近世代数课件29 子群的陪集

(23) H ， {(23) (132)}
注意 (12)H=?? (123)H=??? (132)H=?? 这样，子群 H 把整个 G 分成(1)H,(13)H, (23)H三个不 同的左陪集．这三个左陪集放在一起显然正是 G ， 因此，它们的确是 G 的一个分类．
9.2子群的右陪集
比照左陪集,给出右陪集,以及性质
1
1
1
， 所以
a bb a
Ⅲ ………….所以
，
a
b
b
ca
c
这样，
是一个等价关系．利用这个等价关系，我们可以得到一个
G
的分类: [a],[b],[c]……,这里
[a] {x x a}
称为a的等价类
引理1 [a]=aH={ah| h属于} 证明: (1) x [a] xH
(2)
N nj
证完
定理３ 一个有限群 G 的任一个元 a 的阶 n 都整 除 G 的阶． 证明……… 证完．
例３ 对于有限群 G 的阶N的一个因子k, G 可以没有k 阶子群,也可以没有k阶元素．
例4 对于有限群循环 G 的阶N的一个因子k, G 恰 有一个k阶子群.
例5 1-5阶群的分类
作业 P70: 13
9.4 拉格朗日定理 下面我们要用左陪集来证明几个重要定理． 定理２ 假定 H 是一个有限群 G 的一个子群．那么 H 的 阶 n 和它在 G 里的指数 j 都能整除 G 的阶 N ，并且
N nj
证明 G 的阶 N 既是有限，H 的阶 n 和指数 j 也都是有 限正整数．G 的 N 个元被分成 j 个左陪集，而且由引理， n 每一个左陪集都有 个元，所以
9.1子群的左陪集
我们看一个群 G 和 G 的一个子群 H ．我们规定一个的 元 G 中间的关系 ：
a
给了 a 和 个关系,并且:
1 b ，当而且只当 a b H
Байду номын сангаас
的时候
b
，我们可以唯一决定， a 1b 是不是属于
H ，所以
是一
Ⅰ
a a eH
1
所以
a a
1
，
Ⅱ
a b H (a b) b a H
右陪集是从等价关系 ：
a
定义2由等价关系
b
，当而且只当
ab 1 H 的时候
所决定的类叫做子群 H
的右陪集．包含
a
的陪集我们用符号 Ha 来表示． 性质2 (1)------(5)
9.3子群的指数 引理2
H , aH , Hb 之间存在1-1映射.
证明:………..
H 的左陪集所作成的集合记做 Sl ,
H 的右陪集所作成的集合叫做
Sr
定理１ Sr和 Sl 之间存在1-1映射．
证明 构造: : Sr Sl
:
Ha a 1H
是一个 Sl 与 Sr 间的一一映射．因为：
(1)
Ha Hb ab1 H (ab1 )1 ba1 H a1H b1H
所以右陪集 Ha 的象与 的映射；
aH bH
或者
(5) 任意两个左陪集
aH
bH
例１
， (12) ， (13)， G S3 {(1)
(23) ，
， (132)} (123)
H {(1) ， (12)}
那么(注意我们规定的乘法顺序和书上的相反) ， {(1) (1) H
(12)}
(123)}
(13) H， {(13)
a 的选择无关，
是一个Sr 到 Sl
（ⅱ） Sl 的任意元 aH 是 Sr 的元 Ha 1 的象，所以 是 一个满射；
（ⅲ）
a1H b1H (a1 )1b1 ab1 H Ha Hb
证完． 定义 一个群 G 的一个子群 H 的右陪集（或左陪集）的个 数叫做 H 在 G 里的指数．
x H
x [a ]
定义1 由上面的等价关系
所决定的类
H 叫做子群的左陪集.
由引理1左陪集既是等价类,又是子集的乘法aH. 由等价类的性质可以推出左陪集的一些重要性质:
(1) (2) (3) (4)
aH bH a 1b H
b aH aH bH
eH H
aH H a H