2021中考总复习课件第10讲 一次函数
2021年中考专项复习课件《一次函数》(共20张PPT)
【解答】解：（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙 两人相遇，甲的速度为2400÷60=40米/分钟．
故答案为24，40；
（2）∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、 乙两人都匀速步行且同时出发，t=24分钟时甲乙两人相 遇，
∴甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟， ∴乙的速度为100﹣40=60米/分钟． 乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40分钟， 40×40=1600， ∴A点的坐标为（40，1600）．
（1）根据图象信息，当t= 的速度为 米/分钟；
分钟时甲乙两人相遇，甲
（2）求出线段AB所表示的函数表达式．
【分析】（1）根据图象信息，当t=24分钟时 甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速 度=路程÷时间可得甲的速度；
（2）由t=24分钟时甲乙两人相遇，可得甲、 乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，减 去甲的速度得出乙的速度，再求出乙从图书馆 回学校的时间即A点的横坐标，用A点的横坐标 乘以甲的速度得出A点的纵坐标，再将A、B两 点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段 AB所表示的函数表达式．
【分析】（1）由图可知，当x≥30时，图 象是一次函数图象，设函数关系式为 y=kx+b，使用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，从图象上看，30小时以内 的上网0＜75＜90，当y=75 时，代入（1）中的函数关系计算出x的值 即可．
8.（2018•盐城）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲 从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速 步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y （米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
A．y=2x﹣4 B．y=2x+4
第10讲-一次函数的图象与性质(课件)-2024年中考数学一轮复习讲练测(全国通用)全文编辑修改
）
C．一、三、四
D．二、三、四
【详解】解：∵正比例函数 = ( ≠ 0)的函数值随的增大而减小，
∴ < 0，∴− > 0,2 < 0，
∴一次函数 = − + 2的图象所经过第一，三，四象限，故选：C．
【对点训练1】（2022·河南南阳·统考三模）若一元二次方程x2−4x+4m=0有两个相等的实数根，则
y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变
化情况.
➢ 会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
稿定PPT
命题预测
一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要
的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各
地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在
一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方
程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面
y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.
考点一 一次函数的相关概念
1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0； 2）x的次数为1； 3）常数b可以取任意实数.
2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.
y随x的增大而减少
y
y
y
y
y
图象
x
O
经过象限
与y轴交点位置
x
O
x
x
O
O
b>0
b=0
b<0
b>0
一、二、三
一、三
一、三、四
一、二、四
y
x
O
b=0
第10讲 一次函数
简记为“左加右减,上加下减”.
知识点四
常用方法
步骤
确定一次函数的表达式
待定系数法
(1)设函数表达式;(2)列方程(组);(3)解方程(组),确定待定系数;(4)写出函数表达式
常见类型 (1)已知两点坐标;(2)已知两对对应值;(3)利用平移规律;(4)利用实际问题中的数量关系
知识点五
一次函数与方程(组)、不等式的关系
待定系数法求函数表达式.
(2)表格型应用题:分析表格中数据,从表格中提取两组量,应用待定系数法求函数表达式.
(3)图象型应用题:从函数图象上找出两点,将其坐标代入求函数表达式;若函数为分段函数,则要注意
取同段函数图象上的两点,依此方法分别求各段函数的表达式,最后记得加上对应自变量的取值范围.
(4)方案选取问题:根据表达式分类讨论,比较几个方案在不同取值下的最优结果.
解:(1)当 x=100 时,y=- ×100+13=9,
∴B(100,9).
设线段 BC 的表达式为 y=kx+b(k≠0),
则
= ,
= + ,
解得
= + ,
=- ,
∴线段 BC 的表达式为
y= x- (100≤x≤140).
(2)如果从甲地到乙地全程为260 km,包括60 km限速为50 km/h的省道和200 km限速为120
A
B
C
D
)
[变式2] (2022眉山)一次函数y=(2m-1)x+2的值随x的增大而增大,则点P(-m,m)所在象限为(B
)
A.第一象限
中考复习第10课时一次函数的图象与性质课件
＞
<
0)的解集.
3．一次函数与方程组之间的关系：两直线的交点是两个一次 函数关系式 y＝k1x＋b1 和 y＝k2x＋b2 所组成的方程组 y＝k1x＋b1，
y＝k2x＋b2 的解.
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第10课时┃ 一次函数的图象与性质
豫 考 探 究
► 热考一 一次函数的性质
例1 [2010· 河南] 写出一个y随x增大而增大的一次函 数的关系式：答案不惟一，如y＝2x＋3等 .
解 析
根据函数的图象可知m－1＜0，求出m的取
值范围是m＜1.故选B.
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第10课时┃一次函数的图象与性质 ► 热考二 一次函数与一元一次不等式
例2 [2012· 河南] 如图 10－5，函数 y＝2x 和 y＝ax＋4 的图象相交于点 A(m，3)，则 不等式 2x＜ax＋4 的解集为( A ) 3 A．x＜ B．x＜3 2 3 C．x＞ D．x＞3 2
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第10课时┃一次函数的图象与性质
3．如图 10－3 所示，观察两个函数在同 一坐标系中的图象并填空：当 x 满 足 0≤x<3 时， y1 的值大于 y2 的值； 当 x 满足 x＝3 时，y1 与 y2 的值相 等；当 x 满足 小于 y2 的值.
x>3
时，y1 的值
考点聚焦
b个单位. 下移
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第10课时┃ 一次函数的图象与性质
3．性质
字母 函数 取值 k>0 y＝kx (k≠0) k<0 图象 经过的 象限 函数性质 y随x增大而 增大
一次函数的概念,图像和性质复习(2021年整理)
一次函数的概念,图像和性质复习(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（一次函数的概念,图像和性质复习(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为一次函数的概念,图像和性质复习(word版可编辑修改)的全部内容。
一次函数的概念，图像和性质一次函数的概念 一般地，解析式形如y=kx+b （k,b 是常数，且0≠k ）的函数叫做一次函数. 一次函数的定义域是一切实数。
当b=0时，y=kx （0≠k ）是正比例函数.一般地，我们把函数y=c(c 为常数）叫做常值函数。
Y=—1，π=y ，2)(=x f 都是常值函数。
二、一次函数的图像1.正比例函数y=kx （k ≠0，k 是常数)的图像是经过O （0,0)和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）。
（1）当k ＞0时,图像经过原点和第一、三像限；（2)k ＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2。
一次函数y=kx+b (k 是常数，k ≠0)的图像是经过A （0,b ）和B （-kb，0）两点的一条直线,当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k ＞0，b ＞0时,直线经过第一、二、三像限，如图13—18A （2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限,如图13-18B （3）k ＜0，b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k ＜0，b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13—18D3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b （k ≠0)，当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0，b ）,因此b 叫直线在y 轴上的截距。
2024年中考数学一轮复习课件---一次函数的图象与性质
. ＋ =
得
，解之，得
，
=
. ＋ =
∴y＝25x＋15；
（2）当这种树的胸径为0.3 m时，其树高是多少？
解：（2）当x＝0.3 m时，y＝25×0.3＋15＝22.5（m）.
