10均匀设计
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均匀设计法的基本原理和应用范围
农业试验设计
总结词
在农业研究中，均匀设计法可用于优化种植密度、施肥量等农业措施，提高作物产量和 品质。
详细描述
在农业试验中，需要研究多种因素对作物生长的影响，如种植密度、施肥量、灌溉方式 等。通过均匀设计法，可以有效地安排试验条件，以最少的试验次数获得最佳的试验效
果。
产品制造工艺优化
总结词
在产品制造过程中，均匀设计法可用于优化工艺参数，提高产品质量和生产效率。
均匀设计法的基本原理和应用范围
目录
• 均匀设计法的基本概念 • 均匀设计法的基本原理 • 均匀设计法的应用范围 • 均匀设计法的优势与局限性 • 均匀设计法的实际应用案例
01 均匀设计法的基本概念
定义与特点
定义
均匀设计法是一种实验设计方法，旨在通 过合理地选择实验点和实验次数，最大限 度地获取所需的信息，并减少实验误差。
确定试验点数量
根据试验因素和水平，确定试 验点数量，以确保试验结果的 准确性和可靠性。
进行试验
按照生成的试验点进行试验， 收集数据。
确定试验因素和水平
根据研究目的和问题，确定试 验因素和水平，为后续的试验 设计提供基础。
生成试验点
根据均匀性准则和试验点分布 方法，生成试验点，确保每个 试验点具有代表性。
有限制条件
在满足一定限制条件下选择实验点。
均匀分散
在实验范围内，实验点均匀分散，避免集 中在某些区域。
高效性
通过合理设计，用较少的实验次数获取更 多信息。
与其他设计方法的比较
与正交设计法比较
均匀设计法的实验点分布更均匀，适 用于探索性实验和多因素多水平实验 。
与拉丁方设计法比较
拉丁方设计法适用于两因素实验，而 均匀设计法可应用于多因素实验。
r语言均匀设计代码
r语言均匀设计代码
均匀设计是一种实验设计方法，旨在在给定数量的实验点上均匀地分布设计空间。
在R语言中，可以使用“sampling”包进行均匀设计。
以下是一个示例代码，生成了一个包含10个点的均匀设计：
```r
安装和加载sampling包
("sampling")
library(sampling)
定义设计变量和范围
x <- c("var1", "var2")
low <- c(0, -10)
upp <- c(10, 10)
生成均匀设计
design <- udesign(x, low, upp, n=10)
打印设计矩阵
print(design)
```
在这个示例中，我们定义了两个设计变量var1和var2，它们的范围分别为[0, 10]和[-10, 10]。
然后，我们使用`udesign()`函数生成了一个包含10个点的均匀设计。
最后，我们打印出设计矩阵。
均匀设计-均匀设计.ppt
3.3.3.2 非线性回归模型（续1）
法、后退法、逐步回归法或最优子集法等进行变量的 筛选。其回归系数求解可经过方程项的转换按多元线 性回归的方法完成。 (2) 多项式回归模型
一般地，包含多变量的任意多项式可表述为：
可通过类似x1=Z1,x2=Z2,x3=Z12,x4=Z1Z2,x5=z22 的变换， 将其按多元线性回归分析。多项式回归在回归分析中 占特殊地位，因为任何函数至少在一
S
列号
D
2 15
0.1632
3 145
0.2649
4 1345
0.3528
5 12345
0.4286
6 1 2 3 4 5 6 0.4942
说明：设计表中的列代表的是各因素的水平， 但具体代表的是哪个因素的水平，需按使用 表确定，使用表s一栏的数字是试验的因素数， 它后面的数字指定了各种因素数进行试验时 该如何选择设计表的列；使用表中D栏代表 不同因素数选择设计表的不同列时均匀设计 的偏差，偏差越小，均匀性越好，试验成功 的几率和结果的可靠性越大。
(4) 用分次试验的指标值和取得该指标值的各因 素水平值建立试验指标—各因素水平关系的回归 模型（这也是均匀设计中的最重要的环节之一)；
(5) 成功地建立了回归模型后在各试验因素的试 验范围内寻找最佳的各因素水平组合并进行该组 合的验证试验（也可和步骤６一起进行)；
(6) 验证试验成功则进一步缩小水平划分更为细致的新的一 轮的试验，进一步寻找最优试验条件组合。一般 情况下，此次最优条件即为整个试验的最优条件， 试验结束。
3 均匀设计的应用方法
试验设计的共性问题 均匀设计的应用方法 具体问题的解决方法
3.1 试验设计的共性问题
试验设计（如正交试验设计、裂区试验设 计、系统分组设计等）过程必然离不开试验基 础内容的构思（试验的评价指标；试验的因素、 水平的选择和试验次数的拟定）、试验结果数 据的分析等共性方面的问题。试验的因素和水 平的选择关系到一个试验能否成功的关键，下 列的注意事项和建议对使用试验设计（当然也 包括均匀设计）的人员应该是有益的：
均匀设计法名词解释
均匀设计法名词解释
均匀设计法是一种试验设计方法，它的设计点在试验范围内均匀散布。
该方法由方开泰教授和数学家王元在1978年共同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个应用。
在科学研究和技术开发中，常常需要进行试验设计来探究不同因素对试验结果的影响。
试验设计的目的在于最小化试验次数和最大化试验信息的收集。
均匀设计法是一种有效的试验设计方法，它可以在试验点均匀散布的条件下，最小化试验次数，同时收集到足够的试验信息。
均匀设计法的优点在于它可以减少试验次数，提高试验效率，同时还可以均匀散布试验点，使试验结果更具代表性。
此外，均匀设计法还可以筛选关键因素，帮助研究人员更好地理解试验结果。
在均匀设计法中，每个因素的水平都被均匀地分配到试验中的各个点。
这使得每个试验点的数据都能够提供关于该因素的信息，从而使得在较少的试验次数下获得足够的信息成为可能。
