数字信号处理第八章2006-1

一阶全通系统具有非正相位 的几何证明图
arg(e j a)
2
arg[Hap (e j )] 0
2）对二阶全通系统
z=ejω
1
Hap(e j )
e
j2
e j e j
a a
•
e j a e j a
a 1
ω
2
ω
ω 1
z*=e-jω
arg[Hap (e j )] 2[ arg(e j a) arg(e j a*)]
当且仅当H(z)为最小相位系统时, 其逆系统才是因果稳定的。
0
0
22¦Ð
NN
44¦Ð
NN
66¦Ð
NN
88¦Ð
NN
1100¦Ð
NN
Ø
A
1 N
的圆上
(a)
(b)
图 8.1.2
梳状滤波器
H
(
z
N
)
1 zN 1 azN
的零极点分布和幅频响应特性(N=8)
3 最小相位系统
（1）定义
一个因果稳定系统的所有零点都在单位圆内, 则该系统称为最小相位系统。记为Hmin(z)
N
N
ak zN k
H (z)
k 0 N
ak zk
zN
k 0 N
ak zk ak zk
zN
D( z 1 ) D(z)
k 0
k 0
式中
N
D(z) ak zk
k 0
由于系数ak是实数， 所以有 D(e j ) D (e j )
H (e j )
| e j |
D(e j ) D(e j )
D (e j ) D(e j )
1
(3) 零极点分布
Im(z) pk*
pk
H (z) zN D(z1) D(z)
若zk是零点，则z-k1 pk为极点
zk
H(z)的系数是实数，
所以其零点应该是共轭的
其极点应该是共轭的
Re(z) 即 零点 z zk
极点 z pk zk1
z zk* z pk* (zk1)*
zk* 所以复数零极点是四个一组
(2) 全通滤波器的系统函数
N
H (z)
k 0 N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ak z N k ak zk
zN a1zN 1 a2 zN 2 aN 1 a1z1 a2 z2 aN zN
,
k 0
a0 1
或者写成二阶滤波器级联形式：
L
H(z)
i1
z2 a1i z1 a2i a2i z2 a1i z1 1
2 梳状滤波器
H
(
z
N
)
1 zN 1 azN
0<a<1
极点
pk
N
a
j 2
eN
作用: 消除电网谐波干扰。
零点
zk
j 2
e N
在彩电中用于亮色分离和色分离等。
Im(z)
Hk(e j¦Ø)
1
Re(z)
…
零零 极点 点极点在 在点在单 半在单位 径半圆 为位上¦径圆Á N1为的上圆，上
11
¦
¦AÁ NN
一个因果稳定系统的所有零点都在单位圆外, 则该系统称为最大相位系统。记为Hmax(z)
一个因果稳定系统的零点在单位圆内外都有, 则该系统称为混合相位系统。
(2) 特点
(a) 任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均
可 由 一 个 最 小 相 位 系 统 Hmin(z) 和 一 个 全 通 系 统 Hap(z)级联而成， 即: H(z)=Hmin(z)·Hap(z)
的极点。全通滤波器系统函
数可以写为:
H(z)
N k 1
z1 zk 1 zkz1
还可以用下面的 形式表示
设 (zk-1)* 为 全 通 滤 波 器 的零点，则zk是全通滤波器 的极点。 全通滤波器系统
函数可以写为:
H(z)
N z1 zk* k1 1 zk z1
（4）作用
全通滤波器是一种纯相位滤波器，用于相位均衡(相 位校正)。
第8章 其它类型的数字滤波器
8.1 几种特殊的滤波器 8.2 格型滤波器
8.1 几种特殊的滤波器
1 全通滤波器
(1)定义 若滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1，
即 |H(e jω)|=1, 0≤ω≤2π
则该滤波器称为全通滤波器。
全通滤波器的频率响应函数可表示成 H(e jω)=e jφ(ω)
若全通系统的相位函数是非正的，则可得到本性质。
高阶全通系统可以由一阶和二阶全通系统函数 相乘来表示。 一阶和二阶全通系统的系统函数如下:
H
ap
(z)
z1 a 1 az1
Hap(z)
z1 a 1 az1
•
z1 a 1 az1
若一阶和二阶全通系统的相位是非正的，则高阶
全通系统的相位必然也是非正的。
(b) 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集 中， 最小相位系统的相位延迟(负的相位值)最小。
任何一个非最小相位系统H(z)的相位函数,是一个 最小相位系统Hmin(z)的相位函数和全通系统Hap(z)的 相位函数之和。即
arg[H (e j )] arg[Hmin (e j )] arg[Hap (e j )]
1）对一阶全通系统
H ap
(z)
z
z1 a za
Hap (e j ) Hap (z)
ze j
e j
e j a e j a
z=ejω
Hap (e j )
e j
e j a e j a
ω/2
上式中分数部分的分子、 分母
αω
是共轭的， 因此相角相反。
arg[Hap (e j )] 2 arg(e j a)
图 8.1.1 全通滤波器一组零极点示意图
实数零极点是两个一组 .
Im(z) pk*
将零点zk和极点pk*=(zk-1)*组成一对，
zk
将零点zk*与极点pk=zk-1组成一对
全通滤波器的极点与零点
Re(z) 呈共轭倒易关系。
pk
zk*
设 zk-1 为 全 通 滤 波 器 的
零 点 ， 则 zk* 是 全 通 滤 波 器
=2[ (1 2 )]
二阶全通系 统具有非正
zaz 1 2 zz0 z
1 2
相位的几何
arg[
H ap
(e
j
)]
2[
(1
证明图
2 )]
0
(c) 最小相位系统保证其逆系统存在。
给定一个因果稳定系统H(z)=B(z)/A(z)，
定义其逆系统为：
H INV
(z)
1 H (z)
A( z ) B(z)