数字信号处理习题集及答案1
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所以 的长度为 ,故应求周期 的圆周卷积 的值，即
所以
13．序列 ，序列 。
（1）求线性卷积
（2）若用基2 FFT的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT至少应取多少点？
解：（1）
所以 ，
（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为 的长度为 ；所以 得长度为 。
（1）
（2） ， ，
解：（1） ，
（2）
, k=m或k=-m
=Βιβλιοθήκη Baidu
0,其它
6．已知一个有限长序列
（1）求它的10点离散傅里叶变换
（2）已知序列 的10点离散傅立叶变换为 ，求序列
解：（1）
=1+2 =1+2
=1+2 ，
（2）由 可以知道， 是 向右循环移位2的结果，即
7、已知序列： ，求 的N点DFT。
而
所以 是将 （周期为N）延拓 次形成的，即 周期为 。
18．已知序列 和它的6点离散傅立叶变换 。
（1）若有限长序列 的6点离散傅立叶变换为 ，求 。
（2）若有限长序列 的6点离散傅立叶变换为 的实部，即 ，求 。
（3）若有限长序列 的3点离散傅立叶变换 ，求 。
解：（1）由 知， 是 向右循环移位4的结果，即
3．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。（）
解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。
计算题
4．试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）
（1） （2）
解：（1）因为 ，所以
（2）由 ，得
所以
5．计算下列序列的N点DFT：
第二章离散时间信号与系统分析基础
一、离散时间信号与系统频域分析
计算题：
1．设序列 的傅氏变换为 ，试求序列 的傅里叶变换。
解：由序列傅氏变换公式
DTFT
可以得到
DTFT
2．计算下列各信号的傅里叶变换。
（a） （b）
（c）
解：（a）
（b）
（c）
7．计算下列各信号的傅立叶变换。
（1）
（2）
（3）
【解】（1）
第一章数字信号处理概述
判断说明题：
1．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）
答：错。需要增加采样和量化两道工序。
2．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（）
答：错。受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
解：
=
1，其它
8、计算下列有限长序列 的DFT，假设长度为N。
（1）
（2）
解：（1）
(2)
三、离散傅立叶变换性质
填空题：
1．已知序列 ，序列长度 ，写出序列 的值（）。
解：
2．已知 ，则 和 的5点循环卷积为（）。
解：
3．已知 则 的
4点循环卷积为（）。
解：
证明题：
4．试证N点序列 的离散傅立叶变换 满足Parseval恒等式
（2）假定 和 的变换分别为 和 ，则
所以
（3）
第三章离散傅立叶变换
一、离散傅立叶变换定义
填空题
1．某DFT的表达式是 ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（）。
解：
2．某序列DFT的表达式是 ，由此可看出，该序列的时域长度是（），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（）。
解：N
判断说明题：
【解】这是循环卷积的另一个例子。令
图3-6中 ，N定义为DFT长度。若 ，则N点DFT为
如果我们将 和 直接相乘，得
由此可得
这个结果绘在图3-6中。显然，由于序列 是对于 旋转，则乘积 的和始终等于N。
当然也可以把 和 看作是2L点循环卷积，只要给他们增补L个零即可。若我们计算增长序列的2L点循环卷积，就得到图3-7所示序列。可以看出它等于有限长序列 和 的线性卷积。注意如图3-7所， 时
（2）
由上式得到
（3）
由于
所以
即
或
19．令 表示N点的序列 的N点离散傅里叶变换， 本身也是一个N点的序列。如果计算 的离散傅里叶变换得到一序列 ，试用 求 。
解
