动力学1

d M m x 2 m x e sin t cx kx 0 dt
Mx cx kx me sin t
2
2
稳态响应为：B sin(t )
me 2 B k me M 1
1 2
2 2
2
arctan
=
M pl GJ p
k
Mp


GJ p l

d 4G
32l
Kθ称为扭转刚度，使圆盘产生单位 转角所需要的力矩。
振动微分方程： J k
2 令： n
k J
2 有： n 0
1.2.3 固有频率的计算
1. 静变形法 在振动体处于静平衡状态时，有
mg k j
2 d n 2 n 1 2
2 n 2 fd 2
Td
2
2 n 2
系统固有频率减小，振动周 期增大。 振幅衰减系数η表示相邻两个振幅的比值：
Ai Ae t t T eTd d Ai 1 Ae
Ai 2 2 ln Td 2 Ai 1 n 2 1 2
设振动的初始条件为：
t0
x 0 x x0 ， x
b1 x0
b2
x0
n
sin nt
x0
x x0 con nt
2 0 x
n
A x
2 0
2 n
x0n ＝arctan 0 x
1.2.2 扭转振动 转轴弹性较大，将转轴作为无质量 弹性体处理；圆盘弹性很小，作为 集中质量处理 独立坐标：角位移
简谐振动的表示方法 1）矢量表示法：用旋转 矢量在坐标轴上的投影表 示
2）复数表示法
复数可表示为复平面上 的一个矢量。矢量OP绕O点 以等角速度w旋转，旋转矢 量的复数表示式为：
z A cos t i sin t
根据欧拉公式：ei cos i sin
it z Ae 可改写为：
d E E U Fi dt qi qi qi
i 1, 2,
,n
等效系统
转化原则：功能守恒原则 质量：动能保持不变 刚度：势能不变 作用力：功保持不变
简谐振动的运动学特征
机械系统的物理量（位移、速度、加速度）按时间的 正弦或余弦函数规律变化的振动，即
1时， n
在共振区附近，增大阻尼振幅 明显下降。 4）振幅放大因子的最大值
max
并不出现在λ =1处，而是稍 偏左。 令
d =0 d
= 1-2 2
此时
max
1 2 1 2
5） =1 时的振幅
B0 q Bn 2 2n
arctan
对数减幅
1.4 单自由度系统的受迫振动
单自由度系统在有持续激励时的振动 力激励 简谐激振力：按正弦或余弦函数规律变化的力 非简谐周期激振力 随时间任意变化的激振力 支承运动导致的位移、速度、加速度激励 1.4.1 简谐激振力引起的受迫振动
cx kx P0 sin t m x
1.2.4 等效质量与等效刚度
k1k2 ke k1 k2
ke k1 k2
1.3 单自由度系统的自由阻尼振动
1.3.1 阻尼的分类
干摩擦阻尼 粘滞阻尼：阻尼力和与相对速度成正比 结构阻尼 1.3.2 振动微分方程
cx kx 0 m x
令：
k m
2 n
1.2 单自由度系统的自由振动
1.2.1 振动微分方程的建立
G k j x kx m x
kx 0 m x
k 改写为： x x 0 m
令：
k 2 n m
得：
x x 0
2 n
x b1 con nt b2 sin nt
x Asin nt
Tmax
1 2 mxmax 2
由能量守恒，有： Tmax U max 且有：
xmax n xmax
k 可解出： n m
例3：图示弹簧的刚度分别为k1和k2，摆球 的质量为m，杆的质量忽略不计，用能量法 求系统的固有频率。 取摆球偏离平衡位置的角位移θ为广义 坐标，并假定摆球振动为简谐振动， 系统最大动能为：
用复数旋转矢量在复平面的实轴或 者虚轴上的投影来表示简谐振动。
x Aeit
x Ae 或：
i t 0
Aei0 eit Aeit
第一篇 机械振动基本理论
机械振动：机器或结构在其平衡位置附近的往复运动。 1 单自由度系统的振动 1.1 概述 自由度数指完全描述该系统的一切部位在任一瞬时的位置 所需要的独立坐标的数目。
描述其运动的方程为非线性微分方程
力学模型的建立
抓主要影响因素，忽略次要影响因素，进行合理的简化与 抽象。经过简化抽象以后的振动系统，称为力学模型。
质量大，弹性小—集中质量
弹性变形大的构件—弹性元件
数学模型的建立
牛顿第二定律
F ma
达朗贝尔原理 F ma 0 拉格朗日方程
d T U 0 dt
T 1 2 mx 2
x 0
U mgx
1 2 k s x dx kx 2
2）利用两个特殊位置上系统的能量，静平衡位置系统势能为0， 动能达到最大值；在最大位移的位置，系统动能为0，势能达到 最大值。
U max 1 2 kxmax 2
Tmax 1 m c max 2


2

1 2 2 mAn c 2
弹簧最大势能： U max
1 1 2 2 k1 a max k2 b max 2 2
摆球上升最大势能： U mgc 1 cos 2 1 mgcA2 max max
2
1 1 1 1 2 2 mA2n c k1 A2 a 2 k1 A2b 2 mgcA2 2 2 2 2 k1a 2 k2b 2 mgc n mc 2
2 1 2 相频响应曲线
以频率比λ为横坐标， 以ψ为纵座标，以相对阻 尼系数为参数的曲线。
当 0
若 1, 0 若 1, 当 0
若 1, 0

