五年级下册数学奥数方阵问题人教版
方阵问题公式（附例题）
方阵问题公式（附例题）学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
核心公式:方阵问题公式(1)实心方阵:(外层每边人数)2＝总人数。
(2)空心方阵:(最外层每边人数)2－(最外层每边人数－2×层数)2＝中空方阵的人数。
或者是(最外层每边人数－层数)×层数×4＝中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数＋层数＝外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人?一、实心方阵1.方阵总人数＝最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)－每边数×每边数2人数＝(阵最外层总人数＋4)＋13.外一层每边人数比内一层每边人数多24.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2－15、每层数－(每边－1)×4二、空心方阵1外人数＝总人数＋4＋层数＋层数2数最＝(最外层每边数－层数)×层数×4＝(最外层数+最内层数)×层数＋23内层数＝外层数－84、每层数＝(每边数－1)×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
方阵问题方阵的基本特点:1、方阵不论哪一层.每边上的人(或物)数量都相同，每向里一层每边上的人数就少 2，每层总数少82、实心方阵:总数＝每边数×每边数每边数＝每层数＋4＋1每边数＝(每横排与每竖排之和－1)＋2每层数＝(每边数－1)×43、空心方阵:总数＝大实心方阵数－小实心方阵数总数＝(最外层每边数－层数)×层数×4总数＝(最外层数＋最内层数)×层数＋2最外层每边数－总数＋4＋层数＋层数解决方阵问题的基本思路:1、避免重复方阵问题基本公式基本公式:(1)N排N列的实心方阵人数为N2人;(2)M排N列的实心长方阵人数为MXN人:(3)N排N列的方阵，最外层有 4N-4人:(4)在方阵或者长方阵中，相邻两圈人数，外圈比内圈多8人;(5)空心正M 边形阵，若每边有N个人，则共有MN－M个人;(6)方阵中:方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2方阵问题两大常见思维方法:(1)重叠点思维:若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数，才是最终的全部数目: (2法思维:如果需要计算“某种形状”的“某种外层”的数目，用整体数目减去内部的数目是一种常用的思维方法。
奥数-14方阵问题+答案
方阵问题方阵是古代军队作战时采用的一种队形，方阵平面一般呈现“回”字形状，是把军队在野外开阔地上排列成方形阵式。
数学中的方阵是指行数与列数一样多的矩阵。
n×n阶矩阵被称为n阶方阵。
将若干人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总数，求每条边个数或层数等，这类问题就叫做方阵问题。
1.方阵每边人数相邻两层物体总数相差8，每边相差2。
每边人数＝一层总数÷4＋1 或一层总数＝（每边人数－1）×42.方阵总人数①实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数②空心方阵：总人数＝外边方阵人数－内边方阵人数内边人数＝外边人数－层数×2若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：空心方阵总人数＝（外边人数－层数）×层数×43.方阵问题思维方法：①重叠点思维：若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数，才是最终的全部数目；②逆向法思维：如已知空心方阵的总数求外层每条边的数目，可逆用求总数公式：外边人数＝空心方阵总人数÷4÷层数＋层数。
【例1】在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？解：22×22＝484（人）练习一1、小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？2、同学们做早操，排成一个方阵，从前、后、左、右数，王强都是第5个，这个方阵共有多少人？3、花坛最外层一条边上有18盆花，最外层有多少盆花？【例2】有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：方阵中一共有士兵多少人？解析：100÷4＋1＝26（人），因此方阵中一共有26×26＝676（人）。
练习二1、四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少？这个方阵共有多少人？2、某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？3、正方形舞厅四周均匀的装彩灯，如果四个角都装一盏且每边装12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？4、五年级有4个班级，每个班级有36人，要组成一个方阵，最外层有几个人？【例3】121人的方阵，现要增加1行1列，需要增加多少人？解析：因为11×11＝121，所以现有的方阵每条边是11人。
小学数学典型应用题---方阵问题
小学数学典型应用题---方阵问题方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。
那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？解：1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。
2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。
所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。
例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？解法1：1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。
2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。
知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。
最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1）×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。
第18讲 方阵问题
第18讲方阵问题一、知识概要1、方阵可以分为实心方阵和空心方阵。
2、方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比上一层物体总个数少8个。
3、实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数4、空心方阵中物体的个数=（最外层一边个数—层数）×层数×45、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1二、典型例题1、有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边共放多少个稻草人？2、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，一共栽了28棵树，那么每边栽多少棵？3、同学们排成一个两层空心方阵，外层每边8人，这个方阵一共有多少人？4、把若干个棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层每边12个棋子，求这个方阵共有多少个棋子？5、同学们在军训时排成了一个由204人组成的三层空心方阵，求最外面一层每边有多少人？6、某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演。
如果在这个正方形队列中减少一行一列，则要减少15人，问参加团体操表演的有多少同学？7、在儿童公园的一次菊花展上，用120盆菊花摆成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少盆花？8、一个中空方阵的队列，最外层每边18人，最内层每边10人。
这个队列共有多少人？9、用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？10、学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生。
女生有72人参加表演，男生有多少人？三、针对练习1、在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？2、小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？3、小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？4、解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？5、有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？6、用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒?7、有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？8、仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边12人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多4人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心。
五年级方阵问题应用题及答案
1、三年级一班参加运动会入场式排成一个方阵最外层一周的人数为20人。
问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?