总的来说，均匀设计法是一种有效的试验设计方法，可以帮助研究人员在较少的试验次数下收集到足够的试验信息，同时还可以提高试验效率并筛选关键因素。
均匀设计方法简介
均匀设计方法简介在工农业生产和科学研究中，常须做试验，以获得予期目的：改进生产工艺，提高产品收率或质量，合成出某化合物等等。
怎样做试验，是大有学问的。
本世纪30年代，费歇（R.A.Fisher）在试验设计和统计分析方面做了一系列先驱工作，使试验设计成为统计科学的一个分支。
今天，试验设计理论更完善，试验设计应用更广泛。
本节着重介绍均匀设计方法。
一、试验设计对于一项试验，例如用微波加热法通过离子交换制备Cu13X分子筛。
我们可以13X分子筛、CuCl2为原料来制备，为寻找最佳条件，应如何设计这个试验呢？若我们已确定了微波加热功率（A）、交换时间（B）、交换液摩尔浓度（C）为三个影响因素，每个因素取五个不同值（即水平：A1，…，A5，B1，…，B5，C1，…，C5）。
有两种方法最易想到：1．全面试验：将每个因素的不同水平组合做同样数目的试验。
对上述示例，不计重复试验，共需做5×5×5=125次试验。
2．多次单因素试验：依次考查各因素（考查某因素时，其它因素固定）取最佳值。
容易知道，对上示例（不计重复试验）共需做3×5=15次试验。
该法在工程和科学试验中常被人们采用，可当考查的因素间有交互作用时，该法所得结论一般不真。
3．正交设计法：利用正交表来安排试验。
本世纪60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，使正交试验设计得到更广泛的使用。
70年代以来，我国许多统计学家深入工厂、科研单位，与广大工程技术人员、工人一起，广泛开展正交设计的研究、应用，取得了大批成果。
该法是目前最流行，效果相当好的方法。
正交表记为：L n(q m)，这里“L”表示正交表，“n”表总共要做的试验次数，“q”表每个因素都有q个水平，“m”表该表有4列，最多可安排m个因素。
常用的二水平正交表为L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)；三水平正交表有L9(34)，L27(313)；四水平正交表L16(45)及五水平正交表L25(56)等。
均匀设计
7.1 均匀设计表
7.1.1 等水平均匀设计表
（1）记号： ）记号： Un(rl)或 Un*(rl) 或 U——均匀表代号； 均匀表代号； 均匀表代号 n——均匀表横行数（需要做的试验次数）； 均匀表横行数（需要做的试验次数）； 均匀表横行数 r——因素水平数，与n相等； 因素水平数， 相等； 因素水平数 相等 l——均匀表纵列数； 均匀表纵列数； 均匀表纵列数 *——均匀性更好的表，优先选用Un*表 均匀性更好的表，优先选用 均匀性更好的表 表
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A (1)1 (2)1 (3)2 (4)2 (5)3 (6)3 (7)4 (8)4 (9)5 (10)5
B (2)1 (4)2 (6)3 (8)4 (10)5 (1)1 (3)2 (5)3 (7)4 (9)5
C (5)1 (10)2 (4)1 (9)2 (3)1 (8)2 (2)1 (7)2 (1)1 (6)2
均匀设计（ design） 均匀设计（uniform design） ： 一种只考虑试验点在试验范围内均匀散布的 试验设计方法 通过均匀表来安排试验 应用：试验因素变化范围较大，需要取较多 应用：试验因素变化范围较大， 水平时 例如： 因素31水平的试验： 31水平的试验 例如：5因素31水平的试验： 正交设计试验次数≥ 正交设计试验次数≥312＝961 均匀设计试验次数： 均匀设计试验次数：31
7.2 均匀Biblioteka 计基本步骤（1）明确试验目的，确定试验指标 ）明确试验目的， （2）选因素 ） （3）确定因素的水平 ） 可以随机排列因素的水平序号 （4）选择均匀设计表 ） 根据试验的因素数和水平数来选择 参考使用表 首选U 表 首选 n*表
7.2
均匀设计基本步骤
均匀设计及其应用(精品)
均匀设计法诞生于１９７８年。由中国著名数学 家方开泰教授和王元院士合作共同发明。
正交设计可使试验点“均匀分散、整齐可 比”，为保证“整齐可比性”，使试验设计的 均匀性受到了一定限制，使试验点的代表性还 不够强，试验次数不能充分地少。
均匀设计是另一种部分实施的试验设计方 法。它可以用较少的试验次数，安排多因素、 多水平的析因试 验，是在均匀性的度量下最好 的析因试验设计方法。它可以使试验点在试验 范围内充分地均匀分散，不仅可大大减少试验 点，而且仍能得到反映试验体系主要特征的试 验结果。
为了进行分析，我们引进5个‘伪变量’。它们的记
号和取值如下：
B因素的
z31 (1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0) z32 (0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0) z33 (0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0)
A因素的
z41 (0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0)
中的三项，在 5%的水平下都是显著的。
图1.1.1:
残差与 yˆ 的示意图
y yˆ
状态是正常的，所以模型 (1.1.4)是可接受的。
yˆ
图 1.1.2a 匹配图
16
图 1.1.2b 正态 Q-Q 图
图 1.1.2c偏回归图
第5步: 优化 -- 寻找最佳的因素水平组合
表1.1.5的设计是73=343个全面试验的部分实施, 其中最好的 试验点是值为Y= 48.2%的 #7。它不一定是全局最好的。人 们想找到满足下式的x1*和 x3* ：