∴当这种树的胸径为0.3 m时，其树高为22.5 m.
类型二 一次函数的图象及性质
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.（2023·鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图
所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子
“帅”位于点（－2，－1）的位置，则在同一坐标系下，经过
棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ A ）
A.y＝x＋1
B.y＝x－1
过第二、四象限，
直线与 y 轴交点在原
点，正比例函数
名称
一次函数
k＜0，y
当b＜0时，图象经过
图象 随 着 x 的
第二、三、四象限，
性质 增
直线与y轴交点在负
大
而 减小 .
半轴.
注意点
（1）一次函数图象与x轴夹角（锐角）与比例系数k之间的
关系：
k＝tan
1 −2
α＝
；k＝－tan
1 − 2
位同学的对话得出的结论，错误的是（ C ）
A.k＞0
C.k＋b＞0
第10题图
B.kb＜0
1
D.k＝－ b
2
11.（2023·安徽月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝
ax＋a2与y＝a2x＋a的图象可能是（ D ）
A.
B.
C.
D.
中考总复习数学10-第一部分 第10讲 平面直角坐标系与函数
返回题型清单
返回栏目导航ຫໍສະໝຸດ 3.(2022·石家庄国际学校模拟)如图,直线a⊥b,若以平行于a的直线为x轴,以
平行于b的直线为y轴,建立平面直角坐标系,若A(-3,2),B(2,-3),则坐标系的
原点最有可能是( B )
A.O1
B.O2
C.O3
D.O4
1
2
3
4
第10讲
平面直角坐标系与函数— 题型突破
返回题型清单
和分类讨论思想是解答本题的关键.尤其是实际背景下的
函数问题,如果涉及分段函数,需要根据自变量的不同取值
范围分类进行求解,还需要关注函数与方程(不等式)的联系.
1
2
3
4
5
第10讲
平面直角坐标系与函数— 题型突破
返回题型清单
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3.(2022·石家庄新华区模拟)用max , 表示a,b两数中较大的数,如
标公式为
x +x y1+y2
,
(如图③).
第10讲
平面直角坐标系与函数— 考点梳理
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考点 2 函数及其自变量取值范围
1.函数的相关概念
(1)变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量.
(2)常量:在某一变化过程中保持相同数值的量.
(3)函数:一般地,在一个变化过程中如果有两个变量x和y,并且对于x的每一
值范围,根据函数关系式的特点来确定正确的函数图象.
1
2
3
4
5
第10讲
平面直角坐标系与函数— 题型突破
拔高追问
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当x等于何值时,函数值y最大?
初三数学中考专题复习 一次函数 复习课 课件(共18张PPT)
的交点坐标为(－1，0)，直线l2与y轴的交点坐标为(0，-2)，求
直线l1、l2的解析式；
解 设直线 l1 的解析式为 y1＝k1x＋b1 有
30＝＝－2k1k＋1＋b1b，1，得kb11＝＝11，，
∴y1＝x＋1.
同理：直线
l2
的解析式为
5 y2＝2x－2.
对应训练: 一次函数的图象过点(0,2)，且函数y的值随自变量
2. 一次函数y＝x+2的图象不经过 ( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
k的符号决定函数的增减性，k>0时，y随x的增大而增大， k<0时，y随x的增大而减小；b的符号决定图象与y轴交点在 原点上方还是下方(上正，下负)．
3． 若实数a、b、c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数
符号：
k > 0 ,b > 0. k > 0 ,b < 0. k < 0 ,b > 0. k < 0 ,b__<_0. 5.已知一次函数y=kx-k,若y随x的增大而减小，则该函数的 图象经过（ B ） A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
（2）一次函数y=kx+b (k≠0) 图象的位置由k、b值来同时 确定，具体的位置有以下4种情况，性质由k的符号来确定， k的符号决定直线的倾斜方式、倾斜方式决定一次函数的 性质。尤其：k相等时，两直线平行；反之，两直线平行， 则k相等。
知识点 3、一次函数解析式的求法
确定一次函数的解析式，用待定系数法。
y随x的增 大而减小
连接中考
考点一 一次函数的概念
1．下列函数中是正比例函数的是 ( A )
最新【中考总复习】专题一次函数(共35张PPT)课件ppt
的三角形是等腰三角形。请直接写出P点坐标．
考点6 一次函数的应用（考查频率：★★★☆☆）
15．（2013湖北黄冈）钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态 化巡逻．某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行 驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障扣除后，该艇加快速度仍 匀速前进，结果恰好准时到达． 如图是该艇行驶的路程y(海里)与所用时间t(小时
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时； （2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区。请问甲组的汽车在排除故障 时，距出发点的路程是多少千米？
中等
正比例函数
(0，b)
增大 减小
越大
值为0
自变量的取值范围
交点的坐标
一次函数的表达式
考点1 待定系数法（考查频率：★★★★★） 命题方向：（1）已知一个点的坐标，求正比例函数解析式；（2）已知两个点， 求一次函数解析式；（3）综合其它函数知识一起考查．
D
A
3．（2013湖南永州）已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点 A(1，－1)，B(－1，3)两点，则k ＜ 0(填“>”或“<”)．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．则（y120＞13广东y珠2(海填）“＞已”或知“函＜数”或y＝“＝3x”的). 图象经过点A(－1，y1)、点B(－2，y2)，
7．（2013福建福州）A、B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐
标分别为A(x＋a，y＋b)，B(x，y)，下列结论正确的是（ B ）
)的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是 7∶00 ．
第10讲 一次函数-2020届广东九年级数学中考总复习课件 (共25张PPT)
分层训练
A组
13.（2019沈阳）已知一次函数y＝（k+1）x+b的图象
如图1-10-4，则k的取值范围是
（ B）
A.k＜0
B.k＜-1
C.k＜1
D.k＞-1
14.（2019天津）直线y＝2x-1与x轴的
交点坐标为______________．
B组 15.（2018成都）为了美化环境，建设宜居成都，我市 准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查, 甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间 的函数关系如图1-10-5，乙种花卉的种植费用为每平 方米100元.直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的 函数关系式.
4.（2018广东改编）如图1-10-1，已知直线y=x+m过 点（0，-3），求出一次函数的解析式.
解：一次函数的解析式为y=x-3.
考点三：一次函数与方程、不等式的关系
5.（2014广州）已知正比例函数y=kx（k＜0）的图
象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则
下列不等式恒成立的是
A.（2，2）
B.（2，3）
（ D）
C.（2，4）
D.（2，5）
2.（2019陕西）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x
的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴ຫໍສະໝຸດ 的交点坐标为 A.（2，0）
B.（-2，0）
（ B）
C.（6，0）
D.（-6，0）
考点二：求一次函数的解析式 3.（2016广东改编）在直角坐标系中，直线y=kx+1 （k≠0）经过点P（1，2）.求k的值. 解：k=1.
