证明三角形难题
全等三角形证明难题
FE DCBA1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ，AC =DF ，BE =CF ． 求证∠A =∠D ．４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。
５．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF.AD C B1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．求证DC ∥AB ．2．如图，△ABC ≌△A B C '''，AD ，A D ''分别是△ABC ，△A B C '''的对应边上的中线，AD 与A D ''有什么关系？证明你的结论．3．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．4．已知：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ．5．已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。
求证：△AFD ≌△CEB ．6．已知，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。
求证：△ABD ≌△ACE ．AC EDBAE B CFDAB CD2A CBE1H F ED CB A 7．已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC ∥DF ．8．已知:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．9．如图, 在△ABC 中, 分别延长中线BE 、CD 至F 、H, 使EF ＝BE, DH ＝CD, 连结AF 、AH ． 求证：(1) AF ＝AH ；(2)点A 、F 、H 三点在同一直线上； (3)HF ∥BC.10．如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, AC ＝BC, 直线EF 交AC 于F, 交AB 于E, 交BC 的延长线于D, 连结AD 、BF, CF ＝CD. 求证：BF ＝AD, BF ⊥AD.11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）AB E F12．证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．13.已知：如图，正方形ABCD ，BE =CF ，求证：(1)AE =BF ； （2）AE ⊥BF . 14．已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分∠EBC ，交CD 于F ，求证BE=AE+CF.（提示：旋转构造等腰）15.如图,△ABD 和△ACE 是△ABC 外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.（1）判断CD 与BE 有怎样的数量关系;（2）探索DC 与BE 的夹角的大小.（3）取BC 的中点M ，连MA ，探讨MA 与DE 的位置关系。
全等三角形证明题及答案15道
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即：∠EAD=∠BAC，
在△EAD和△BAC中
∠B=∠E AB=AE
∠BAC=∠EAD ，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴BC=ED．
全等三角形的判定与性质．
如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF， AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．
∴△BCF≌△CBD（ASA）． 全等三角形的判定．
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF． 求证：AD是△ABC的角平分线．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE=Rt△DCF=90°． BD=DC BE=CF ， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴DE=DF， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是角平分线．
直角三角形全等的判定
如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点 P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D， E，已知DC=2，求BE的长．
∵∠ABC=∠BAC=45° ∴∠ACB=90°，AC=BC ∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90° ∴∠DAC=∠BCE 又∵∠ADC=∠CEB ∴△ACD≌△CEB ∴BE=CD=2．
：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， 在△ABC和△ADC 中， AB=AD ∠BAC=∠DAC AC=AC ， ∴Fra bibliotekABC≌△ADC．
全等三角形的判定．
9.如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF， AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△DEF．
八年级全等三角形证明经典50题含答案
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2AD BC证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGDEF ＝CGB ACDF21E∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF∴∠B ＝∠CFE∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180°∴∠D ＝∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC ＝∠FAC∵AC ＝AC∴△ADC ≌△AFC （SAS ）∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCAD BCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3∴AD=28.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
三角形相似证明基础50题
33、如图,已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E、F在AB 上,∠ECF=45°.（1）求证:△ACF∽BEC；（2）设△ABC的面积为S，求 证:AF·BE=2S.
45° A E F B C
34、如图，在ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且 ∠BFE=∠C.（1）求证:△ABF∽△EAD；（2）若AB=4,∠BAE=30°，求AE 的长；（3）在（1）（2）的条件下,若AD=3,求BF的长.
CD的中点，△ADQ与△QCP是否相似？为什么？
5、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交 BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
6、如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交 AB、
7、已知：如图，D是△ABC的边AC上一点，且CD=2AD，AE⊥BC于E, 若BC=13, △BDC的面积是39, 求AE的长。
8、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB，AD交BC于点E， DC⊥BC，与AD交于点D． 求证：AC2＝AE·AD．
B C D A E
9、已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E是 AC边的中点，ED的延长线与AB的延长线交于点F． 求证：△AFD ∽△DFB．
B C D M N E A
40、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上 点,且满足AB2=DB·CE. （1）求证:△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数
A B C E D
45、如图ΔABC中,∠C=900, BC = 8cm, AC = 6cm,点P从B出发,沿BC方 向以2cm/s的速度移动,点Q从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若P、 Q分别同时从B、C出发,经过多少时间以C、P、Q为顶点的三角形与以C、 B、A为顶点的三角形相似? 9分
第1讲 三角形的证明章末重难点题型(原卷版)
第1讲三角形的证明章末重难点题型【题型通关】【考点1 等腰三角形的性质（分类讨论思想）】【方法点拨】解决此类问题的关键要注意分类讨论思想．【例1】（谢家集区期末）等腰三角形的周长为14cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．4cm B．5cm C．4cm或5cm D．4cm或6cm【变式1-1】（郑州期末）等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．40°B．70°C．40°或70°D．40°或140°【变式1-2】（东城区校级期末）等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm．则等腰三角形的腰长为（）A．2cm B．8cmC．2cm或8cm D．以上答案都不对【变式1-3】（殷都区期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（）A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．120°、30°或150°【考点2 等腰三角形的性质（求角度综合）】【方法点拨】解决此类问题的关键要掌握等腰三角形两底角相等（简称等边对等角），常与三角形外角的性质及三角形内角和定理结合运用．【例2】（高州市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．50°【变式2-1】（历下区期末）如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（）A．50°B．60°C．70°D．80°【变式2-2】（广饶县期末）如图，△AA1B中，AB＝A1B，∠B＝20°，A2，A3，A4，A5，…A n都在AA1的延长线上，B1，B2，B3，B4…分别在A1B，A2B1，A3B2，A4B3，…上，且满足A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，A4B4＝A4A5，…，依此类推，∠B2019A2020A2019＝．【变式2-3】（叙州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝；（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．【考点3 等腰三角形的性质（三线合一）】【方法点拨】解决此类问题的关键要掌握等腰三角形两底角相等（简称等边对等角），常与三角形外角的性质及三角形内角和定理结合运用．【例3】（江油市期末）如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（）A．5B．4C．3D．2【变式3-1】（丰城市期末）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M．（1）求∠E的度数．（2）求证：M是BE的中点．【变式3-2】（宁都县期末）如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=12∠B．【变式3-3】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN；（2）若D为BC的中点，DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明．【考点4 等腰三角形的性质（作等腰三角形）】【例4】（随县期末）已知：如图，下列三角形中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③【变式4-1】（海门市一模）线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．