因为
所以
20．为了说明循环卷积计算（用DFT算法），分别计算两矩形序列 的卷积，如果 ，求
（1）两个长度为6点的6点循环卷积。
（2）两个长度为6点的12点循环卷积。
所以图3-7（e）中矩形序列 的DFT为（ ）
因为
所以
11．证明：若 为实偶对称，即 ，则 也为实偶对称。
【解】根据题意
下面我们令 进行变量代换，则
又因为 为实偶对称,所以 ，所以
可将上式写为
所以
即证。
注意：若 为奇对称，即 ，则 为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。
计算题：
12．已知 ，用圆周卷积法求 和 的线性卷积 。
解： ，
因为 的长度为 , 的长度为
9．令 表示N点序列 的N点DFT，试证明：
（a）如果 满足关系式 ，则 。
（b）当N为偶数时，如果 ，则 。
证：
（a）
N为偶数：
N为奇数：
而 中间的一项应当满足：
因此必然有
这就是说，当N为奇数时，也有 。
（b）当N为偶数：
当N为偶数时， 为奇数，故 ；又由于 故有
10．设 ，求证 。
【解】因为
根据题意
证：
5． 是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性：
证明略。
6． 长为N的有限长序列， 分别为 的圆周共轭偶部及奇部，也即
证明：
证
7．若
证： （1）
（2）
由（2） ，将 互换，则有
（这应该是反变换公式）
（用 ，且求和取主值区）
与（1）比较所以
8．若 ，求证 。
证：
而
（ 为整数）
0
所以
于是
试求 点DFT[ ]与 的关系。
解：由
可得
所以在一个周期内， 的抽样点数是 倍，相当于在 的每两个值之间插入 个其他的数值（不一定为零），而当 的整数 倍时， 相等。
17．已知 是N点有限长序列， 。现将 的每两点之间补进 个零值点，得到一个 点的有限长序列
试求 点DFT[ ]与 的关系。
解：由
可得
故FFT至少应取 点。
14．有限长为N=100的两序列
做出 示意图，并求圆周卷积 及做图。
解 示意图略，圆周卷积
15．已知 是长度为N的有限长序列， ，现将 的每两点之间补进 个零值，得到一个长为 的有限
长序列
求：DFT[ ]与 的关系。
解：因为
令
16．已知 是N点有限长序列， 。现将长度变成 点的有限长序列
所以
13．序列 ，序列 。
（1）求线性卷积
（2）若用基2 FFT的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT至少应取多少点？
解：（1）
所以 ，
（2）若用基2FFT的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为 的长度为 ；所以 得长度为 。
（1）
（2） ， ，
解：（1） ，
（2）
, k=m或k=-m
=Βιβλιοθήκη Baidu
0,其它
6．已知一个有限长序列
（1）求它的10点离散傅里叶变换
（2）已知序列 的10点离散傅立叶变换为 ，求序列
解：（1）
=1+2 =1+2
=1+2 ，
（2）由 可以知道， 是 向右循环移位2的结果，即
7、已知序列： ，求 的N点DFT。
而
所以 是将 （周期为N）延拓 次形成的，即 周期为 。
18．已知序列 和它的6点离散傅立叶变换 。
（1）若有限长序列 的6点离散傅立叶变换为 ，求 。
（2）若有限长序列 的6点离散傅立叶变换为 的实部，即 ，求 。
（3）若有限长序列 的3点离散傅立叶变换 ，求 。
解：（1）由 知， 是 向右循环移位4的结果，即
3．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。（）
解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。
计算题
4．试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）
（1） （2）
解：（1）因为 ，所以
（2）由 ，得
所以
5．计算下列序列的N点DFT：
第二章离散时间信号与系统分析基础
一、离散时间信号与系统频域分析
计算题：
1．设序列 的傅氏变换为 ，试求序列 的傅里叶变换。
解：由序列傅氏变换公式
DTFT
可以得到
DTFT
2．计算下列各信号的傅里叶变换。
（a） （b）
（c）
解：（a）
（b）
（c）
7．计算下列各信号的傅立叶变换。
（1）
（2）