第一部分 知识梳理
第三章 函 数
2020-2021学年数学北师大版九年级下册中考复习专题课件一次函数(共23张PPT)
19 中山初中数学教研共同体
积极 务实 高效 专业
一次函数
学习要求
y
l
l2
EC B
O
D
A
x
1. 会求一次函数解析式；
2. 会确定一次函数图象的位置； 3. 会求点的坐标； 4. 会求直线围成的图形面积； 5. 会根据函数图象写出方程
(组)的解和不等式的解集.
20 中山初中数学教研共同体
积极 务实 高效 专业
7 中山初中数学教研共同体
积极 务实 高效 专业
一次函数
第二部分 基础再现
8 中山初中数学教研共同体
积极 务实 高效 专业
基础再现
问题 问题
关于函数 y 4 x 8 ，你能提出
3
哪些问题或者能得到什么结论？
9 中山初中数学教研共同体
积极 务实 高效 专业
基础再现
1 一次函数 y 4 x 8 的图象是什么形状？ 一条直线
___23___, _0__，与y轴的交点坐标为_(_0__，__-_2_).当__x______23___时，y<0.
23 中山初中数学教研共同体
积极 务实 高效 专业
6.某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水 位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间
x小时（0≤x≤5）的函数关系式为_ _y__=_6_+__0_._3_.x
3
12
你能直接写出不式
4 3
x ﹤8 0的解集吗？
y
l
y
4 3
x
8
l1
B(0，8）
A（6，0）
O
x
13 中山初中数学教研共同体
第10课时 一次函数的图象及其性质 课件 2025年中考数学一轮总复习
么过原点O且将△AOB的面积平分的直
线l2的解析式为（ D ）
D
A. y＝ x
B. y＝x
C. y＝ x
D. y＝2x
（2）如图2，已知一条直线经过点A
（0，2），点B（1，0），将这条直线
向左平移与x轴、y轴分别交于点C，D.
若DB＝DC，则直线CD的函数解析式
y＝ x－
考点三 一次函数与方程（组）、不
等式
例3 （1）（2024·广东）已知不等式
kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y
＝kx＋b的图象大致是（ B ）
B
A B C D
一、
二、三
一、
三
一、
三、四Βιβλιοθήκη 一、 二、四
二、
四
二、
三、
四
增大
减小
（1）k的符号决定直线的增减性；
的大小决定直线的倾斜程度，即 越
大，直线与x轴相交的锐角的度数越大
（直线越 ）； 越小，直线与x
轴相交的锐角的度数越小（直线越 ）.（2）b（称为截距）表示直线y＝kx＋
图象
关系
一次函数y＝kx＋b的图象可由正
比例函数y＝kx的图象平移得到.
当b＞0时，向上平移b个单位长
度；当b＜0时，向下平移 个单
位长度
（0，b）
（－ ，0）
知识点2 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的
图象与性质
函
数
y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）
k＞0
k＜0
b＞0
b＝0
b＜
0
b＞0
b＝0
为 ；
三单元 函数 考点精讲【2021中考数学一轮考点系统复习】
三单元函数考点精讲【2021中考数学一轮考点系统复习】第10讲函数的基础知识平面直角坐标系中点的坐标特征各象限内点的坐标特征(1)点P(x，y)在第一象限⇔x>0，y>0；(2)点P(x，y)在第二象限⇔x<0，y①>0；(3)点P(x，y)在第三象限⇔x②<0，y<0；(4)点P(x，y)在第四象限⇔x③>0，y④<0.坐标轴上点的坐标特征(1)点P(x，y)在x轴上⇔⑤y＝0；(2)点P(x，y)在y轴上⇔⑥x＝0；(3)点P(x，y)在原点⇔⑦x＝0，y＝0．注意：坐标轴上的点不属于任何象限．原点既在x轴上，又在y轴上.象限角平分线上点的坐标特征(1)第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标⑧相等；(2)第二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标⑨互为相反数．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x轴的直线上的点的⑩纵坐标相等；(2)平行于y轴的直线上的点的⑪横坐标相等.平面直角坐标系中点的对称与平移对称点的坐标特征(1)点A(a，b)关于x轴的对称点为⑫(a，－b)；(2)点A(a，b)关于y轴的对称点为⑬(－a，b)；(3)点A(a，b)关于原点的对称点为⑭(－a，－b)；归纳：关于坐标轴对称时，关于谁对称谁不变，关于原点对称都变号．(4)点P(a，b)关于直线y＝x的对称点是⑮(b，a)；(5)点P(a，b)关于直线y＝－x的对称点是⑯(－b，－a)．续表点的平移的坐标特征(x，y)――→向左平移a个单位长度(x－a，y)(x，y)――→向右平移a个单位长度⑰(x＋a，y)口诀：左减右加，纵坐标不变.(x，y)――→向上平移a个单位长度⑱(x，y＋a)(x，y)――→向下平移a个单位长度⑲(x，y－a)口诀：上加下减，横坐标不变.平面直角坐标系中的距离(1)点P(a，b)到x轴的距离为⑳|b|；(2)点P(a，b)到y轴的距离为○21|a|；(3)点P(a，b)到原点的距离为○22a2＋b2；(4)在x轴上或在平行于x轴的直线上的两点，纵坐标相等，且这样的两点P1(a1，b)，P2(a2，b)间的距离为○23 |a2－a1|；(5)在y轴上或在平行于y轴的直线上的两点，横坐标相等，且这样的两点P1(a，b1)，P2(a，b2)间的距离为○24 |b2－b1|；(6)任意两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)所连线段的中点坐标为(a1＋a22，b1＋b22)；(7)任意两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)之间的距离P1P2＝（a1－a2）2＋（b1－b2）2.1．平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(－2，3)．(1)点A在第二象限内；(2)点A关于x轴的对称点A1的坐标为(－2，－3)，关于y轴的对称点A2的坐标为(2，3)，关于原点的对称点A3的坐标为(2，－3)；(3)将点A向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点A4的坐标为(－1，1)；(4)点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，到原点的距离为13；(5)若B点坐标为(1，7)，连接AB，则线段AB的中点C的坐标为(－12，5)，线段AB的长度为5．2．如图，AD∥BC∥x轴，下列说法正确的是(C)A．A与D的横坐标相同 B．C与D的横坐标相同C．B与C的纵坐标相同 D．B与D的纵坐标相同3．如图，四边形ABCD 是周长为20的菱形，点A 的坐标是(4，0)，则点B 的坐标是(0，3)．函数及其自变量的取值范围：1．函数：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么x 是○25自变量，y 是○26x 的函数． 2．函数的三种表示方法：解析式法、列表法、○27图象法． 3．函数自变量的取值范围：函数解析式的形式自变量的取值范围整式型 全体实数 分式型y ＝ABB ≠0 二次根式型y ＝ A ○28A ≥0 零次幂或负整数次幂型 底数不为零分式与二次根式结合型y ＝A B ○29B ≠0且A ≥0 y ＝A BB>0注意：(1)在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义；(2)兼其中两种或两种以上结构，分别求出各自的取值范围，再求公共部分.4．