7【变式4-2】（安陆市期末）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．4条C．3条D．2条【变式4-3】（鼓楼区月考）如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有个．【考点5 等边三角形的性质（含30°直角三角形）】【方法点拨】掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．【例5】（大洼区期末）如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝2，D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点F 作EF ⊥BC 于点E ，则BE 的长为（ ）A ．1B ．32C ．54D ．43 【变式5-1】（济南期末）如图，点P 、M 、N 分别在等边△ABC 的各边上，且MP ⊥AB 于点P ，MN ⊥BC 于点M ，PN ⊥AC 于点N ，若AB ＝12cm ，求CM 的长为 ．【变式5-2】（五常市期末）如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，DE ⊥AB 于点E ，EF ⊥BC 于点F ．若CD ＝3AE ，CF ＝6，则AC 的长为 ．【变式5-3】（南岗区校级月考）如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥AB 分别交BC 、AC 于点D 、E ，过点E 做EF ⊥DE ，交线段BC 的延长线于点F ．（1）求证：CE ＝CF ；（2）若BD =13CE ，AB ＝8，求线段DF 的长．【考点6 等边三角形的判定与性质综合】【例6】（雨花区校级月考）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA 延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO ＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④【变式6-1】（龙泉驿区期末）如图，C为线段AE上一动点，（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．求证：（1）AD＝BE（2）△APC≌△BQC（3）△PCQ是等边三角形．【变式6-2】（烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【变式6-3】（东台市期末）在等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN ＝60°，∠BDC ＝120°，BD ＝DC ．探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系．（1）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM ＝DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ；此时Q L = ；（2）如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（ I ）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，探索BM 、NC 、MN 之间的数量关系如何？并给出证明．【考点7 共点等腰（手拉手模型）】【例7】（垦利区期中）已知：如图，在△ABC ，△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD ＝CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE +∠DBC ＝45°；④∠ACE ＝∠DBC ．其中结论正确的个数有（ ）A．1B．2C．3D．4【变式7-1】（滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO 平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【变式7-2】（常德期末）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．【变式7-3】（上蔡县校级期中）已知Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作Rt△ADE，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，连接CF．（1）发现问题如图①，当点D在边BC上时．①请写出BD和CE之间的数量关系为，位置关系为；②求证：CE+CD＝BC（2）尝试探究如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BC、CE、CD之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明．（3）拓展延伸如图③，当点D在CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段CD的长．【考点8 直角三角形斜边中线】【方法点拨】掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【例8】（蚌埠期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（）A．10°B．12°C．15°D．18°【变式8-1】（包河区期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE ＝AC，∠BAE＝15°，则∠COE＝度．【变式8-2】（余姚市期末）如图，AD是△ABC的高线，且BD=12AC，E是AC的中点，连结BE，取BE的中点F，连结DF，求证：DF⊥BE．【变式8-3】（重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【考点9 逆命题和逆定理】【例9】（临颍县期中）下列命题中错误的是（）A．任何一个命题都有逆命题B．一个真命题的逆命题可能是真命题C．一个定理不一定有逆定理D．任何一个定理都有逆定理【变式9-1】（桥西区校级月考）下列说法：（1）“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”互为逆定理；（2）命题“如果两个角相等，那么它们都是直角”的逆命题为假命题；（3）命题“如果﹣a＝5，那么a＝﹣5”的逆命题为“如果﹣a≠﹣5，那么a≠﹣5”，其中正确的有（）A．0个B．1 个C．2个D．3个【变式9-2】（太平区期末）下列命题的逆命题是假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．等边三角形的三个内角都相等C．两个全等直角三角形的对应角相等D．直角三角形的两个锐角互余【变式9-3】（端州区期末）下列命题的逆命题能成立的有（）①两条直线平行，内错角相等；②如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；③全等三角形的对应角相等；④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．A．4个B．3个C．2个D．1个【考点10 反证法证明】【例10】（偃师市期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（）A．三角形中有一个内角小于60°B．三角形中有一个内角大于60°C．三角形中每个内角都大于60°D．三角形中没有一个内角小于60°【变式10-1】（河北模拟）求证：两直线平行，内错角相等．如图1，若AB∥CD，且AB、CD被EF所截，求证：∠AOF＝∠EO′D．理论依据1：内错角相等，两直线平行；理论依据2：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．以下是打乱的用反证法证明的过程：①如图2，过点O作直线A'B'，使∠A′OF＝∠EO′D，②依据理论依据1，可得A'B'∥CD，③假设∠AOF≠∠EO′D，④∴∠AOF＝EO′D．⑤与理论依据2矛盾，假设不成立．证明步骤的正确顺序是（）A．①②③④⑤B．①③②⑤④C．③①④②⑤D．③①②⑤④【变式10-2】（渭南期中）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．求证：∠1＝∠A+∠B．【变式10-3】（滦南县期末）阅读下列文字，回答问题．题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．【考点11 直角三角形全等的判定】【方法点拨】直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【例11】（桑植县期末）下列命题中：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式11-1】（大港区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE＝∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB＝CE；④AD﹣BE＝DE．正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）．【变式11-2】（北流市期末）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD ⊥CE的结论是否成立，并说明理由．【变式11-3】（沧州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE 于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．【考点12 线段垂直平分线的应用】【方法点拨】线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键【例12】（沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（）A．4.5B．5C．5.5D．6【变式12-1】（郫都区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC 的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【变式12-2】（百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【变式12-3】（萍乡期末）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB 于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【考点13 角平分线的性质】【方法点拨】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，解决此类问题的关键在于作垂线. 【例13】（大名县期中）如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝cm．【变式13-1】（永嘉县校级期中）如图，AC，BC分别平分∠BAE，∠ABF，若△ABC的高CD＝8，则点C 到AE，BF的距离之和为．【变式13-2】（长沙月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE ＝24，BC＝12，则DE等于（）A．10B．7C．5D．4【变式13-3】（碑林区校级期末）如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（）A．64B．48C．32D．42【考点14 角平分线的性质与判定综合】【方法点拨】掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解决此类问题的关键.【例14】（兴隆县期中）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（）A．70°B．120°C．125°D．130°【变式14-1】（福田区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°③∠ACB＝2∠APB；④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝ACA．1个B．2个C．3个D．4个【变式14-2】（龙岗区期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【变式14-3】（崇川区校级期末）如图，△ABC的角平分线AE，BF交于O点．（1）若∠ACB＝70°，则∠BOA＝；（2）求证：点O在∠ACB的角平分线上．（3）若OE＝OF，求∠ACB的度数．。
全等三角形证明经典60题
