倍长中线法(加倍法)(课堂PPT)
中线的用法(倍长中线法)演示_2022年学习资料
中线的妙用-针对对象：初二学生-期末分值：8~10分学习目标-2013·台州市中考在△ABC中，AD为BC边上的中线-且AD平分∠BAC,则△ABC为-三角形。
造全等一一倍长中线法-B-倍长中线造法：延长AD到点E,使得AD=DE,连结BE或者EC。
-全等原因：SAS-注意：往左往右都可以，只连一条。
-2 20/5/24题型识别：-【例1】如图AD是△ABC的中线，求证AB+AC>2AD-出现中线-证明：延长AD到点E,使得AD=DE,-口诀：-连结BE。
-倍长中-.AD是△ABC的中线-∵BD=DC-步骤：-C·.BD=DC,∠BDE=∠ADC,-延长一倍-.△ADC≌△BDESAS-构造全等-∴.AC=E,∠E=∠1，∠EBD=∠C-边角关系-三角形两边之和大于第三边-·.AB+BE>AE-∴.AB+AC>2AD题型识别：-s【例2】如图在ABC,AB=5,AC=3,则中线AD-出现中线-的取值范围是？-口诀：-接上题，BE=AC=3,AB+AC>2AD-长中线-·三角形两边之差小于第三边-步骤：-..AB-BE<AE-延长一倍-C.·AB-BE<2AD-构造全-..AB-BE<2AD<AB+BE-角关系-..2<2AD<8-.1<AD<4题型识别：-【例3】如图在ABC,AC=5,中线AD=7,则AB边-出现中线-的取值范围是？-口诀：-接例1，BE=AC=5,-倍长中线-AE=2 D-14-步骤：-延长一倍-C·在△ABE中-构造全-AE-BE<AB<AE+BE-边角关系-.9<AB<19【例4】如图在△ABC,AB=AC,延长AB到D,使得BD=-题型识别：-出现中线-AB,取AB的中点E,连结CD和CE,求证CD=2CE。
-证明延长AE到点F,使得CE=EF,连结BF。
倍长中线法(经典例题)2上课讲义
倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE第 14 题图DF CBEAB自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。
2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠ F EAB C DABFDEC4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．5、如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
初中数学倍长中线法课件模板
方便教师共享和交流：提供一个 可共享的课件模板方便教师之间 进行交流和合作共同提高教学质 量。
倍长中线法介绍
倍长中线的定义
定义：倍长中线法是一种几何证明方法 通过延长给定线段的中线构造新的三角 形并利用中线的性质进行证明。
适用范围：适用于证明与中线有关的线段 比例、角度相等等问题。
步骤：首先找到要证明的三角形中的中线 然后延长该中线构造新的三角形最后利用 中线的性质进行证明。
理解和记忆
总结页作用： 帮助学生回顾 整个课件内容 加深对知识点 的理解和掌握
制作技巧
文字排版技巧
字体选择：选 择清晰易读的 字体如微软雅 黑、宋体等。
字号大小：根 据需要选择合 适的字号大小 确保文字清晰
可见。
行间距：设置 适当的行间距 避免文字过于 密集或稀疏。
对齐方式：选 择合适的对齐 方式如左对齐、 右对齐、居中 对齐等使文字
初中数学倍长中线法课件模 板
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CONTENTS
1 单击添加目录项标题 2 课件模板介绍 3 倍长中线法介绍 4 课件模板结构 5 制作技巧 6 使用建议
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课件模板介绍
课件模板内容
课件模板标题：初中数学倍长中线法课件模板
定义：倍长中线法是一种通过延长中线来构造全等三角形的证明方法。
适用范围：适用于证明与中点、中线相关的三角形全等问题。
步骤：首先找到中点然后通过倍长中线来构造全等三角形最后利用全等三 角形的性质进行证明。 注意事项：在倍长中线时需要注意线段的平行性和相等性确保构造的全等 三角形是正确的。
练习题页
练习题目的难度和数量要适中 练习题目要覆盖所有知识点 练习题目要有解题思路和答案 练习题目要注重实际应用和情境模拟
倍长中线法
拓展学生的解题思路
倍长中线法在数学教育中的价值
培养学生的数学思维和创新能力
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提高学生分析问题和解决问题的能 力
促进数学教育的改革和发展
感谢您的耐心观看
汇报人：
证明倍长中线法的推论
推论：倍长中线法可以证明三角形 中线定理
应用范围：适用于所有三角形包括 等腰三角形、直角三角形等
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证明过程：通过倍长中线法将三角 形分为两个小三角形然后利用相似 三角形的性质进行证明
注意事项：在应用倍长中线法时需 要保证中线的长度足够长以便进行 倍长操作
倍长中线法的几何意义
倍长中线法是利用中线的性质来证明线段相等的方法 倍长中线法的几何意义在于将线段延长一倍从而证明线段相等 倍长中线法在几何证明题中应用广泛是解决线段相等问题的重要方法之一 倍长中线法可以通过构造辅助线来证明线段相等使证明过程更加简洁明了
倍长中线法的应用场景
定义：倍长中线法是一种几何证明方法通过延长线段来证明线段相等或三角形全等 应用场景：证明线段相等、三角形全等、平行四边形性质等 适用范围：适用于各种几何图形如三角形、四边形、圆等 注意事项：在应用倍长中线法时需要仔细分析图形确定是否适用该方法
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倍长中线法
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 倍长中线法的定义
03 倍长中线法的证明
04 倍长中线法的应用
05 倍长中线法的拓展
添加章节标题
倍长中线法的定义
倍长中线法的概念
平分---倍长中线模型 课件(共15张PPT)-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
§1.1 与“中点”有关的模型
人教版中考第二轮总复习---几何模型
知识要点
目录
01 倍长中线模型 02 倍长类中线模型
03
精讲精练
模型分析
倍长中线模型
考点6-1
图形示例
考查题型
模型分析 解题原理
A (1)以线段拼成三角 当已知条件中出 找到三角形 形为背景考查新定 现中线时,常常 中线,倍长
E
F
②延长ED到点G,使得DG=DE,构造△CGD全等于△BED. B 证法一：如图,延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG.
D
C
∵点D是BC的中点 ∴BD=CD.
.∵∠BDG=∠CDA.AD=GD. ∴△ADC≌△GDB
G
∴AC=GB.∠G=∠EAF .
.∵AF=EF ∴∠EAF=∠AEF
.∵∠AEF=∠. BED. ∴∠G=∠BED
∴BE=BG ∴BE=A.C
典例精讲
倍长中线模型
证法二：如解图②,延长ED到点G,使得DG=DE,连接 CG∵. 点D是BC的中点 ∴BD=CD.
.∵∠BDE=∠CDG,DG=DE ∴△BED≌△CGD. .∴∠G=∠BED,BE=CG.