第4列安排种子品种A，
分3个A1，A2，A3。
表2.1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
U12(12×6×4×3 )
正交设计可使试验点“均匀分散、整齐可 比”，为保证“整齐可比性”，使试验设计的 均匀性受到了一定限制，使试验点的代表性还 不够强，试验次数不能充分地少。
均匀设计是另一种部分实施的试验设计方 法。它可以用较少的试验次数，安排多因素、 多水平的析因试 验，是在均匀性的度量下最好 的析因试验设计方法。它可以使试验点在试验 范围内充分地均匀分散，不仅可大大减少试验 点，而且仍能得到反映试验体系主要特征的试 验结果。
为了进行分析，我们引进5个‘伪变量’。它们的记
号和取值如下：
B因素的
z31 (1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0) z32 (0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0) z33 (0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0)
A因素的
z41 (0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0)
中的三项，在 5%的水平下都是显著的。
图1.1.1:
残差与 yˆ 的示意图
y yˆ
状态是正常的，所以模型 (1.1.4)是可接受的。
yˆ
图 1.1.2a 匹配图
16
图 1.1.2b 正态 Q-Q 图
图 1.1.2c偏回归图
第5步: 优化 -- 寻找最佳的因素水平组合
表1.1.5的设计是73=343个全面试验的部分实施, 其中最好的 试验点是值为Y= 48.2%的 #7。它不一定是全局最好的。人 们想找到满足下式的x1*和 x3* ：
第4列安排种子品种A，
分3个A1，A2，A3。
表2.1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
U12(12×6×4×3 )
均匀设计和均匀设计软件
均匀设计表U9*(94)和它的使用表
均匀设计表 U9*(94) U 9*(94)的使用表
均匀设计表的使用表的产生方法
均匀设计表U13 *(134 ) 和它的使用表及3 因素时各次试验2 7 12
3
4
S 2 3 4 试验次数序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 1 3 3 2 因素 1选用水平 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
o § § § §
正交试验设计利用： 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀 可以进行部分试验而得到基本上反映全面情 况的试验结果 但是， 当试验中 因素数或水平数比 较大时，正交试验的次数也 会很大。如 5因素 5水平， 用正交表需要安 排 5× 5＝ 25次试验。这时，可以选用均匀设计法，仅用 5次试验 就可能 得到能满足需要 的结果
9 9 3 10 10 8 11 11 13 12 12 13 13 4 9
y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + L + bm xm
试验结果分析
^
(8 − 1)
令 xik 代表因素xi 在第 k次 试验时取的 值，y k 表 示响 应值 y在第k次 试验的结果。
n _ _ Lij = ∑ xik − x i xik − x j i , j = 1,2,L , m k =1
列 号
D 0.0962 4 3 4 0.1442 0.2076 因素3选用水平 11 8 5 2 13 10 7 4 1 12 9 6 3
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
均匀试验设计的方法与应用
均匀性并不容易，因为很 难找到二个设计有相同的试验数和相同的水平数，一个 来自正交设计，另一个来自均匀设计。由于这种困难， 我们从如下三个角度来比较：
1 试验数相同时的偏差的比较
例如，当s=2时，若用 安排试验，其偏差为 0.4375；若用 ，则偏差最好时要达0.1445。显然后 者比前者均匀性要好得多。值得注意的是，这种比较方 法对正交设计是不公平的，因为当试验数给定时，水平 数减少，则偏差会增大。所以这种比较方法正交设计明 显地吃亏。
从图可见，树脂解析的动力学过程为：乙醇浓度为50%
后，解析率基本达到平衡；而洗脱总酚酸占总洗脱物比 率随乙醇浓度的增大，至乙醇浓度为50%时达到最大， 后逐渐减少。筛选最佳的乙醇浓度为50%，此时阿魏酸 解析率94.4%、总酚酸解析率95.23%、洗脱总酚酸占总 洗脱物比率46.2%。
2 pH值对大孔吸附树脂解析的影响
3 在均匀设计中指标与各因素之间的线性相关关系
在进行均匀设计时，应考虑水平数与因素数的 适当比例，至少水平数大于因素数的2倍以上，才 能使试验结果正确进行回归计算处理。
小结
均匀设计是近年来解决多因素多水平问题较好的 方法。其实验点在考察范围内“均匀分散”，有效减 少了试验次数，节约了时间和费用，同时又能获得对 试验对象较全面深入的认识。通过计算机辅助试验设 计以及对数据结果的统计分析处理，提高了药物制剂 研究的客观评价程度和整体研究水平。在中西药制剂 的处方筛选以及工艺条件优化等方面，均匀设计有着 光明的应用前景。