填空：(1)函数y ＝2x 2－3x ＋1的自变量x 的取值范围是全体实数； (2)函数y ＝1－x 的自变量x 的取值范围是x ≤1；(3)函数y ＝11－x 的自变量x 的取值范围是x ≠1；(4)函数y ＝11－x的自变量x 的取值范围是x ＜1；(5)函数y ＝x ＋21－x的自变量x 的取值范围是x ≥－2且x ≠1； (6)函数y ＝x －2x －1的自变量x 的取值范围是x ≥2;_ (7)函数y ＝x ＋1x －3－(x －4)0中，自变量x 的取值范围是x ＞3且x ≠4．5．下列图象能反映y 是x 的函数的是①②④．【方法指导】画一条垂直于x轴的直线，若这条直线在自变量取值范围内与函数图象有且只有一个交点，则y是x的函数．分析判断函数的图象判断符合题意的函数图象的方法：(1)与实际问题结合：①找起点；②找特殊点；③找特殊阶段；④判断图象趋势；⑤看图象是否与坐标轴相交，即此时有一个量为0；(2)与几何图形结合：一般都可转化为求线段的长度，进而求解．一般利用勾股定理、三角形相似、线段成比例等考查自变量与因变量之间的函数关系，再找相应图象，要注意分类讨论时自变量的取值范围；(3)与几何图形中的动点结合：一般解题思路为设时间为t，找出因变量与t之间存在的函数关系，用含t的式子表示，再找相对应的函数图象，注意是否需要分类讨论；(4)分析函数图象判断结论正误：分清图象的横、纵坐标代表的实际意义及函数中自变量的取值范围，同时要注意：①分段函数要分段讨论；②转折点：判断函数的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；③平行线：函数值随自变量的增大而保持不变．再结合题干推导出实际问题的运动过程，从而判断结论的正误．6．如图，△ABC为等边三角形，点P从A出发，沿A→B→C→A做匀速运动，则线段AP的长度y与运动时间x 之间的函数关系的大致图象是(B)7．如图是小李骑自行车离家的距离s(km)与离家时间t(h)之间的关系．(1)在这个变化过程中自变量是离家时间t；(2)小李2小时后到达离家最远的地方，此时离家30km；(3)小李这次出行的平均速度为12km/h；(4)当t＝1.5或4时，小李与家相距20 km.第11讲一次函数的图象与性质一次函数的概念1．一次函数：一般地，如果y＝①kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．2．正比例函数：特别地，当b ②＝0时，y ＝kx ＋b 变为③y ＝kx(k 是常数，k ≠0)，这时y 叫做x 的正比例函数．1．已知函数y ＝(m －1)xm 2＋3是关于x 的一次函数，则m 的值为－1．一次函数的图象与性质1．一次函数的图象特征：一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象是经过点(0，④b)和(⑤－bk ，0)的一条⑥直线．特别地，正比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象是经过点(0，⑦0)和(1，⑧k)的一条⑨直线．2．一次函数的图象与性质：【温馨提示】 一次函数的解析式y ＝kx ＋b(k ≠0)中，b 决定图象与y 轴的交点位置：当b ＞0时，函数图象与y 轴交点在x 轴上方；当b ＜0时，函数图象与y 轴交点在x 轴下方．2．已知一次函数y ＝kx ＋2，则：(1)若k ＜0，则其图象经过的象限是第一、二、四象限；(2)若k ＝－1，则图象与坐标轴的交点是(0，2)，(2，0)，此时图象与坐标轴围成的三角形面积是2； (3)若y 随着x 的增大而减小，则k 的取值范围是k ＜0．一次函数解析式的确定1．一次函数解析式的确定：待定系数法 (1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b ；(2)将图象上的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标分别代入函数解析式中，得到二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b ；(3)解方程组，求出k ，b 的值；(4)将k ，b 的值代入所设解析式中，得到一次函数解析式．【温馨提示】 确定一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)解析式时的一些隐含条件：(1)若已知一次函数y ＝kx ＋b(b ≠0)的图象与坐标轴的交点，则交点坐标为(－bk，0)或(0，b)；(2)若已知一次函数y ＝kx ＋b(b ≠0)的图象与坐标轴的交点到原点的距离为h ，则交点坐标为(±h ，0)或(0，±h)；(3)若已知一次函数图象与其他函数的图象有交点，则该交点同时满足两个函数的解析式；(4)若直线y 1＝k 1x ＋b 1与直线y 2＝k 2x ＋b 2平行，则有k 1＝k 2且b 1≠b 2；若直线y 1＝k 1x ＋b 1与直线y 2＝k 2x ＋b 2垂直，则有k 1·k 2＝－1.2．一次函数图象的平移直线y ＝kx ＋b ――→向左平移m （m ＞0）个单位长度直线y ＝⑳k(x ＋m)＋b ； 直线y ＝kx ＋b ――→向右平移m （m ＞0）个单位长度直线y ＝○21k(x －m)＋b ； 直线y ＝kx ＋b ――→向上平移m （m ＞0）个单位长度直线y ＝○22kx ＋b ＋m ； 直线y ＝kx ＋b ――→向下平移m （m ＞0）个单位长度直线y ＝○23kx ＋b －m ． 简记为“左加右减，上加下减”，左右平移只给x 加减，上下平移给整体加减．3．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(1，0)和B(0，2)． (1)该一次函数的解析式为y ＝－2x ＋2；(2)若点C(m ，n)在该函数的图象上，且m －n ＝4，则点C 的坐标为(2，－2)；(3)将该一次函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象的解析式为y ＝－2x －1； (4)若将(3)中得到的函数图象再次平移后得到的图象经过点(－2，－2)，则平移后的函数解析式为y ＝－2x －6，试说出其中的一种平移方式：向下平移5个单位长度(答案不唯一)．一次函数与方程(组)、不等式的关系1．一次函数与一元一次方程的关系：2．一次函数与二元一次方程组的关系：方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2的解中的x ，y ⇔直线y ＝k 1x ＋b 1与y ＝k 2x ＋b 2的交点的横、纵坐标．3．一次函数与一元一次不等式的关系：(1)从“数”上看：kx ＋b>0的解集⇔y ＝kx ＋b 中，y>0时x 的取值范围； kx ＋b<0的解集⇔y ＝kx ＋b 中，y<0时x 的取值范围．(2)从“形”上看：kx ＋b>0的解集⇔函数y ＝kx ＋b 的图象位于x 轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围； kx ＋b<0的解集⇔函数y ＝kx ＋b 的图象位于x 轴下方部分对应的点的横坐标的取值范围． 【拓展】 一次函数图象与坐标轴围成的图形面积的计算(如图) (1)S △AOB ＝12AO ·BO ＝12|y A |·|x B |；(2)S △AOC ＝12AO ·CP ＝12|y A |·|x C |；(3)S △BOC ＝12BO ·CQ ＝12|x B |·|y C |.4．如图，已知直线y＝kx＋b经过点A(5，0)，B(1，4)．(1)方程kx＋b＝0的解是x＝5，不等式kx＋b<0的解集是x>5；(2)kx＋b>4的解集是x<1；(3)若直线y＝2x－4与直线AB相交于点C，则点C的坐标为(3，2)；(4)根据图象，写出关于x的不等式2x－4≥kx＋b的解集是x≥3；(5)根据图象，写出关于x的不等式组0＜2x－4＜kx＋b的解集是2＜x＜3．第12讲一次函数的实际应用一次函数的实际应用1．解一次函数的实际应用题的一般步骤：一次函数的实际应用⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧解析式⎩⎪⎨⎪⎧（1）画图、识图；（2）弄清函数图象上点的意义（横、纵坐标各代表什么）；（3）利用待定系数法求出解析式.