2、明明用围棋子摆成一个三层空心方阵如果最外层每边有围棋子15个。
明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
3、参加中学生运动会团体操比赛的运发动排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，那么要减少33人。
问参加团体操表演的运发动有多少人?
4、解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数。
5、有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人?
6、一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个?
答案：1.6人、36人 2.40个、144个 3.289个 4.128人 5.160人 6.40个。
小学生常用数学公式方阵问题
小学生常用数学公式方阵问题【】小学数学的学习至关重要，宽敞小学生朋友们一定要把握科学的学习方法，提高数学的学习效率。
以下是查字典数学网小学频道为大伙儿提供的数学公式方阵问题，供大伙儿复习时使用!方阵问题公式(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。
(2)空心方阵：(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2层数)2=中空方阵的人数。
或者是(最外层每边人数-层数)层数4=中空方阵的人数。
总人数4层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人?解一先看作实心方阵，则总人数有1010=100(人)再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是10-23=4(人)因此，空心部分方阵人数有44=16(人)故那个空心方阵的人数是100-16=84(人)解二直截了当运用公式。
依照空心方阵总人数公式得(10-3)34=84(人)单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。
事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
科学的学习方法和合理的复习资料能关心大伙儿更好的学好数学这门课程。
小学数学：方阵问题公式
小学数学：方阵问题公式
小学数学：方阵问题公式
【】小学数学的学习至关重要，广大小学生朋友们一定要掌握科学的学习方法，提高数学的学习效率。
以下是查字典数学网小学频道为大家提供的方阵问题公式，供大家复习时使用!
小学生数学公式大全：方阵问题公式
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。
(2)空心方阵：
(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2层数)2=中空方阵的人数。
或者是
(最外层每边人数-层数)层数4=中空方阵的人数。
总人数4层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人?
解一先看作实心方阵，则总人数有
1010=100(人)
再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是
10-23=4(人)
所以，空心部分方阵人数有
44=16(人)。
(模块化思维提升)专题6-方阵问题-小升初数学思维拓展典型应用题专项训练(人教版)
专题6-方阵问题小升初数学思维拓展典型应用题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、方阵问题。
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题．2、数量关系。
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数=（每边人数-1）×4每边人数=四周人数÷4+1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数=每边人数×每边人数空心方阵：总人数=（外边人数）2-（内边人数）2内边人数=外边人数-层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数=（每边人数-层数）×层数×4．【典例一】为庆祝“六一”儿童节，城东小学四年级同学举行队列表演，他们排成2个“77⨯”的方阵。
每个方阵中，外两圈同学穿黄色运动服，其余同学穿红色运动服。
最少需要准备套黄色运动服，套红色运动服。
【答案】80；18。
【分析】每个方阵的最外层一共有4个边，每边有7人，共4层，然后根据总点数=每边点数⨯每边点数求出总方阵的人数和内2层的人数，再进一步解答即可。
【解答】解：（1）7749⨯=（人)(722)(722)--⨯--=⨯33=（人)9⨯=（人)9218-=（人)49940⨯=（人)40280答：最少需要准备80套黄色运动服，18套红色运动服。