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠24. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=ACADBC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求ADBA CDF2 1 ECDB A8. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB9. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠210. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=ACADBC11. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C12. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
BA CDF2 1 ECDB A13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABDCBAFEP D ACB16. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE17. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC18．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 19．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBAFAED C B20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．21．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．23．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AEDP EDCBA OEDCBAD CBA的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．25、（10分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
三角形综合证明解答题30题(有答案)ok
三角形综合解答题专项练习30题1．已知，如图，∠1=∠2，AD⊥BD于D，∠ACB=90°，AC=BC，证明：AD=BE．2．如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠BAD=∠CAE，求证：PD=PE．3．已知，如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H 是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．求证：（1）BF=AC；（2）CE=BF．4．如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H．（1）求证：CD=CG；（2）若AD=CG，求证：AB=AC+BH．5．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．试猜想BD 与CE有何关系？并证明你的猜想．6．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：BF=AC+AF．7．如图1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，（1）△BCE≌△CAD的依据是_________（填字母）；（2）猜想：AD、DE、BE的数量关系为_________（不需证明）；（3）当BE绕点B、AD绕点A旋转到图2位置时，线段AD、DE、BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论．8．如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，线段BE与CD相交于点O，连接OA．（1）求证：BE=DC；（2）求∠BOD的度数；（3）求证：OA平分∠DOE．9．已知：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥AF于点．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）过点作AH⊥BF于点H，求证：CF=EH．10．探究题：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于（2）FG与FE有何数量关系？请证明你的结论．11．如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．12．如图（1），△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）请说明：△ADC≌△CEB．（2）请你探索线段DE，AD，EB间的等量关系，并说明理由；（3）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，其它条件不变，线段DE，AD，EB又有怎样的等量关系？（不必说理由）．13．已知，如图：四边形ABCD中，E在BC边上，AB=EC，∠B=∠C=∠AED．（1）求证：△AED是等腰三角形；（2）当∠B=∠C=∠AED=90°时，求证：AB2+BE2=AE2．14．如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF．15．已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点，连接CM，求证：（1）△CEM≌△BDM；（2）△MDE是等腰直角三角形．16．如图△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．（1）求证：AB∥CQ．（2）是否存在点P使得AQ⊥CQ？若存在，指出P的位置；若不存在，说明理由．17．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD（1）试说明CE=CF．（2）△BCE与△DCF全等吗？试说明理由．（3）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求CE的长．18．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D．（1）△ACD≌△CBE．（2）若AD=2.5cm，DE=1.1cm．求BE的长．19．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，点D是AC的中点，AE⊥BD于点F，交BC于点E，连接DE．求证：（1）∠BAF=∠ADB；（2）∠ADB=∠EDC．21．已知如图，△ABC是等边三角形，边长为6，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，求AD的长．22．如图：△ABD和△ACE都是Rt△，其中∠ABD=∠ACE=90°，C在AB上，连接DE，M是DE中点，求证：MC=MB．23．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．24．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB ．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．25．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．（1）求证：BG=CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．26．（1）如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．①求证：△ABP≌△ACQ；②若AB=6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．（2）已知，△EFG中，EF=EG=13，FG=10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF′G′的位置，点M是边EF′与边FG的交点，点N在边EG′上且EN=EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．27．已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．28．如图甲，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）说明△ADC≌△CEB．（2）说明AD+BE=DE．（3）已知条件不变，将直线MN绕点C旋转到图乙的位置时，若DE=3、AD=5.5，则BE=_________．29．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．30．如图1，△ABC和△CDE为等边三角形．（1）求证：BD=AE；（2）若等边△CDE绕点C旋转到BC、EC在一条直线上时，（1）中结论还成立吗？请给予证明；（3）旋转到如图2位置时，若F为BD中点，G为AE中点，连接FG，求证：①△CFG为等边三角形；②FG∥BC．参考答案：1．证明：在Rt△ABD和Rt△NBD中，，∴△ABD≌△NBD（ASA），∴AD=ND=AN，∵∠ACB=90°∴∠3+∠AED=∠AED+∠2，∴∠3=∠2，在△ACN和△BCE中，，∴△ACN≌△BCE（ASA），∴BE=AN，∴AD=BE2．证明：如图，分别取AB、AC的中点M、N，连接DM、PM、PN、NE．∵点P为△ABC的边BC的中点，∴PM为△ABC的中位线，∴PM=AC．又∵NE为直角△AEC斜边上的中线，∴NE=AN=AC，∴MP=NE．同理DM=PN．∵DM=AM，∴∠1=∠3，∴∠5=2∠1（三角形外角定理）．同理，∠6=2∠2．又∠1=∠2，∴∠5=∠6．又PM∥AC，PN∥AB，∴∠7=∠9，∠8=∠9，∴∠7=∠8，∴∠5+∠7=∠6+∠8，即∠DMP=∠PNE，∴在△MDP与△NPE 中，，∴△MDP≌△NPE（SAS），∴PD=PE．3.（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°﹣45°=45°=∠DBC，∴BD=DC，在△BDF和△CDA中∵，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF=AC；（2）证明：∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，在△AEB和△CEB中∵，∴△AEB≌△CEB（ASA），∴AE=CE，即CE=AC，∵由（1）知AC=BF，∴CE=BF4．（1）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵∠ACB=90°，∠AED=∠BEC，∴∠CAD=∠DBH，∵∠BCG=∠DCA，∵在△ACD和△BGC中∴△ACD≌△BGC（ASA），∴CD=CG；（2）证明：延长EC到F使CF=CE，如图，∵△AGC≌△BCD∴AG=BD，∵CG=BD，∴AG=CG，∴∠GAC=∠GCA，∵△CDG为等腰直角三角形，∴∠CGD=45°，∴∠GAC=22.5°，∵AC⊥BC，CF=CE，∴△AEF为等腰三角形，∴∠FAC=∠EAC=22.5°，∵△ABC为等腰直角三角形，∵∠CAB=45°，∠ABC=45°，∴∠FAB=22.5°+45°=67.5°，∴∠F=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠F=∠FAB，∴AB=BF，而BF=BC+CF=AC+CE，∴AB=AC+CE．5．解：BD和CE的关系是BD=CE，BD⊥CE，证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠CBM+∠ACB=90°，∴∠ACE+∠CBM+∠ACB=90°，∴∠BMC=90°，∴BD⊥CE，即BD=CE，BD⊥CE．证明：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，则DN=DF（角平分线性质），DB=DC（线段垂直平分线性质），又∵DF⊥AB，DN⊥AC，∴∠DFB=∠DNC=90°，在Rt△DBF和Rt△DCN中∵，∴Rt△DBF≌Rt△DCN（HL）∴BF=CN，在Rt△DFA和Rt△DNA中∵，∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）∴AN=AF，∴BF=AC+AN=AC+AF，即BF=AF+AC7．（1）解：AAS．