（3）
【解】（1）
第一章数字信号处理概述
判断说明题：
1．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）
答：错。需要增加采样和量化两道工序。
2．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（）
答：错。受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
解：
=
1，其它
8、计算下列有限长序列 的DFT，假设长度为N。
（1）
（2）
解：（1）
(2)
三、离散傅立叶变换性质
填空题：
1．已知序列 ，序列长度 ，写出序列 的值（）。
解：
2．已知 ，则 和 的5点循环卷积为（）。
解：
3．已知 则 的
4点循环卷积为（）。
解：
证明题：
4．试证N点序列 的离散傅立叶变换 满足Parseval恒等式
（2）假定 和 的变换分别为 和 ，则
所以
（3）
第三章离散傅立叶变换
一、离散傅立叶变换定义
填空题
1．某DFT的表达式是 ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（）。
解：
2．某序列DFT的表达式是 ，由此可看出，该序列的时域长度是（），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（）。
解：N
判断说明题：
【解】这是循环卷积的另一个例子。令
图3-6中 ，N定义为DFT长度。若 ，则N点DFT为
如果我们将 和 直接相乘，得
由此可得
这个结果绘在图3-6中。显然，由于序列 是对于 旋转，则乘积 的和始终等于N。
当然也可以把 和 看作是2L点循环卷积，只要给他们增补L个零即可。若我们计算增长序列的2L点循环卷积，就得到图3-7所示序列。可以看出它等于有限长序列 和 的线性卷积。注意如图3-7所， 时
（2）
由上式得到
（3）
由于
所以
即
或
19．令 表示N点的序列 的N点离散傅里叶变换， 本身也是一个N点的序列。如果计算 的离散傅里叶变换得到一序列 ，试用 求 。
解
因为
所以
20．为了说明循环卷积计算（用DFT算法），分别计算两矩形序列 的卷积，如果 ，求
（1）两个长度为6点的6点循环卷积。
（2）两个长度为6点的12点循环卷积。
所以图3-7（e）中矩形序列 的DFT为（ ）
因为
所以
11．证明：若 为实偶对称，即 ，则 也为实偶对称。
【解】根据题意
下面我们令 进行变量代换，则
又因为 为实偶对称,所以 ，所以
可将上式写为
所以
即证。
注意：若 为奇对称，即 ，则 为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。
计算题：
12．已知 ，用圆周卷积法求 和 的线性卷积 。
解： ，
因为 的长度为 , 的长度为
9．令 表示N点序列 的N点DFT，试证明：
（a）如果 满足关系式 ，则 。
（b）当N为偶数时，如果 ，则 。
证：
（a）
N为偶数：
N为奇数：
而 中间的一项应当满足：
因此必然有
这就是说，当N为奇数时，也有 。
（b）当N为偶数：
当N为偶数时， 为奇数，故 ；又由于 故有
10．设 ，求证 。
【解】因为
根据题意
证：
5． 是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性：
证明略。
6． 长为N的有限长序列， 分别为 的圆周共轭偶部及奇部，也即
证明：
证
7．若
证： （1）
（2）
由（2） ，将 互换，则有
（这应该是反变换公式）
（用 ，且求和取主值区）
与（1）比较所以
8．若 ，求证 。
证：
而
（ 为整数）
0
所以
于是
试求 点DFT[ ]与 的关系。
解：由
可得
所以在一个周期内， 的抽样点数是 倍，相当于在 的每两个值之间插入 个其他的数值（不一定为零），而当 的整数 倍时， 相等。
17．已知 是N点有限长序列， 。现将 的每两点之间补进 个零值点，得到一个 点的有限长序列
试求 点DFT[ ]与 的关系。
解：由
可得
故FFT至少应取 点。
14．有限长为N=100的两序列
做出 示意图，并求圆周卷积 及做图。
解 示意图略，圆周卷积
15．已知 是长度为N的有限长序列， ，现将 的每两点之间补进 个零值，得到一个长为 的有限
长序列
求：DFT[ ]与 的关系。
解：因为
令
16．已知 是N点有限长序列， 。现将长度变成 点的有限长序列