∵AF=EF. ∴∠FAE=∠AEF=∠BEG ∴∠G=∠E.AF. ∴AC=GC. ∴AC=BE.
在△ABE中,三条边的长度3、4、5是勾股数. ∴△ABE是直角三角形.
∴S△ABE=1/2×3×4=6. 根据平行四边形的性质可知S△ABC=S△ABE. ∴S△ABC=6；
提升能力
A
B
DC
E 图1
强化训练
中点问题的常见模型
(2)如图2,M为AC的中点,连接BM交AD于点F,若AM=MF.
倍长中线法
几何模型02——倍长中线法当线段出现一个中点时，特别是三角形中，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法：△ABC 中AD 是BC 边中线方式1： 延长AD 到E ， 使DE=AD ，连接BE例1.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB +AC ＞2AD ．证明：延长AD 到M ，使DM ＝AD ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝DC ，∵AD ＝DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM ＝AC ，在△ABM 中，AB +BM ＞AM ，即AB +AC ＞2AD ．例2.已知，如图△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，则中线AD 的取值范围是 ． 解：延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB ＝EC ，在△AEC 中，AC +EC ＞AE ， 且EC ﹣AC ＜AE ，即AB +AC ＞2AD ，AB ﹣AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4，故答案为：1＜AD ＜4．E D A B C练习1.如图，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是．例3.如图，△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．若BE＝3，CF＝4，试求EF的长．解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，∵在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠DBG+∠ABC＝90°，即∠ABG＝90°，∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG＝＝5．练习2.如图，已知AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB交AB于点E，DF平分∠ADC交AC于点F．求证：BE+CF＞EF．练习3.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长．练习4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD 的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6．求CE的长．例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB中点，延长AB到D，使BD＝BA，延长CE至F，使得EF＝CE．求证：CD＝2CE．证明：方法一：如右图1，取AC的中点H，连接BH，∵BD＝BA，∴BH是△ACD的中位线，∴CD＝2BH，又∵E是AB的中点，AB＝AC，∴AE＝AH＝AB，在△ABH和△ACE中，，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴CE＝BH，∴CD＝2CE．方法二：∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，在△BEF和△AEC中，，∴△BEF≌△AEC（SAS），∴BF＝AC，∠EBF＝∠A，∵AB＝AC＝BD，∴∠ACB＝∠ABC，BF＝BD，∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBD＝∠CBF，在△CBD和△CBF中，，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF，∴CF＝2CE，∴CD＝2CE．练习5.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点．求证：CD＝2CE练习6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AD是∠EAC的平分线．例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD 交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG＝CF．证明：作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，，∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．练习8.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D 作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．例6.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF＝2AD．证明：延长AD至点G，使得AD＝DG，连接BG，CG，∵AD＝DG，BD＝CD，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC＝AF＝BG，AB＝AE＝CG，∠BAC+∠ABG＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABG，在△EAF和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF＝AG，∵AG＝2AD，∴EF＝2AD．练习9.如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC中点，连接P A交EF于点Q，试探究AP与EF的数量和位置关系，并证明你的结论．方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN例7.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．证明：如图，过点D 作DG ∥AE ，交BC 于点G ；则△DGF ≌△ECF ，∴DG ＝CE ；∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ；∵DG ∥AE ，∴∠DGB ＝∠ACB ，∴∠DBG ＝∠DGB ，∴DG ＝BD ，∴BD ＝CE ．练习9.如图，△ABC 中，点D 在AB 上，E 是AC 延长线上一点，BD ＝CE ，DE 交BC 于点F ，DF ＝EF ，DP ∥AE 交BC 于点P ，求证：AB ＝AC ．F E D C B A N D C B A M课后练习1、如图1已知：AD为△ABC的中线，易证AB+AC＞2AD．