；ri振幅反射率
G0 ln( R(1) R(2) )
2l 全反镜R(1) 1；部分透射R(2) 1 T
腔内光强沿z轴的分布不是均匀的，而是强弱相间地分布着。 光强最强的明亮区，称为波腹；最弱的黑暗区，称为波节。
将由整数q所表征的腔内纵向光场的分布称为腔的纵模，不 同的q相应于不同的纵模，或相应于驻波场波腹的个数。
纵模间隔与q无关，腔的纵模在频率尺度上是等间隔排列的
2.1 光学谐振腔概论
2）增益系数与激光振荡的条件
2.1 光学谐振腔概论
1）光波模式
光学谐振腔内可能存在的电磁波的本征态称为腔的模式
腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。同一模式内 的光子，具有完全相同的状态（如频率、偏振等）。
腔内电磁场的本征态（模式）由麦克斯韦方程组及腔的 边界条件决定。一旦给定了腔的具体结构，则其中振荡 模的特征也就随之确定下来——腔与模的一般联系。
q
q
c 2L
q
c 2L
2 2L q 2 L q q
q
2
L'一定的谐振腔只对一定频率的光波才能提供正反馈，使之谐 振； F-P腔的谐振频率是分立的
2.1 光学谐振腔概论
腔光学长度为半波长的整数倍 L l q q （驻波条件）
2
2.1 光学谐振腔概论
L l q q
2
达到谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍。满足此 条件的平面驻波场称为平行平面腔的本征模式