一阶线性微分方程组第一讲一阶微分方程组与解的存在唯一性定理

第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时）

一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的

等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理.

二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理.

三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质.

四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.

五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.

六、教学过程：

1 课题引入

在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质.

例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v =

且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是求

一阶微分方程组

的满足初始条件

的解(),(),()x t y t z t .

另外，在n 阶微分方程

（1.12）()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'=

中,令(1)121,,,n n y y y y y y --'''===就可

以把它化成等价的一阶微分方程组

注意，这是一个含n 个未知函数11,,

,n y y y - 的一阶微分

方程组.

含有n 个未知函数12,,

,n y y y 的一阶微分方程组的一般形式为： 11122112112(,,,,)

(,,,,)(,,,,)n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx

⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪

⎩ (3.1) 如果方程组(3.1)右端函数不显含x , 则相应的方程称为是自治的. 方程组(3.1)在[,]a b 上的一个解，是这样的一组函数 使得在[,]a b 上有恒等式

含有n 个任意常数12,,,n C C C 的解

称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组

则称后者为(3.1)的通积分.

如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件 1010202000(),(),,()n n y x y y x y y x y ===

(3.2)

的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于12,,,n C C C 的n 个方程式，如果从其中解得12,,,n C C C ，再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解.

2 一阶微分方程组的向量和矩阵表示

为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1). 令n 维向量函数

并定义

则(3.1)可记成向量形式 (,)dY F x Y dx

= (3.3) 初始条件(3.2)可记为

00(),Y x Y = 其中102000n y y Y y ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

(3.2)′ (3.3)的满足(3.2)′的初值问题可记为

00(,)

()dY F x Y dx Y x Y ⎧=⎪⎨⎪=⎩

(3.4) 这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了.

进一步，对n 维向量Y 和矩阵

()ij A a =, 定义

易于证明以下性质：

1.0Y ≥,

且0Y =, 当且仅当0Y

= (0 表示零向量，下同);

2.1212Y Y Y Y +≤+;

3.对任意常数α，有

Y Y αα=; 4.

0A ≥; 5.A B A B +≤+; 6.对任意常数γ，有A A γγ

=; 7.AY A Y

≤

; 8. AB A B

≤.

称Y 和A 分别为向量Y 和矩阵A 的范数. 进而还有如下性质

有了n 维空间的范数定义后，我们可以定义按范数收敛

的概念. 即：如果对[,]a b 上的任意x ，有

则称()n Y x 在[,]a b 上按范数收敛于Y (x ).如果上式对[,]a b 上的x 为一致的，则称()n Y x 在上[,]a b 按范数一致收敛于()Y x .

另外, 如果对n 维向量函数F (x )有

则称()F x 在0x 连续. 如果()F x 在区间[,]a b 上每一点0x 都连续, 则称()F x 在区间[,]a b 上连续. 有了以上准备，完全类似于第二章定理 2.2，我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理.

定理3.1 如果函数(,)F x Y 在1n + 维空间的区域

上满足：

1) 连续；

2) 关于Y 满足李普希兹条件，即存在0N >, 使对于R 上任意两点1(,),x Y 2(,)x Y ,有

则存在00h >, 使初值问题(3.4)的解在00x x h -≤ 上存在且唯一，其中0min(,

),b h a M

= (,)max (,)x Y R M F x Y ∈=. 定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程

0()(,())x

x Y x Y F x Y x dx =+⎰

(3.5)

同解.为证(3.5)的解在00x x h -≤ 上的存在性，同样用逐次逼近法，其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后，唯一性的证明，同样用贝尔曼不等式完成.

对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初值的连续依赖性定理，这只要在第二章相应定理中把纯量y 换成向量Y 即可.

最后，我们要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道，纯量方程(1.9)的一个解是二维空间xoy 平面上的一条曲线，或称为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3)的一个解就是1n +维空间(,)x Y 中的一条曲线了，也称它为方程组(3.3)的积分曲线.

本节要点：

1．一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义.

2．一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在.

作业: 完成定理3.1的证明.