黄金分割-初中数学习题集含答案

黄金分割（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共5小题）
1．（2019秋•丰台区校级月考）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则短线段的长度是
A
B
C
D ．
2．（2017
秋•丰台区期末）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
3．（2015秋•石景山区期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为，为
的一个黄金分割点，则的长为（结果精确到
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（2016秋•通州区期中）黄金矩形的宽与长的比值更接近于
A ．3.14
B ．2.71
C ．0.62
D ．0.57
5．（2015秋•延庆县期末）把长的线段进行黄金分割，则较长线段的长，精确到是
A ．
B ． C
． D ．
二．填空题（共6小题）
6
．（2019秋•密云区期末）我们把满足下面条件的称为“黄金三角形”：
①是等腰三角形；
②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点，使得与所在边的对角顶点连线把分成两个不全等的等腰三角形．
（1）中，，，可证是“黄金三角形”，此时的度数为 ．
（2）中，，为钝角．若为“黄金三角形”，则的度数为 ．
7．（2019秋•，就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为 ．
P AB AP BP >2AB cm =()1-3()AB 20m C AB ()AC BC <AC 0.1)(m )6.7m 7.6m 10m 12.4m ()10cm 2.236≈0.01)()3.09cm 3.82cm 6.18cm 7.00cm ABC ∆ABC ∆P P P ABC ∆ABC ∆AB AC =:1:2A C ∠∠=ABC ∆A ∠ABC ∆AB AC =A ∠ABC ∆A ∠0.618)ABCD 1AD =AB
8．（2019秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割（黄金比为，则较长线段的长为 （结果精确到．
9．（2017春•朝阳区期末）阅读下列材料：
如图1，在线段上找一点，若，则称点为线段的黄金分割点，这时比值为
名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．
我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点表示数0，点表示数2，过点作
，且，连接；以为圆心，为半径作弧，交于；再以为圆心，为半径作弧，交于点，则点就是线段的黄金分割点．
根据材料回答下列问题：
（1）线段长为 ，点在数轴上表示的数为 ；
（2）在（1）中计算线段长的依据是 ．
10．（2015秋•怀柔区期末）学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：
首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感．首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米．建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼．椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息．
明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了．整个建筑宏大壮观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）．明明想了想，算了算，对旁边的文文说：“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.7
10cm 0.618)cm 0.1)AB ()C AC BC >::BC AC AC AB =C AB 0.618≈O E E EF OE ⊥12
EF OE =OF F EF OF H O OH OE P P OE OP P OP
米左右．”文文反问：“你猜想的理由是什么”？明明说：“我的理由是 ”．明明又说：“不过这只是我的猜
想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的 知识，我要带 等测量工具”．
11．（2013秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割， 则较长线段的长为 ．
三．解答题（共4小题）
12．（2019春•昌平区校级月考）如图，在中，，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括
（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 度和 度；
（2）若在图2中画2条线段，图中有几个等腰三角形，分别是哪几个？
（3）继续按以上操作发现：在中画条线段，则图中有 个等腰三角形，其中有 个黄金等腰三角形．
13．（2018•通州区三模）小明同学遇到两个数学问题：
问题一，一个数加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．
问题二，一个数减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．
（1）在探索问题一时，进行了以下操作：
依题意，列出方程， 化简得，
于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．
（2）在探索问题二时，进行了以下操作：
