因式分解概念与提公因式
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
因式分解题型提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法
1.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。
2．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：对于ma mb mc ++， 叫做公因式， 叫做提公因式法。
①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
②公因式的构成：系数：各项系数的 ；字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。
（2）公式法：①常用公式平方差： 完全平方：立方和：3322a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差：②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）（3）十字相乘法①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
（4）分组分解法①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。
例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
因式分解和提公因式法
因式分解和提公因式法因式分解是代数中的一种重要的运算方法，在解题过程中往往可以起到简化问题、求解方程、找出公因数等作用。
而提公因式法是因式分解的一种特殊形式，通过提取公因式来简化多项式的表达式。
本文将详细介绍因式分解和提公因式法的概念、原理以及应用。
一、因式分解的概念和原理1.1 因式分解的概念因式分解是将一个多项式拆解成若干个因式的乘积，其中每个因式都是多项式的一个因子。
通过因式分解，我们可以将复杂的多项式化简为简单的因子形式，便于进一步求解方程、计算和进行其他代数运算。
1.2 因式分解的原理因式分解的原理是根据多项式的特点和运算规律，将其拆解为不可再分解的因子相乘的形式。
常用的分解方法有提取公因式法、配方法、根据特殊公式和因式定理等。
二、提公因式法的概念和步骤2.1 提公因式法的概念提公因式法是一种较为常见且简便的因式分解方法，通过提取多项式中的公因式，将多项式拆解为公因式和剩余部分的乘积。
这样可以达到简化表达式的效果，从而便于求解方程或进行其他计算。
2.2 提公因式法的步骤步骤一：观察多项式中是否存在公因式；步骤二：提取出公因式，并在多项式外面加上括号，表示公因式；步骤三：将多项式中去掉公因式后的部分作为括号内的剩余部分；步骤四：将公因式和剩余部分用乘号连接起来，得到最终的因式分解式。
三、因式分解和提公因式法的应用3.1 解方程因式分解和提公因式法在解方程中经常被使用。
通过因式分解，可以将原方程化简为简单的因子形式，从而更容易求解。
例如，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以进行因式分解成(a'x + b')(c'x + d') = 0，那么可以根据方程因式乘积为零的性质，得到x的取值。
3.2 简化计算在进行复杂的数学计算时，因式分解和提公因式法可以起到简化计算的作用。
通过将多项式化简为因子形式，可以减少计算的复杂性。
特别是在涉及多次相同运算的情况下，将公因式提取出来可以减少重复计算。
因式分解知识点归纳
因式分解知识点归纳因式分解是代数中的重要概念和技巧，它在解方程、求根、化简表达式等方面都有广泛的应用。
以下是关于因式分解的知识点归纳：一、基本概念1.因式：在乘法中，参加运算的每个数或字母或含有字母的式子，称为因式。
2.因式分解：把一个多项式写成若干个因式相乘的形式，称为因式分解。
3.因数：若一个数a能够整除另一个数b，那么称a是b的因数，b 是a的倍数。
二、因式分解的原则1.分解的因式中只能有素数，即不能再分解。
2.同一因式在分解式中只能出现一次，不允许出现多个相同的因式。
三、因式分解的方法1.公因式法：把多项式中的公因式提出来，然后将剩余部分进行因式分解。
2.提取因式法：将多项式中的因式提取出来，然后将剩余部分进行因式分解。
3.平方差公式：对于两个完全平方差的多项式，可以利用平方差公式进行因式分解。
4.分组分解法：将多项式中的项进行分组，然后利用求和公式或平方差公式进行因式分解。
5.完全平方公式：对于一个完全平方的多项式，可以利用完全平方公式进行因式分解。
四、常用的因式分解公式1.两个平方差的因式分解公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；a² + 2ab+ b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²。
2.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²。
3.一次式的因式分解公式：ax + bx = x(a + b)；ax - bx = x(a - b)；ax + ay = a(x + y)；ax - ay = a(x - y)。
五、案例分析1.因式分解：将多项式因式分解为两个一次因式的乘积。
例如：x²-3x-10=(x-5)(x+2)。
2.提取公因式：将多项式中的公因式提取出来。
因式分解———提公因式公式法
因式分解———提公因式公式法因式分解是数学中的一个重要的方法，它可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式。
常用的因式分解方法有提公因式法和公式法。
一、提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法，它的基本思想是找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式3x^2+9x分解因式。
解题步骤：1.观察多项式中的每个项，找出它们的公因式。
在这个例子中，3和9都是3的倍数，所以可以提取出公因式3来，即3x^2+9x=3(x^2+3x)。
2.检查提取出的公因式是否是多项式的最大公因子。
