数学分析课件PPT之第二章数列极限
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ε＞0标志着“要多小”的要求，用n ＞N表示n充分 大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数 N，30，不等式|xn－a|＜ε（n ＞N）
②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是 ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn 逼近a 时要 经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意
性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通
数 , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xna |<
总成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为 n l x n i a 或 x n m a ( n ) .
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
或 说 数 列 { x n } 是 发 散 的 , 习 惯 上 也 说 n l x i n 不 m 存 在 .
M nຫໍສະໝຸດ Baidu
3
解M
n
， 求出需要的 N
总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等
式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表
达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛
盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。
四 收敛的否定:
lima a n n
＞0 0N , n0＞ N,有an0 a 0
例如 n l n l n n n n 1 1 1 1 , , i im m
n n l l 2 2 1 1 n n 0 0 , , i im m
n l n l n n ( n ( 1 n ) 1 n ) n 1 1 1 i 1 . i . m m
问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
x N 1 ,x N 2 ,x N 3 ,
都落在a点的ε邻域 (a,a)内
因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点
2
a
a
x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定
第二章 数列极限
§2.1 数列极限的概念 §2.2 收敛数列的性质 §2.3 数列极限存在的条件
§2.1 数列极限的概念
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四 、应用数列极限的定义证明数列极 限的方法
一、概念的引入
引 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 例 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
Xn
1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项, xn称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8, ,2n, ; { 2 n }
在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示 |xn－a| ＜ ε
n ＞N
④定义中的不等式|xn－a|＜ ε（n ＞N）是指下面
一串不等式
|xN 1a| |xN 2a| |xN 3a|
都成立，
而对 |x1a| |xNa|
则不要求它们一定成立
数列极限的几何意义
0,N , 使得 N 项以后的所有项
只n 要 10时 0,0有xn
1 1 , 1000
给定 1 , 10000
只要 n100时 0, 0 有xn
1 1 , 10000
给定 0, 只要 nN([1]时 ) , 有xn1成.立
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a.
•分析
当n无限增大时, xn无限接近于a .
（c11(k)） 其长度组成的数列为
1
2
n
1
0.8
0.6
,
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
随着n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。
❖数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收 敛a, 记为 n l x n a . im
的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。
xn A
A
A
目的：
nl im xn A 0,要找到一个
自然数 N使得 n N时，有
● ●●
A xn A
●
●
● ●
● ●
n>N
n
xn
越来越小，N越来越大！
A
A
A
n
N
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证l明 im n(1)n11. n n
只要 n 12
证. 0,取Nma x 12 ,3 当 n >N 时有
n3 2n243n2 1241n2
由定义
3n2
lim
3
n n2 4
适当予先限定 n＞n。是允许的！但最后取 N 时要保证n＞n。
. 例4.证明 lim 1 0 （K为正实数）
n n k
证：由于 1 0 1
nk
nk
所以对任意ε＞0，取N=
证 任给 0, ln i m xna,
N 使 n 得 N 时 当 x n 恒 a 1 ,有
从而 xn有 a
xna xn a
xn a a
1 a
故 ln i m xn a.
由上面数列极限的证明可总结出数列
极限证明的步骤：
1 化简 an a
2 适当放大 的形式
an a ，通常放大成
an a
过ε的相对固定性来实现）。
③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。 重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的， 且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须 注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。 用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的ε，
求出一个相应的N，使当n ＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。
便有 1 0
nk
1
1 k
,
当 n＞N时,
1
lim
0
n n
k
例5 设 x n C ( C 为 )证 常 , l n ix n 明 m 数 C .
证 任给 0,对于一切自然数n,
xn C CC 0成立, 所以, ln im xnC.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定0,寻找N,但不必要求最小的N.
当n无限增大时, |xna|无限接近于0 .
当n无限增大时, |xna|可以任意小,要多小就能有多小.
当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意
小的正数.
因此,如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事先
给定的任意小的正数,则当n无限增大时, xn无限接近于常
数a.
下页
❖数列极限的精确定义 设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
n n 分析:
| 对 x 对 n 于 于 1 | | n > > 0 0 ( , , n 要 1 要 ) n 使 使 1 | x | x 1 n n | 1 1 1 n | | . , , 只 只 要 要 1 n 1 n , , 下即 即 页n n 1 1 . .
1 2,1 4,1 8, ,21n, ;
{
1 2n
}
1 , 1 ,1 , ,( 1 )n 1, ; {(1)n1}
2,1,4, ,n(1)n1, ;
23
n
n (1)n1
{
}
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x 1,x 2, ,x n , .