求最值的关键点⎩⎪⎨⎪⎧（1）利用不等式确定自变量的取值范围；（2）自变量的端点处可能为最值；（3）根据一次函数的增减性确定最值.2．几种常见题型及其解法：(1)文字型应用题：从题干中提取两组有关量(自变量和因变量)作为一次函数图象上的两点，利用待定系数法求出解析式．对于阶梯收费问题注意选取的关系量应是同一标准的；(2)表格型应用题：分析表格中数据，从表格中提取两组量利用待定系数法求函数解析式；(3)图象型应用题：从函数图象上找出两点，找到其坐标代入求解析式；若函数图象为分段函数，注意要取同段函数图象上的两点，依此方法分别求各段函数的解析式，最后记得加上对应自变量的取值范围；(4)方案选取问题：①根据解析式分类讨论，比较两个方案在不同取值下的最优结果；②根据题意列不等式求出自变量的取值范围，然后选取符合题意的自变量的取值范围，分别代入两个一次函数解析式中比较，设计或选择最优方案.重难点一次函数的实际应用(2020·襄阳)受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x 千克，付款y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示．(1)直接写出当0≤x ≤50和x ＞50时，y 与x 之间的函数关系式．(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？(3)若甲、乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按(2)中甲、乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a 千克，且销售完a 千克水果获得的利润不少于1 650元，求a 的最小值．【思路点拨】 (1)由图象可知，y 与x 的函数关系式是分段函数，利用待定系数法分别求出两段函数的解析式即可．(2)设购进甲种水果x 千克，则购进乙种水果(100－x)千克，根据实际意义可以确定x 的取值范围，结合付款总金额与两种水果的购进量之间的函数关系，分类讨论得出最少费用；(3)根据(2)中的结论分情况讨论得到a 的最小值．【自主解答】 解：(1)当0≤x ≤50时，设y ＝kx.∵图象经过点(50，1 500)，∴50k ＝1 500.解得k ＝30.∴y ＝30x. 当x ＞50时，设y ＝k 1x ＋b ，∵图象经过点(50，1 500)和(70，1 980)，∴⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝1 500，70k ＋b ＝1 980，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝24，b ＝300.∴y ＝24x ＋300. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30x （0≤x ≤50），24x ＋300（x>50）.(2)设购进甲种水果x 千克，则购进乙种水果(100－x)千克，由题意，得40≤x ≤60.当40≤x ≤50时，w 1＝30x ＋25(100－x)＝5x ＋2 500. ∴当x ＝40时．w min ＝2 700；当50＜x ≤60时，w 2＝24x ＋300＋25(100－x)＝－x ＋2 800. ∴当x ＝60时，w min ＝2 740.∵2 740＞2 700，∴当x ＝40时，经销商付款总金额最少，为2 700元． 此时购进乙种水果100－40＝60(千克)．答：购进甲种水果为40千克，乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w(元)最少． (3)由题意可知，购进甲种水果25a 千克，乙种水果35a 千克．当0≤25a ≤50，即0≤a ≤125时，甲种水果的进货价为30元/千克，由题意，得(40－30)×25a ＋(36－25)×35a≥1 650.解得a ≥8 25053>125，这与0≤a ≤125矛盾，故舍去；当25a>50，即a ＞125时，甲种水果的进货价为24元/千克，由题意，得25a ×40－(25a ×24＋300)＋35a ×(36－25)≥1 650.解得a ≥150，满足a ＞125. 综上所述，满足要求的a 的最小值为150. 方法指导解决一次函数应用题常见的三种考查形式：1．求函数关系式．关键是找出两个变量之间的等量关系，根据两个变量之间等量关系的呈现方式，可以分为三种类型：①表格型，利用表格直接列举两个变量的几对对应值；②文字型，直接利用文字表述两个变量之间的等量关系；③图象型，利用图象上点的坐标给出两个变量的对应值．若是分段函数，每种类型都有体现，在表格型中，对应值的规律发生改变；文字型中，直接在条件叙述中就有体现(如本例)．2．求自变量的取值范围．有的自变量取值范围文字中直接给出，或者图象拐点中明确指出；有的自变量的取值范围需要通过列出以自变量为未知数的不等式(或不等式组)来求出．同时还要注意自变量在实际问题中所代表的实际意义．3．求函数的最值．关键要看清函数的增减性以及自变量的取值范围．若是分段函数，必须求出每一段函数的最值，有时受自变量的限制无法确定最值时，也可确定最值的范围．《算学启蒙》由元代朱世杰所著，是一部很好的数学教材，它包括面积、体积、比例、开方、高次方程、天元术等，有例题，有方法，分门别类，由浅入深，循序渐进，自成系统，是一部很好的数学启蒙读物．此书曾传至朝鲜、日本，朝鲜有李朝世宗十五年(1433)的庆州府刻本，清顺治十七年(1660)金州府尹金始振翻刻．(2019·金华)元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s 关于行走时间t 的函数图象，则两图象交点P 的坐标是(32，4_800)．第13讲 反比例函数反比例函数的概念及解析式的三种形式1．概念：一般地，形如y ＝kx (k 为常数，k ≠①0)的函数叫做反比例函数，自变量x 的取值范围是②x ≠0．2．反比例函数解析式的三种形式(k 为常数，k ≠0)：①y ＝k x；②y ＝kx －1；③xy ＝k.【方法指导】 确定点在反比例函数图象上的方法：(1)把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于纵坐标，则点在函数图象上；若所求值不等于纵坐标，则点不在函数图象上；(2)把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在函数图象上；若乘积不等于k ，则点不在函数图象上．反比例函数的图象与性质k的取值范围k＞0 k＜大致图象所在象限分布在③第一、三象限分布在④第二、四象限图象特征图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交.增减性在每个象限内，y随x的增大而⑤减小．在每个象限内，y随x的增大而⑥增大.对称性是轴对称图形，对称轴为直线y＝⑦±x，是中心对称图形，对称中心是⑧坐标原点.注意：双曲线不是连续的曲线，而是两支不同的曲线，所以比较函数值的大小时，要注意所判断的点是否在同一象限．在同一象限时，根据表中的增减性判断．不在同一象限时，若k＞0，则在两支上，第一象限函数值大于第三象限函数值；若k＜0，则在两支上，第二象限函数值大于第四象限函数值．解决这类问题的一个有效方法是运用数形结合思想，画出草图，标上各点，再比较大小．1．已知反比例函数y＝m－1x.(1)当m＝2时，反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)；(2)当反比例函数的图象如图所示时，则m的取值范围是m<1；(3)若点P(x，y)在函数的图象上，则点P1(－x，－y)在函数的图象上(填“在”或“不在”)；(4)若点C(－2，3)在该函数的图象上．①反比例函数的解析式是y＝－6x；②点A(x1，y1)和B(x2，y2)是反比例函数图象上的两点，且x1<0<x2，则y1>y2(填“>”“＝”或“<”)；③当1≤x≤3时，y的最小整数值是－6．