这一步其实是用求最大公因子的方法来验证的。
在这个例子中，公因式3是最大公因子，因为3x^2和3x都可以被3整除，而且没有其他的公因子。
3.将提取出来的公因式和剩下的部分组合在一起。
在这个例子中，可以将公因式3和剩下的部分(x^2+3x)组合在一起，即3(x^2+3x)。
综上所述，多项式3x^2+9x可以分解因式为3(x^2+3x)。
二、公式法公式法是因式分解中的另一种常用方法，它适用于具有特定形式的多项式。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式x^2+4x+4分解因式。
解题步骤：1.观察多项式的各个项的系数。
在这个例子中，x^2的系数为1，4x的系数为4，4的系数为42.检查多项式是否具有特定形式。
在这个例子中，多项式的形式为x^2+4x+4，它的形式和公式(a+b)^2非常相似。
3.根据公式(a+b)^2，将多项式进行分解。
根据公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可以将多项式x^2 + 4x + 4分解为(x+2)^2综上所述，多项式x^2+4x+4可以分解因式为(x+2)^2综合练习：1.将多项式6x^2+9x+3分解因式。
解：可以观察到，多项式的各个项的系数都是3的倍数，所以可以提取公因式3，即6x^2+9x+3=3(2x^2+3x+1)。
2.将多项式x^3-8分解因式。
【课件】2 提公因式法因式分解(2)
- =___(b+a)5;
=___(b+a)6.
(7) (a+b) =___(-b- (8) (a+b)2 =+___(-a-
a);
b)2.
合作交流探究新知
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶 数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇 数(）2)a+b 与 -a-b互为相反数.
反馈练习巩固新知
（1）3(a-b)2+6(ba) （2）x(x-y)2-y(y-x)2
（3）18(a-b)3-12b(ba)2 （4）x(x+y)(x-y) -x (x+y)2
原式=3（a-b)(a-b-2) 原式=（x-y) 3 原式=6（a-b)2(3a-5b) 原式=-2xy（x+y)
课堂 小 结
合作交流探究新知
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或 “－”号，使等式成立：
- (1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b+)2
- =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b- (4) (a-b)4 =+___(b-
a)3;
(5) (a+b)5 +
因式分解-提公因式法
提公因式法的应用场景
• 可提取公因式简化 多项式
• 需要进一步分解剩 余部分
配方法
• 适用于二次方程式 • 通过转化为平方完
成因式分解 • 适用范围有限
根式法
• 适用于含有平方根 的多项式
• 通过提取平方根进 行因式分解
• 限制较多
提公因式法的优点
简单易用
提公因式法是一种较为简单的因式分解方法，易于掌握和应用。
通用性强
因式分解-提公因式法
因式分解是一种重要的数学概念，提公因式法是常用的因式分解方法之一。
提公因式法的定义
提公因式法是一种通过找出多项式中的公因式，将其进行提取，从而达到进 行因式分解的目的的方法。
提公因式法的步骤
1. 找出多项式中的公因式 2. 提取公因式 3. 将剩余部分进行因式分解
示例：使用提公因式法进行因式分解
提公因减少计算量
通过提取公因式，可以简化多项式，减少计算的复杂度。
结论
提公因式法是一种重要的因式分解方法，能够帮助我们简化复杂的代数表达 式，解决方程，以及进行数学建模。
1 简化表达式
提公因式法可以帮助我们简化复杂的代数表达式，使计算更加简便。
2 解方程
提公因式法可以用于解决一些复杂方程，帮助我们找到方程的根。
3 数学建模
提公因式法是数学建模中常用的一种方法，可以帮助我们更好地理解和描述实际问题。
因式分解之提公因式和公式法
因式分解之提公因式和公式法因式分解是数学中的一种常见的运算方法，它可以把一个复杂的多项式表达式分解成更简单的因式乘积，从而更好地理解和运算。
一、因式分解的概念因式分解是指把一个多项式表达式写成因式的乘积形式的过程。
因式分解有两种主要的方法，一种是提公因式法，另一种是公式法。
1.1提公因式法提公因式法是指将多项式中的一个或多个公因式提取出来，使得多项式能够写成一个公因式乘以另外一个因式的形式。
提公因式法有以下几个步骤：步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
例子1：将多项式4x^2-5x+2进行因式分解。
首先，我们观察多项式，发现每一项的系数都是正整数，所以可以将多项式因式分解为最简整数.步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
4x^2-5x+2=(4x^2)+(-5x)+2步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=4x(x)+(-5x)+2步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=4x(x-5)+2步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=4x^2-20x+2例子2：将多项式2x^3+3x^2-4x-6进行因式分解。
步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
2x^3+3x^2-4x-6=(2x^3)+(3x^2)+(-4x)+(-6)步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=2x(x^2)+3x(x)+(-4x)+(-6)步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=2x(x^2+1.5x-2-3)步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=2x^3+3x^2-4x-6通过这个例子我们可以看出，当多项式中存在公因子时，提公因式法能够帮助我们简化运算过程，从而更方便地处理多项式。