故答案为：80；18。
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数=每边点数⨯每边点数的灵活应用。
【典例二】运动会上，四年级同学组成了四个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人。
每个方阵最外面一圈的同学穿黄色表演服，其余同学穿红色表演服，这两种颜色的表演服各多少件？【答案】黄色表演服80件，红色表演服64件。
【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用64⨯减去4求出最外圈穿黄色表演服的人数；再和每个方队的总人数相减求出穿红色表演服的人数。
最后再用每个方队中红、黄的衣服人数分别乘4，求出4个方队中两种颜色的表演服的件数即可。
五年级奥数综合问题 第三讲 方阵问题
五年级奥数综合问题 第三讲 方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：1．总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2．外一层每边人数比内一层每边人数多2相邻两层之间，每层的总数相差8 3．最外层每边人数=（最外层总人数÷4）＋1 最外层总人数 = (最外层每边人数-1) ×4 4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 5. 中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4 例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人? 解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列 的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。
【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？【巩固4】小红摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？例2：参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这 个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人？解析：从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1解 ：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
小学五年级奥数—植树问题中的方阵问题解析
11
1.小明用玻璃珠摆成一个三层空心 方阵，如果最外层每边有玻璃珠19 颗，小明摆这个方阵最里层一周共 有多少颗玻璃珠？摆这个三层空心 方阵共用了多少颗玻璃珠？
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解
析
三层空心方阵
空心、实心方阵每层的个数是一样的， 每层的总个数=这层的每边个数×4-4
空心方阵的总数=每层的总个数相加
每向里一层，每边的个数比外一层的每边的个数少2。
8
3.学校体操队排成方阵进行表演， 最外围的一圈有队员64人，如果在 这圈的外围再增加一圈队员以扩大 方阵，需要增加多少人？这时整个 方阵共有多少人？
9
解 析
实心方阵数学中一个重要的数量关系式： 方阵总人数=行数×列数 每层的总个数=这层的每边个数×4-4
每向里一层，每边的个数都要在上一层的基础上减去2。
3.解答这类问题，要仔细看清楚题目，是直线型还是环型。 如果是直线型，要弄清楚是路的一边栽树，还是路的两边 栽树；区分是两端都栽树、一端不栽还是两端都不裁。
3
1.四年级参加运动会入场式，排成 一个方阵，最外层一周的人数是32 人，问方阵最外层每边的人数是多 少？这个方阵共有多少人？
解 析
方阵是一部分人或物排列成正方形队列的形式。 方阵分为实心方阵和空心方阵。
=（最外层的每边个数-2）×4-4 =最外层的每边个数×4-2×4-4 =最外层的每边个数×4-4-8
每向里一层的总个数，都 要比外一层的总个数少8。
16
252名学生组成一个三层的中空方阵
每向里一层的总个数，都要比外一 层的总个数少8。
最外层-8=中间层 中间层-8=最里层
根据平均数的计算方式
中间一层的人数： 252÷3=84（人）
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小学奥数方阵问题专题训练(含答案)