反比例函数中k的几何意义及解析式的确定1．反比例函数中k的几何意义：如图，设P(x，y)是反比例函数y＝kx图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则S矩形PNOM ＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝⑨|k|．2．与反比例函数中k 的几何意义有关的面积计算：【注意】 因为反比例函数y ＝kx (k ≠0)中的k 有正、负之分，所以用k 表示矩形或三角形的面积时要给k 加上绝对值符号，要根据函数图象所在的象限确定k 的正负．3．反比例函数解析式的确定： (1)待定系数法：①设反比例函数解析式为y ＝kx (k ≠0)；②找出反比例函数图象上的已知点P(a ，b)； ③将P(a ，b)代入解析式得k ＝⑯ab ； ④确定反比例函数解析式y ＝abx.(2)利用k 的几何意义确定：题中已知面积时考虑用k 的几何意义．由面积得|k|，再结合图象所在象限判断k 的正负，从而得出k 的值，代入解析式即可．2．如图，点A 为反比例函数y ＝－4x图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△ABO 的面积为2．3．如图，点A 是反比例函数y ＝kx 的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B.点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC.若△ABC 的面积为4，则k 的值是－8．反比例函数与一次函数的综合运用(1)根据点的坐标确定函数解析式； (2)根据函数图象比较两函数值的大小； (3)求三角形或四边形的面积；(4)由几何图形面积确定点的坐标或求函数解析式．反比例函数的实际应用1．实际问题中常见的反比例函数关系： (1)行程问题：速度＝路程时间；(2)工程问题：工作效率＝工作量工作时间；(3)压强问题：压强＝压力受力面积；(4)电学问题：电阻＝电压电流.2．解反比例函数实际应用题的一般步骤：(1)审清题意，找出题目中的常量、变量，并确定常量与变量之间的关系； (2)根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； (3)由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；(4)写出函数解析式，并注意解析式中自变量的取值范围； (5)用函数的图象与性质解决实际问题．4．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了4小时到达乙地．当他按照原路返回时，汽车的平均速度v(千米/时)与所用时间t(时)的函数关系式是v ＝320t(t>0).重难点 反比例函数与一次函数的综合(2020·淄博)如图，在平面直角坐标系中，直线y 1＝ax ＋b 与双曲线y 2＝kx(k ≠0)分别相交于第二、四象限内的A(m ，4)，B(6，n)两点，与x 轴相交于C 点．已知OC ＝3，tan ∠ACO ＝23.(1)求y 1，y 2对应的函数解析式． (2)求△AOB 的面积．(3)直接写出当x ＜0时，不等式ax ＋b ＞kx的解集．【思路点拨】 (1)根据OC ＝3，tan ∠ACO ＝23，可求直线与y 轴的交点坐标，进而求出点A ，B 的坐标，从而确定两个函数的解析式；(2)由S △AOB ＝S △AOD ＋S △BOD ，将点的坐标转化为三角形的底边长和高，运用面积公式进行计算即可；(3)由函数的图象直接可以得出，当x ＜0时，不等式ax ＋b ＞kx的解集．【自主解答】 解：(1)设直线y 1＝ax ＋b 与y 轴交于点D ， 在Rt △OCD 中，∵OC ＝3，tan ∠ACO ＝23，∴OD ＝2，即D(0，2)．把点D(0，2)，C(3，0)代入直线y 1＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，3a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝2.∴直线y 1的函数解析式为y 1＝－23x ＋2.把A(m ，4)，B(6，n)代入y 1＝－23x ＋2，得m ＝－3，n ＝－2.∴A(－3，4)，B(6，－2)．∴k ＝－3×4＝－12. ∴反比例函数的解析式为y 2＝－12x.(2)S △AOB ＝S △AOD ＋S △BOD ＝12×2×3＋12×2×6＝9.(3)由图象可知，当x ＜0时，不等式ax ＋b ＞kx 的解集为x ＜－3.方法指导求一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标，就是将两个函数解析式组成方程组，方程组的两组解就是两个交点坐标．利用交点坐标可以解决三个常见的问题：(1)利用交点坐标求两个函数的解析式； (2)求顶点在函数图象上的图形的面积；(3)求以两个函数解析式组成的不等式的解集．求解析式一般采用待定系数法，利用交点坐标同时满足两个函数解析式；求面积一般采用割补法，将图形分割成底边在数轴上或与数轴平行的直线上，将高转化为点的坐标的和与差的绝对值；求解集采用数形结合法，通过分析交点左右两侧图象的高低来确定自变量的取值范围，从而确定不等式的解集．易错提示1．求面积，将点的坐标转化为线段长时，点的坐标有正负，但线段长只有正.2.由函数值的大小关系确定自变量的大小关系时，关键要看交点的横坐标，特别地，在反比例函数中，自变量取值不能为零，所以确定解集时要分两段确定．第14讲 二次函数的图象与性质二次函数的概念及解析式的三种形式1．概念：一般地，形如①y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a ≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x 是自变量，a ，b ，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．2．二次函数解析式的三种形式：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ，h ，k 为常数，a ≠0)，其中②(h ，k)是抛物线的顶点； (3)交点式：y ＝③a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标．1．关于x 的函数y ＝(m ＋1)x 2＋(m －1)x ＋m.(1)当m ＝0时，它是二次函数； (2)当m ＝－1时，它是一次函数．二次函数的图象与性质项目 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)大致图象 a ＞0a ＜0开口方向,开口向④上．,开口向⑤下． 对称轴,直线x ＝－b2a .顶点坐标,⑥(－b 2a ，4ac －b24a)．增减性,当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而⑦减小；当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而⑧增大．,当x ＜－b2a 时，y 随x的增大而⑨增大；当x ＞－b2a时，y 随x 的增大而⑩减小．最值,当x ＝－b 2a 时，y 有最小值，为⑪4ac －b 24a ．,当x ＝－b 2a 时，y 有最大值，为⑫4ac －b24a .2．已知抛物线y ＝x 2＋4x ＋3. (1)抛物线的开口方向为向上；(2)抛物线的对称轴为直线x ＝－2； (3)抛物线的顶点坐标为(－2，－1)；(4)抛物线与y 轴的交点坐标是(0，3)，与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(－3，0)； (5)当x>－2时，y 随x 的增大而增大；(6)抛物线y 有最小值(填“大”或“小”)，为－1；(7)若抛物线上有C(－4，y 1)，D(a ，y 2)两点，且a<－4，则y 1和y 2的大小关系是y 1<y 2； (8)当－3≤x ≤5时，函数值y 的最大值为48．