因式分解之提公因式和公式法
因式分解之提公因式和公式法
一、因式分解
所谓因式分解就是将一个复杂的数学式，整理成由最简单的质因数所
组成的式子，以便我们更清楚地理解和计算这个式子。
例如：把一个复
杂的数学式9a^2b - 18ab^2 + 3a^2b分解为：(3a^2b - 6ab^2) +
(3a^2b - 12ab^2)，我们可以发现这个式子表示三个互相独立的数学关系：a^2b 与 -6ab^2 相乘，3a^2b 与 -12ab^2 相乘。
因式分解的步骤主要有以下三步：
1、找出最小的因数，然后把数学表达式中得到的因数分解成单一的
因子（质数）。
2、然后尝试把每个因子再次分解，直到质数的最小单位为止。
3、最后将所有因数重新组合，组成一个正确的数学表达式。
二、提公因式法
提公因式法用于计算两个或多个不同的数学表达式之间的关系，它的
概念很简单，主要是把两个或多个不同的表达式中的相同的因数提取出来，然后把它们放在一起，使其形成一个新的公因式。
比如说，有两个数学表达式（a+b）^2和a^2+2ab+b^2，那么我们可
以把它们中的公因式（a+b）提取出来：（a+b）^2 = (a+b)(a+b) =
a^2+2ab+b^2、如此一来，我们就把两个不同的表达式形成了一个。
从这个计算过程中我们可以发现，提公因式法实际上是一种简化表达
式的思想。
因式分解-提公因式法
4a2b
9x -6xy+3x
3x
例1: 找出3 x
2
– 6 x 的公因式。并分解因式。
指数：相同字母 1 的最低次幂 3 x 系数：各项系数的 想一想 字母：各 最大公约数。 项的相同 另一个因式x-2是如 字母 何得到的？ 所以，公因式是3x
3x2-6x=3x（x-2）
2-6x=3x（x-2） 3x
B
2
是各系数的最大公约 数，字母是相同字母 中指数最低的。
D 4m 2 (m 12n) 怎样知道提出的不是公因式？
指出下列各多项式中各项的公因式, 并试着分解因式。
①ax+ay+a 2 ②3mx-6nx ③4a2b+10ab2 4y3+x3y3 ④x ⑤12x2yz-9x3y2
公因式
a 3x 2ab 3y3 x 3x2y
2-12(p+q) （3）6(p+q)
解：（1）原式=(a+b)（x+ y）
（2）原式=(x-y)（3a-1） （3）原式=6(p+q)(p+q-2)
例、用提取公因式法分解因式
5a(x-y)-10b(y-x),提取的公因式 应该是什么？并将其因式分解. 解： 公因式为5(x-y) 原式= 5a(x-y)-10b×[-（x-y）] =5a(x-y)+10b(x-y) = 5(x-y)(a+2b)
解：原式= (b+c) (2a-3)
注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式
例: 分解因式 8a³ b-12ab³ c+ab
不要漏掉1
解: 原式=ab· -ab· 8a² 12b² c+ab· 1
算式简化因式分解与公因式提取
算式简化因式分解与公因式提取算式简化、因式分解与公因式提取是数学中常见的代数操作。
在解题过程中，通过运用这些技巧可以将复杂的算式化简为简单的形式，使问题更易于解决。
本文将详细介绍算式简化、因式分解与公因式提取的概念、方法和应用。
一、算式简化算式简化是指将复杂的算式通过运用代数运算规律和分配律等法则，使其变得更加简洁明了的过程。
下面以一些例子来说明算式简化的方法。
1. 整式的合并与化简合并同类项是算式简化的常用方法之一。
同类项是指变量相同且指数相同的项，通过合并同类项可以将一个多项式化简为一个简单的多项式。
例如，化简下列算式：3x + 2y - 5x + 4y + 7x - y首先将该算式中的同类项合并，得到：3x - 5x + 7x + 2y + 4y - y然后将合并后的同类项进行合并运算，得到：5x + 5y最终化简后的算式为5x + 5y。
2. 分式的化简分式的化简是指将复杂的分式运算简化为最简形式的过程。
常用的方法包括约分和通分。
例如，化简下列分式：(2x^2 - 3x) / (4x^3 - 6x^2)首先对分子和分母进行因式分解，得到：2x(x - 3) / 2x^2(x - 3)然后将分子和分母进行约分，得到最简形式：x / x^2最终化简后的分式为1 / x。
二、因式分解因式分解是将一个多项式分解为若干个可以相乘的因式的过程。
通过因式分解可以将复杂的多项式化简为简单的乘积形式。
1. 提取公因式提取公因式是因式分解中常用的方法之一。
对于一个多项式，如果存在一个公共因子，可以将该公共因子提取出来。
例如，对于下列多项式：3x^2 + 6x^3可以观察到该多项式的公共因子为3x^2，将其提取出来得到：3x^2(1 + 2x)最终因式分解后的形式为3x^2(1 + 2x)。
2. 分解二次三项式分解二次三项式是指将一个二次三项式（三个项组成的二次多项式）分解为两个一次因式的乘积的过程。
例如，对于下列二次三项式：x^2 + 5x + 6可以通过观察和试探的方法，将其分解为：(x + 2)(x + 3)最终因式分解后的形式为(x + 2)(x + 3)。
因式分解———提公因式、公式法
因式分解——提公因式、公式法【知识要点】 1． 分解因式的概念把一个多项式变成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
注意：①分解的结果要以积的形式表示；②每个因式都必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ③必须分解到每个因式都不能再分解为止。
2． 分解因式与整式乘法的关系多项式的分解因式与整式乘法互为 运算。
3. 提公式因法的三大步骤： ①各项的系数提取最大公约数； ②提取相同的字母和因式；③字母和因式的次数提取次数最低的．4．平方差公式：()()b a b a b a -+=-22 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±立方和公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+ 立方差公式：()()2233b ab a b a b a ++-=- 5．因式分解的一般思路是：先提取公因式，再运用公式法。