小学奥数方阵问题专题训练姓名：1.某班抽出一些学生参加节日活动表演，想排成一个正方形的方阵，结果多出7人；如果每行每列增加一个再排，却少了4人，问共抽出学生多少人2.棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少棋子最外层有多少粒3.设计一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，问最外层每边应安排多少人|4.在第五届运动会上，红星小学组成了一个大型方块队，方块队最外层每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，问这个方块队共有多少同学组成5.有一队学生，排成中空方阵，最外层的人数共56人，最内层的人数共32人，这一队学生共有多少人6.学校举行团体操表演，四年一班的少先队员排成4层的中空方阵，最外层每边人数是10人，问参加团体操表演的少先队员共有多少人7.<8.用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒9.将棋子排成正方形，甲、乙两人自其外周起，轮流取一周，结果甲比乙多得24粒，问棋子总数有多少粒10.学生若干人，排成五层的中空方阵，最外层每边人数是12人，问有多少学生11.某校学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生12.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子小学奥数方阵问题专题训练（答案）1.某班抽出一些学生参加节日活动表演，想排成一个正方形的方阵，结果多出7人；如果每行每列增加一个再排，却少了4人，问共抽出学生多少人（7+4+1）÷2=6（人），6×6-4=32（人）答：共抽出学生32人2.棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少棋子最外层有多少粒、8×8=64（粒）（8-1）×4=28（粒）答：棋子总数64粒，最外层28粒。
奥数题—4、5、6年级方阵问题ppt课件
3
• 3.同学们排队站成一个实心方阵，排成11行11列， 如果去掉一行一列，要去掉多少人？
• 4.有72人排成一个三层的空心方陈，求最外层每 边有多少人？
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——忆学究会
•1.方阵每边人数和四周人数的关系： （每边人数－1）×4＝四周人数 四周人数÷4＋1＝每边人数 •2. 方阵总人数是计算 实心方阵：（每边人数）²＝总人数 空心方阵：（外边人数）²－（内边人数）²＝总人数
2
• 1.有1堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形， 问棋子的总数量是多少？最外边有多少只棋子？
奥数方阵问题
教学内容:第十一讲方阵问题在日常生活中,我们经常见到把人或物排成正方形的形状,比如用花盆摆成正方形,同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题;掌握这类问题的解题规律,可以提高我们的解题能力,培养思维的灵活性;今天我们将共同研究和分析这类问题;士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,恰好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵亦叫乘方问题;在摆放的方阵中如果是实心的,我们叫它中实方阵;如果这个方阵是空心的,我们叫它中空方阵;观察中实方阵,我们不难发现方阵的基本特点:①方阵的每行物体个数与每列物体个数相等;②去掉横竖各一排时,有且只有1个物体是同时属于被减去的一行和一列;③如果把最外圈形成的正方形叫第一层,再向里一圈叫第二层的话,会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2,相邻两层相差总个数为8;④每边人或物数和四周人或物数的关系四周人或物数=每边人或物数-1×4每边人或物数=四周人或物数÷4+1⑤中实方阵的总人数或物=每边人或物数×每边人或物数观察中空方阵,我们不难发现方阵的基本特点:中空方阵的总人或物数=最外层每边人或物数-中空方阵的层数×中空方阵的层数×4下面我们就利用以上特点进例 1 参加军训的学生进行队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列,如果去掉一行一列,请问:要去掉多少名学生还剩下多少名学生分析与解答:如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列,从图中可以看出正方形队列的特点:1正方形队列每行、每列的人数相等,因此总人数=每行人数×每列人数;2去掉横竖各一排时,有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的,如图中点A所示;因此去掉的总人数=原每行人数×2-1,或去掉的总人数=减少后每行人数×2+1;本题中所求,即去掉的人数=7×2-1=13人或去掉的人数=7-1×2+1=13人还剩的人数=7-1×7-1=36人或还剩的人数=7×7-13=49-13=36人答:如果去掉一行一列,要去掉13名学生,还剩下36名学生;例2 