取5mL静态漏点浓度川芎样品液，调至筛选的pH值， 通过树脂柱吸附6h后，分别用30BV的蒸馏水、10%、 20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90% 乙醇溶液进行洗脱，收集洗脱液，抽取溶液1mL，测 定有效成分含量，以阿魏酸解析率、总酚酸解析率、 洗脱总酚酸占总洗脱物比率对乙醇浓度作图，得树脂 的解析动力学曲线，见图。
1 试验数相同时的偏差的比较
例如，当s=2时，若用 安排试验，其偏差为 0.4375；若用 ，则偏差最好时要达0.1445。显然后 者比前者均匀性要好得多。值得注意的是，这种比较方 法对正交设计是不公平的，因为当试验数给定时，水平 数减少，则偏差会增大。所以这种比较方法正交设计明 显地吃亏。
从图可见，树脂解析的动力学过程为：乙醇浓度为50%
后，解析率基本达到平衡；而洗脱总酚酸占总洗脱物比 率随乙醇浓度的增大，至乙醇浓度为50%时达到最大， 后逐渐减少。筛选最佳的乙醇浓度为50%，此时阿魏酸 解析率94.4%、总酚酸解析率95.23%、洗脱总酚酸占总 洗脱物比率46.2%。
2 pH值对大孔吸附树脂解析的影响
3 在均匀设计中指标与各因素之间的线性相关关系
在进行均匀设计时，应考虑水平数与因素数的 适当比例，至少水平数大于因素数的2倍以上，才 能使试验结果正确进行回归计算处理。
小结
均匀设计是近年来解决多因素多水平问题较好的 方法。其实验点在考察范围内“均匀分散”，有效减 少了试验次数，节约了时间和费用，同时又能获得对 试验对象较全面深入的认识。通过计算机辅助试验设 计以及对数据结果的统计分析处理，提高了药物制剂 研究的客观评价程度和整体研究水平。在中西药制剂 的处方筛选以及工艺条件优化等方面，均匀设计有着 光明的应用前景。
取5mL静态漏点浓度川芎样品液，调至筛选的pH值， 通过树脂柱吸附6h后，分别用30BV的蒸馏水、10%、 20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90% 乙醇溶液进行洗脱，收集洗脱液，抽取溶液1mL，测 定有效成分含量，以阿魏酸解析率、总酚酸解析率、 洗脱总酚酸占总洗脱物比率对乙醇浓度作图，得树脂 的解析动力学曲线，见图。
8. 均匀试验设计表
二、均匀设计试验结果的分析
1、直观分析 2、回归分析
实例：某酒厂在生产啤酒过程中，选择 底水（X1）和吸氨时间（X2）进行一比 较试验，两因素均选9个水平，试验考核 的指标为吸氨量（Y）。
试验因素水平为：
因素
水平
底水（X1） 136.5 （g）
吸氨时间（X2） 170
（min）
137.0
说明：王元、方开泰的研究表明，由于均匀 设计表列间的相关性，用Un（mk）最多可 以安排（k/2）+1个因素。这里（k/2）取 整，如(5.8)则取5。
U5（54）最多可安排3个因素，最大4个因素。 U6（66）最多可安排4个因素，最大6个因素。 U7（76）最多可安排4个因素，最大6个因素。 U8（86）最多可安排4个因素，最大6个因素。 U9（96）最多可安排4个因素，最大6个因素。 U10（1010）最多可安排6个因素，最大10个因素。
180
137.5
190
138.0
200
138.5
210
139.0
220
139.5
230
140.0
240
140.5
250
选择U9（96）均匀设计表 同时根据U9（96）设计使用表可将两因
素分别安排在第一列、第三列。试验方 案及结果见下表：
因素 列号 试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
X1（底水）
3
3 6 9 1 4 7 10 2 5 8
4
4 8 1 5 9 2 6 10 3 7
5
5 10 4 9 3 8 2 7 1 6
6
6 1 7 2 8 3 9 4 10 5
7
7 3 10 6 2 9 5 1 8 4
《均匀设计法》课件
均匀设计法的应用领域
化学与制药
用于寻找最佳反应条件 和优化化学合成路径。
生物与医学
用于研究生物体内各种 因素之间的相互作用和
最佳条件。
工程与制造
用于优化产品设计、工 艺参数和制造流程。
经济与社会
用于研究市场、消费者 行为和社会现象等复杂 系统的最佳策略和条件
。
均匀设计法的优势与局限性
高效性
通过减少实验次数提高效率，降 低实验成本。
代表性
选择的实验点应具有代表 性，能够反映实验范围内 的各种情况和变化趋势。
可行性
实验设计方案应具有实际 可行性，考虑到实验条件 、资源、时间等因素的限 制。
均匀设计法的实施步骤
确定因素和水平
选择影响实验结果的主要因素 ，并确定每个因素的取值范围 和水平。
实施实验
按照实验设计表进行实验，记 录实验数据和结果。
需要保证实验条件的一致性和稳定性 ，以确保实验结果的准确性和可靠性 。
需要建立准确的数学模型来描述实验 结果，并对模型精度有较高要求。
02
均匀设计法的基本原理
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
均匀设计法的数学基础
线性代数
均匀设计法涉及到线性代数中的 矩阵和向量运算，用于描述实验 设计中的各种关系和约束条件。
均匀设计法与拉丁方设计的比较
拉丁方设计是一种用于排列试验的方阵，而均匀设计法更注重试验点在参数空间中的均匀分布。
均匀设计法在交叉学科领域的应用探索
均匀设计法在生物医学领域的应用
在生物医学研究中，通过均匀设计法可以更有效地设计和实施实验，以探究不同因素对 生物系统的影响。
均匀设计法在环境科学领域的应用
均匀设计
4
均匀设计表 U*7（74） 实验号 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 6 1 4 7 2 5 3 5 2 7 4 1 6 3 4 7 6 5 4 3 2 1
均匀设计表 U*7（74）的使用表 因素个数 2 3 列号 1，3 2，3，4 D 0.1582 0.2132
希望实验次数尽可能的少，问如何安排实验？