【课前热身】（1） （2）（3）412xx ++ （4）11622-y x（5）()()22916b a b a +-- （6）4422+-ab b a（7）2363ax ax a +- （8）()()9666222+---x x[经典例题] 例1 计算1．4.262.1366.02.1334.2-⨯+⨯ 2．43133739⨯-⨯3．227987981600800+⨯- 4．20042003200320012003220032323-+-⨯-例2 已知()014222=+--+b a b a ，求()20032b a +的值．例3 已知c b a ,,分别为ABC ∆的三边，求证：()04222222<--+b a c b a ．例4 化简()()()200421111x x x x x x x ++++++++例5．证明：97×99×101×103+16是一个整数的平方，并求出这个整数．A 组.基础巩固练习（25分钟）1.下列各式从左到右的变形中是因式分解的有（ ）①12x 3y=4x 2·3xy ②a 2–16+2a=（a+4)(a –4）+2a ③a 3b 3–a 2b 2–ab=ab （a 2b 2–ab –1） ④1–a 2=（1+a ）（1–a ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2.用提公因式法分解因式6a （x –y ）–9b （y –x ）的结果应为（ ） （A ）（x –y ）（6a –9b ） （B ）（x –y ）（6a+9b ） （C ）3（x –y ）（2a –3b ） （D ）3（x –y ）（2a+3b ） 3．多项式3322328714n m n m n m -+的公因式是（ ）A 、27mnB 、n m 27C 、227n mD 、327n m 4．下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（ ）A 、42+-mB 、22y x --C 、122-y xD 、()()22a m a m +--5．若2249y kxy x +-是一个完全平方式，则k 的值为（ ）A 、6B 、±6C 、12D 、±126．分解因式a 2+ma+91=(a-31)2,则m 的值等于( )A.-3B.3C.32 D.-327．若多项式c bx ax ++2可分解为()223-x ，那么c b a ,,的值分别是（ ）A 、3，-6，2B 、9，-12，4C 、9，12，4D 、9，-12，-4 8．若041222=+-+-yxy x x ，则=x ，=y．9．a a a 1216423++-在分解因式时，应提取的公因式是 ． 10．把下列各式分解因式（1）=-+-mn n m n m 81242332 （2）()()=---2339a b b a （3）()()=+-+y x y x 93（4）=++a a a 323123（5）=---181622y y x （6）()()=-+-x y x y x x 2224（7）()()()()__________________926222=+++---n m n m m n n m 11. 用简便方法计算：（1）57.6×1.6+28.8×36.8－14.4×80 （2）19961995199519931995219952323-+-⨯-12. 已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121bab a ++的值。
因式分解提公因式法
第五节因式分解（一）提公因式法【细心听讲】1、分解因式的概念把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。
2、分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法是的恒等变形。
3．分解因式的一些注意点（1）结果应该是的形式；（2）必须分解到每个因式都不能为止；（3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式。
1．公因式多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的 .2.提公因式法如果多项式的各项有公因式,可以氢这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法.3.确定公因式的方法(1)系数公因式:应取多项式中各项系数的 ;(2)字母公因式:应取多项式中各项字母.（3）相同字母的次数要最低《重点辨析》提取公因式时的注意点【大家一起学】一、分解因式 例1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是?(1))11(22xx x x +=+; (2)1)5)(5(22--+=-a a b a (3)22))((n m n m n m -=-+ (4)22)2(44+=++x x x (5))23(232y x x x xy x -=+- (6)32)1)(3(2--=+-x x x x例2.多项式b ax x ++2分解成)2)(1(-+x x ,求b a +的值.二、提公因式法例3．把下列各式分解因式（1）a ab a 3692+-（2）xy xy y x -+2252（3）234264x x x +--（4）4324264xy y x y x +--例4．把下列各式分解因式（1）)2(3)2(2y x b y x a --- （2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a -----例5．分解因式（1）32)2()2(2x y b y x a -+- （2）32)3(25)3(15a b b a b -+-（3）432)(2)(3)(x y b x y a y x -+--- （4）n m n m x b x a x b x a )()()()(11++-++-+例6．利用分解因式计算 （1）5.12346.45.12347.115.12349.2⨯-⨯+⨯ （2）9910098992222--例7．已知2,32==+ab b a ，求代数式22222ab b a b a ++的值。
《因式分解-提公因式法》知识点归纳
因式分解-提公因式法知识点归纳1. 什么是因式分解-提公因式法？因式分解是将一个多项式写成两个或多个不可再因式分解的多项式相乘的形式。