8cm cm ABC ∆AB AC =36A ∠=︒)ABC ∆ABC ∆n x y 11x x
+=210x x -+=
依题意，列出方程， 变形得 于是得到形如这样的数，我们称之为连分数．
如果设一条线段的长度设为1，点是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为，试将表示为连分数的形式．
14．（2016秋•海淀区期中）如图1，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离的近似值取．
15．（2010秋•通州区期末）如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．
11y y -=1111111111111111111y y y y =+=+=+=+++++++⋯
1
1111
11++
++⋯AB M z z AB C C AB AC CB BC 2BC AB AC =g AB
C 2.2)ABC
D
E AD D
AE AD AE =BE DC
F 1AB =+CF
黄金分割（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2019秋•丰台区校级月考）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则短线段的长度是
A
B
C
D ． 【分析】
【解答】解：点是的黄金分割点，，
， 则短线段
故选：．
【点评】
2．（2017秋•丰台区期末）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
【分析】关键黄金分割的比值是0.618，即可判断．
【解答】解：观察图象可知，，，
按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置②， 故选：．
【点评】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是记住黄金分割的比值是0.618．
3．（2015秋•石景山区期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台P AB AP BP >2AB cm =()1-3Q P AB AP BP >1AP AB ∴==-21)3BP AB AP =-=--=-D ()0.618AC AB ≈0.618DE CD ≈∴B (0.618)AB
的长为，为的一个黄金分割点，则的长为（结果精确到
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据黄金比值约为0.618进行计算即可．
【解答】解：为的一个黄金分割点，
， ，
故选：．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中
4．（2016秋•通州区期中）黄金矩形的宽与长的比值更接近于
A
．3.14 B ．2.71 C ．0.62
D ．0.57
【分析】 【解答】黄金矩形的宽与长的比， 四选项中更接近于这一比值的是0.62，
故选：．
【点评】本题考查了黄金分割的知识，熟记黄金分割比是解题的关键．
5．（2015秋•延庆县期末）把长的线段进行黄金分割，则较长线段的长，精确到是
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解答】解：根据题意得：
较长线段的长是． 故选：．
【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的公式：较短的线段
，较长的线段原线
是本题的关键． 二．填空题（共6小题）
6．（2019秋•密云区期末）我们把满足下面条件的称为“黄金三角形”：
20m C AB ()AC BC <AC 0.1)(m )6.7m 7.6m 10m 12.4m C Q AB 12.4BC AB cm ∴=≈2012.47.6AC cm ∴=-=B ()0.618=
≈C 10cm 2.236≈0.01)()3.09cm 3.82cm 6.18cm 7.00cm 10100.618 6.18cm =⨯=C ==ABC ∆
①是等腰三角形；
②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点，使得与所在边的对角顶点连线把分成两个不全等的等腰三角形．
（1）中，，，可证是“黄金三角形”，此时的度数为 ．
（2）中，，为钝角．若为“黄金三角形”，则的度数为 ．
【分析】（1）由得到，再根据和三角形内角和得到，然后可求出的度数；
（2）如图，利用黄金三角形的定义得到和都为等腰三角形，设，则可表示出，，然后利用三角形内角和得到，解方程得到，然后计算即可．
【解答】解：（1），
，
，
而，
，
；
（2）如图，为“黄金三角形”，
和都为等腰三角形，
设，
，
，
，
，
，解得，
．
故答案为，．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和
的比例中项（即
ABC ∆P P P ABC ∆ABC ∆AB AC =:1:2A C ∠∠=ABC ∆A ∠36︒ABC ∆AB AC =A ∠ABC ∆A ∠AB AC =B C ∠=∠:1:2A C ∠∠=22180A A A ∠+∠+∠=︒A ∠ABD ∆ADC ∆B x ∠=C B CAD x ∠=∠=∠=2BDA BAD x ∠=∠=2180x x x x +++=︒36x =︒2x x +AB AC =Q B C ∴∠=∠:1:2A C ∠∠=Q 180A B C ∠+∠+∠=︒22180A A A ∴∠+∠+∠=︒36A ∴∠=︒ABC ∆Q ABD ∴∆ADC ∆B x ∠=AB AC =Q C B x ∴∠=∠=CAD x ∴∠=2BDA BAD x x x ∴∠=∠=+=2180x x x x ∴+++=︒36x =︒2108BAC x x ∴∠=+=︒36︒108︒AB AC ()BC AC BC >AC AB BC
，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形．