（2）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵AD⊥DE，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE，又AC=BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，BE=CD，DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（3）解：DE=CD﹣CE=BE﹣AD．证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵AD⊥DE，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE，又AC=BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，BE=CD，DE=CD﹣CE=BE﹣AD8．（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，即∠BAE=∠DAC．在△ABE和△ADC中∵∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE=DC．（2）解：由（1）知：△ABE≌△ADC，∴∠ADC=∠ABE∴∠ADC+∠BDO=∠ABE+∠BDO=∠BDA=60°∴在△BOD中，∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBA﹣∠ABE=180°﹣∠DBA﹣（∠ADC+∠BDO）=180°﹣60°﹣60°=60°．（3）证明：过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．∵由（1）知：△ABE≌△ADC，∴S△ABE=S△ADC∴∴AM=AN∴点A在∠DOE的平分线上，即OA平分∠DOE．9．证明：（1）∵AE⊥AF，∠CAB=90°，∴∠EAF=∠CAB=90°∴∠EAF﹣∠EAC=∠CAB﹣∠EAC即∠BAE=∠CAF，∵CF⊥BD，∴∠BFC=90°=∠CAB，∴∠BDA+∠ABD=90°，∠DCF+∠FDC=90°，∵∠ADB=∠FDC，∴∠ABD=∠DCF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），（2）∵由（1）知△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∵∠EAF=90°，∴∠AHF=∠AHE=90°=∠CFH，∴∠EAH=180°﹣∠AHE﹣∠AEF=45°=∠AEF，∴AH=EH，∵D为AC中点，∴AD=CD，在△ADH和△CDF中，，∴△ADH≌△CDF（AAS），∴AH=CF，∴EH=CF10．解：（1）DF∥BC，理由是：∵AF平分∠BAC，∴∠CAF=∠DAF，在△CAF和△DAF中，∴△CAF≌△DAF（SAS），∴∠ADF=∠ACF，∵CE⊥AB，∠ACB=90°，∴∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90°，∠B+∠BCF=90°，∴∠B=∠ACF=∠ADF，∴DF∥BC．（2）FG=EF，证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，CE⊥AB，∴∠AGF=∠ACB=90°，∴FG⊥AC，∵CE⊥AB，AF平分∠CAB，∴FG=EF．11．（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BC．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD 是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．12．解：（1）理由：因为∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°，∠ACB=90°，所以∠ACD+∠BCE=90°．又AD⊥MN，BE⊥MN，则∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC+∠ACD=90°．故∠DAC=∠ECB而AC=CB．所以△ADC≌△CEB（AAS）．（2）等量关系：DE=AD+EB．理由：由（1）知△ADC≌△CEB．则AD=CE，DC=EB．因为DE=CE+DC，所以DE=AD+EB．（3）等量关系：DE=AD﹣EB13．（1）证明：∵∠B=∠C=∠AED，设∠B=∠C=∠AED=α∴∠1+∠2=180°﹣α，∠2+∠3=180°﹣α，∴∠1=∠3，在△ABE和△ECD中，∴△ABE≌△ECD（AAS）∴AE=DE，即△AED是等腰三角形．（2）解：∵∠B=90°，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE2 14．证明：延长ED到H，使DE=DH，连接CH，FH，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线，∴∠1=∠4=∠ADB，∠3=∠5=∠ADC，∴∠1+∠3=∠4+∠5=∠ADB+∠ADC=×180°=90°，∵∠1=∠2，∴∠3+∠2=90°，即∠EDF=∠FDH，在△EFD和△HFD中，，∴△EFD≌△HFD（SAS），∴EF=FH，在△BDE和△CDH中，，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH，∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF＞EF15．证明：（1）∵∠ACB=90°，BC=AC，∴∠A=∠B=45°，∵M是AB的中点，∴CM⊥AB，∠ACM=∠BCM=45°，CM=BM=AM，∴∠DBM=∠ECM，∵在△CEM和△BDM中，，∴△CEM≌△BDM（SAS）；（2）∵△CEM≌△BDM，∴EM=DM，∠EMC=∠DMB，∵∠DMC+∠DMB=90°，∴∠DMC+∠EMC=90°，即∠DME=90°，∴△MDE是等腰直角三角形16．（1）证明：∵△ABC和△APQ都是等边三角形，∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAQ﹣∠PAC，∴∠BAP=∠CAQ，在△ABP和△ACQ中，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠ACQ=∠B=∠BAC=60°，∴AB∥CQ；（2）存在点P使得AQ⊥CQ，当P为BC中点时符合，理由是：∵由（1）知，△ABP≌△ACQ，∴∠ACB=∠AQP=∠ACQ=∠B=∠BAC=60°，BP=CQ，∵P为BC中点，∴PC=BP=CQ，∴∠CQP=∠QPC=（180°﹣∠PCQ）=×（180°﹣60°﹣60°）=30°，∵△APQ是等边三角形，∴∠AQP=60°，∴∠AQC=60°+30°=90°，∴AQ⊥QC，即存在点P使得AQ⊥CQ，当P为BC中点时符合．17．解（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF．（2）△BCE≌△DCF．理由是：∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴△BCE与△DCF都是直角三角形，在Rt△BEC和Rt△DFC中∵，∴Rt△BEC≌Rt△DFC（HL）；（3）∵Rt△BEC≌Rt△DFC，∴BE=DF，∵CF⊥AF，CE⊥AB，∴∠F=∠CEA=90°，∵AC平分∠BAF，∠FAC=∠EAC，在△FAC和△EAC中∵，∴△FAC≌△EAC（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则AE=21﹣x，DF=x，AF=9+x，∴21﹣x=9+x，∴x=6，即BE=6，在Rt△BCE中，∵BC=10，BE=6，∴由勾股定理得：CE=818．解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE 于D，∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCE=90°﹣∠BCE，∠CBE=90°﹣∠BCE，（三角形内角和定理）∴∠ACD=∠CBE，在△ACD与△CBE中，∴△ACD≌△CBE（AAS）．（2）由（1）知，△ACD≌△CBE，∴CE=AD=2.5BE=CD=CE﹣DE=AD﹣DE=2.5﹣1.1=1.4．答：BE的长是1.4cm．19．解：BD平分EF，理由是：证法一、连接BE、DF．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BD平分EF；证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DEG（AAS），∴EG=FG，即BD平分EF．20．（1）证明：∵∠BAC=90°，∴∠BAF+∠DAF=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFD=90°，∴∠DAF+∠ADB=90°，∴∠BAF=∠ADB．（2）证明：过C作CM⊥AC，交AE的延长线于M，则∠ACM=90°=∠BAC，∴CM∥AB，∴∠MCE=∠ABC=∠ACB，∵∠BAF=∠ADB，∠ADB+∠FAD=90°，∠ABD+∠BAF=90°，∴∠ABD=∠CAM，在△ABD和△CAM中∵，∴△ABD≌△CAM（ASA），∴∠ADB=∠M，AD=CM，∵D为AC中点，∴AD=DC=CM，在△CDE和△CME中，∵，∴△CDE≌△CME（SAS），∴∠M=∠EDC，∵∠M=∠ADB，∴∠ADB=∠EDC．21．解：由△ABC是等边三角形得，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°又∵DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，∴△DEF为等边三角形，∴△ADF≌△DEB≌△EFC，∴AD=BE=CF，∵FD⊥AB，∠AFD=30°，∴AD==，解得：AD=2．答：AD的长为2．22．证明：延长CM、DB交于G，∵△ABD和△ACE都是Rt△，∴CE∥BD，即CE∥DG，∴∠CEM=∠GDM，∠MCE=∠MGD又∵M是DE中点，即DM=EM，∴△ECM≌△DMG，∴CM=MG，∵G在DB的延长线上，∴△CBG是Rt△CBG，∴在Rt△CBG 中，23．证明：（1）∵AD∥BE，∴∠A=∠B，在△ACD和△BEC中∴△ACD≌△BEC（SAS），（2）∵△ACD≌△BEC，∴CD=CE，又∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE24．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），∴∠BEC=∠BDC=90°，∴∠ABD+∠BAC=90°，∠ACE+∠BAC=90°（垂直定义），∴∠ABD=∠ACE（等角的余角相等），在△ABP和△QCA 中，∴△ABP≌△QCA（SAS），∴AP=AQ（全等三角形对应边相等）．（2）由（1）可得∠CAQ=∠P（全等三角形对应角相等），∵BD⊥AC（已知），即∠P+∠CAP=90°（直角三角形两锐角互余），∴∠CAQ+∠CAP=90°（等量代换），即∠QAP=90°，∴AP⊥AQ（垂直定义）25．证明：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG=∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG=CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD，BG=CF．又∵DE⊥FG，∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．26．解：（1）①证明：∵△ABC和△APQ是正三角形，∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ．∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAQ﹣∠PAC．∴∠BAP=∠CAQ．所以△ABP≌△ACQ．（3分）②3（5分）（2）解法一：过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．在△EFG中，易得EH=12．（6分）类似（1）可证明△EFM≌△EGN，（7分）∴∠EFM=∠EGN．∵∠EFG=∠EGF，∴∠EGF=∠EGN，∴GE是∠FGN的角平分线，（9分）∴点E到直线FG和GN的距离相等，∴点E到直线GN的距离是12．（10分）解法二：过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．过点E作直线GN的垂线，点K为垂足．在△EFG中，易得EH=12．（6分）类似（1）可证明△EFM≌△EGN，（7分）∴∠EFM=∠EGN．可证明△EFH≌△EGK，（9分）∴EH=EK．所以点E到直线GN的距离是12．（10分）解法三：把△EFG绕点E旋转，对应着点M在边FG上从点F开始运动．由题意，在运动过程中，点E到直线GN的距离不变．不失一般性，设∠EMF=90°．类似（1）可证明△EFM≌△EGN，∴∠ENG=∠EMF=90°．求得EM=12．∴点E到直线GN的距离是12．