提公因式法是一种常用的因式分解方法，它通过提取多项式中的公因式来简化多项式的表示。
2. 如何进行因式分解-提公因式法？步骤1：提取公因式首先，观察多项式中是否存在公因式，即是否有因子可以整除多项式的每一项。
如果存在公因式，将其提取出来。
例如：2x^2 + 4x = 2x(x + 2)步骤2：判断多项式的可进一步因式分解性质提取公因式后，判断剩余的部分是否还可以进行进一步因式分解。
常见的因式分解性质包括二次平方差公式、差平方公式等。
例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)3. 因式分解-提公因式法的应用因式分解-提公因式法在解决各种数学问题时广泛应用，包括但不限于以下几个方面：3.1. 简化多项式因式分解-提公因式法可以将复杂的多项式简化为更简洁的形式，从而使问题的求解更加方便。
例如：3x^2 + 6x = 3x(x + 2)3.2. 解方程在解方程时，因式分解-提公因式法可以帮助我们找到方程的根。
例如：x^2 - 4 = 0通过因式分解得到：(x + 2)(x - 2) = 0解得x的值为2和-2。
3.3. 求导数在微积分中，因式分解-提公因式法常常用于求函数的导数。
例如：f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1可以通过因式分解-提公因式法得到导数：f'(x) = 3x^2 + 6x + 33.4. 求极限在求极限的过程中，因式分解-提公因式法可以帮助我们简化复杂的表达式，使得求解更加便利。
例如：lim(x->0) (x^2 - 4x) / x通过因式分解-提公因式法，可以将上述表达式化简为：lim(x->0) x(x - 4) / x = lim(x->0) (x - 4) = -44. 因式分解-提公因式法的重要性因式分解-提公因式法是数学中的基础操作之一，对于深入理解和解决复杂的数学问题至关重要。
因式分解和提公因式法
因式分解和提公因式法因式分解方法灵活，技巧性强，初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．1.定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2.提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m（a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.3．区分因式分解与整式的乘法：它们的关系是意义上正好相反，结果的特征是因式分解是积的形式，整式的乘法是和的形式，抓住这一特征，就不容易混淆因式分解与整式的乘法。
经典例题：1.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33x5+3x4y-5x3y²+4xy4+12y5-15x²y3解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y²+15x²y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x²y²(x+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x²y²+4y4)=(x+3y)(x²-4y²)(x²-y²)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式=x5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立2、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)3、 十字相乘法对于mx ²+px+q 形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q 且ac+bd=p ，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 分解因式7x ²-19x-6解：7x ²-19x-6=（7x+2）(x-3)4、 分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)巩固练习一、选择题1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）A 、29)3)(3(x x x -=+-B 、))((2233n mn m n m n m ++-=-C 、)1)(3()3)(1(++-=-+y y y yD 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(22422、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、22)(b a -+B 、mn m 2052-C 、22y x --D 、92+-x3、若E p q p q q p ⋅-=---232)()()(，则E 是（ ）A 、p q --1B 、p q -C 、q p -+1D 、p q -+14、若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）A 、－15B 、－2C 、8D 、25、如果2592++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）A 、 15B 、 ±5C 、 30D ±306、△ABC 的三边满足a 2+b 2+c 2=ac +bc +ab ，则△ABC 是（ ）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等边三角形D 、锐角三角形7、已知2x 2-3xy+y 2=0（xy ≠0），则x y +y x的值是（ ） A 2或212 B 2 C 212 D －2或－2128、要在二次三项式x 2+□x-6的□中填上一个整数，使它能按x 2＋（a ＋b ）x ＋ab 型分解为（x ＋a ）（x ＋b ）的形式，那么这些数只能是 （ ）A ．1，-1；B ．5，-5；C ．1，-1，5，-5；D ．以上答案都不对9、已知二次三项式x 2+bx+c 可分解为两个一次因式的积（x ＋α）（x+β），下面说法中错误的是 （ ）A ．