二次函数图象与系数a ，b ，c 的关系2.由二次函数图象的特征判断系数a，b，c及b2－4ac与0的大小关系：图象结论a＞0b○25＝0c○26＝0b2－4ac○27＝0a○28＞0b○29＞0c○30＝0b2－4ac○31＞0a＜0b○32＞0c○33＜0b2－4ac○34＜0a○35＜0b○36＞0c○37＝0b2－4ac＞03.由二次函数图象的特征判断系数a，b，c的代数式与0的大小关系：(1)判断2a＋b与0的大小关系，即为比较1与－b2a的关系，看图象对称轴与x＝1的位置关系；(2)判断2a－b与0的大小关系，即为比较－1与－b2a的关系，看图象对称轴与x＝－1的位置关系．(3)判断a＋b＋c与0的大小关系，令x＝○381，看纵坐标；(4)判断a－b＋c与0的大小关系，令x＝－1，看纵坐标；(5)判断4a＋2b＋c与0的大小关系，令x＝2，看纵坐标；(6)判断4a－2b＋c与0的大小关系，令x＝○39－2，看纵坐标．3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b ＋2a＜0；④abc＞0.其中所有正确结论的序号是①④．确定二次函数解析式1．二次函数解析式的确定：(1)根据所给点的坐标选择设适当的解析式：①若顶点在原点，可设为y＝ax2；②若对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋c；③若顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2；④若抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx；⑤若已知任意三个点的坐标，可设为y＝ax2＋bx＋c；⑥若已知顶点(h，k)，可设为顶点式y＝a(x－h)2＋k；⑦若已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，或已知对称轴及与x轴的一个交点坐标(x1，0)，利用对称轴可求出另一个交点坐标(x2，0)，可设为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)；(2)联立一次方程(组)，求得待定系数；(3)将所得系数代入解析式即可．2．二次函数图象的平移：方法1：直接平移(1)把y＝ax2＋bx＋c沿y轴向上(下)平移m(m>0)个单位长度得到y＝ax2＋bx＋c＋m(或y＝ax2＋bx＋c－m)．(2)把y＝ax2＋bx＋c沿x轴向左(右)平移m(m>0)个单位长度得到y＝a(x＋m)2＋b(x＋m)＋c(或y＝a(x－m)2＋b(x－m)＋c)．注意：按平移规律“左加右减，上加下减”进行平移．左右平移时只变“x”，即只给x加减，注意给每一个“x”都要加减；上下平移时，只变“c”，即只给c加减．方法2：将二次函数解析式化为顶点式，即y＝a(x－h)2＋k的形式后，按以下规律写出解析式：3.二次函数图象平移中的相关面积计算：S 阴影＝S △OBD ＝S 矩形OABC S 阴影＝S ▱OABC ＝S 矩形OBCD4．二次函数图象的旋转与对称：旋转180°：用(－x)和(－y)分别替换x 和y轴对称：⎩⎪⎨⎪⎧关于x 轴对称：用（－y ）替换y关于y 轴对称：用（－x ）替换x4．根据下列已知条件，求二次函数的解析式．(1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解析式为y ＝－x 2；(2)已知二次函数的顶点在y 轴上，且纵坐标为2，过另一点(1，4)，则二次函数的解析式为y ＝2x 2＋2；(3)已知二次函数的顶点在x 轴上，且横坐标为2，过另一点(1，－4)，则二次函数的解析式为y ＝－4(x －2)2；(4)已知二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，则二次函数的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3；(5)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为y ＝2x 2＋3x －4； (6)已知二次函数图象经过点A(3，0)，对称轴为直线x ＝1，与y 轴正半轴交于点C ，且OC ＝2，则二次函数的解析式为y ＝－23x 2＋43x ＋2；(7)将抛物线y ＝4x 2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y ＝4(x ＋2)2＋3．二次函数与一元二次方程、不等式的关系。
一次函数的图象和性质-中考复习
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中考状元 ·生物
4. 一次函数y1＝k1x＋b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位长度后得 直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x＋b2.下列说法中错误的是( B )
A．k1＝k2 B．b1<b2 C．b1>b2 D．当x＝5时，y1>y2
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中考状元 ·生物
5. 如果关于x的一次函数y＝(m－3)x＋m的图象不经过第三象限，那么m的取值范 围 0≤m<3 ．
6. 一次函数y＝kx＋b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则k＋b＝ 3或6 ．
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中考状元 ·生物 7．如图，一次函数y＝－x－2与y＝2x＋m的图象相交于点P(n，－4)，则关于x的
不等式组2－x＋x－m2<<－0 x－2的解集为 －2＜x＜2 ．
8．在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋1沿y轴向上平移了m(m>0)个单位长度后， 该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了2，则m的值为 2 ．
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确定一次函数的解析式
9. 两个一次函数y＝x＋3k与y＝2x－6的图象交点在y轴上，则k的值为 －2 ．
10. 已知直线y＝kx＋b经过点(－2，0)，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，
该直线的表达式是 y＝3x＋6或y＝－3x－6
．
11. 某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0；当自变量x＝0时，函数值y＝1，写 出一个满足条件的函数表达式： y＝－x＋1 ．
过象限
性质
y随x的增大而增大
一、二、四 二、三、四 二、四 y随x的增大而减小
[知识拓展]在同一平面直角坐标系中，对于直线l1：y1＝k1x＋b1与直线l2：y2＝k2x＋ b2，若l1∥l2，则k1＝k2，且b1≠b2；若l1⊥l2，则k1·k2＝－1.
一次函数复习滕州市尚贤中学 马团结2021精选PPT
一次函数与方程的关系
(1)一次函数的解析式就是一个二元一次方程. (2)点B的横坐标是方程__①______的解. (3)点C的坐标(x,y)中的x,y的值是方程组 ② 的解
一次函数与不等式的关系
(1)函数y=kx+b的函数值y大于0时,自变量x的 取值范围就是不等式 ③ 的解集. (2)函数y=kx+b的函数值y小于0时,自变量x的 取值范围就是不等式 ④ 的解集.
3
（2）由一次函数图象特征可得：函数图象与
y轴的交点为（0，1-b），∵ 交点在x轴的下
方， ∴ 3a 2 0，即
1 b 0
a 2且b 1 3
（3）函数图象过第一、二、四象限，则必须
满足
3a 1 b
2 0
0
，即
a 2且b 1.