根据因素和水平，选取均匀设计表U*7(74)或 U7(74) 由它们的使用表中可以查到，当因素数为3时， 两个表的偏差分别为0.2132和0.3721，故应当选 用U*7(74)来安排该试验 根据U*7(74)表的使用表，将A、B、C三个因素 分别安排在该表的2、3、4列
Y3
18.33 22.62 32.87 37.87 33.75 31.18 40.80 43.79 25.05 50.54 59.69 67.12 33.70 30.66 67.04 56.52 78.48
某实验考察四个因素对农作物产量的影响， 四个因素中包含两个定量因素X1、X2和两 个定性因素A、B，希望尽可能的较少实验 次数，问如何安排实验
适用于原因变量取值范围大，水平多（一般不少 于5）的场合 主要用于全部因素为定量因素的实验研究场合
通常是对所研究的问题中诸因素及其交互作用的 重要性一概不知的大规模（或每做一次实验，费 用十分昂贵的）实验研究的场合，通过此设计进 行因素筛选 当因素和水平的数目缩小后，再改用正交设计或 析因设计，作详细研究
今欲考虑这些金属含量（包括它们的交互作用） 对老鼠寿命的影响，观测指标为老鼠身上某种细 胞的死亡率
由于U*17(175)只有5列，最多能安排五个因素，故 选择U17(178)均匀表
均匀设计名词解释
均匀设计名词解释
嘿，你知道啥是均匀设计不？这可不是一般的概念哦！均匀设计就
像是一场巧妙安排的“布局游戏”。
比如说吧，你要给一群小朋友分糖果，怎么分才能让每个小朋友都觉得公平合理，而且又不会太麻烦呢？这就需要均匀设计啦！
它是一种实验设计方法，能在各种复杂的情况下找到最优的方案。
好比你在走迷宫，均匀设计就是帮你找到那条最快捷、最靠谱的出路。
想象一下，你是个大厨，要准备一道超级美味的菜肴。
你有很多种
食材可以选择，每种食材的用量也有很多可能。
如果靠瞎蒙乱试，那
得浪费多少时间和食材呀！但有了均匀设计，就像是有了一张神奇的
地图，能指引你快速找到最佳的搭配和用量。
咱再说说实际应用，在很多领域都能看到均匀设计的身影呢！比如
在工业生产中，怎么让生产过程更高效、更节能？均匀设计就能发挥
大作用。
它能帮工程师们找到最合适的参数组合，让产品质量更好，
成本更低。
在科学研究中，均匀设计也是个得力助手。
研究者们想要探索各种
因素对实验结果的影响，均匀设计就能帮他们有条理地安排实验，快
速得出有价值的结论。
总之，均匀设计是个超厉害的工具，它能让复杂的事情变得简单，让不可能变成可能！它就是那个能帮我们在各种领域中找到最佳答案的秘密武器！所以呀，可别小瞧了均匀设计，它的作用可大着呢！。
均匀设计
2019/1/11 12
7.2.3 使用均匀设计表
* 偏差D可对任一均匀设计表 U n 或 U n 中任意二列、任 意三列、…进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使 用列，从而形成使用表。
如下表就是 U 7 (76 ) 的使用表，s表示因子数。 均匀设计表 U 7 (76 ) 的使用表
若从中选出5列使用，就会使偏差D过大，故建议不使 用，把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到 U 7 (7 4 ) 及其使用表。
i 2n ，i 1,2, , n
Un(n m)中n个试验点变换成C m=[0，1]m中的n个点。 考虑Un(n m)中n个试验点的均匀性等价于考虑在 [0，1]m中 的均匀性。
2019/1/11 10
（3）设
是[0，1]m中任一点，则
为多维矩形的体积，且 0 V ( x) 1 。 （4）记 nx 为n个点 x1 , x2 ,, xn 落在多维矩形的个数， 则 n x / n 表示有多少比例的点落在矩形中。 若此n个点在[0，1]m中均匀散布，则 n x / n 与该多维 矩形的体积 相差不大。 （5）设 x1 , x2 ,, xn 是[0，1]m中的n个点，则称
2019/1/11 1
王元
方开泰
中国科学院数学研究所 中国科学院院士
中国科学院应用数学研究所 北京师范大学－ 香港浸会大学联合国际学院 美国数理统计科学院终身院士 美国统计学会终身院士
2
2019/1/11
§7.1 均匀设计表
7.1.1 均匀设计概述
例7.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重
金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，考察 老鼠体内某种细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个
7.2.3 使用均匀设计表
* 偏差D可对任一均匀设计表 U n 或 U n 中任意二列、任 意三列、…进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使 用列，从而形成使用表。
如下表就是 U 7 (76 ) 的使用表，s表示因子数。 均匀设计表 U 7 (76 ) 的使用表
若从中选出5列使用，就会使偏差D过大，故建议不使 用，把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到 U 7 (7 4 ) 及其使用表。
i 2n ，i 1,2, , n
Un(n m)中n个试验点变换成C m=[0，1]m中的n个点。 考虑Un(n m)中n个试验点的均匀性等价于考虑在 [0，1]m中 的均匀性。
2019/1/11 10
（3）设
是[0，1]m中任一点，则
为多维矩形的体积，且 0 V ( x) 1 。 （4）记 nx 为n个点 x1 , x2 ,, xn 落在多维矩形的个数， 则 n x / n 表示有多少比例的点落在矩形中。 若此n个点在[0，1]m中均匀散布，则 n x / n 与该多维 矩形的体积 相差不大。 （5）设 x1 , x2 ,, xn 是[0，1]m中的n个点，则称
