第11章 量子跃迁

(18)
当 =mk时，上式右边第二项是0/0型的分式，容
易看出，其值与t成正比。而第一项不随时间增加，
仅第二项起主要作用。同样，当=-mk时，第一
项起主要作用。当 mk时，式中右边两项都不
随时间增加，两项都很小。 由此可见，只有当
20
mk 或 m k
由此得出方程(6)的一级近似解为
1 t ik ' k t ' ak ' (t ) H 'k ' k e dt ' i 0
Φk 跃迁到终态Φk’ 的几率为
(8)
那么在一级近似下，体系在微扰作用下由初态
Pk ' k
单位时间的跃迁几率(称为跃迁速率)
1 ak ' (t ) 2
Larmor频率
设初时刻电子自旋态为Sz的本征态（采用Sz表象）
( 0 ) 1 0

(8)
在t时刻电子自旋态 (t ) ?
6
a (t ) 解1 令 ( t ) b (t )
L
d dt ( a b) iL ( a b) a(t ) b(t ) [a(0) b(0)]eiLt iL t d a ( t ) b ( t ) [ a ( 0 ) b ( 0 )] e ( a b) iL ( a b) dt
(3)
ˆ 的定态波函数 e 将 按 H 0 n n
i nt
展开：
9
an (t )n
n
(4)
n ˆ 得: i H 0 n t
将其代入(2)并利用
dan (t ) ˆ ' i n an (t ) H n dt n n
上式左标积Φk’得
dan (t ) * * ˆ i Φ Φ d τ a ( t ) Φ k' n n k ' H ' Φ n dτ dt n n 利用正交归一性得
dak ' (t ) ˆ ' eik ' nt i an (t )H k 'n dt n (6)
10
ˆ 'φ ) 其中 H 'k 'n (φk ' , H n
( 9)
解2 体系的能量本征态即σx本征态，按第8章习题1
1 1 , E E , 1 L 1 x 2 x 1, E E2 L , 2
( 0 ) 1 0 1
L

(t ) a ei t
由(8)式，对常微扰有
H 'k 'k eiωk 'kT 1 ak ' (T ) ω k 'k
16
ak ' (T )


2
H 'k 'k ω
ω
2
2
2
2 k 'k
2
(e
iω k 'k T
1)( e
iω k 'k T
1)
2 H ' k 'k
2 k 'k
(1 cos ω k 'k T )
(7)
由于方程(6)中已含有一级微量H‘k’n ，在只考虑 一级近似而略去二级和高级近似的情况下，我们
11
把(7)式的 an (0) 作为a n (t ) 代入式(6)右边便得
dak ' (t ) iω k 'nt iω k 'k t ˆ i δ nk H 'k 'n e H 'k 'k e dt n
1 1 1 1 2 1

(10)
1 a2 e
iLt
2
1
cos t (eiLt 1 eiLt 2 ) i sinL t L 2
7
§11.2 量子跃迁几率，含时微扰论

1 量子跃迁 跃迁几率
顿算符不含时间，因而求解的是定态薛定谔方程。
(t ) aneiEnt / n
特例： (0) k , an nk 定态
n
(4)
(5)
(t ) k e
iEk t /
(6)
5
如果体系在初始时刻并不处于能量的本征态，则以 后也不处于该本征态，而是若干个能量本征态的叠 加，如 (4)所示，叠加系数如(2)式由初态决定。 例1 设一个定域电子处于沿x方向的均匀磁场B中(不 考虑电子的轨道运动)，电子内禀磁矩与外磁场的作 用为 eB eB H s B Sx x L x (7) c 2c
(t ) U (t )(0) eiHt / (0)
(1)
4
U是描述量子态随时间演化的算符，如果采用能量 表象，把Ψ(0)表成 (0) ann , an (n , (0)) (2)
n
Ψn是包含H在内的一组守恒量完全集的共同本征态
即 H n En (3) (n代表一组完备的量子数)。(2)代入(1)得：
17
2 sin x 可以证明 ( x) 2 x T [sin2 (ωk 'kT / 2)]/ ω2 π Tδ(ωk 'k ) / 2 k 'k
2 T P



H 'k ' k ( k ')(k ' k )d k ' k
2
0
8
的定态波函数近似的计算出有微扰时的波函数，
从而可以计算无微扰体系在微扰的作用下由一个
量子态跃迁到另一个量子态的跃迁几率。并用这
些结果讨论原子对光的发射和吸收等问题。 体系波函数所满足的薛定谔方程是
ˆ i H ( 2) t ˆ 的本征函数 n 为已知： 设H 0
ˆ H 0 n n n
前面介绍的定态微扰理论，讨论的是体系的哈密
本节介绍体系哈密顿算符与时间有关的微扰的情
况。即
ˆ (t ) H ˆ H ˆ '(t ) H 0
(1)
ˆ (t )与时间有关，体系的波函数要由含时薛 由于 H
定谔方程准确求出，这通常是很困难的。下面介
ˆ 绍的与时间有关的微扰理论，使我们能由 H
(13)
我们只考虑 H 'k 'k 和ρ(k ' )都随ε k平滑变化的情 ' 况，因此它们都可以近似的移到积分号外面， 2π T 2 于是 P H ' ρ (E ) 单位时间的跃迁几率(称为跃迁速率)为 P 2 2 w H 'k ' k ρ ( Ek ) (14) T
Fermi黄金规则(golden rule)
ˆ ' 的性质都有关。若 H ˆ '具有 态、末态以及微扰 H
某种对称性，使得 H'mk=0 ，则Pk’k=0 。在一级近
似下，这种跃迁是禁戒的(forbidden)，这样对应
ˆ' 有跃迁选择定则(Selection rule)，当然不同的 H
13
有不同的选择定则。另外，选择定则也是近似的。
ˆ ' 的厄米性，则H'k’k=H'kk’ ，因此在一 3）利用 H
(8 ) i b d a a 0 1 a i 10 b dt b b i a
L L
( 0 ) 1 0