若b ＞0，c ＞0，则α、β同取正号；B ．若b ＜0，c ＞0，则α、β同取负号；C ．若b ＞0，c ＜0，则α、β异号，且正的一个数大于负的一个数；D ．若b ＜0，c ＜0，则α、β异号，且负的一个数的绝对值较大．10、已知a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题11、已知：02,022=-+≠b ab a ab ，那么ba b a +-22的值为_____________.12、分解因式:ma 2-4ma+4a=_________________________.13、分解因式:x （a-b ）2n +y （b-a ）2n+1=_______________________.14、△ABC 的三边满足a 4+b 2c 2-a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是__________.15、若A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =___________.16、多项式2,12,2223--+++x x x x x x 的公因式是___.17、若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m=___________.18、若a 2+2a+b 2-6b+10=0， 则a=___________，b=___________.19、若(x 2+y 2)(x 2+y 2-1)=12， 则x 2+y 2=___________.三、把下列各式因式分解（1）22)34()43)(62()3(y x x y y x y x -+-+++ （2）27624--a a（3）32)(10)(5x y n y x m -+- （4）8x m y n-1+56x m+1y n四、解答题1、求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(学生版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ ）A ．223(2)3x x x x +-=+-；B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ．例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ． 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________. 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）； （2） 3423424281535a b a b a b -+；（3）； （4）；（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx xa ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y -----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+；（11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --；（13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-；（15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+；（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；例14、已知1128a b ab -==，，求22332a b ab a b -++的值．例15、应用简便方法计算。
因式分解提公因式&公式法
板块一：基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式.【例 1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+⑶232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++板块二：提公因式法例题精讲提公因式法、公式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例 2】 分解因式：⑴ad bd d -+；⑵4325286x y z x y -⑶322618m m m -+- ⑷23229632x y x y xy ++【巩固】 分解因式：22(1)1a b b b b -+-+-【巩固】 ⑴23361412abc a b a b --+；⑵32461512a a a -+-【例 3】 分解因式⑴23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b ---+-⑵346()12()m n n m -+-【巩固】 分解因式：⑴55()()m m n n n m -+- ⑵()()()2a a b a b a a b +--+【巩固】 分解因式：⑴2316()56()m m n n m -+- ⑵(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+-【巩固】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++【例 4】 分解因式：⑴()()2121510n n a a b ab b a +---(n 为正整数) ⑵212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数)【巩固】 分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数.【例 5【例 6板块三：公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++【例 7【巩固】 利用分解因式证明：712255-能被120整除．