高等数学应用题

第一章 函数 极限 连续

问题1、 上岸点的问题

有一个士兵P,在一个半径为R 的圆形游泳池(图1—1) 222x y R +≤内游泳,当她位于点(,02R -)时,听到紧急集 合号,于就是得马上赶回位于A=(2R ,0)处的营房去,设该士

兵水中游泳的速度为1v ,陆地上跑步的速度为2v ,求赶回营房

所需的时间t 与上岸点M 位置的函数关系。

图1-1

解:这里需要求的就是时间t 与上岸点M 位置的函数关系,所以一定要先把上岸点M 的位置数字化,根据本题特点可设

(cos ,sin )M R R θθ=

其中θ为M 的周向坐标(即极坐标系中的极角),于就是本题就成为了求函数关系()t f θ=的问题。由对称性,我们可只讨论在上半圆周上岸的情况,即先确定函数()t f θ=的定义域为0θπ≤≤。

该士兵在水中游泳所花的时间为

111

PM t v === 而在陆地上跑步所需的时间,则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论:

① 当03π

θ≤≤时,

有222

M A t v '==② 当3π

θπ≤≤时,要先跑一段圆弧MB ,再跑一段且线段BA ,所以

2221()(3

R t MB BA v v πθ=+=-。 综上所述,可得

121

203(33t R v πθππθθπ≤≤=-+≤≤

问题2 外币兑换中的损失

某人从美国到加拿大去度假,她把美元兑换成加拿大元时,币面数值增加12%,回国后她

发现把加拿大元兑换成美元时,币面数值减少12%。把这两个函数表示出来,并证明这两个函数不互为反函数,即经过这么一来一回的兑换后,她亏损了一些钱。

解:设1()f t 为将x 美元兑换成的加拿大元数,2()f t 为将x 加拿大元兑换成的美元数,则

1()12% 1.12,

0f t x x x x =+⋅=≥ 2()12%0.88,0f t x x x x =-⋅=≥

而21(())0.880.120.9856,f f t x x x =⨯=<故1()f t ,2()f t 不互为反函数。

思考题:设一美国人准备到加拿大去度假,她把1000美元兑换成加拿大元,但因未能去成,于就是又将加拿大元兑换成了美元,问题亏损了多少钱？(14、4美元)

问题3 黄山旅游问题

一个旅游者,某日早上7点钟离开安徽黄山脚下的旅馆,沿着一条上山的路,在当天下午7点钟走到黄山顶上的旅馆。第二天早上7点钟,她从山顶沿原路下山,在当天下午7点钟回到黄山脚下的旅馆。试证明在这条路上存在这样一个点,旅游者在两天的同一时刻都经过此点。

证明:设两个旅馆之间的路程为L,以()f t 表示在时刻([7,19])t ∈该旅游者离开山脚下的旅馆的路程,则可知()f t 就是区间[7,19]上的连续函数,且有(7)0f =,(19)f L =。

以()g t 表示该旅游者在第二天下山时在与前一天相同时刻尚未走完的路程,则可知()g t 就是区间[7,19]上的连续函数,且有(7)f L =,(19)0f =。

于就是原问题可转化为:证明存在[7,19]ξ∈,使()()f g ξξ=。

作辅助函数()()()t f t g t ϕ=-,则()t ϕ在区间[7,19]上连续,且有

2(7)(19)[(7)(7)][(19)(19)]0f g f g L ϕϕ=--=-<,

根据闭区间上连续函数的零值定理可知,一定存在[7,19]ξ∈,使()0ϕξ=。就得到了所需要证明的结论。

问题4 利润与销量之间的函数关系

收音机每台售价90元,成本为60元。厂家为鼓励销售商大量采购,军队凡就是订购量超

过100台以上的,每多订购一台,售价就降低1分(例如,某商行订购了300台,订购量比100台多200台,于就是每台就降价0、01⨯200=2(元),商行可以按88元/台的价格购进300台),但最低价为75元/台。

1） 把每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;

2） 把利润P 表示成订购量x 的函数;

3） 当一商行订购了1000台时,厂家可获利多少？

解:1)当100x ≤时售价为90元/台。

现在计算订购量x 就是多少台时售价降为75元/台,

90-75 =15,15÷0、01=1500

所以,当订购量超过1500+100台时,每台售价为75元。当订购量在100~1600时,售价为90-(x -100)*0、01,因而实际售价p 与订购量之间的函数关系为

90,10090(100)0.01,

100160075,1600

x p x x x ≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩

2)每台利润就是实际售价p 与成本之差

P =(p -60)x 3)由1)先计算出p =90-(1000-100)*0、01=81。再有2)可知

P=(81-60)*1000=21000(元)

问题5 Fibonacci 数列与黄金分割问题

“有小兔一对,若第二个月它们成年,第三个月生下小兔一对,以后每月生产一对小兔,以后亦每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄,且均无死亡,试问一年后共有小兔几对?”

解:这就是意大利数学家斐波那契(Fibonacci,L)在1202年所著“算法之书”(又译《算盘书》(Liberabaci))中的一个题目。她就是这样解答的:若用“○”、“△”分别表示一对未成年与成年的兔子(简称仔兔与成兔),则根据题设有:

从上图可知,六月份共有兔子13对;还可瞧出,从三月份开始,每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之与。按这规律可写出数列:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233可见一年后共有兔子233对。

这就是一个有限项数列,按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列,其中的每一项称为Fibonacci数。

若设F0=1,F1=1,F2=2,F3=3,F4=5,F5=8,F6=13,…

则此数列应有下面的递推关系:

F n+2 = F n+1 + F n(n = 0,1,2,…)

这个关系可用数学归纳法来证明,其中的通项

11

11

22

n n

n

F

++

⎡⎤

⎛⎛

⎥

=-

⎥

⎝⎭⎝⎭⎦

就是由法国数学家比内(Binet)求出的。

与Fibonacci数列紧密相关的一个重要极限就是

1

1

lim0.618

2

n

n

n

F

F

→∞

+

=≈(1)

或者

1

lim 1.618

n

n

n

F

F

+

→∞

=≈(2) 下面我们先来说明(2)式的含义并证明之(至于(1)式的含义见后面的说明)。

记1

n

n

n

F

b

F

+

=,则(

n

b-1)×100%就就是第(n+1)月相对于第n月的兔子对数增长率(n = 0,1,2,…),例如:

1

0,110

1

n b

=-=-=

2

1,111100%

1

n b

=-=-==

3

2,110.550%

2

n b

=-=-==

5

3,110.6666%

3

n b

=-=-==

……

若lim

n

n

b

→∞

存在,则(lim

n

n

b

→∞

-1)表示许多年后兔子对数的月增长率(同时也就是成兔对数及仔兔对数在许多年后的月增长率——因为成兔对数、仔兔对数各自从今年1月、2月开始