a(t ) cos Lt cos Lt 即 (t ) i sin t b(t ) i sin Lt L
级近似下，从k态到k’态的跃迁几率(k’≠k)等于从 k’态到k态的跃迁几率，但由于能级一般是简并
的，而且简并度不尽相同。所以不能一般的说，
从能级Ek到能级Ek’的几率等于从能级Ek’到能级 Ek 的几率。如果要计算跃迁到Ek’的跃迁几率，
则需要把到Ek’能级的诸简并态的跃迁几率都考
虑进去。若体系的初态也未完全确定(Ek有简并)，
第11章 量子跃迁
本章首先概括关于量子态的两类问题，其次介绍 量子跃迁几率 含时微扰论，并简单介绍能量与
时间的测不准关系，最后讨论光的吸收和发射等
问题。具体内容为：
1.量子态随时间的演化 2.量子跃迁几率 含时微扰论 3.光的发射和吸收
2
§11.1 量子态随时间的演化
关于量子态有如下两类问题： 1）体系的可能状态问题，即力学量的本征态与本 征值问题：力学量的观测值即力学量相应算符的 本征值。通过求解算符的本征方程可以求出它们。 定态薛定谔方程即为Hamildon量的本征方程。 在大多数情况下，能级有简并，仅根据能量本征值 E不能把相应的本征态完全确定下来，而往往需要 找出一组守恒量完全集F(其中包含H)，并求出其共 同本征态Ψ，从而把简并态完全标记清楚。
2
4 H 'k ' k
2
sin (k ' k T / 2) 2 k ' k
2
(11)
将上式代入(10)并注意到
4 P H 'k ' k

dε k ' dωk 'k 得:
2 sin (k ' kT / 2) 2 (k ') d k ' k (12) 2 k ' k
ˆ ) 其中 Fmk (m , F k
将(16)代入(8)得
19
(17)
Fmk a m (t ) i
i ( mk ) t ' i ( mk ) t ' [ e e ]dt' 0
t
i ( mk ) t i ( mk ) t Fmk e 1 e 1 mk mk
ωk 'n (ε k ' ε n ) /
分别为微扰矩阵元和从n能级跃迁到k’能级的玻 尔频率。上方程是薛定谔方程(2)的另一种表示形 式 下面求方程(6)的解。设微扰在t=0时开始引入，
ˆ 这时体系处于 H 0
的第k个本征态Φk ，则有
( 6) ( 0) n
an (0) nk a (t )
论常微扰情况。 设 H ˆ ' 在0 t T 这段时间之内不为零但与时间无 ˆ的 关。体系在t=0时所处的状态假设为Φk 。在 H ' 作用下，体系跃迁到连续分布的或接近连续分布
15
的末态Φk’。这些末态的能量
上下连续分布。以 ρ(k ' )dε k ' 表示在 ε
ε k '在初态能量 k
则从诸简并初态出发的各种跃迁几率都
14
要逐个计算，然后求平均。简单的说，就是对初 始能级诸简并态求平均，对末能级诸简并态求和。
例如对中心力场中的粒子
Pnl n 'l '

2 常微扰 下面我们具体讨论两种微扰情况的跃迁几率。先讨
1 Pn 'l 'm',nlm 2l 1 m,m'
2
H'
0
t
k 'k
e
ik ' k t '
2
dt '
( 9)
12

说明：
1）跃迁几率公式(9)成立有一定的条件，要满足
Pk’k <<1，即要求跃迁几率很小，体系有很大的 几率仍停留在初始状态。否则，在求一级近似解 时，就不能把(6)式右边的an(t)用an(0)=nk 来代替。 即要求H'必须是很小的微扰项。 2）从跃迁几率公式(9)可以看出，跃迁几率与初
3
2）体系状态随时间的演化问题。量子力学的另一 个基本假定是：体系状态随时间的演化，遵守含时 薛定谔方程。由于方程是时间的一次导数，当体系 的初态Ψ(0)给定后，原则上可以求解出以后任何时 刻t的状态Ψ(t) 。 1 .Hamildon量不含时间的体系 体系能量守恒。此时， Ψ(t)的求解较易。薛定谔方 程的解形式上可表为
18

k 'k
k

ˆ cos t ˆ ' (t ) A H
3 周期微扰
i t i t ˆ F (e e )
(15)
与时间无关的微扰算符
设其从t=0开始作用于 体系。为方便将其表 示成指数形式
ˆ 的第k个本征态 在H 0
k 和第m个本征态 m 之
间的微扰矩阵元是
ˆ ' ) F (ei t ei t ) (16) H 'mk (m , H k mk
k'
能量范围内这些末态的数目，则 ρ( k ' ) 就是这 些末态的态密度。从初态到末态的跃迁几率是
各种可能的跃迁几率之和。所以，从初态到这 些末态的跃迁几率为：
εk ' dεk '
P ak ' (t )
2 k'


ak ' (t ) ( k ')d k '
2Байду номын сангаас
(10)