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
注
①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个 动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε
定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给
数列an 发散 a ,0＞0N , n0＞N,有an0 a 0
五 数列极限的记註:
1 满足条件
“ a , N , 0 ,n N x n a ”的数
列:
an,lni m an a 。
2 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的 收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性:
例6 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证 任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00;
n
n
若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], 则n 当 N时 , lnq
就q 有 n0, lim qn0. n
例7 设xn 0,且ln im xn a0, 求证 ln im xn a.
证
xn
1
n(1)n1 n
1
1 n
任给 0,
要 xn1,
只要1 n
,
或n 1,
所以, 取N [1], 则n 当 N时 ,
就有 n(1)n1 1 即lim n(1)n11.
n
n
n
nlimxn a 0, NN, 当nN时, 有|xna| .
例 例1 1. 证 明 l n ( 1 i ) n 1 1 . m
A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积,
A3表示圆内接正24边形面积,
,
An表示圆内接正62n-1边形面积,
A123
.
显然n越大, An越接近于S.
因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第 第一 二天天 截截 下的 下杖 X的 1 长 为 12杖 ;为 X2长 12总 212和 ;
n
n(
a2 n2 a2 n)
1 a2 nn
故0
(若na2则a2 1) n
Nmax1,[a2] 则当n ＞N时，有
n2 a2 11a2
n
nn
1
n
lim n2 a2 1 n n
例3. 证明
3n2
lim
3
n n2 4
分析，要使 3n2 3 12 12（为简化，限定 n 3 n2 4 n2 4 n
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限
2.N与任意给定的 有正 关 . 数
N定义 : ln i x m na 0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或存 . 在
几何解释:
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xnf(n).
三、数列的极限
数列极限来自实践，它有丰富的实
际背景.我们的祖 先很早就对数列
进行了研究，早在战国时期就有了
极限的概念
例1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用 过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也 就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过 程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排 成一列, 如图所示,
证 证 证 证明 明 明 明 因 因 因 为 为 为 n 0 0 0 , , , n N N N [ [ [ 1 1 1 ] ] ] N N N , , , 当 当 当 n n n N N N 时 时 时 , , , 有 有 有
| x n 1 | | n ( n 1 ) n 1 1 | 1 n , 所 以 l n ( 1 ) n 1 i 1 . m
利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式
|xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。
若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N
放大的原则： ①放大后的式子较简单 ②放大后的式子以0为极限
例 2 证明
lim n2 a2 1 n n
证明
| xn1|
n2a2 1
•极限定义的简记形式
nlimxn a 0, NN, 当nN时, 有|xna| .
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于a,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn1(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只n 要 10 时 ,0有xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是 ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn 逼近a 时要 经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意
性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通
数 , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xna |<
总成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为 n l x n i a 或 x n m a ( n ) .
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
或 说 数 列 { x n } 是 发 散 的 , 习 惯 上 也 说 n l x i n 不 m 存 在 .
M nຫໍສະໝຸດ Baidu
3
解M
n
， 求出需要的 N
总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等
式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表
达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛
盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。
四 收敛的否定:
lima a n n
＞0 0N , n0＞ N,有an0 a 0
例如 n l n l n n n n 1 1 1 1 , , i im m
n n l l 2 2 1 1 n n 0 0 , , i im m
n l n l n n ( n ( 1 n ) 1 n ) n 1 1 1 i 1 . i . m m
问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
x N 1 ,x N 2 ,x N 3 ,
都落在a点的ε邻域 (a,a)内
因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点
2
a
a
x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定
第二章 数列极限
§2.1 数列极限的概念 §2.2 收敛数列的性质 §2.3 数列极限存在的条件
§2.1 数列极限的概念
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四 、应用数列极限的定义证明数列极 限的方法
一、概念的引入
引 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 例 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
Xn
1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项, xn称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8, ,2n, ; { 2 n }
在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示 |xn－a| ＜ ε
n ＞N
④定义中的不等式|xn－a|＜ ε（n ＞N）是指下面
一串不等式
|xN 1a| |xN 2a| |xN 3a|
都成立，
而对 |x1a| |xNa|
则不要求它们一定成立
数列极限的几何意义
0,N , 使得 N 项以后的所有项
只n 要 10时 0,0有xn
1 1 , 1000
给定 1 , 10000
只要 n100时 0, 0 有xn
1 1 , 10000
给定 0, 只要 nN([1]时 ) , 有xn1成.立
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a.
•分析
当n无限增大时, xn无限接近于a .