（酌情赋分）27．（1）证明：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°，在△EBD和△FCD中，∴△EBD≌△FCD（SAS），∴ED=DF，∵∠EDF=60°，∴△EDF是等边三角形，∵△EBD≌△FCD，∴∠EDB=∠FDC，∵在△NBD和△FCD中，∴△NBD≌△FCD（SAS），∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠EDB=∠FDC，∴∠EDB=∠BDN=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，∴△EDN≌△EDF（SAS），∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即△EDF是等边三角形，BE+CF=EF．（2）解：BE+CF=EF还成立，理由是：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，∵在△NBD和△FCD中，∴△NBD≌△FCD（SAS），∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，∴△EDN≌△EDF（SAS），∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即BE+CF=EF．28．（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，∵∠ADC=∠BEC，AC=BC，∴△ADC≌△CEB．（2）证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE．（3）证明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中∵，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DE=3、AD=5.5，∴BE=CD=CE﹣DE=2.5．故答案为：2.529.（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC，BE=AF．∴EF=EB+CF．（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC=3，BE=AF=10．∴EF=AF﹣CF=10﹣3=730．（1）证明：∵等边三角形ABC和等边三角形CDE，∴AC=BC；CD=CE，∠ACE=∠DCE﹣∠ACD=60°﹣∠ACD=∠ACB﹣∠ACD=∠BCD，在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD，∴BD=AE，（2）（1）中的结论仍然成立，证明如下：∵BC=AC；CD=CE，∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+60°=∠ACD+∠ACB=∠BCD，在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD，∴BD=AE，（3）①∵△ACE≌△BCD，∴∠CBM=∠CAN；AE=BD，∵M是BD中点，N是AE中点，∴BM=AN，又BC=AC，∴△ACN≌△BCM，∴CM=CN；∠BCM=∠ACN，∴∠MCN=∠ACM+∠ACN=∠ACM+∠BCM=∠ACB= 60°，∴=60°，∴△CMN是等边三角形，②∵△ACE≌BCD，∴∠CDF=∠CEG，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCF=60°=∠ECG，又CD=CE，∴△DCF≌△ECG，∴CF=CG，∴∠CGF=∠CFG==60°=∠DCE，∴FG∥BC．。
(难度大)全等三角形证明有答案
全等三角形50道精选难题1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB2. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2AD BC3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGDEF ＝CGB ACDF21 E∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF∴∠B ＝∠CFE∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180°∴∠D ＝∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC ＝∠FAC∵AC ＝AC∴△ADC ≌△AFC （SAS ）∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCAD BCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=28.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
(完整word版)北师大版七年级数学下册三角形难题全解
来源：2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）考点：三角形如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；（ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，∴AE⊥BF．（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF来源：2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）考点：四边形如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB,已知△ABE≌△ADF.（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF 的位置；（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.【答案】（1）绕点A旋转90°；（2）BE=DF，BE⊥DF．【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质（1）根据旋转的概念得出；（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．（2）BE=DF，BE⊥DF；延长BE交DF于G；由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；又∠AEB=∠DEG；∴∠DGB=∠DAB=90°；∴BE⊥DF．来源：2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）如图，在△a bc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f.1.求的度数；2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.【答案】1.∠BFD=∠ABF+∠BAD （三角形外角等于两内角之和）∵∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，∴∠BFD=∠ABC=30°；2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）∵EH⊥BE，∴∠HEB=90°，∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°．【解析】1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小，2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．三角形强化训练和深化☣1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是_________°．解析：由题意可知折叠前，由BC//AD得：∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后，∠GEF=∠DEF=25°所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90°则由：∠DGF+∠GFC=180°所以：∠GFC=180°－50°＝130°将纸带再沿BF第二次折叠成图C后∠GFC角度值保持不变且此时：∠GFC＝∠EFG+∠CFE所以：∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=1052、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．解法1：【解析】证明：∵∠BAC=900AD⊥BC∴∠1=∠B∵CE是角平分线∴∠2＝∠3∵∠5＝∠1+∠2∠4＝∠3+∠B∴∠4＝∠5∴AE＝AF过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N∴MN//AB∵FG//BD∴四边形GBDF为平行四边形∴GB=FN∵AD⊥BC,CE为角平分线∴FD=FM在Rt△AMF和RtNDF中∴△AMF≌△NDF∴AF＝FN∴AE＝BG解法2：解：作EH⊥BC于H，如图，∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，∴EA=EH，∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，∴∠B=∠DAC，∵∠AEC=∠B+∠ECB，∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，∴AE=AF，∴EG=AF，∵FG∥BC，∴∠AGF=∠B，∵在△AFG和△EHB中，∠GAF=∠BEH∠AGF=∠BAF=EH，∴△AFG≌△EHB（AAS）∴AG=EB，即AE+EG=BG+GE，∴AE=BG．3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．解：作CF⊥AB于F，交AD于G ，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，∵CE⊥AD，∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，∴∠1=∠2，在△AGC和△CEB中∠1=∠2AC=CB∠ACG=∠CBE，∴△AGC≌△CEB（ASA），∴CG=BE，∵AD为腰CB上的中线，∴CD=BD，在△CGD和△BED中CG=BE∠GCD=∠BCD=BD，∴△CGD≌△BED（SAS），∴∠CDA=∠EDB．4、如图，已知AD和BC相交于点O ，且均为等边三角形，以平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。
三角形证明精华题(含答案)
三角形证明经典题精华(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形AD BC∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）B ACDF21 E∴△EFD≌△CGDEF＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF∴∠B ＝∠CFE∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180°∴∠D ＝∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC ＝∠FAC∵AC ＝AC∴△ADC ≌△AFC （SAS ）∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE7. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDB ACDF21 EDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGDEF ＝CG∠CGD ＝∠EFD又EF ∥AB∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG又 EF ＝CG∴EF ＝AC8. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE∵AD 平分∠BAC∴∠EAD ＝∠CAD∵AE ＝AC ，AD ＝AD∴△AED ≌△ACD （SAS ）∴∠E ＝∠C∵AC ＝AB+BD∴AE ＝AB+BD∵AE ＝AB+BE∴BD ＝BE∴∠BDE ＝∠E∵∠ABC ＝∠E+∠BDE∴∠ABC ＝2∠E∴∠ABC ＝2∠C12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
全等三角形难题集锦