7．（2019秋•
，就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为　2　．
【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案．
【解答】解：矩形是黄金矩形，且，
，
，
故答案为2．
【点评】本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值，难度适中．
8．（2019秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割（黄金比为，则较长线段的长为　6.2　（结果精确到．
【分析】根据黄金分割的定义：
如图所示，把线段分成两条线段和，
且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．即可求解．
【解答】解：
如图：设较长线段，则，
根据黄金分割定义可知：
，即，
，
::)AB AC AC BC =AB C AB 0.618AC AB AB =≈AB 0.618)ABCD 1AD =AB Q ABCD 1AD =-∴AD AB ==2AB ∴=10cm 0.618)cm 0.1)AB AC ()BC AC BC >AC AB BC AB C AB AC x =10BC x =-AC BC AB AC
=2AC AB BC =g 210(10)x x ∴=-2101000x x +-=
解得，（不符合题意，舍去）
答：较长的线段的长约为．
故答案为6.2．
【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义．
9．（2017春•朝阳区期末）阅读下列材料：
如图1，在线段上找一点，若，则称点为线段的黄金分割点，这时比值为
名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．
我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点表示数0，点表示数2，过点作
，且，连接；以为圆心，为半径作弧，交于；再以为圆心，为半径作弧，交于点，则点就是线段的黄金分割点．
根据材料回答下列问题：
（1）线段　，点在数轴上表示的数为　
　；
（2
）在（1）中计算线段长的依据是　
　．
【分析】（1）根据勾股定理得到，根据线段的和差即可得到结论；
（2）根据勾股定理求得，再由线段的和差求得，于是得到结论．
【解答】解：（1），
， ，
，
由作法知，，，
点
，
；
11) 6.18 6.2x =-≈≈25x =--6.2cm AB ()C AC BC >::BC AC AC AB =C AB 0.618≈O E E EF OE ⊥12
EF OE =OF F EF OF H O OH OE P P OE OP 1P OP OF ===OF OP 2OE =Q 112
EF OE ∴==EF OE ⊥Q OF ∴===1FH EF ==1OP OH OF FH ==-=-∴P 1-1-1-
（2）在（1）中计算线段长时，
首先根据勾股定理求得，
再由求得，
故答案为：勾股定理．
【点评】本题考查了黄金分割，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．（2015秋•怀柔区期末）学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：
首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感．首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米．建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼．椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息．
明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了．整个建筑宏大壮观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）．明明想了想，算了算，对旁边的文文说：“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.7米左右．”文文反问：“你猜想的理由是什么”？明明说：“我的理由是　黄金分割　”．明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的 知识，我要带 等测量工具”．
【分析】利用已知结合黄金分割比例和解直角三角形的应用分别填空得出答案．
【解答】解：结合：，
故明明说：“我的理由是黄金分割”
明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度， 我想用学到的解直角三角形（答案不唯一）知识，我要带测角仪、皮尺（答案不唯一）等测量工具”．
故答案为：黄金分割；解直角三角形（答案不唯一）；测角仪、皮尺（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了黄金分割以及解直角三角形的应用等知识，正确掌握黄金比例是解题关键．
11．（2013秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割， 则较长线段的长为
．
OP OF OP OH OF FH ==-OP 41(10.618)15.7()m ⨯-≈8
cm 1)cm
【分析】根据黄金分割的定义，
． 【解答】解： 较长线段的长度
． 故答案为．
【点评】
本题考查了黄金分割： 把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项 （即，叫做把线段黄金分割， 点叫做线段的黄金分割点，
其中，并且线段的黄金分割点有两个 ． 三．解答题（共4小题）