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵,最外层每边摆6枚,请问:要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子最外一层的棋子总数是多少分析与解答:如图,最外一层每边摆6枚,根据方阵每行每列个数相等特点,因此一共有6×6=36枚棋子;最外一层每边有6枚,如果用6×4=24枚,就认为是最外一层棋子数的答案的话,那就错了;因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列,这样棋子在计算总数时就被多数了一次,这样的顶点一共有4个,需要把多数的减去,才能得到正确的结果;列式是6×4-4=20枚;说明:这道题还可以这样想:数每边棋子时,可以按上图先划分成4个相等的块,这样每边就有5枚了,因此用5×4=20枚,也可以得到正确答案;按照划分块的方法不同,至少还有两种方法,请同学们试一试;例3 有一队士兵排成一个中实方阵,最外一层有100人,请问:方阵中一共有士兵多少人分析与解答:要想求出方阵中一共有多少士兵,就应先求出方阵的最外层每边有多少人;已知方阵最外一层有100人,用100÷4=25人,每边是不是25人呢不是的,因为平均分成4份后,还需要再加上1,才正好是每边上的人数,列式应该为100÷4+1=26人;因此方阵中一共有26×26=676人;答:一共有676人;说明:这道题关键是求出每边人数;在求每边人数时,不要认为和“知道了正方形周长,求边长”一样,还必须要加上1; 例4 若干名同学排成中实方阵则多12人,若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满,请问:原有学生多少人分析与解:由于纵横两个方向各增加1人,因此不但将剩余12人摆上,而且还差9人,说明一横行与一竖行的人数总和是12+9=21人;又由于纵横两个方向各增加1人,因此只有1人同属于横行与纵行,在数每边上的人数时,总被多数一次,因此可以用21人先加上被重复数过的1人,再除以2,也就得到每边人数;列式为21+1÷2=11人;求出每边人数,就可求出假设排满后的人数,列式为11×11=121人,用121人减去差的9人就是原来人数,列式为121-9=112人;也可以根据原来的方阵再加上12,请你试一试;答:原有学生112人;前四个例题涉及的都是实心方阵问题;下面我们来研究中空方阵问题;例 5 游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵,最外边一层每边12人,请问:彩车周围的少先队员共有多少人分析与解答1:请同学们自己画一个图,下图是一个三层中空方阵的示意图,不难发现,有如下特点:1外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2;2每相邻两层之间,点的总数相差8个;最外层队员的总数:12×4-4=44人三层共有队员的总数:44+44-8+44-8×2=44+36+28=108人分析与解答2:如下图可分成相等的四部分,每一部分的人数:12-3×3=9×3=27人三层共有队员数:27×4=108人答:彩车周围的少先队员共有108人;这个问题还有别的解法,请同学们自己试着做一下;例6 小明用围棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了200枚棋子,请问:最外边一层每边有多少枚棋子分析与解答1:利用“相邻两层之间,每层的总数相差8”的特点,可知最外层共有棋子数:200+8+8×2+8×3+8×4÷5=56个最外层每边的棋子数:56÷4+1=15个分析与解答2:如例5的图,把棋子分成相等的四部分;每一部分的棋子数:200÷4=50个每一部分每排的棋子数:50÷5=10个最外层每边的棋子数:10+5=15个综合列式为:200÷4÷5+5=15个答:最外边一层每边有15枚棋子;阅读材料牛顿是英国一位伟大的数学家和科学家,他是个早产儿,从小就体弱多病,不能像同年龄的孩子在外面跑跑跳跳;只能躲在室内;不过,聪明的他却有一套玩耍的方法;他制造了一种利用老鼠磨面粉的机械玩具水车,把小麦磨成雪白的面粉,还做了有灯光的风筝吓唬村民;牛顿最有名的一段小故事,就是因为苹果落下,而发现万有引力,为什么苹果会落下小朋友你想过这个问题吗这是因为地心引力,所以有重量,苹果才落下;喔牛顿很喜欢想问题,也喜欢看书,最后成为伟大的科学家和数学家哩练习题1.实验小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演,由于服装不够,只好横竖各减少一排,这样共需去掉27人,请问:四年级原来准备多少人参加表演分析与解答:此题刚好是例1的逆向思考问题;根据正方形队列的特点,可知原每行人数=去掉一行一列的人数+1÷2即:原来每行人数:27+1÷2=14人原来准备参加表演的人数:14×14=196人答:四年级原准备196人参加表演;2.一队学生站成20行20列方阵,如果去掉4行4列,那么要减少多少人分析与解答1:把去掉4行4列转化为一行一列的去掉,就可用例6的结论:去掉一行一列的总人数=原每行人数×2-1反复利用4次这个公式,只要注意“原每行人数”的变化,即可列式为:去掉4行4列的总人数=20×2-1+20-1×2-1+20-2×2-1+20-3×2-1=40-1=38-1+36-1+34-1=144人分析与解答2:我们还可以这样想:原来是一个7行7列的方阵,若去掉4行4列后,仍剩下一个小正方形方阵,因此去掉4行4列的总人数=原正方形方阵每边人数-4,即去掉的总人数=20×20-20-4×20-4=400-256=144人答:去掉4行4列,要减少144人;3.