3
二.梳理知识、巩固要点
3.两条直线的位置关系：
设直线l1和l2的解析式分别为 yk1xb1 和 yk2xb2 ，则它们的位置关系可由系数决定：
（1）y随x的增大而增大； （2）函数的图象与y轴的交点在x轴的下方； （3）函数的图象过第一、二、四象限.
二.梳理知识、巩固要点
解：a、b的取值范围应分别满足： （1）由一次函数y=kx+b(k≠0)的性质可知：
当k>0时，函数值y随x的增大而增大，即 3a-2>0，∴ a 2 ，且b取任何实数；
三.拓展训练、提升能力
2.（2010·吉林）鲁老师乘车从学校到省城去参加会 议，学校距省城200千米，车行驶的平均速度为80千 米／时，x小时后鲁老师距省城y千米，则y与x之间的 函数关系式为（ ）
A. y=80x-200
B. y=80x-200
C. y=80x+200 D. y=-80x+200
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一、二、 二__、__三__、_二__、__四_
经过的象限 三
_四______ 一、三 四
四______ ______
性质 y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
续表 4. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： (1)设出函数相应的解析式y=kx+b(k≠0)或y=kx(k≠0). (2)根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应 值，列出关于待定系数的方程或方程组. (3)解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值. (4)把待定系数的值代入原先所设的函数解析式中即可.
．
______________
13. (2020·内江）将直线y=-2x-1向上平移两个单位，平移后的
直线所对应的函数关系式为（ C ）
A．y=Hale Waihona Puke 2x-5B．y=-2x-3
C．y=-2x+1
D．y=-2x+3
14. (2020·镇江）一次函数y=kx+3（k≠0）的函数值y随x的增
大而增大，它的图象不经过（ D ）
考点突破
考点一： 一次函数的图象和性质（5年5考）
1. (2020·广州）一次函数y=-3x+1的图象过点（x1,y1），（
x1+1,y2），（x1+2，y3），则（
B）
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C． y2＜y1＜y3
D．y3＜y1＜y2
2. （2018·深圳）把函数y=x向上平移3个单位，下列各点在
b)和
的直线；正比例函数y=kx(k是常数，k≠0) 的图
象是一条必过原点(0，0)的直线.
续表 3. 一次函数的图象和性质：
一次函数
y=kx+b(k≠0)
k>0
k<0
k,b的符号
b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0
图象
续表 3. 一次函数的图象和性质：
一次函数
y=kx+b(k≠0)
一、二、_一__、__三__、
B. y＝2x
C. y= x
D. y＝- x
9.(2020·北京改编）在平面直角坐标系xOy中，一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点（ 1,2）．求这个一次函数的解析式. 解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线 y=x平移得到， ∴k=1. 将点（1,2）代入y=x+b，得1+b=2. 解得b=1. ∴一次函数的解析式为y=x+1.
谢谢
4. （2018·广东改编）如图1-10-1，已知直线y=x+m过点（ 0,-3），求这个一次函数的解析式. 解:将点（0，-3）代入y= x+m，得-3=0+m. 解得m=-3. ∴一次函数的解析式为 y=x-3.
考点三： 一次函数与方程、不等式的关系(5年未考)
5.（2018·邵阳）如图1-10-2，一次函数 y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与 y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关 于x的方程ax+b=0的解是____x_=_2_______.
解：（1）设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是 （x+6）元. 由题意，得50（x+6）+30x=620. 解得x=4. 则6+4=10. 答：蜜枣粽的进货单价是4元，肉粽的进货单价是10元.
（2）设第二批购进肉粽y个，则购进蜜枣粽（300-y）个，获得 的利润为w元. 由题意，得w=（14-10）y+（6-4）（300-y）=2y+600. ∵2＞0，∴w随y的增大而增大. ∵y≤2（300-y），∴0＜y≤200. ∴当y=200时，w有最大值，w最大值=400+600=1 000. 答：第二批购进肉粽200个时，第二批粽子获得利润最大，最大 利润是1 000元.
（待定系数法） 3分
2分
2分
题23（1）, 3分
一次函数与几何知识 的结合
题23（3）,题23（3）, 题23（2）, 题23（2）,
3分
3分 3分
3分
知识梳理
1. 正比例函数和一次函数的概念：一般地，如果 __y_=_k_x_+_b_(_k_,_b_为__常__数__，__k_≠__0_)____，那么y叫做x的一次函数. 特 别地，当一次函数__y_=_k_x_+_b___中的___b_____为0时，__y_=_k_x___(k 为常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数. 2. 一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图象是一条必过点(0，
变式诊断
6.(2020·荆州）在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象 是（ C ）
7.(2020·丹东）一次函数y=-2x+b，且b＞0，则它的图象不经 过第___三_____象限．
8. （2018·常州）一个正比例函数的图象经过点（2，-1），
则它的表达式为（ D ） A. y＝-2x
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B组 15. (2020·西藏）一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后， 在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧 的总长y（单位：cm）关于所挂物体的质量x（单位：kg）的函 数图象如图1-10-4所示，则图中a的值是（ A ） A．3 B．4 C．5 D．6
平移后的直线上的是( D )
A. (2,2)
B. (2,3)
C. (2,4)
D. (2,5)
考点二： 求一次函数的解析式（5年4考）
3. (2016·广东改编)在平面直角坐标系中，直线 y=kx+1(k≠0)经过点P(1，2). 求k的值. 解：将点P(1，2)代入y=kx+1，得2=k+1. 解得k=1.
10. （2019·通辽）如图1-10-3，直线y＝kx+b（k≠0）经过 点（-1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（ D ） A. x＞-1 B. x＜-1 C. x≥3 D. x≥-1
分层训练 A组 11.(2020·嘉兴）一次函数y=2x-1的图象大致是（ B ）
12.（2019·天津）直线y＝2x-1与x轴的交点坐标为
C组
18.（2020·深圳）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽 和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元． （1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？ （2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其 中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保 持不变.若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元， 试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得 利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
第一部分 教材梳理
第三章 函数
第10讲 一次函数
目录
01 知识梳理 02 考点突破 03 变式诊断 04 分层训练
近五年广东中考情况
命题点
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2016
涉及一次函数的图象 题25 和性质
题23
题10，题 题7，题23 题10,题23 23
一次函数的解析式 题25（2），题23（2）,题23（1）,
16. (2020·凉山州）若一次函数y=(2m+1)x+m－3的图象不经过 第二象限，则m的取值范围是（ D ）
A．m＞
B．m＜3
C． ＜m＜3
D． ＜m≤3
17. (2020·黔西南州）如图1-10-5， 正比例函数的图象与一次函数y=-x+1 的图象相交于点P，点P到x轴的距离 是2，则这个正比例函数的解析式是 _y_=_-_2_x___.