（1）如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．（2）问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF交AC于点E．求证AE＝EF．2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．3.如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：（1）AE平分∠DAB；（2）AB+CD＝AD．4.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），证明：EG＝CG且EG⊥CG．（2）如图（3）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，证明：EG＝CG且EG⊥CG．5.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F，求FC的长．6.如图所示，∠BAC＝∠DAE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE，求证：AM⊥CD．7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．。
倍长中线法(加倍法)
A
例1：△ABC中，AB=5B，AC=3，求中线C
AD的取值范围。
D
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC 的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF， 求证：BD=CE
A
D
B
F
C
E
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上 一点，且BE=AC，延长BE交AC于F， 求证：AF=EF
A
F
B
D
E
C
第 1 题图
A
F E
B
D
C
例4：如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分 交AC于F.
求证：
BE + CF > EF
A
E F
B
C
D
第 14 题图
例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线， 求证：∠C=∠BAE
A
B
ED
C
1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证， AD平分∠BAE。
倍长中线法（加倍法）
知识网络详解：
中线是三角形中的重要线段之一，在利பைடு நூலகம்中线解决几 何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以 便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识 来解决问题的方法．
倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某 某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等 （对顶角）
倍长中线PPT
倍长经过中点的线段 构造全等三角形
等量延长中线 构造全等三角形
进行边的转化
进行边的转化
A
A
间接倍长法 F
直接倍长法
BD
C
BD
C
E E
如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB交AB于
E,DF平分∠ADF交AC于F，求证：BE+CF>EF
A
E F
B
C
D
第 14 题图
M
①
直接倍长法
A
BD
C
E
Ⅰ直接倍长中线
E 是 AD上一点，延长BE 交AC 于F ，BE=AC,
求证：AE=AF
A
F E
B
D
C
G
AD是BC边上的中线
A
M是AB上任意一点
﹒M
B
D
N
将MD延长一倍到N，连接CN
这时BD=CD，MD=DN
C 对顶角∠MDB=∠CDN
根据SAS得到△BMD ≌△CND 于是B M=CN
这样利用间接倍长法实现了边的转化
② 间接倍长法
A
F
BD
C
E
Ⅰ倍长经过中点的线段
Ⅱ构造全等三角形 Ⅱ构造全等三角形
想 一想
如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC， AD⊥AC，点M为BC的中点， 求证：DE=2AM
E
D
A
B
M
C
上饶市五中 周霞
已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线， 求证：2AD﹤ (AB+AC)
A
B
D
E
等量延长中线
构造全等三角形 C
进行边的转化
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B
C
D
第 14 题图
6
例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD 的中线，
求证：∠C=∠BAE
A
B
ED
C
2021/3/29
7
1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点， 求证，AD平分∠BAE。
2021/3/29
A
F
B
D
E
C
第 1 题图
8
2021/3/29
9
2021/3/29
A
2021/3/29
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
F
C
E
4
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E 是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，
求证：AF=EF
A
F E
2021/3/29
B
D
C
5
例4：如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF 平分交AC于F.
求证：B ECF EF
A
2021/3/29
E F
• 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成
SAS全等三角形模型的构造。
2021/3/29
2
例1：△ABC中，AB=5，AC=3， 求中线AD的取值范围。
A
2021/3/29
B
C
D
3
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E 在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，
求证：BD=CE
10
倍长中线法（加倍法）
2021/3/29
1
• 知识网络详解：
• 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线 解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加 辅助线．
• 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一 倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 形的有关知识来解决问题的方法．
• 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某 等于某某，使什么等于什么（延长的那一条）， 用SAS证全等（对顶角）