12．（2019春•昌平区校级月考）如图，在中，，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括
（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2
个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是　108　度和 度；
（2）若在图2中画2条线段，图中有几个等腰三角形，分别是哪几个？
（3）继续按以上操作发现：在中画条线段，则图中有 个等腰三角形，其中有 个黄金等腰三角形．
【分析】（1）可以根据，的条件，并利用平行线的知识画一条与三角形一边平行的线段，就可以求出2个等腰三角形的度数；
（2）根据（1）和材料分析，画1条线段是利用平行的知识来作图，那么2条线段也可以的，3条也可以的，了解其画图的方法，那么就可以画出图形，并数出等腰三角形的个数；
（3）根据（2）的图形规律，可以总结线段的数量与等腰三角形的个数之间的规律
【解答】解：（1）如图1所示：
，，
81)cm cm =
=-1)AB AC ()BC AC BC >AC AB BC ::)AB AC AC BC =AB C AB 0.618AC AB AB =≈AB ABC ∆AB AC =36A ∠=︒)ABC ∆ABC ∆n AB AC =36A ∠=︒AB AC =Q 36A ∠=︒
当，则，则，则
这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度．
故答案为：108，36
（2）如图所示：
（3）根据（2）可知：
如图所示：
当1条直线可得到2个等腰三角形；
当2条直线可得到4个等腰三角形；
当3条直线可得到6个等腰三角形；
在中画条线段，则图中有个等腰三角形，其中个黄金等腰三角形．
故答案为，
【点评】该题主要考查等腰三角形、规律总结等知识；解题的思路：首先理解题意，什么是黄金等腰三角形，怎么去画等腰三角形；几何题目都需要结合图形才有利于解答，所有要画图分析；最后根据画的图分析并总结出线段的数量与等腰三角形的个数的规律．
13．（2018•通州区三模）小明同学遇到两个数学问题：
问题一，一个数加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．
问题二，一个数减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．
（1）在探索问题一时，进行了以下操作：
∴AE BE =36A ABE ∠=∠=︒108AEB ∠=︒36EBC ∠=︒∴⋯ABC ∆n 2n n 2n n x y
依题意，列出方程， 化简得，
于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．
（2）在探索问题二时，进行了以下操作：
依题意，列出方程， 变形得 于是得到形如这样的数，我们称之为连分数．
如果设一条线段的长度设为1，点是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为，试将表示为连分数的形式．
【分析】（1）先求出根的判别式△的值，由△即可证明这个数不存在；
（2）设其中较短的线段的长度为，则较长的线段的长度为，根据黄金分割的定义列出方程，再变形即可．
【解答】（1）证明：△，
因为这个方程无解，所以这个数不存在；
（2）解：依据题意，得， 变形 得，
展开，得，
，
两边同时除以，得， ．
【点评】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两条线段，使其中较长的线段是较短线段和全线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割．也考查了根的判别式以及学生的阅读理解能力．
14．（2016秋•海淀区期中）如图1，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、
11x x
+=210x x -+=11y y -
=1111111111111111111y y y y =+=+=+=+++++++⋯
1
1111
11++
++⋯AB M z z 0<z 1z -111z z z -=-224(1)41130b ac =-=--⨯⨯=-<111z z z -=-2(1)z z -=231z z =-0z ≠Q ∴z 13z z
=-1
3133z ∴=---⋯AB C C AB AC CB BC 2BC AB AC =g AB C
建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离的近似值取．
【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．
【解答】解：设太和门到太和殿的距离为丈，
由题意可得，
解得，，（舍去）
则，
答：太和门到太和殿的距离为60丈．
【点评】本题考察的是黄金分割的概念和性质，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．
15．（2010秋•通州区期末）如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．
【分析】根据平行四边形的性质得出，，从而得出，根据相似三角形比例关系即可得出答案．
【解答】解：四边形为平行四边形，
，，
，
2.2)x 2100(100)x x =
-150x =-
+250x =--5050 2.260x ≈-+⨯=AB AC ()BC AC BC >AC AB BC AB ABCD E AD D
AE AD AE =BE DC
F 1AB =+CF CBF AEB ∠=∠BCF BAE ∠=∠BCF EAB ∆∆∽Q ABCD CBF AEB ∴∠=∠BCF BAE ∠=∠BCF EAB ∴∆∆∽
，即， 把，
解得：．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，比较综合，难度适中．
∴BC AE CF BA =AD CF AE AB
=AD AE =1AB ==2CF =。