正方形舞厅四周均匀的装彩灯,如果四个角都装一盏且每边装12盏,那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏分析与解1:自己画图可以看出,角上的四盏灯各属于两行,所以彩灯总数应为: 12×4-4=44盏分析与解2:还可以把彩灯分成相等的四部分,因此彩灯总数为:12-1×4=44盏答:这个舞厅四周共装彩灯44盏;4.“六一”儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵,请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆分析与解答:分析思路参见例6,最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数204÷4÷3+3=20盆答:最外面一层每边有鲜花20盆5.四年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,请问:方阵最外层每边的人数是多少这个方阵共有多少人分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了;解答:1方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6人2整个方阵共有学生人数:6×6=36人答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人;6.明明用围棋子摆成一个三层中空方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子分析:1方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数;2根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个中空方阵共用棋子多少个;解答:1最里层一周棋子的个数是:15-2-2-1×4=40个2这个空心方阵共用的棋子数是:15-3×3×4=144个答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子;7.若干战士排成一个四层中空方阵,只知道最外一层每边有12人,请你求出总人数;分析与解:我们可以采用先求出每层人数再求总人数的方法进行解答:由于最外层每边有12人,因此最外层一共有12-1×4=44人,又根据方阵相邻两层,外层比内层人数多8的特点,因此第二层有44-8=36人,第三层有36-8=28人,第四层有28-8=20人;因此一共有44+36+28+20=128人;还可以这样想,把四层中空方阵划分如例5的形状,我们发现每个长方形可以看成四排战士,每排有8人组成;因此一个长方形有8×4=32人,一共有4个长方形,32×4=128人;当然还可以先把中空方阵看成中实方阵,然后再减去补上的小中实方阵人数,也可以求出一共有多少人,看成中实方阵后,最外一层每边12人,因此一共有12×12=144人;又因为在方阵中相邻两个正方形每边人数相差2,因此第二层每边有12-2=10人,第三层每边有10-2=8人,第四层每边有8-2=6人,第五层每边有6-2=4人;因此小的中实方阵有4×4=16人;144-6=128人就表示一共有战士的人数;答:一共有128人;8.有若干盆鲜花摆成一个中空方阵,最外层共摆48盆,最内层共摆24盆,请问:共摆了多少盆鲜花分析与解答:由于方阵中相邻两个正方形每边相差8,因此第二层应摆鲜花48-8=40盆,第三层有花40-8=32盆,第四层有花32-8=24盆;这样通过枚举方法求出一共有四层花,及中间两层花的总数;因此一共摆了48+40+32+24=144盆;答:一共摆了144盆;9.五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲、乙两个中实方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果把两队合并,可以另排成一个中空的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心,请问:五年级参加广播操比赛的一共有多少名学生分析:若只排列一个乙方阵,则多余的人数为即甲方阵的人数8×8=64人,排列一个实心的丙方阵,不足的人数是:8×8=64人;假设丙方阵为实心方阵,则乙多的人数是:8×8+8×8=128人,又根据方阵扩展一层,每边增加2人,丙方阵丙实心方阵比乙方阵的外边多4人,说明丙方阵多于乙方阵的层数是4÷2=2层,方阵扩展2层,需要增加128人,根据“和差问题”则方阵最外层的人数是:128+2×4÷2=68人,所以丙方阵的总人数18×18-8×8=260人解:1假设丙方阵为中实方阵,则丙方阵最外层是:8×8+8×8+2×4÷2=68人2丙方阵最外层每边的人数是:68÷4+1=18人3中空丙方阵的总人数:18×18-8×8=324-64=260人答:五年级参加广播操比赛的一共有260人;10.