高等工程数学课程小论文

摘要：线性代数主要研究线性问题，本文从线性相关性证明过程分析了若矩阵A经过行初等变换化为矩阵B，则A与B的列向量组具有完全相同的线性关系，并以此为基础分析了线性相关性在线性代数中的一些应用。

关键词：初等变换；线性相关性；线性表示

线性相关（无关）概念是线性代数理论的基本概念，它与向量空间（包括基、维数）、子空间、生成空间等概念有密切关系。一般而言，凡是线性问题常可以用向量空间的观点和方法加以讨论，因此向量空间成了线性代数的基本概念和中心内容。

向量空间理论的核心问题是向量间的线性关系。其基本概念有向量的线性表示、向量组线性相关与线性无关、向量组等价、向量组的极大无关组，以及向量空间的基与维数等。这些问题通常转化为解线性方程组或解齐次线性方程组。

1线性相关性证明

设有矩阵A=(α1,α2,···,αn)，αi∈P m，若矩阵A经过行初等变换化为矩阵B，则A与B的列向量组具有完全相同的线性关系。

证明矩阵A、B具有相同线性关系，只需要证明矩阵A、B具有线性相关性即可。在证明过程中，确定有满秩矩阵P使得P A=B，若矩阵P满足一定条件即可证明矩阵A、B。证明如下。

证明：设A m×n，A经过行初等变换化为B，将A，B分别按列分块为A=(α1,α2,…,αn)，B=(β1, β2,···,βn)。由于对A只进行有限次行初等变换，故可知有满秩矩阵P，使P A=B，即P(α1,α2, ···,αn)=(β1, β2, ···,βn)，于是有i1

βj=Pαj(j=1,2,3, ···,n)（1）

设A和B对应的列向量组为αi

1,αi

2

, ···,αi

r

和βi

1

, βi

2

,···,βi

r

(1≤i1＜i2＜···＜i r≤n)，由(1)式

得

βik = Pαik(k=1,2,3, ···,r)

因此，如果αi

1,αi

2

, ···,αi

r

有线性关系式k1αi

1

+k2αi

2

+ ···+k rαi

r

=0(k r为实数)，则k1,k2…k r也

必使得

k1βi

1+k2βi

2

+···+k rβi

r

=k1(Pαi

1

)+k2(Pαi

2

)+···+k r(Pαi

r

)

=P(k1αi

1

+k2αi

2

+ ···+k rαi

r

)=P0=0

反之，如果βi

1, βi

2

,···,βi

r

有线性关系式，得

λ1βi 1+λ2βi 2+ ···+λr βi r =0

则由P 的满秩性可知αj =P -1βj (j=1,2,3, ···,n)，于是有

λ1αi 1+λ2αi 2+ ···+λr αi r =λ1P -1βi 1 +λ2P -1βi 2 + ···+λr P -1βi r

=P -1(λ1βi 1+λ2βi 2+ ···+λr βi r )= P -10=0

这表明向量组αi 1,αi 2, ···,αi r 与向量组βi 1, βi 2,···,βi r 有相同的线性相关性。 证毕

2线性代数在课题中的应用

课题组建立的模型很多就需要运用线代 1）以人口迁移模型为例

这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示。一年以后，市区人口为Xc1=(1-0.06)Xc0+0.02xs0，郊区人口Xs1= 0.06Xc0 + (1-0.02)xs0

用矩阵乘法来描述，可写成：

从初始到k 年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为 输入：A =[0.94,0.02;0.06,0.98], X0=[0.3;0.7]X1=A*x0, X10=A^10*x0, X30=A^30*X0, X50=A^50*X0

得到：

本题特征值和特征向量的意义：

无限增加时间k ，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。

为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A 的效果，先求A 的特征值和特征向量，得到

令

11010.940.020.3 0.29600.060.980.7 0.7040⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

==⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦c s x x Ax x 2120

k k k k x Ax A x A x --==== 1103050 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508,,,, 0.7040 0.7283 0.7459 0.7492⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x x x 0.9200 0 -0.7071 -0.3162, 0 1.0000 0.7071 -0.9487⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦lamda e 1211,13-⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

u u

它是特征向量的整数化，得到

2）以交通流量分析为例

通过一个简单的城市交通模型，练习方程组的建立与求解

问题：某城市交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车流量。 针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等。

请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量xi （i=1,2,3,4）

根据已知条件，得到各节点的流通方程 A ： B ： C ： D ： 整理得方程组为

在Matlab 窗口输入

021

0.250.05(0.92)k k k x A x u u ==-12360260

+=+x x 23220292+=+x x 34320357+=+x x 41260251+=+x x 12

23341

4100

72

379

-=-⎧

⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=-⎩

x x x x x x x x [1,1,0,0;0,1,1,0;0,0,1,1;1,0,0,1];=----A [10;72;37;9];=--b ([,])

=U rref A b