2003年慈溪中学理科创新实验班招生数学试卷

慈溪中学2003年理科创新实验班招生试卷

数 学

说明：

I. 本卷考试时间90分钟，满分100分。

II. 本卷分为试题（共2页）和答卷（共4页），答案必须做在答题卷上。

试 题

一、选择题（每题５分，共25分）

1. 方程2(x+y)=xy+7的正整数解有（ ）个 A. 1 B.2 C.3 D.4

2. 如图1，D 是△ABC 的边AB 上的点，且BD ＝3AD ，已知

CD=10，sin ∠BCD=3/5，那么BC 边上的高AE 等于( )

A.9

B.8

C.12

D.6

3. 设x 1、x 2是方程x 2+2x-1=0的两个根，且求得x 13+x 23

=-14，x 14+x 24=34，则x 15+x 25=（ ） A.-30 B.-34 C.-80 D.-82

4. 如图2，AB 、CD 是⊙O 的两条平行弦，BE ∥AC 交

CD 于E ，过A 点的切线交DC 延长线于P ，若AC ＝3 ，则PC •CE 的值是（ ）

A. 18

B.6

C.6

D.9

5. 已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁。乙是甲现在的年

龄时，甲25岁，则甲现在的年龄比乙现在的年龄（ ） A.大3岁 B.小3岁 C.大5岁 D.小5岁 二、填空题（每题5分，共25分） 6. 当 时，多项式（4x 2-4x-2003）2003的值＝____▲___

7. 设实数a 、b 、c 满足

则函数y=ax 2

+bx+c 的图象一定

经过一个定点，那么这个定点的坐标是____▲___ 8. 如图3，D 为△ABC 的边BC 上一点，DE ∥AB ，DF ∥AC,

分别交AC 、AB 于E 、F 。已知△CDE 的面积为4，△BDF 的面积为9，则四边形DEAF 的面积为____▲___

C

图1

P D

图2

E

B D C

图3

9. 如图4，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是BC 、CD 上

的点，且△AEF 是等边三角形，则BE 的长为____▲___ 10. 点A 在半径为4cm 的⊙O 上，AB 为⊙O 的一动弦，当弦AB

绕点A 旋转45度时，弦AB 的中点P 经过的路线长为

____▲___cm 。

三、解答题（4题，共50分） 11. （10分）已知抛物线

矩形ABCD 的

两个顶点C 、D 在抛物线上，两点A 、B 在x 轴正半轴上。 （1）若ABCD 为正方形，求它的边长。

（2）是否存在周长为9的这样的矩形？试述理由。

12. （10分）已知关于x 的方程∣x ∣=ax-a 有正根且没有负根，求a 的取值范围。

13. （15分）如图5，以矩形ABCD 的边AB 为直径作圆，过C 作直线CP 切圆于点P ，

过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，PQ 分别交CD 、AC 于E 、F ，记AQ=m ，QB=n(m >n)。 （1）用含m 、n 的代数式表示PC 的长; （2）求证：直线AC 平分线段PQ 。

14. （15分）如图6，有一条河流，河宽AB=30米，有人在离B 点60米处的C 点发现河对

岸A 点处有一小孩掉入水中，这个人马上就去营救，已知这个人在河岸上跑步的速度为6米/秒，在河水中游泳的速度为3米/秒。

（1）这个人能否在19秒内赶到A 点？若能，请给出一种方案。 （2）此人最快能在几秒钟内赶到A 点？

A

。

C B

图6

P

D E C

F

A Q

B

图5

A D

F

B E C

图4

慈溪中学2003年理科创新实验班招生考试

数学答案及评分标准

一、选择题（共25分，每小题5分）

1．B 2．B 3．D 4．A5．C

二、填空题（共25分，每小题5分）

6．-1，7．（1，0），8．12，9．，10．π

三、解答题

11．解：设A（x，0）则B（4-x，0）

D（x，）……（2分）

（1）若ABCD为正方形，则

4-2x= ……（2分）

解得x=1 或x=6（舍去）

∴正方形的边长为2……（2分）

（2）矩形周长y=(+4-2x)×2

=……（2分）则x=1/2时，y 有最大值=

故周长为9的矩形不存在……（2分）

12．解：当x≥0时

x=ax-a

∴x=a/(a-1) ……（2分）

当x＜0时-x=ax-a

∴x=a/(a+1) ……（2分）

∵方程有正根且没有负根

∴

综合得a＞1或a＜-1 ……（2分）

13．解：

14．解：（1）能赶到，设营救者在河岸上从C点跑到D点，然后从D点游到A点，如取CD=45，DB=15时

（2）

即3x2-2yx+4×302- y2=0 ……（2分）

∴=(2y)2- 4×3×(4×302-y2)≥0

解得