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵方阵中共有杨树,柳树各多少棵分析:根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示柳树观察图12不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的;因而杨树和柳树的棵数相等;即最外层杨,柳树分别为7-1×4÷2=12棵;当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差1棵;解答:1最外层杨柳树的棵数分别为:7-1×4÷2=12棵2当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵:杨树:7×7+1÷2=25棵柳树:7×7-25=24棵3当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多1树柳树7×7+1÷2=25棵杨树7×7-25=24棵答:在两种方法中,方阵最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树24棵,或者有杨树24棵,柳树25棵;。
小学奥数思维拓展：方阵问题
奥数思维拓展：方阵问题一．选择题（共7小题）1．舞蹈社团的同学排成了右面的队形，每边站4人，舞蹈社团一共有（）人。
A．9B．12C．162．一队学生围成一个正方形，每边站了12人（四个顶点都有人），共有（）名学生．A．44B．48C．523．街心公园有一个方形花坛，最外层每边各摆15盆花，最外层摆了（）盆花．A．60B．58C．564．同学们在操场上排成正方形的方阵做操，最外层每边站8人，这个方阵一共有（）人A．49B．81C．64D．1005．在一个正方形花坛四周种树，四个顶点各种一棵，每边共种5棵，整个花坛四周种树（）棵．A．16B．20C．256．希望小学学生排成正方形方阵做早操，从前往后数小明排第7个，从后往前数排第13个，从左往右数，从右往左数都排第10个．最外层一共可以排（）个学生．A．78B．72C．76D．807．若干名学生排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么，原有学生（）人．A．902B．136C．240D．360二．填空题（共9小题）8．一张正方形餐桌配4把椅子，一张圆形餐桌配6把椅子，某饭店买了5张正方形餐桌配把椅子，又买了4张圆形餐桌配把椅子，两次一共配了把椅子。
9．学校举行方阵队列表演，五年级参演同学排成了7行7列．如果去掉一行一列，要去掉人，还剩人．10．在五边形的花坛上摆花盆，每条边上摆5盆，至少需要盆。
11．在体操表演时，六年级学生排成一个方队（横竖行人数相等）．已知最外层为72人，那么这个方队共有人．12．16位同学做游戏，他们手拉手围成一个正方形，每边人数相等。
正方形每个顶点都站一人，每条边上各有位同学。
13．用36面旗帜，每隔3米插一面，围出一个正方形（四个角都要有一面），围出的正方形的每边长米，每边要插面。
14．运动会上，五年级同学排成方阵，（横行与竖行人数相等）入场，这个方阵最外层有60人，这个方阵共人。
15．五年级学生排成方阵，最外层每边站15名学生，最外层一共有名；整个方阵一共有名。
五年级《方阵》奥数教案
颗棋子？分析：根据公式空心方阵总数=（最外层每边数量－层数）×层数×4，可以知道最外层每边数量=空心方阵总数÷4÷层数＋层数，再代入相应数据即可算出。
板书：480÷4÷8＋8= 15＋8= 23（颗）答：最外层每边有23颗棋子。
（三）例题5（选讲）：某校开展植树活动，如果排成实心方阵，那么树苗将多出27棵，如果每行每列多植1棵，那么树苗将多出8棵，共有树苗多少棵？师：原来多出27棵，增加一行一列之后多出8棵，说明什么？生：说明增加一行一列需要19棵。
师：增加一行一列需要19棵，可以算出什么？生：可以算出增加一行一列之后每行每列的数量。
师：那么增加一行一列之后每行每列的数量是多少呢？我们一起来看一下图。
（幻灯片出示点子图）师：这一行一列的总数是19，大家数一数，一行有多少，一列有多少？生：都是10。
师：一行是10，一列也是10，那为什么总数是19而不是20呢？生1：因为角上的那个在计算行数和列数时只能数一次，如果是20就重复数了两次了。
师：真棒！我们从图中可以看出行数和列数都是10，那如果不数，这个10该如何得到呢？生2：可以让19先加1，再除以2。
生3：也可以19先减1，也就是先减去角上的，再除以2，算出边上的数量，最后再加角上的1。
师：这两种方法都可以，我们选简便一点的这一种计算。
（出示：（19＋1）÷2=10（棵））师：知道了每边的数量，这个方阵的总数可以算了吗？生：可以了，10乘以10。
师：这样就好了吗？10乘以10表示什么？表示的是增加一行一列之后方阵的总数。
别忘了增加一行一列之后树苗还多出8株，所以还要怎么样？生：还要再加上8。
板书：27－8=19（棵）（19＋1）÷2=10（棵）10×10＋8=108（棵）答：共有树苗108棵。
练习5：。
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6×6=36（盆）