2019/1/11 1
王元
方开泰
中国科学院数学研究所 中国科学院院士
中国科学院应用数学研究所 北京师范大学－ 香港浸会大学联合国际学院 美国数理统计科学院终身院士 美国统计学会终身院士
2
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§7.1 均匀设计表
7.1.1 均匀设计概述
例7.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重
金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，考察 老鼠体内某种细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个
均匀设计
全面交叉试验要N=73=343次,太多了。 建议使用均匀设计。 有现成的均匀设计表，提供使用。参见:
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版社(1994).” 之附表 1
也可以浏览如下网页
网络地址:.hk/UniformDesing 9
第1步: 将试验因素的水平列成下表：
U7 (74 )
234 236 465 624 153 312 541 777
表 1.1.4:
No. 1 2 3 1 123 2 246 3 362 4 415 5 531 6 654 7 777
第3步: 应用选择的 UD-表, 做出试验安排。
13
表 1.1.5: 1.5
No. 1 2 3 4 5 6 7
3. 对第二列，第三列做同样 的替代. 4. 完成该设计对应的试验， 得到７个结果，将其放入最 后一列.
14
第 4步: 用回归模型匹配数据 首先，考虑线性回归模型:
y 0 1x1 2 x2 3x3
(1.1.1)
使用回归分析中变量筛选的方法，比如‘向后法’，得到 推荐的模型为：
yˆ 0.2142 0.0792 x3
对某农作物产量的影响,
前两个为定量因素，后两个为定性因素。
如何安排试验，引出了下面的内容。
28
混合型因素混合型水平的均匀设计
一般情况下试验中既有定量型连续变化因素，又有定性型状态变化 因素。
假设有k个定量因素X1,…,Xk；
这k个因素可化为k个连续变量， q1，…，qk。
其水平数分别为
又有t个定性因素G1,…,Gt，
第四列安排种子品种 A，分3个A1，A2，
A3。
31
表 2.1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版社(1994).” 之附表 1
也可以浏览如下网页
网络地址:.hk/UniformDesing 9
第1步: 将试验因素的水平列成下表：
U7 (74 )
234 236 465 624 153 312 541 777
表 1.1.4:
No. 1 2 3 1 123 2 246 3 362 4 415 5 531 6 654 7 777
第3步: 应用选择的 UD-表, 做出试验安排。
13
表 1.1.5: 1.5
No. 1 2 3 4 5 6 7
3. 对第二列，第三列做同样 的替代. 4. 完成该设计对应的试验， 得到７个结果，将其放入最 后一列.
14
第 4步: 用回归模型匹配数据 首先，考虑线性回归模型:
y 0 1x1 2 x2 3x3
(1.1.1)
使用回归分析中变量筛选的方法，比如‘向后法’，得到 推荐的模型为：
yˆ 0.2142 0.0792 x3
对某农作物产量的影响,
前两个为定量因素，后两个为定性因素。
如何安排试验，引出了下面的内容。
28
混合型因素混合型水平的均匀设计
一般情况下试验中既有定量型连续变化因素，又有定性型状态变化 因素。
假设有k个定量因素X1,…,Xk；
这k个因素可化为k个连续变量， q1，…，qk。
其水平数分别为
又有t个定性因素G1,…,Gt，
第四列安排种子品种 A，分3个A1，A2，
A3。
31
表 2.1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
均匀设计
均匀试验设计
组成员：
主要内容
均匀设计的概念、特点、原理
均匀设计的具体应用方法
1 什么是均匀设计
1.1 均匀设计的概念
均匀设计(Uniform Design)是一种试验设计
方法(Experimental Design Method),称为均 匀设计(Uniform Design)或均匀设计试验法 (Uniform Design Experimentation)。它可 以用较少的试验次数，安排多因素、多水平 的析因试 验，是在均匀性的度量下最好的析 因试验设计方法。
3.3.2 设计表的选择 选择均匀设计表需要注意以下几点： (1) 要满足试验次数的要求：即确定Un表n的 问题；
(2) 表的列数要满足试验因素数的要求；即确
定Un表s的问题；
3.3.3 回归模型建立
回归模型可分为线性回归模型和非线性模型 等。 3.3.3.1 线性回归模型 分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。 (1) 一元线性回归模型 模型为 y=a+bx,线性相关的程度常用相关系 数来衡量，在某一显著性水平α下，当相关系数 的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为x和y 有线性相关关系。
3.3 具体问题的解决方法
试验次型优化
试验参数优化 使用均匀设计时需要注意的其它问题
例1 某猪场研究30-
50kg育肥猪的饲料配方 时，研究蛋白质、消化 能和粗纤维三个因素的 不同水平对该阶段猪增 重的影响，具体因素与 水平如表：
3.1 试验设计的共性问题（续1）
