数列的基本性质和常用结论

数列的基本性质和常用结论
一、等差数列 1.等差数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）⇔{}n a 为等差数列（定义法）
（2）122n n n a a a ++=+（n ∈*
N ）⇔{}n a 为等差数列（等差中项）
(3) n a =pn+q (p ， q 为常数且p ≠0)（即为关于n 的一次函数） ⇔{}n a 为等差数列
(4) 2
n S pn qn =+ (p ， q 为常数)（即为关于n 的不含常数项的二次函数） ⇔{}n a 为等差数列
2.常用性质
(1) 若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a g ，{}n n a b ±，{}n ka b +(k ， b 为非零常数)
均为等差数列.
(2) 对任何m ，n ∈*
N ，在等差数列{}n a 中，有()n m a a n m d =+-，特别的，当m=1时，便得到等差数
列的通项公式。

另外可得公差d=
11n a a n --，或d=n m
a a n m
-- (3) 若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*
N )，则n m a a +=p q a a +.特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a
(4) {}n a 是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即
121321n n n i n i a a a a a a a a --+-+=+=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+=⋅⋅⋅。

(5) 在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*
N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公
差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公差为3d 的等差数列)
(6) 如果{}n a 是等差数列，公差为d ，那么n a ，1n a -，⋅⋅⋅⋅⋅⋅2a ，1a 也是等差数列，其公差为d -. (7) 若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，
3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等差数列，且公差为2k d
3.等差数列前n 项和公式：2111()(1)()2222
n n n a a n n d d
S na d n a n +-=
=+=+- 4.等差数列前n 项和n S 常用的基本性质：
（1）在等差数列{}n a 中，当项数为2n (n ∈*
N )时，1
,
n n S a
S S nd S a +-==奇偶奇偶(即中间两项之比)，
当项数为2n +1(n ∈*
N )时，11
,
n S n S S a S n
++-==
奇偶奇偶(即奇偶项数之比) (2).若等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和为,n n S T (n 为奇数)，则12112121121
12121()
22()22
n n n n n n n n a a n a a a S b b n b b b T ------++===++
(3)在等差数列{}n a 中.n S =a ，m S b =，则()n m n m
S a b n m
++=--，特别地， 当n m S S =时，0n m S +=， 当
n S =m ，m S =n 时()n m S n m +=-+
(4) 若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{
}n
S n
也为等差数列. (5) 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ：①若1a >0，公差d<0，则当1
0n n a a +≥⎧⎨≤⎩时，则n S 有最大值；②若1a <0，
公差d>0，则当10
n n a a +≤⎧⎨
≥⎩时，则n S 有最小值。

求n S 最值的方法也可先求出n S ，再用配方法求解。

二、等比数列 1.等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n ，都有1(0)n n n a qa a +=≠⇔
1
n n
a q a +=(q ≠0) ⇔{}n a 为等比数列（定义法） （2）2
11n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列（等比中项）
(3) 若数列通项公式为：1
(,0n n a aq a q -=是不为的常数)⇔{}n a 为等比数列（通项公式法）
2.常用性质
(1).若数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列1
{}n a ，{}n k a g ，2{}n a ，21{}n a -，{}n n a b {}n n
a b (k 为非零常数) 均为等比数列.
(2) 对任何m ，n ∈*
N ，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=，特别的，当m=1时，便得到等比数列的通
项公式.因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性.
(3) 若m+n=p+q (m ， n ， p ， q ∈*
N )，则n m a a g =p q a a g .特别的，当n+m=2k 时，得n m a a g =2
k a (4) {}n a 是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项之积都相等，且等于首末两项之积，即
121321n n n i n i a a a a a a a a --+-===⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅g g g g 。

(5) 在等比数列{}n a 中，每隔k(k ∈*
N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为1
k q
+ (例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公比3
q 的等比数列)
(6) 如果{}n a 是等比数列，公比为q ，那么n a ，1n a -，⋅⋅⋅2a ，1a 也是等比数列，其公比为
1q
(8)
q>1且110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列，则为递减数列，1q <0<且11
0{}0{}{n n
a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列
当q=1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；当q<0时，该数列为摆动数列。

3.等比数列前n 项和公式：111(1)(1)11(1)n n n a a q
a q q S q q na q ⎧--=≠⎪
=--⎨⎪=⎩
４.等比数列前n 项和n S 常用的基本性质：
(1)
在等比数列{}n a 中，当项数为2n (n ∈*
N )时，
1S S q
=奇偶，. (2) 若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，
3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等比数列，且公差为k q
三、通项公式n a 的求法
(1)观察法：各项的规律明显，对分式分别看分子和分母的规律。

(2)公式法：①利用等差数列或等比数列的通项公式.
②利用n a 与n S 的关系: 11n n
n S a S S -⎧=⎨
-≥⎩ n=1
　n 2 特别注意：该公式对一切数列都成立。

(3)累加法：12132431()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-
(4)累乘法：324
11231
()()()()n n n a a a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅g
g g g g 四、数列前n 项和n S 的求法
(1) 公式法：直接利用等差或等比数列求和公式 (2) 倒序相加法（参照等差数列前n 项和公式的推导） (3) 错位相减法（参照等比数列前n 项和公式的推导）
(4)分组求和法
(5)裂项相消法。