2 若 1,
1,

2
2
例4：旋转机械总质量为M，转子偏心质量为m，偏心距为e， 转动角速度为ω，研究旋转机械的振动。 若只研究机器在竖直 方向的振动，以平衡位 置为坐标原点，x表示机 器的位移，偏心质量的 垂直位移为x+esinωt。系 统在竖直方向的运动微 分方程为：
绪 论
研究内容
激励 系统
响应
系统：研究的对象，可以是一个零部件、一台机器、工程结构 激励（输入）：外部激振力
响应（输出）：系统产生的振动
三类问题
已知激励和系统，求响应 已知激励和响应，求系统 已知系统和响应，求激励 正问题 逆问题
研究的问题
固有频率 动力响应 减振、隔振、降噪 振动控制
振动诊断
振动技术利用
振动系统三要素
惯性、弹性、阻尼
振动系统类型
连续系统（无限自由度系统） 物理参数（质量、弹性等）在空间连续分布的。 离散系统（单自由度系统、多自由度系统）
通过适当的准则将分布的参数凝缩成有限个离散的参数所 得到的系统。
线性系统 描述其运动的方程为线性微分方程。满足叠加原理。 非线性系统
2 1 2
2
1
2
2 2

2
2
变换后得：
MB me
1 2
2 2
2
1时
MB me me 2 M
例5： 支承的运动规律是： xs=asinωt，求位移激励引起的 受迫振动。
mx cx kx kxs cxs 稳态响应为：B sin(t )
B sin(t )
瞬态阶段+稳态阶段 令：x
瞬态振动 稳态振动
Beit
q 可解得： B 2 n 2 i 2
n 频率比
n
相对阻尼系数或阻尼比
P0 1 B k 1 2 i 2 P0 1 k 1 2 2 2
k
n
mg
j
k mg g m m j j
例1：矩形截面梁抗弯刚度为EI， 其上支承一质量为m的物体。忽略 梁的质量，求系统的固有频率。
简支梁在重物作用下的静变形为：
mgl 3 j 48 EI
n
g
j

48EI ml 3
例2：一个质量为m的物体从h高处自由 落下，与抗弯刚度为EI，长为l的矩形 截面梁做完全非弹性碰撞，其上支承 一质量为m的物体。忽略梁的质量，求 自由振动的频率和梁的最大挠度。

称为相对阻尼系数
过阻尼状态 （ n 或 1 ）
临界阻尼状态 （ n 或 1 ）
弱阻尼状态（ n 或 0 1
）
弱阻尼状态
2 s1,2 i n 2
令： d
2 n 2 n 1 2
x et (D1 cos d t D2 sin d t )
t=0时有
x 0 x x0 ， x
D1 x0 D2 x0 x0
d
x Aet sin d t
x0 x0 2 A x0 d
2
x0 d arctan x0 nx0
振幅按指数规律衰减，称为衰减振动
2 x A sin t 0 T
A-振幅，振动体离开平衡位置的最大位移；
T-周期，振动体完成一次振动所用的时间
0 -初相位，表示振动体的初始位置。
2 令： n T 2 f
x Asin nt 0
n -圆频率
nt 0 -相位角
以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系， 以撞击梁时刻为t=0时刻，有：
x0 s
x0 2gh
自由振动的振幅为：
A s2 2hs
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最大挠度为：
max
A s
2.能量法
1）无阻尼自由振动系统没有能量损失，动能与弹簧势能 不断转换，总的机械能守恒。
T U 0
利用线性系统的叠加原理解 得：
k 2 c 2 2 1 (2 ) 2 Ba a 2 2 2 2 (k m ) c (1 2 ) 2 (2 ) 2
mc 3 2 2 arctan arctan 2 2 2 k (k m ) c 1 2 (2 )2
振幅主要影响因素：P0 、 、
B 1 B0 (1 2 )2 (2 )2
称为振幅放大因子
幅频响应曲线
以频率比λ 为横坐 标，以β 为纵座标，以 相对阻尼系数为参数的 曲线。
1）当 2）当
1即

1即
n 时， 1
n 时， 0
以上两种极端情况阻尼影响不 显著，可按无阻尼情况考虑。 3）当
k c P0 、q 令： 、 m 2m m
2 n
2 有： 2x n x x q sin t
方程的解由齐次方程的通解和非齐次方程的任一特解组成。
x Aet sin(d t ) B sin(t )
Aet sin(d t )



2
e i
Be i
B0 P0 k
在大小为激振力幅值静力作用 下的最大位移
2 B , arctan 2 2 2 2 1 (1 ) (2 ) B0
特点：
稳态响应是频率等于激振频率，相位滞后于激振力的 简谐振动。
稳态响应的振幅及相位差只取决于系统自身的物理性 质以及激振的频率和力幅，与初始条件无关。
c 2m
有：
2 2x n x x0
设其特解为：
xe
st
2 0 特征方程： s2 +2 s n
2 s1,2 2 n
xe
令： n
1.3.3 讨论
t
c e
1
2 2 n t
c2e
2 2 n t