（1） 因素的含义：在一个试验过程中，影响试验指 标的因素通常是很多的，通常固定的试验因素在试验 方案中并不称为因素，只有变化的因素才称为因素； （2） 关于因素数量：在一项试验中，因素不宜选得 太多(如超过10个)，那样可能会造成主次不分；相反 地，因素也不宜选得太少（如只选定一、二个因素）， 这样可能会遗漏重要的因素，或遗漏因素间的交互作 用，使试验的结果达不到预期的目的；
组成员：
主要内容
均匀设计的概念、特点、原理
均匀设计的具体应用方法
1 什么是均匀设计
1.1 均匀设计的概念
均匀设计(Uniform Design)是一种试验设计
方法(Experimental Design Method),称为均 匀设计(Uniform Design)或均匀设计试验法 (Uniform Design Experimentation)。它可 以用较少的试验次数，安排多因素、多水平 的析因试 验，是在均匀性的度量下最好的析 因试验设计方法。
3.3.2 设计表的选择 选择均匀设计表需要注意以下几点： (1) 要满足试验次数的要求：即确定Un表n的 问题；
(2) 表的列数要满足试验因素数的要求；即确
定Un表s的问题；
3.3.3 回归模型建立
回归模型可分为线性回归模型和非线性模型 等。 3.3.3.1 线性回归模型 分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。 (1) 一元线性回归模型 模型为 y=a+bx,线性相关的程度常用相关系 数来衡量，在某一显著性水平α下，当相关系数 的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为x和y 有线性相关关系。
3.3 具体问题的解决方法
试验次型优化
试验参数优化 使用均匀设计时需要注意的其它问题
例1 某猪场研究30-
50kg育肥猪的饲料配方 时，研究蛋白质、消化 能和粗纤维三个因素的 不同水平对该阶段猪增 重的影响，具体因素与 水平如表：
3.1 试验设计的共性问题（续1）
（1） 因素的含义：在一个试验过程中，影响试验指 标的因素通常是很多的，通常固定的试验因素在试验 方案中并不称为因素，只有变化的因素才称为因素； （2） 关于因素数量：在一项试验中，因素不宜选得 太多(如超过10个)，那样可能会造成主次不分；相反 地，因素也不宜选得太少（如只选定一、二个因素）， 这样可能会遗漏重要的因素，或遗漏因素间的交互作 用，使试验的结果达不到预期的目的；
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U7(74)共有4列，现在有3个因素，根据其使用表， 应该取1，2，3列安排试验。
第2步: 应用选择的 UD-表, 做出试验安排。
No. 1 2 3 4 5 6 7
x 1 1 1 1.0 2 1.4 3 1.8 4 2.2 2.6 5 3.0 6 3.4 7
x 2 2 2 13 4 19 6 25 1 10 3 16 5 22 28 7
2 2 y 0 1 x1 2 x2 3 x3 11 x12 22 x2 33 x3
12 x1 x2 13 x1 x3 23 x2 x3
(3)
使用‘向前’的变量选择法，我们发现适宜的模型：
ˆ 0.06232 0.25x3 0.06x32 0.0235x1x3 y
四、 应用举例
利用均匀设计表来安排试验的步骤：
（1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的 水平。 （2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该 表的使用表从中选出列号，将因素分别安排到这 些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示 分别对号
我们通过制药工业中的一个实例, 来看均匀设计 表的使用方法。 例 :阿魏酸的制备
ˆ b0 b1 x1 b2 x2 bm xm y
(1)
(2) (3) (4) (5)
Lyy yk y i 1 _ 1 N xi xi i 1, 2, m N i 1
N _
2
1 N y yk N i 1
(6)
回归方程组系数由下列正规方程组决定： L11b1 L1mbm L1 y L b L b L 2m m 2y 21 1 Lm1b1 Lmmbm Lmy N _ _ b0 y bi yi i 1
阿魏酸是某些药品的主要成分，在阿魏酸的合成工 艺考察中，为了提高产量，选取了原料配比(A)、吡 啶量(B)和反应时间(C)三个因素，它们各取了7个水 平如下： 原料配比（A）：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0， 3.4 吡啶量（B）(ml)：10，13，16，19，22，25，28 反应时间（C）(h)：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0， 3.5
No. 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7
2 2 4 6 1 3 5 7
3 3 6 2 5 1 4 7
均匀设计的特点：
每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行 每列有且仅有一个试验点
以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性”，即 对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。
1 x 3 u y g ( x) u e du , 6 0 0 x 10, ~ N (0, 0.062 ).