全等三角形难题集锦1.已知△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥XXX于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
1）证明BF=AC；2）证明CE=BF/2；3）推导CE与BC的大小关系。
2.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF。
1）当点D在边BC上时，证明BD=CF和AC=CF+CD；2）当点D在边BC的延长线上时，AC≠CF+CD，AC、CF、CD之间存在什么数量关系；3）当点D在边BC的延长线上时，补全图形并直接写出AC、CF、CD之间的数量关系。
3.在△ABC中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC。
△EFP的边FP也在直线l上，XXX与XXX重合，且EF=FP。
1）通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；2）将△EFP沿直线l向左平移到图中的位置时，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明猜想；3）将△EFP沿直线l向左平移到图中的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，猜想并说明BQ与AP的数量关系和位置关系是否仍然成立。
4.△AOB，△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º。
1）在图1中，证明AC与BD相等且垂直；2）当△COD绕点O顺时针旋转到图2的位置时，AC与BD不相等且不垂直；3）当△COD绕点O顺时针旋转到图3的位置时，AC与BD不相等但仍然垂直。
复“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”XXX是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．解答：1）由已知得，∠QAP=∠BAC。
全等三角形证明100题(经典)
1：已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点， AD 是整数，求AD 长。
2：已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB:3：已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2:4：已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
A BC DEF 21 DABC ADB CBA CDF2 1 E7：P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB8：已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE9：已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC10：如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．FAED C BP DACB11：如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA:12：如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由．13：已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：14：如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
求证：△AED≌△BFC。
15：如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
OEDC BAFED CBAMFECBA16：AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。
最新全等三角形证明经典10题((含答案)
全等三角形证明经典10题(含答案)1 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．2.如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。
3.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=24.已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2ADBCA BCDE1.证明：连接BF和EF∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) ∴BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴三角形ABF和三角形AEF全等。
∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
5.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC证明：过C作CG∥EF交AD的延长线于点GCG∥EF，可得，∠EFD＝CGDDE＝DC∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGDEF＝CG ∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CGBACDF21EABC DEF21EDC B A F又 EF ＝CG ∴EF ＝AC6.已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C7.如图所示,△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,AE 是BC 边上的中线,过C 作CF ⊥AE, 垂足为F,过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D.求证:(1)AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD 的长.8.如图(1), 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E 试说明: BD=DE+CE9已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE证明：在AC上取一点D，使得角DBC=角C∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD∴AC – AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，∴AE垂直BD∵BE⊥AE∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD∴点E也是BD的中点∴BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．（1）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF；（2）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF．。
三角形证明难题
B AB 全等的证明专训1、在Rt △ACB 中，AC=BC,点O 是斜边AB 的中点，，将一个直角的顶点放在点O 处，两直角边分别交AC 、BC 于M 、N （1）求证：CM+CN=AC(2) 若点M 、N 分别在AC 、CB 的延长线上，其它条件不变,问（1）中的结论还是否成立？说明理由。
2、 在△ABC 中，AB=AC,AC ⊥AB,，过点C 做AB 的平行线m ，取直线BC 上一点P ，连接AP ，过P 做AP 的垂线，交直线m 于点E ，再过点P 做BC 的垂线，交直线AC 于点F ，点F 在线段CA 的延长线上时，求证：CF-CE=AC3、 如图1,在四边形ABCD 中，AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=CD,∠C=60°，DH ⊥BC 于点H,点E 是BC 上一点，连接AE,将△ABE 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，射线EF 交CD 所在直线于点M ，（1）若点M 在CD 边上时求证：FM-DM=CH4、已知AB=AC,∠BAC=90°，将一,45和射线AQ,过点C 作AC 的垂线交AQ 于N;过点B （1）如图1当射线AP 和射线AQ 在∠BAC （2）如图2当射线AP 和射线AQ 在AB 两侧时（由。
（3）如图3当射线AP 和射线AQ 在∠BACA5、已知AB=AC,∠BAC=90°，过点C 作AC 的垂线交射线AR 于点E,将△ACE 以AR 为轴向上翻折,翻折后点C 落在点G 处,再过点B 作AB 的垂线,交射线AG 于点D, （1）如图1当射线AR 与射线AG 都在∠BAC 的内部时,求证：AD=BD+CE （2）如图2当射线AR 在∠BAC 的内部,射线AG 在的∠BAC 外部时,（1）的结论还是否成立，说明理由。
（3）如图3当射线AR 与射线AG 都在∠BAC 的外部时（1）的结论还是否成立，说明理由。
6、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且1()2AE AB AD =+,求∠ABC+∠ADC 的度数。
全等三角形证明(有难度)
全等三角形证明（有难度）1．如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，CE为△ACD的角平分线，EF⊥BC于点F,EF 交CD于点G,求证：BE=CG．2．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）3．如图，在四边形ABCD中，连接AC，AC=BC，E是AB上一点，且有CE=CD，AD=BE．（1）求证：∠DAC=∠B；（2）若∠ACB=90°，∠ACE=29°，求∠BCD的度数．4．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边三角形（顶点A、D、E按逆时针方向排列）连接CE。
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系。
5．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量．．及位置．．关系，并证明你的猜想．6．已知，在△ABC 中，∠ACB=2∠B ．（1）如图，当AD 为∠BAC 的角平分线时，求证:AB=AC+CD（2）如图，当AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想加以证明．ABC DE7．已知，如图，△ABC 为等边三角形，AE=CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q.（1）求证：BE=AD（2）求的度数； （3）若PQ=3，PE=1，求AD 的长．8．BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高，P 在BD 的延长线上，且BP=AC ，点Q 在CE 上，CQ=AB ．求证：（1）AP=AQ ；（2）AP ⊥AQ ．PQE ACB DBPQ ∠9．如图，AB ＝AC ，AE ＝AF ，∠BAC ＝∠EAF ＝90°，BE 、CF 交于M ，连AM ．⑴求证：BE ＝CF ；⑵求证：BE ⊥CF ；⑶求∠AMC 的度数．10．如图，已知，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。
专题01 三角形的证明【易错题型专项训练】解析版
