平面向量知识点与考点精(经典)

平面向量知识点与2013考点精讲

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第1讲 向量的概念与线性运算

★ 知 识 梳理 ★

1．平面向量的有关概念：

（1）向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.

（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.

特别提醒：

1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. 2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.

4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 5)

相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

2．向量的线性运算 1.向量的加法：

（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r

a ，BC =u u u r

b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记

作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r

特殊情况：

a

b

a

b a+b

b

a

a+b

(1)

平行四边形法则三角形法则C

B

D

C

B

A

a

b

b

a +b

a +A

A

B

C C

)

2()

3(

对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a

（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______

（3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 2.向量的减法：

（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA = a , OB = b , 则BA = a b

即a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量

注意：

1)AB表示a b强调：差向量“箭头”指向被减数

2)用“相反向量”定义法作差向量，a b = a +(-b)

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一

a∥b∥c a b = a + (b) a b

3.实数与向量的积：

（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.

（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.

特别提醒：

1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。

2)重要定理：

向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a⇔b=λa（a≠0）.

向量★重难点突破★

1.重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则．

2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算．

3.重难点：.

问题1: 相等向量与平行向量的区别

答案：向量平行是向量相等的必要条件。

问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别

答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。

问题3：对于两个向量平行的充要条件：

a∥b⇔a=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.

问题4；向量与有向线段的区别：

（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段

【新题导练】 题型1. 概念判析

[例1]判断下列各命题是否正确

(1)零向量没有方向 (2)若b a b a ==则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ρρ=，c b ρρ=，则c a ρ

ρ=；

(7)若b a r r //，c b ρ

ρ//，则c a ρρ// (8)若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A

(9) b a ρρ=的充要条件是||||b a ρ

ρ=且b a ρρ//；

[解题思路]：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。

解析：解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量

的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若0=b ，则不共线的向量c a ,也有0//a ρ

，c //0。(8) 不正确, 如图

≠=,A （9）不正确，当

b a ρρ//，且方向相反时，即使||||b a ρ

ρ=，也不能得到b a ρ

ρ=；

【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定

相关命题。

考点一： 向量及与向量相关的基本概念

1.【2012高考浙江文7】设a ，b 是两个非零向量。 A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa

D.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C

【命题意图】本题考查的是平面向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂直关系。 【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实

数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．

2.【2012高考四川文7】设a r 、b r 都是非零向量，下列四个条件中，使||||

a b

a b =r r

r r 成立的充分条件是（ ）

A 、||||a b =r r

且//a b r r B 、a b =-r r C 、//a b r r D 、2a b =r r

【答案】Ｄ