【例 8】 分解因式：⑴(深圳市中考题)2242x x -+= ；⑵(泸州市中考题)244ax ax a -+= ；⑶2844a a --= ；⑷2292416x xy y -+=【巩固】 ⑴(淄博市中考题)分解因式：3269x x x -+⑵(太原市中考题)分解因式：2363x x -+⑶分解因式：32244a c a bc ab c -+【例 9【例 10【巩固】 分解因式：⑴222()4()4x x x x +-++；⑵24()520(1)x y x y ++-+-【巩固】 分解因式：()()222248416x x x x ++++【巩固】 已知2244241a ab b a b ++--+=2m ，试用含a 、b 的代数式表示m ．【例 11】化简：22()()()()()()a b b c a c a b a b a b c a b c ++-+-+-+++-【巩固】 分解因式：24()520(1)x y x y ++-+-【补充】分解因式：66a b -【巩固】 ⑴分解因式：523972x x y -⑵分解因式：66a b +【例 12】若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类， 应是什么三角形？【巩固】 (江苏省镇江市中考题)若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式2222a b c ab +--的值( )．A.大于零B.小于零 C 大于或等于零 D ．小于或等于零练习 1． 分解因式：22224()x a x a x +--练习 2． 分解因式：3222524261352xy z xy z x y z -++⑶练习 3． 不解方程组2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，求代数式()()237323y x y y x ---的值．练习 4． 分解因式：2121()()m m p q q p +--+-练习 5． 分解因式：212312n n x y xy z +-(n 为大于1的自然数)．练习 6． 分解因式：⑴22(23)9(1)x x +--⑵22222223(2)273(2)(3)a a b a b a a b b ⎡⎤+-=+-⎣⎦⑶222222(35)(53)a b a b --+-⑷22()()()x x y y y x --+-练习 7． 分解因式：⑴(北京市中考试题大纲卷)2244a a b -+-⑵(岳阳中考题)2222x y z yz ---练习 8． 分解因式：⑴2222(3)2(3)(3)(3)x x x x -+--+-；⑵22229()6()()a b a b a b ++-+-.课后练习。
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2
(3) 35 x yz 14 x y z 21xy z
3 2 2
2 2
7 xyz(5x 2xy 3 yz )
2
练习二:分解因式
(1)–a² +ab-ac
=−a(a−b+c)
(2)-2x³ +4x² +2x
=−2x(x² −2x−1)
(b+c) (b+c) 分解因式 例4：把2a(b+c)-5(b+c)
下列各多项式有没有共同的因式？
a c+ b c 3 x2 +x 30 m b2 + 5n b
c
x
5b
3x+6
a2 b – 2a b2 + ab 7 ( a– 3 ) – b ( a– 3)
3
ab
a-3
提取公因式法
3 2 1、 9x y
12x y 6 xy
2 2
3
中各项的公因式是
小结:本节课我们学习了哪些知识?
1、什么叫做公因式？
2、什么叫提公因式法？ 3、确定公因式的方法 （1）系数——取各项的最大公约数 （2）字母——取各项相同字母 （3）指数——取各项相同字母的最低次幂 4、提公因式法分解因式的步骤 （1）确定公因式 （2）用公因式去除多项式的各项得另一因式 （3）写成这两个因式的积的形式
公因式的定义： 一个多项式各项都含 有的相同因式, 叫做这个 多项式各项的公因式.
公因式： 的公因式。
怎样确定多项式的公因式？ 公因式与多项式的各项有什么 关系？
1、找出下列多项式中各项中 含有的相同因式.
b a c 3 x 9 x 3 xx 3 2 my n 1 my ny y y
概念引入：
如果一个多项式的各项 含有公因式，那么就可以把 这个公因式提出来，从而将 多项式化成两个因式乘积的 形式.这种分解因式的方法叫 做提公因式法.
因式分解： ma mb mc
解:
ma mb mc m(a b c)
公因式
提公因式法
多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式
确定公因式要对数字因数和字母分别进行 考虑: 1.各项系数都是整数时,公因式的系数应取 各项系数的最大公约数; 2.字母取各项相同的字母,而且各字母的指 数取次数最低的
4. 把下列各式分解因式：
(1) (2)
8 x 2 xy 3 2 4m 6m 2m a b 5ab 9b
2
(3)
；
。
。
提取公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号 外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫 做提公因式法。 练习： 1、把多项式m2(a－2)+m(2－a)分解因式等于（ C ） A．(a－2)(m2+m) B．(a－2)(m2－m) C．m(a－2)(m－1) D．m(a－2)(m+1) 2、把下列多项式分解因式 (1) (2) (3)
解：原式=
= =
( 24x3 12x 2 28 x )
4 x (6x2+3x-7)
4 x (24x3÷4x+12x2÷4x-28x÷4x)
当多项式第一项系数是 负数，通常先提出“-” 号，使括号内第一项系 数变为正数，注意括号 内各项都要变号。
练习. 将下列各式分解因式：
(1)
3x x
（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 （2）字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 （3）相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂。
2、提公因式法分解因式： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式,即用多项式除以公因式.
