八节解三角形PPT课件

简单的三角方程的通解 sin α=sin β⇔α=kπ+(-1)kβ(k∈Z); cos α=cos β⇔α=2kπ+β或α=2kπ-β(k∈Z); tan α=tan β⇔α=kπ+β(k∈Z).
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1.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的
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第八节 解三角形
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1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 2.实际问题中的常用角 3.解关于解三角形的应用题的一般步骤
考点突破
考点一 测量距离问题 考点二 测量高度问题 考点三 测量角度问题
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1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度 问题,计算面积问题等.
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2.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在 水平线① 上方 的角叫仰角,目标视线在水平线② 下方 的角叫俯 角(如图①).
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(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30°,北 偏西45°等. (3)方位角 从③ 正北 方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点B的 方位角为α(如图②). (4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角. (附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比)
的仰角分别为60°,30°,则A点离地面的高度AB等于 ( B )
A. a B. 3a C. 3a D. 3a
2
2
3
答案 B 因为∠D=30°,∠ACB=60°, 所以∠CAD=30°, 故CA=CD=a, 所以AB=asin 60°= 3a .
2
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5.设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧选定一点C,测出AC的距 离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则可以计算出A,B两点间的距离为
为
17 6 2
海里/小时.
答案 17 6
2
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解析 如图,由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.
在△PMN中, MN = PM ,
sin120 sin 45 3
∴MN=68× 2 =34 6 海里.
2 2
又由M到N所用的时间为14-10=4小时, ∴此船的航行速度v=34 6 =17 6 海里/小时.
A.a km B. 3 a km C. 2 a km D.2a km
答案 B 在△ABC中,∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,∵AB2=AC2+BC2-2
AC·BCcos
120°=a2+a2-2a2×
1 2
=3a2,∴AB=
3 a(km),故选B.
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3.在上题的条件下,灯塔A相对于灯塔B的方向为 ( B )
A.北偏西5° B.北偏西10° C.北偏西15° D.北偏西20° 答案 B 易知∠B=∠A=30°,C在B的北偏西40°的方向上,又40°-30°=10°, 故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°.
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4.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点
定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出
A,B两点间的距离,即AB= a2 b2 2abcosα .
若测得CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,则A,B两点的距离为
m.
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答案 200 7
解析 在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB, ∴AB2=4002+6002-2×400×600cos 60°=280 000. ∴AB=200 7 (m). 即A,B两点间的距离为200 7 m.
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考点突破
考点一 测量距离问题
命题方向 两点间可视但有一点不可到达的距离 两点不相通的距离 两点都不可到达的距离
命题视角 正弦定理的应用 余弦定理的应用 正弦定理和余弦定理的综合应用
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命题方向一 两点间可视但有一点不可到达的距离
典例1 如图所示,A,B两点顺一条河的两岸,测量者在A的同侧,且B点不
可到达,要测出A,B的距离,其方法是在A所在的岸边选定一点C,可以测
出A,C的距离m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC中,运用
正弦定理就可以求出AB.
若测出AC=60 m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,则A,B两点间的距离为
m.
答案 20 6
解析 ∠ABC=180°-75°-45°=60°,
俯角为70°,则∠BAC等于 ( D )
A.10° B.50° C.120° D.130° 答案 D
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2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔 A在观察站C的北偏东20°的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°的方
向上,则灯塔A与灯塔B的距离为 ( B )
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3.解关于解三角形的应用题的一般步骤
(1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的 关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题; (3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解; (4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算 等的要求.
.
答案 50 2 m
解析 由题意,易得B=30°.
由正弦定理,得 AB = AC ,
sin C sin B
∴AB=
AC sin C sin B
50
=1
2 2
=50
2 (m).
2
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6.一船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°,距灯塔68海
里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速度
所以由正弦定理得, AB = AC ,
sin C sin B
∴AB= AC sin C = 60sin 45 =20 6 (m).
sin B
sin 60
即A,B两点间的距离为20 6 m.
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命题方向二 两点不相通的距离
典例2 如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法是先选