答：原来摆了36盆花。
例4：朋朋用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每 边有围棋子15个，那么这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆 这个三层空心方阵共用了多少个棋子？
最里层每边棋子： 15-2-2=11(个)
最里层一周棋子： 11×4-4=40(个)
例3：朋朋用棋子摆了一个实心方阵，如果再加上7枚棋子， 就可以使原来的方阵增加一行一列，成为一个大一点的方阵。 原来的方阵由多少枚棋子组成？
原来方阵最外层每边棋子数量： (7-1)÷2=3(枚)
方阵棋子总数： 3×3=9(枚)
答：原来的方阵由9枚棋子组成。
一个正方形花坛，原来摆了一些花，组成一个实心方阵，后 来运走了11盆花，使原来的方阵减少一行一列成了一个小一点的 实心方阵。原来摆了多少盆花？
最外层一周的棋子：
(5-1)×4=16(个)
例1：下图是用围棋子摆成的一个5每边的围棋数量有什么规律？ 一共有多少个棋子？
5-3=2(个) 5×5=25(个)
答：最外层一周有16个棋子，相邻两层每边棋子 数量相差2个，一共有25个棋子。
实心方阵：
最外层每边人数：5+2+2+2=11（人） 总人数：(11-4)×4×4=112（人）
答：参加团体操表演的少先队员共有112人。
实心方阵：
（1）每向里一层，每边上人数就少2； （2）最外层一周人数=最外层一边人数×4-4
=(最外层一边人数-1)×4； （3）实心方阵的总人数=每边人数×每边人数。
空心方阵：
问题情境
第1讲
方阵问题
例1：下图是用围棋子摆成的一个5×5的实心方阵，问：最 外层一周有多少个棋子？相邻两层每边的围棋数量有什么规律？ 一共有多少个棋子？
最外层一周的棋子：
5×4-4=16(个)
还有其他解法吗？
例1：下图是用围棋子摆成的一个5×5的实心方阵，问：最 外层一周有多少个棋子？相邻两层每边的围棋数量有什么规律？ 一共有多少个棋子？
最里面一层每边人数与最外层 每边人数之间有什么关系呢？
例5：四年级同学排成一个三层的空心方阵，最里面一层每 边排5人，则这个方阵一共有多少人？
相邻两层每边人 数之间相差2人。
最外层每边人数： 5+2+2=9(人)
空心方阵总人数： (9-3)×3×4=72(人)
答：这个方阵一共有72人。
团体操表演时，少先队员们排成四层的中空方阵，最里面一 层每边的人数是5人，参加团体操表演的少先队员共有多少人？
团体操表演时，少先队员们排成四层的中空方阵，最外层每 边的人数是10人，参加团体操表演的少先队员共有多少人？
(10－4)×4×4=96（人）
答：参加团体操表演的少先队员共有96人。
例5：四年级同学排成一个三层的空心方阵，最里面一层每 边排5人，则这个方阵一共有多少人？
要求这个空心方阵的总人数， 必须先知道最外层每边的人数。
最外层每边人数： (20+4)÷4=6(人)
方阵总人数： 6×6=36(人)
答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。
某校五年级学生排成一个方阵，最外层一周的人数为80人。 问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
外层每边：(80+4)÷4=21（人） 共有：21×21=441（人）
例4：朋朋用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每 边有围棋子15个，那么这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆 这个三层空心方阵共用了多少个棋子？
(15-3)×3=36(个) 36×4=144(个)
答：最里层一周共有40个棋子，这 个三层空心方阵共用了144个棋子。
空心方阵：
总人数=（最外层每边人数-空心方阵 层数）×空心方阵层数×4
一共植树：14×14=196(棵) 最外层一周：14×4-4=52（棵）
答：一共植树196棵，最外层一周有52棵树。
例2：四年级一班参加运动会入场式，排成一个实心方阵， 最外层一周人数为20人。问方阵最外层每边的人数是多少？这 个方阵共有多少人？
例2：四年级一班参加运动会入场式，排成一个实心方阵， 最外层一周人数为20人。问方阵最外层每边的人数是多少？这 个方阵共有多少人？
（1）每向里一层，每边上人数就少2； （2）最外层一周人数=最外层一边人数×4-4
=(最外层一边人数-1)×4； （3）实心方阵的总人数=每边人数×每边人数。
植树节，育才小学的少先队员在一块荒地上进行植树活动， 把小树苗种成一个正方形的实心方阵，最外层每边有14棵树。一 共植树多少棵？最外层一周有多少棵树？
总人数=（最外层每边人数-空心 方阵层数）×空心方阵层数×4
答：方阵外层每边有21人，共有五年级学生441人。
例3：朋朋用棋子摆了一个实心方阵，如果再加上7枚棋子， 就可以使原来的方阵增加一行一列，成为一个大一点的方阵。 原来的方阵由多少枚棋子组成？
可以先用一个“正方形”代替， 画出增加一行一列的变化图来， 看能不能发现什么。
原来的方阵有多大不知道， 怎么办呢？