(经典讲义)两角和差倍角公式及其简易变换

和差倍角公式及其变换

一、基础知识和基本方法

1．两角和的余弦公式的推导方法：

2．三角函数和差基本公式

3．公式的变式

tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ) 1－tanα tanβ＝

)tan(tan tan βαβα++ 4．常见的角的变换：

2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝

2βα+＋2βα- α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β 2β

α+＝(α－2β)－(2α－β)； )4()4(x x ++-ππ＝2

π 二、典型例题

例1. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4

π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值． 变式训练：设cos （α－

2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π， 求cos （α+β）.

例2. 若sinA=55,sinB=10

10,且A,B 均为钝角,求A+B 的值. 变式训练：在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 2

2C A +-cos2B=27,求角B 的度数. 例3．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-2

1cos2α·cos2β. 变式训练：化简：（1）2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π+6cos ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x 4π;(2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4sin 4tan 21cos 222. 例4.已知函数f(x)=tan(3

πsinx) （1）求f(x)的定义域值域；

（2）在（－π，π）中，和求f(x)的单调区间；

（3）判定方程f(x)=tan 3

2π在区间（－π，π）上解的个数。 三、归纳小结

1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角和角之间的关系，要充分使用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2α＋β=α+ (α＋β)等．

2．在使用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的使用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinx±3cosx 、sinx±cosx 的三角函数式要创造条件使用公式．

（2） 二倍角的正弦、余弦、正切

一、基础知识和基本方法

1．倍角基本公式：

sin2α＝ ； cos2α＝ ＝ ＝ ；

tan2α＝ .

2．公式的变用：

1＋cos2α＝ ； 1－cos2α＝ ．

二、典型例题

例1. 求值：1

40cos 40cos 2)

40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒ 变式训练1：)12sin 12(cos

ππ

-(cos 12π＋sin 12π)＝ （ ） A ．－23 B ．－21 C ． 2

1 D ．23 例2． 已知α为锐角，且21tan =

α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值. 变式训练2：化简：

)4(sin )4tan(21cos 222απ

απ

α+⋅--

例3．已知x x x x f cos sin sin 3)(2+-=；

(1) 求)6

25(πf 的值； (2) 设2341)2(),,0(-=∈απαf ，求sinα的值． 变式训练3：已知sin(

απ

-6)＝31，求cos(απ232+)的值． 例4．已知sin 2 2α＋sin 2α cosα－cos2α＝1，α∈(0，2

π)，求sinα、tanα的值． 变式训练4：已知α、β、r 是公比为2的等比数列])2,0[(πα∈，且sinα、sinβ、sinr 也成等比数列，求α、β、r 的值．

三、归纳小结

1．二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；

2．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活使用(正用、逆用、变形用)．

3．对三角函数式的变形有以下常用的方法：

① 降次（常用降次公式）

② 消元（化同名或同角的三角函数）

③ 消去常数“1”或用“1”替换

④ 角的范围的确定

和差倍角公式及其变换

1． 已知510sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+为（ ） ()4A π

()4B π或34π ()34

C π ()

D 非以上答案 2． 已知α3,22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cot ,4α=-则3cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝

⎭的值是（ ） ()210A ()2B (72C ()72D 二、填空题：

3． 已知53cos ,,,132πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭则cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为____________ 4． 已知()()44cos ,cos 55αβαβ-=-+=

且()()3,,,222ππαβπαβπ⎛⎫⎛⎫-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

则_____________________cos 2β= 5． 已知11sin sin ,cos cos ,32

αβαβ-=-=则()___________________cos αβ-= 6． 在ABC ∆中，tan ,tan A B 是方程23810x x +-=的两根，则_________________tan C =

7． 1)(cos 2)tan()sin()sin(22+------x x x x π=__________.

8． 已知πθπθ 2

,21cos 且-=，则θtan =_________. 三、解答题：

9． ABC ∆中，BC=5，BC 边上的高AD 把ABC ∆面积分为12,S S ，又12,S S 是方程

215540x x -+=的两根，求A ∠的度数。

同角三角函数基本关系及诱导公式练习

一、选择题

1． ，且α是第四象角，则sin α=__________. A.54 B.43 已知53cos =α C.54- D.4

3- 2．已知sin α=2

1,且α为第二象限角，则cos α=________.