（c11(k)） 其长度组成的数列为
1
2
n
1
0.8
0.6
,
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
随着n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。
❖数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收 敛a, 记为 n l x n a . im
的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。
xn A
A
A
目的：
nl im xn A 0,要找到一个
自然数 N使得 n N时，有
● ●●
A xn A
●
●
● ●
● ●
n>N
n
xn
越来越小，N越来越大！
A
A
A
n
N
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证l明 im n(1)n11. n n
只要 n 12
证. 0,取Nma x 12 ,3 当 n >N 时有
n3 2n243n2 1241n2
由定义
3n2
lim
3
n n2 4
适当予先限定 n＞n。是允许的！但最后取 N 时要保证n＞n。
. 例4.证明 lim 1 0 （K为正实数）
n n k
证：由于 1 0 1
nk
nk
所以对任意ε＞0，取N=
证 任给 0, ln i m xna,
N 使 n 得 N 时 当 x n 恒 a 1 ,有
从而 xn有 a
xna xn a
xn a a
1 a
故 ln i m xn a.
由上面数列极限的证明可总结出数列
极限证明的步骤：
1 化简 an a
2 适当放大 的形式
an a ，通常放大成
an a
过ε的相对固定性来实现）。
③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。 重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的， 且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须 注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。 用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的ε，
求出一个相应的N，使当n ＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。
便有 1 0
nk
1
1 k
,
当 n＞N时,
1
lim
0
n n
k
例5 设 x n C ( C 为 )证 常 , l n ix n 明 m 数 C .
证 任给 0,对于一切自然数n,
xn C CC 0成立, 所以, ln im xnC.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定0,寻找N,但不必要求最小的N.
当n无限增大时, |xna|无限接近于0 .
当n无限增大时, |xna|可以任意小,要多小就能有多小.
当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意
小的正数.
因此,如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事先
给定的任意小的正数,则当n无限增大时, xn无限接近于常
数a.
下页
❖数列极限的精确定义 设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
n n 分析:
| 对 x 对 n 于 于 1 | | n > > 0 0 ( , , n 要 1 要 ) n 使 使 1 | x | x 1 n n | 1 1 1 n | | . , , 只 只 要 要 1 n 1 n , , 下即 即 页n n 1 1 . .
1 2,1 4,1 8, ,21n, ;
{
1 2n
}
1 , 1 ,1 , ,( 1 )n 1, ; {(1)n1}
2,1,4, ,n(1)n1, ;
23
n
n (1)n1
{
}
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x 1,x 2, ,x n , .
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
注
①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个 动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε
定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给
数列an 发散 a ,0＞0N , n0＞N,有an0 a 0
五 数列极限的记註:
1 满足条件
“ a , N , 0 ,n N x n a ”的数
列:
an,lni m an a 。
2 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的 收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性:
例6 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证 任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00;
n
n
若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], 则n 当 N时 , lnq
就q 有 n0, lim qn0. n
例7 设xn 0,且ln im xn a0, 求证 ln im xn a.
证
xn
1
n(1)n1 n
1
1 n
任给 0,
要 xn1,
只要1 n
,
或n 1,
所以, 取N [1], 则n 当 N时 ,
就有 n(1)n1 1 即lim n(1)n11.
n
n
n
nlimxn a 0, NN, 当nN时, 有|xna| .
例 例1 1. 证 明 l n ( 1 i ) n 1 1 . m
A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积,
A3表示圆内接正24边形面积,
,
An表示圆内接正62n-1边形面积,
A123
.
显然n越大, An越接近于S.
因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第 第一 二天天 截截 下的 下杖 X的 1 长 为 12杖 ;为 X2长 12总 212和 ;
n
n(
a2 n2 a2 n)
1 a2 nn
故0
(若na2则a2 1) n
Nmax1,[a2] 则当n ＞N时，有
n2 a2 11a2
n
nn
1
n
lim n2 a2 1 n n
例3. 证明
3n2
lim
3
n n2 4
分析，要使 3n2 3 12 12（为简化，限定 n 3 n2 4 n2 4 n
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限
2.N与任意给定的 有正 关 . 数
N定义 : ln i x m na 0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或存 . 在
几何解释:
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xnf(n).
三、数列的极限
数列极限来自实践，它有丰富的实
际背景.我们的祖 先很早就对数列
进行了研究，早在战国时期就有了
极限的概念
例1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用 过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也 就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过 程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排 成一列, 如图所示,
证 证 证 证明 明 明 明 因 因 因 为 为 为 n 0 0 0 , , , n N N N [ [ [ 1 1 1 ] ] ] N N N , , , 当 当 当 n n n N N N 时 时 时 , , , 有 有 有
| x n 1 | | n ( n 1 ) n 1 1 | 1 n , 所 以 l n ( 1 ) n 1 i 1 . m
利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式
|xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。
若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N
放大的原则： ①放大后的式子较简单 ②放大后的式子以0为极限
例 2 证明
lim n2 a2 1 n n
证明
| xn1|
n2a2 1
•极限定义的简记形式
nlimxn a 0, NN, 当nN时, 有|xna| .
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于a,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn1(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
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