专题01 三角形的证明【易错题型专项训练】易错点一：等腰三角形性质与判定1.已知三角形三个内角度数如图所示，试画一条直线MN ，将这个三角形分割成两个等腰三角形． 【难度】★★ 【解析】【总结】本题考查了等腰三角形的分割，注意从多个角度考虑．2.如图，在下列三角形中，若AB =AC ，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）．【难度】★★ 【答案】B ．【解析】A 选项，作B ∠的角平分线即可；C 选项，作A ∠的角平分线即可；D 选项， 作72BAD ∠=︒交BC 于点D ．【总结】本题考查了等腰三角形的分割，注意从多个角度考虑．3.（1）如果等腰三角形中有一个角为120°，另外两个角的度数为________； （2）如果等腰三角形中有一个角为30°，另外两个角的度数为____________． 【难度】★★【答案】（1）30︒、30︒；（2）30︒、120︒或75︒、75︒．【解析】（1）120︒只能为等腰三角形的顶角，所以另外两个角的度数为30︒、30︒； （2）当30︒为等腰三角形的底角时，另外两个角的度数为30︒、120︒；当30︒为等腰三角形的顶角时，另外两个角的度数为75︒、75︒． 【总结】本题考查了等腰三角形的性质，注意要分类讨论．4.（1）等腰三角形的两边长分别为6厘米和12厘米，它的周长为________； （2）等腰三角形的两边长分别为8厘米和12厘米，它的周长为___________． 【难度】★★【答案】（1）30厘米；（2）28厘米或32厘米．【解析】（1）由三角形的存在性可知6厘米为底，12厘米为腰，所以周长为30厘米；（2）当8厘米为腰时，周长为28厘米；当12厘米为腰时，周长为32厘米．【总结】本题考查了三边关系的运用，注意考虑三角形的存在性问题．5.已知等腰三角形的周长为24 cm，其中一边长为7 cm ，则与它相邻的另一边长（）A．7 cm或10 cm B．8.5 cm或7 cmC．7 cm或10 cm或8.5 cm D．10 cm或8.5 cm.【难度】★【答案】C．【解析】当7 cm为腰时，底边为10 cm；当7 cm为底时，腰为8.5 cm，所以另一边长为7 cm或10 cm或8.5 cm.【总结】本题考查了等腰三角形的性质，注意分类讨论和考虑三角形的存在性问题．6.等腰三角形中，AB的长是BC长2倍，三角形的周长是40，求AB的长．【难度】★★【答案】16．【解析】设BC xx x xAB=；x=，∴16++=，解得：8=，当AB为腰时，2240=，则2AB x当AB为底时，2+=，∴三角形不存在．x x x【总结】本题考查了等腰三角形的周长的确定，注意分类讨论．7.已知下列语句：①有一个角为300，腰长相等的两个等腰三角形全等．②有一个角为1100的腰长相等的两个等腰三角形全等．③腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等．④底角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑤一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑥顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑦底和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等．其中不能判断两个等腰三角形全等的方法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★★【答案】B．【解析】①30︒可以作为底角也可以作为顶角，所以不全等，其余正确．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形全等的判定，当给出的角是锐角时，注意分类讨论．8.如图，已知D是等边三角形ABC的边AB边延长线上一点，BD的垂直平分线HE交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗?试说明理由．【难度】★★【解析】//H HG BC AE G 过点作，交于点．60//6060,903018030,22ABC A ABC AB AC HG BC AHG ABC AHG A AHG HG AG AHHE BD AHE BH DHGHE AHE AHG GEH AHE A GHE GEH EG HG AG AHCE AE AC AG AC AH ∆∴∠=∠==∴∠=∠=︒∴∠=∠=︒∴∆∴==∴∠=︒=∴∠=∠-∠=︒∠=︒-∠-∠=︒∴∠=∠∴===∴=-=-=-是等边三角形，，，，为等边三角形，为的垂直平分线，，，，222.AC AB BH ACAB BH AB BH DH AD =+-=+=++=【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，注意辅助线的添加．9.如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且BD =AE ，EB 与CD 相交于点O ．EF 与CD 垂直于点F ，试说明OE =2OF ．【难度】★★【解析】60F OFG OE G ∠=︒过点作，交于点60(..)60609030ABC A ABC AB BC AB BCABE BCD A ABC AE BD ABE BCD S A S ABE BCDADO ABC BCD ADO BOD ABE BOD ABC EOF OFG OG OF GFEF CD OFE OEF ∆∴∠=∠=︒==⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠=︒∴∠=︒∴∆∴==⊥∴∠=︒∴∠=︒∠是等边三角形，，在与中，，，又为等，，，，边三，角，形，，302.GFE OEF GFE GE GF OF OE OG GE OF =︒∴∠=∠∴==∴=+=，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用，注意对方法的选择． 易错点二:直角三角形的性质与判定1.（1）等腰三角形底角是75°，腰长为9，则此三角形的面积是_______；（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____________． 【难度】★★ 【答案】（1）481；（2）30°或150°． 【解析】（1）∵等腰三角形底角是75°，∴顶角为30度，则腰上的高为29，则三角形的面 积为48129921=⨯⨯；（2）注意分锐角三角形和钝角三角形两种情况分类讨论．【总结】考察直角三角形的性质．注意等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形． 2.（1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________； （2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________； （3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________． 【难度】★★【答案】（1）5或7；（2）512；（3）215．【解析】（1）3和4可以是两直角边长，也可以是一个直角边和斜边； （2）由勾股定理可得：斜边长为5，则由等面积法可知：三角形斜边上的高为512543=⨯； （3）∵2、2、4不能构成三角形，所以三角形的三边长为4、4、2， 作等腰三角底边上的高，则由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可得：底边上的高为15，则由等面积法可知：此三角形腰上的高为2154152=⨯． 【总结】考察等腰三角形的性质和勾股定理的应用，注意分类讨论．3.已知已直角三角形的周长为2，求这个直角三角形的面积．【难度】★★【答案】52．【解析】∵斜边上的中线为2，所以斜边长为4．∵直角三角形的周长为4+26，∴两直角边之和为26． ∵斜边长为4，则两直角边的平方和为16，∴设两直角边分别为x y ，，则有⎩⎨⎧=+=+261622y x y x ，解得：()()52222=+-+=y x y x xy ，∴直角三角形的面积为25． 【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意方法的运用．4.如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?【难度】★★ 【答案】24秒．【解析】过A 做AB ⊥MN ，垂足为B ．在Rt △ABP 中，∠QPN =30°，160=AP ，∴8021==AP AB∵80<100，所以学校会受到噪音的影响．假设在C 处开始受到噪音影响，在D 处开始不受影响， ∴100100==AD CA ，由勾股定理可得：60==BD CB ∴受影响的路程为120米=0.12千米∴学校受影响的时间为秒2436001812.0=⨯． 【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意对题意的分析．5.如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．【解析】解：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．6.如图，OC平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，点P在OC上且有PD=PE．求证：∠PDO=∠PEB．【解析】证明：过点P作PF⊥OA，PH⊥OB，∵OC平分∠AOB，∴PF=PH，在Rt△PDF和Rt△PEH中，，∴△PDF≌△PEH（HL），∴∠PDO=∠PEB．易错点三：两外角角平分线模型应用1.如图，在△ABC中，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，那么∠BDC与∠A的数量关系是_____________.【答案】90°-∠A．【解析】解：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线，∴∠CBD=（∠A+∠ACB），∠BCD=（∠A+∠ABC），∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°-（2∠A+180°-∠A）=90°-∠A．即∠BDC=90°-∠A，故答案为：∠BDC=90°-∠A．2.如图，已知射线ox与射线oy互相垂直，B，A分别为ox、oy上一动点，∠ABx、∠BAy的平分线交于C．问：B、A在ox、oy上运动过程中，∠C的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由．【解析】解：∠C的度数不会改变．∵∠ABN、∠BAM的平分线交于C，∴∠C=180°-（∠1+∠2）=180°-（∠ABN+∠BAM）=180°-（∠O+∠OAB+∠BAM）=90°-∠O=45°．3.如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E（1）填空：①如图1，若∠B=60°，则∠E=______；②如图2，若∠B=90°，则∠E=______；（2）如图3，若∠B=α，求∠E的度数；（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．【解析】（1）①根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°，再根据角平分线的定义可得∠F AC﹣∠ACE=30°，可求∠E的度数；②根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=90°，再根据角平分线的定义可得∠F AC﹣∠ACE=45°，可求∠E的度数；（2）根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=12α，再根据角平分线的定义可得∠F AC﹣∠ACE=12α，可求∠E的度数；（3）根据角平分线的定和义可得三角形的外角性质可得∠G=∠HAC﹣∠ACG=32∠F AC﹣32∠ACE=32（∠F AC﹣∠ACE），可求∠G的度数．【详解】（1）①∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°．∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠F AC=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，∴∠E=∠F AC﹣∠ACE=12∠B=30°；②∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°．∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠F AC=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，∴∠E=∠F AC﹣∠ACE=12∠B=45°；（2）∠DAC﹣∠ACB=∠B=α．∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠F AC=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，∴∠E=∠F AC﹣∠ACE=12∠B=12α；易错点四：利用角平分线的性质求点到直线的距离1.如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，则AB与CD间的距离为_______.【答案】4cm【解析】解：如图，过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O是∠ACD与∠BAC的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=2 cm，∵AB//CD，∴AB与CD间的距离=OF+OG=2+2=4 cm.故答案为：4 cm.2.如图，已知在△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，且BD，CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP，OM，ON的大小关系为___________．