事先假设模型未知
(5.3)
试验次数
n=12, 取 q(= 2, 3, 4, 6, 12) 个不 同的均匀的试验点，并作适当重复(n/q 次)。 采用 d 阶多项式回归模型(d=1,2,3,4) 重复 N=501 次试验，得到各模型的 N 个 MSE。取中位数对应的模型如下图
计算得 t0=2.12, t1=0.79，t3=2.91
再将贡献最小的X1删去，建立Y和X3的线性回归方 程，得
ˆ 0.2141 0.079 X 3 y
上述的分析只发现X3对Y有显著作用，其他两个因 素均没有显著作用，该结论与实际经验不吻合，因 此，猜想用线性模型不一定符合实际。
尝试用二次回归模型来匹配这些数据：
第3步: 用回归模型匹配数据 首先，考虑线性回归模型:
y 0 1 x1 2 x2 3 x3
将样本值带入，得到估计的回归方程为：
(1)
ˆ 0.201 0.037 X1 0.00343 X 2 0.0077 X 3 y
进一步做方差分析有：
(2)
方差分析表
(4)
方差分析(ANOVA)表
来源 回归 误差 df 3 3 6 SS MS 0.062190 0.020730 0.014170 0.000472 0.063608 F 43.88 p 0.006
9
10
二、均匀设计表
每个均匀设计表有一个记号，它有如下的含义:
均匀设计 因素的最大数
Un(qs)
试验次数 水平数
如U7(74)表示要做次7试验，每个因素有7个水平， 该表有4列。
U 7 (7 )
No. 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 2 4 6 1 3 5 7 3 3 6 2 5 1 4 7 4 6 5 4 3 2 1 7
4
U 9 (94 )
2 2 5 9 3 4 7 1 6 8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱNo. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 4 8 6 7 2 9 3 5
4 3 5 7 9 1 6 4 8 2
每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如 何从设计表中选用适当的列，以及由这些列所组成 的试验方案的均匀度。其中‘偏差’为均匀性的度 量值，数值小的设计表示均匀性好。例如 U7 (74)的 使用表为,
正交试验设计的局限性
正交设计是根据正交性准则来挑选代表点，使 得这些点能反映试验范围内各因素和试验指标的关 系。上节我们提及正交设计在挑选代表点时有两个 特点：均匀分散，整齐可比。“均匀分散”使试验 点有代表性；“整齐可比”便于试验数据的分析。 每一个方法都有其局限性，正交试验也不例外， 它只宜于用于水平数不多的试验中。若在一项试验中 有s个因素，每个因素各有q水平，用正交试验安排试 q2 将更大， 验，则至少要作 q2 次试验，当q较大时， 使实验工作者望而生畏。
x 33 3 1.5 6 3.0 2 1.0 5 2.5 1 0.5 4 2.0 3.5 7
y 0.330 0.366 0.294 0.476 0.209 0.451 0.482
1. 将 x1, x2和 x3放入列1， 2 和3。
2．用x1的７个水平替代第 一列的1到 7. 3. 对第二列，第三列做同样 的替代。 4. 完成该设计对应的试验， 得到７个结果，将其放入最 后一列.
均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价
例如用U6(64)的1，3 和1，4列分别画图，得到下面 的图 (a)和图 (b)。我们看到，(a)的点散布比较均匀 ，而(b)的点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质 和正交表有很大的不同，因此，每个均匀设计表必 须有一个附加的使用表。
三、试验结果分析
总体均值模型
传统试验设计中的未知参数
正交设计：主效应和二阶交互效应的个数为
1 f ( s, q) s (q 1) s ( s 1)(q 1) 2 2
最优回归设计：多元二次模型的未知参数个数
为
2 s s(s 1) / 2
7
模型未知
( x1 , , xs ) a1 , b1 as , bs E( ) 0, Var( ) 2 .
均匀设计
概论
均匀设计(uniform design)是由中国数学家方 开泰和王元于1978年首次提出的。其最初在我国导 弹设计中应用，经过20多年的发展和推广，均匀设 计已在我国有较广泛的普及，并在医药、化工、生 物、纺织、电子、军事工程等诸多领域中使用，取 得了显著的经济和社会效益。
所有的试验设计方法本质上就是在试验的范围 内给出挑选代表点的方法。
正交试验设计的局限性
当q=12时， q2 144 ，对大多数实际问题，要求做144 次试验是太多了！对这一类试验，均匀设计是非常有 用的。
一、基本原理
1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个 五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10， 而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都 不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提 出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将 这一方法用于导弹设计，取得了成效。 均匀设计法与正交设计法的不同： 均匀设计法不再考虑“数据整齐可比”性，只考虑 试验点在试验范围内充分“均衡分散”
这表明三个因素中以X3（反应时间）对得率（Y） 影响最大，配比次X1之，吡啶量X2最小。
若取α=0.05 ，这时n=7,m=3, t3(0.05)=3.18。t值大 于该值的因素表示对方程有显著贡献，否则表示不 显著。于是我们将贡献最小的X2删去，重新建立Y 和X1及X3的线性回归方程，得
ˆ 0.169 0.0251X1 0.0742 X 3 y
方差来源
回归 误差 总和 自由度 3 3 6 平方和
0.048770 0.014838 0.063608
均方
0.016257
F
3.29
0.004946
当 0.05时F表的临界值 Fm,nm1 ( ) F3,3 (0.05) 9.28 F 3.29
说明回归方程在统计上不是显著的。
均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果不 令xik 代表因素xi 在第k次试验时取的值，yk 表示响应值 能采用一般的方差分析方法，通常要用回归分析或 y在第k次试验的结果。 逐步回归分析的方法：
_ _ Lij xik x i xik x j i, j 1, 2,, m k 1 N _ _ Liy xik x i yk y i 1, 2,, m K 1 n
现在用向后回归分析的方法来筛选变量： 所谓后退法，就是开始将所有的变量全部采用，然 后逐步剔除对方程没有显著贡献的变量，直到方程 中所有的变量都有显著贡献为止。