因式分解
——概念及提公因式法2
教学过程：
一、复习提问： 一个多项式 1、把 化 成 几个整式的乘积 的形式，叫 做把这个多项式因式分解。
7x ab b 7x2y2
8 a 3 b2 –12ab 3 + ab m b2 + n b
7x 3y2 –42x2y 3
4a2 b – 2a b2 + 6abc
2ab
指出下列各多项式中各项的公因式 ⑴ax+ay-a （a） 2y 2 2 5x ⑵5x y3-10x y （ ） ⑶24abc-9a2b2 （3ab） ⑷m2n+mn2 （mn ） ⑸x(x-y)2-y(x-y) ( x-y )
2
a a a(a 1)
2
是 不是 是 不是 不是 不是 不是
4 x 4 x 1 (2 x 1)
2
2
2
x 3x 1 x ( x 3) 1
（ 5）
（6） 18a bc 3a b6ac （ 7）
1 x 1 x( x ) x 3 2
2
x 4 ( x 2)( x 2)
2、因式分解与 整式乘法 是 互逆变形，分解的结果对不对可 以用 整式乘法 运算检验
回顾与思考
1 多项式的分解因式的概念： 把一个多项式化为几个整式乘积的形式， 叫做把这个多项式分解因式. 2 分解因式与整式乘法是互逆过程. 3 分解因式要注意以下几点: ① 分解的对象必须是多项式. ② 分解的结果一定是几个整式的乘积的 形式.
想一想：分解因式与整式乘法有何关系
注意：
1.因式分解不是运算,是一种多项式的变形； 因式分解与多项式乘法互为逆变形。 2.因式分解必须在整式范围内进行，否则不属于 因式分解； 3.利用整式的乘法可以验证因式分解是否正确.
练习一.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分 解?哪些不是?为什么？ 1）x 2 –y 2+1=(x +y )(x -y )+1 (不是） 2）6x2y3=3xy· 2xy2
解： 2a(b+c)－5(b+c)
= (b+c)(2a-5)
注意：公因式可以是数字，字母，也 可以是单项式，还可以是多项式。
练习三、把下列各式分解因式：
（1）x(a+b)+y(a+b) （2）3a(x-y)-(x-y)
2 （3）6(p+q) -12(p+q)
解：（1）原式=(a+b)（x+ y）
（2）原式=(x-y)（3a-1） （3）原式=6(p+q)(p+q-2)
a
提公因式法分解因式
正确的找出多项式各项的公因式。
注意：
1 多项式是几项，提公因式后也剩几项。 2 当多项式的某一项和公因式相同时提公 因 式后剩余的项是1。 3、当多项式第一项系数是负数，通常先提 出“-”号，使括号内第一项系数变为正数， 注意括号内各项都要变号。
怎样正确多项式各项的公因式？
系数：1、公因式的系数是多项式各项系
数的最大公约数； 字母：2、字母取多项式各项中都含有的 相同的字母； 指数：3、相同字母的指数取各项中最小 的一个，即字母最低次幂；
注： 多项式各项的公因式可以是 单项式，也可以是多项式 。
2.把下列各式分解因式：
(1) 12 xyz 9 x y 3 xy ( 4 z 3xy)
2 2
(2) 3a y 3ay 6 y 3 y( a a 2 )
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(1) 3x+6y
(2)ab-2ac
（3）
（a） （a2） （3mn）
(3) a 2 - a 3
(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)（2(m+n)） (5)9 m 2n-6mn
(6)-6 x 2 y-8 xy 2
（-2xy）
说出下列各式的公因式：
7x2 -21x
2 3xy __________。 公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这 个多项式各项的公因式。
找公因式的方法：1：系数为 各系数的最小公倍数
；
2、字母是 相同字母 3、字母的次数 相同字母的最低次数
练习：①5x2－25x的公因式为 5x ； ②－2ab2＋4a2b3的公因式为 -2ab2 ， ③多项式x2－1与(x－1)2的公因式是 x-1
ab bc
2
正确找出多项式各项公因式的关键是： 1、定系数：公因式的系数是多项式各项系
数的最大公约数。
2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的
相同的字母。 3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小 的一个，即字母最低次幂
说出下列各多项式的公因式： m (1)ma + mb ； (2)4kx - 8ky ； 4k (3)5y3+20y2 ； 5y2 ab (4)a2b-2ab2+ab . 最大公约数 一定系数 相同字母 最低指数 二定字母 三定指数
2
3
(2) (3) (4)
7 x 21x
8a b 12ab c ab
3 2 3
24 x 12 x 28 x
3 2
练习 把下列各式分解因式：
25x-5
3 x3 - 3x2 –9x
8a 2c+ 2b c - 4a 3b3 + 6 a2 b - 2ab
- 2x2 –12xy2 +8xy3
2
3 2
乘法分配律：m（a+b+c）=ma+mb+mc
现逆用乘法分配律
ma mb mc m(a b c)
每一项都必须含
有相同因式m。 各项除以相同因式 m后剩下的因式。
1、m可以是数字、字母、多项式。
2、逆用的条件与结论都不一样。
一般地，把一个多项 式转化成几个整式的积的 形式，叫做因式分解，有 时我们也把这一过程叫做 分解因式。