北京高考三角函数知识要点

三角函数知识要点

1. 角的概念的推广：正角、负角、零角. (角为任意实数)

2. 终边相同的角的表示：注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等 （1）终边在y 轴上的角：,2

k k Z π

απ=+

∈；

（2）终边在坐标轴上的角可表示为：,2

k k Z π

α=

∈； （3）终边在第一象限的角22,2k k k Z π

απαπ⎧⎫<<+

∈⎨⎬⎩

⎭

3. 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2

11||22

S lR R α==，

其中α为圆心角，1弧度(1rad)57.3≈. 4. 任意角的三角函数的定义：

设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点）

，它与原点的距离是r =，

那么sin ,cos y x r r αα=

=， ()tan ,0y

x x

α=≠，cot x y α=(0)y ≠.

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关.

5. 单位圆与三角函数线：正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT 可证明：当02

π

α<<

时，sin tan ααα<<，（提示用三角函数线借助三角形扇形面积关系证明）

反映在三角函数图象上：sin ,,tan y x y x y x ===在,22ππ⎛⎫

-

⎪⎝⎭

上有且只有一个公共点. 6. 特殊角的三角函数值：要牢记30°,45°60°,0°,90

°,180°.270°的各三角函数值,还要会求

15°,75°的三角函数值.

（sin15︒=，sin 75︒=.

7. 同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ

θ

cos sin ，tan 1cot θθ⋅=.

8. 三角函数诱导公式的本质是2

k π

α±与α的三角函数值之间的关系：奇变偶不变（对k 而言，指k

取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）

.如 sin cos 2παα⎛

⎫

+

= ⎪

⎝

⎭,απαsin 2cos -=⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+,()ααπcos cos -=-. 9. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβ

αβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=

.

sin 22sin cos ααα=. 2

2tan tan 21tan ααα

=-，

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα

=-=-=-.

10. 三角函数的化简、计算、恒等变形的基本思路是：一角二名三结构.

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！

αy

T

A x

α B S

O M P

第二看函数名称之间的关系，通常“切割化弦”；第三观察代数式的结构特点. 基本的技巧有:

（1）巧变角（用已知角表示未知角）.

如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，

22

αβ

αβ++=⋅

，

(

)()

2

2

2αβ

β

ααβ+=-

--

等）

（2）三角函数名互化(切割化弦，或正余弦化成正切):

（3）公式变形使用（如tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±.（4）三角函数次数的降升 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=

，21cos 2sin 2

α

α-= 与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)

（5）“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan 4

π==

等

（6）正余弦“三兄妹——sin cos sin cos x x x x ±、”的关系 “知一求二”

用公式

2

(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±

11. 形如sin()y A x ωϕ=+的函数：

（1）)sin(ϕω+=x A y 图象做法: ①用五点法作图；②图象变换：平移、伸缩两个程序

(1)sin()sin()sin sin()(2)sin()()

y x y x y x

y A x y x y six x ϕωϕωϕωωϕ=+→=+==+=→=+

（2）A---振幅 2T π

ω

=

---周期 π

ω

21=

=

T f ----频率 相位--+ϕωx 初相--ϕ （3）研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数.

（4）注意()tan y A wx ϕ=+的最小正周期: T πω

= （5）变形过程中可能用到的重点公式是：

降幂扩角公式：21cos 2cos 2αα+=

，21cos 2sin 2αα-=，sin 2sin cos 2

α

αα=

辅助角公式：()sin cos a b θθθϕ+=+ (其中ϕ

角由cos ϕϕ=

=确定)，该公式在求最值、化简时起着重要作用．

12. 正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈、正切函数tan y x =的性质：