【答案】OP=ON=OM．【解析】解：∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N∴OP=ON，OP=OM∴OP=ON=OM．故填OP=ON=OM．易错点五：利用角平分线的性质求三角形的周长1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE 的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由.【解答】解：能，过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长.理由：如图，∵CD⊥AC于C，DE⊥AB于E又∵AD平分∠BAC∴CD＝ED，AC＝AE在Rt△DEB中，∠B＝45°，∴DE＝BE△BOE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋CD＋BE∴AC＝BC又∵BD＋CD＝BC∴BD＋CD＝AC∴BD＋CD＝AE∴△BOE的周长＝AE＋BE＝AB2.如图，在中,，分别是和的角平分线，且，，则的周长是_______.【答案】5．【解答】∵分别是和的角平分线，∴，.∵，，∴，，∴，，∴，∴的周长．易错点六：利用角平分线的性质证明线段相等1.已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．（1）PC和PD有怎样的数量关系是．（2）请你证明（1）得出的结论．【解答】解：（1）PC=PD．（2）过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴∠CFP=∠DEP=90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE=PF，∵∠1+∠FPD=90°，（直角三角板）又∵∠AOB=90°，∴∠FPE=90°，∴∠2+∠FPD=90°，∴∠1=∠2，在△CFP和△DEP中，∴△CFP≌△DEP（ASA），∴PC=PD．2.如图，为△ABC平分线上的一点，点D和E分别在AB和BC上，且PD＝PE，试探究∠BDP与∠BEP的数量关系，并给予证明.【解析】解：过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N由角分线性质得PM＝PN在Rt△DPM和Rt△EPN中，PD＝PE，PM＝PN∴Rt△DPM≌Rt△EPN(HL)，∴∠ADP＝∠BEP，又∠BDP＋∠ADP＝180°∴∠BDP＋∠BED＝180°易错点七：利用角平分线的性质解决面积问题1.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是_______．【答案】31.5．【解析】解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OD=OE=OF，∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB=×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB=×OD×（BC+AC+AB）=×3×21=31.5．故填31.5．2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，则DE的长为______cm.【答案】2【解析】解：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF，∵△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，∴S△ABC=AB•DE+AC•DF=28，即×20×DE+×8×DF=28，解得DE=2cm．故答案为：2易错点八：角平分线的判定应用1.如图，在△ABC中，点P是角平分线AD、BE的交点.求证：点P在∠C的平分线上.【解析】证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ，P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN，∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线．2.如图：在△ABC中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点D．求证：点D在∠A的平分线上．【解析】解：过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB，交AB延长线于F，作DG⊥AC，交AC延长线于G，∵BD是∠CBF的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF，同理可得DE=DG，∴DF=DG，又∵DF⊥AB，DG⊥AC，∴点D在∠BAC的角平分线上．。
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A
D
E
C
B
N
O
B
A
C M N
O
B
C A
M 《三角形的证明》练习题
3、如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点，AB=3AD ，DE ⊥BC 于点E ，AE 、CD 相交于点F ．
（1）求证：△ACD ≌△BAE ；
（2）请你过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ，探究CF 与FG 之间的数量关系，并证明．
5、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于F ，
求证：∠CAF ＝∠B
6、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°E 为AB 的中点，且DE ⊥AB 于F ，∠CAD ︰∠BAD ＝1︰2，
试求∠B 和∠BAC 的度数。
8、如图所示，已知AD//BC ，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，直线DC 过点E 交AD 于点D ，交BC 于点C ，
求证：（1）E 为DC 的中点；（2）AD ＋BC=AB.
例
1：在Rt △ACB 中，AC=BC,点O 是斜边AB 的中点，，将一个直角的顶点放在点O 处，两直角边分别交AC 、BC 于M 、N
（1）求证：CM+CN=AC
（2）(2) 若点M 、N 分别在AC 、CB 的延长线上，其它条件不变,问（1）中的结论还是否成立？说明理由。
A B
C D E
F
A
C B D
E
m F
E C
B
A
P
m
F
E
C
B
A
P
F
E
C
B
A
P
例2. 在△ABC中，AB=AC,AC⊥AB,，过点C做AB的平行线m，取直线BC上一点P，连接AP，过P做AP的垂线，交直线m于点E，再过点P做BC的垂线，交直线AC于点F，
（1）如图1，点F在线段CA的延长线上时，求证：CF-CE=AC
(2)图（2）
点F在线段CA的上时，AC、CE、CF三条
线段的数量关系为
（3）图（3）点F在线段AC的延长线上时，AC、CE、CF三条线段有怎样的数量关系？说明理由。
例3. 如图：在△ACB中，∠BAC=90°,AB=AC, 分别过B、C两点做过点A的直线的垂线，垂足为D、E，
（1）如图当D、E两点在直线BC的同侧时，求证：BD+CE=DE.
如图当
(2)
D、E两点在
直线BC的两侧时，BD、CE、DE三条线段的数量
关系为
例4. 如图：在∠EAF的平分线上取点B做BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P,顺时针做∠PBQ=2∠ABC,另一边交AE于点Q,
（1）当点P在点A右侧时，求证：AQ+AP=2AC
H M
F
B C A D
E H M
F
B C
A D E
P （图3）
N
A
C
B
M （2） 当点P 在点A 左侧时，AQ 、AP 、AC 三条线段的数量关系为
例5. 如图1,在四边形ABCD 中，AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=CD,∠C=60°，DH ⊥BC 于点H,点E 是BC 上一点，连接AE,将△ABE 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，射线EF 交CD 所在直线于点M ，
（1）若点M 在CD 边上时求证：FM -DM=CH
(2) 若点M 在CD 边的延长线上时，FM 、DM 、CH 三条线段有怎样的数量关系？ 说明理由。
6. 已知：如图所示，直线MA NB MAB ∠∥，与NBA ∠的
平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 与两条直线MA NB 、分别相交于点D E 、．
（1）如图1所示，当D E 、都在AB 的同侧时，求证：BE+AD=AB
（2）如图2所示，当D E 、都在AB 的两侧时，BE 、AD 、AB 三条线段的数量关系为
7. 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ， AD 平分∠BAC ，，求证：AB+BD=AC ．
8.已知AB=AC,∠BAC=90°，将一,45°角的顶点与点A 重合,两边分别为射线AP 和射线AQ,过点C 作AC 的垂线交AQ 于N;过点B 作AB 的垂线交AP 于M,连接MN
（1）如图1当射线AP 和射线AQ 在∠BAC 内部时，求证BM+CN=MN
（2）如图2当射线AP 和射线AQ 在AB 两侧时（1）的结论还是否成立，说明理由。
（3）如图3当射线AP 和射线AQ 在∠BAC 外部时（1）的
结论还是否成立，说明理由。
9
°，过点C 作AC 的垂线交射线AR 于点E,将△ACE 以AR 为轴向上翻折,翻折后点C 落在点G 处,再过点B 作AB 的垂线,
交射线AG 于点D,
（1）如图1当射线AR 与射线AG 都在∠BAC 的内部时,求证：AD=BD+CE （2）如图2当射线AR 在∠BAC 的内部,
射线AG 在的∠BAC 外部时,（1）的结论还是否成立，说明理由。
（3）如图3当射线AR 与射线AG 都在∠BAC 的外部时（1）的结论还是否成立，说明理由。
10．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且
1
()
2AE AB AD =+,求∠ABC+∠ADC 的度数。
11．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．
A 图1
12．如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE ，AB=BC ．(1)求证：AD=CE ，AD ⊥CE (2)若△DBE 绕点B 旋转到△ABC 外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明
13．如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM,求证：（1）BP=CE ； （2）试证明：EM-PM=AM.
14．点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，线段AN,MC 交于点E ，BM,CN 交于点F 。
求证：
B
E
O E
D
C
B
A
（1）AN=MB.（2）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？ （3）AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化。
15．等边△ABC ，D 为△ABC 外一点，∠BDC=120°，BD=DC ．∠MDN=60°射线DM 与直线AB 相交于点M ，射线DN 与直线AC 相交于点N ，
①当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，直接写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系．
②当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明．
③当点M 、N 在边AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系．
16．如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD
三角形趣味思考难题
1. 如图，点C 在线段AB 上，D A ⊥AB ，EB ⊥AB ，FC ⊥AB ，且DA=BC ，EB=AC ，FC=AB ，∠AFB=51°，求∠DFE 的度数.
O O F E A B A
B N
C
M
M C N
F E
2.如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE + CF。
与EF的大小关
系，并证明你的结论.
3.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD.
4.如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积。