考研数学预备知识 -定积分公式表

高等数学上函数教案初等函数

教师：接下来，我们学习第一节映射与函数中的函数。

一、函数（板书）1. 函数的概念（板书）定义设数集D ⊂R , 则称映射f : D →R 为定义在D 上的函数, 通常简记为y =f (x ), x ∈D ,其中x 称为自变量， y 称为因变量, D 称为定义域，记作D f ，即D f =D 。

函数值f (x )的全体构成的集合称为函数f 的值域，记作R f = f (D )={y| y =f (x ), x ∈D }.2. 函数的两要素（板书）构成函数的两个重要因素：定义域及对应法则 .如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.（熟记）3. 常见函数（板书）（1）函数 2y = 定义域D =(-∞, +∞)，值域W ={2}（2）绝对值函数：⎩⎨⎧<-≥==00 ||x x x x x y 其定义域为D =(-∞, +∞)，值域为R f =[0, +∞)。

（3）符号函数：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==01000 1sgn x x x x y 其定义域为D =(-∞, +∞)，值域为R f ={-1, 0, 1}。

（4）取整函数：设x 为任一实数，不超过x 的最大整数，称为x 的整数部分, 记作[ x ]，例如0]75[=, 1]2[=, [π]=3。

把x 看作变量，函数y = [ x ]即为取整函数。

其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =Z 。

（5）分段函数:老师：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

符号函数和取整函数都是分段函数。

例：狄利克雷函数1()0x y D x x ⎧==⎨⎩当是有理数时当是无理数时 4. 函数的几种特性（板书）（1）函数的有界性设函数f (x )的定义域为D , 数集X ⊂D . 如果存在数K 1, 使得f (x )≤K 1对任一x ∈X 都成立, 那么称函数f (x )在X 上有上界，K 1称为函数f (x )在X 上的一个上界。

《线性代数》课程教学大纲

《线性代数》课程教学大纲课程编号：课程类别：学分数：学时数：适用专业：应修基础课程：一、本课程的地位和作用《线性代数》在高等学校的教学计划中是一门必修的基础理论课，是计算机专业的重要基础课之一，它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，特别是在计算机日益普及的今天，使求解大型线性方程组成为可能，因此本课程所介绍的方法，广泛地应用与各个学科。

所以该课程的地位与作用也更为重要。

通过该课程的学习，使学生掌握该课程的理论与方法，可以培养和提高学生的抽象思维能力、创新能力和解决实际问题的能力，并为为后续课程的学习及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

二、本课程的教学目标通过该课程的学习，要求学生把握线性代数的基本内容。

如：行列式、矩阵、线性方程组、线性空间等。

把握线性代数的体系结构。

从知识的扩充层面上，发展自身的创新思维。

并且要求学生掌握线性代数的基本计算方法，较好地理解线性代数这门课的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

三、课程内容和基本要求按教学顺序提出课程各部分教学内容，并具体到知识点，用“*”明确难点内容，用“Δ”明确重点。

“*”或“Δ”一律写在课程内容的前面。

“*”与“Δ”可以并用，表明此内容既是重点又是难点。

在各部分课程内容的前面，首先写明该部分内容须要了解、理解、熟练掌握、应用等层次的教学基本要求。

其格式为：第一章预备知识1、教学基本要求（1）了解集合与映射的基本概念及有理系数多项系的有理根的求法（2）理解数域的概念及排列与对换2、教学内容（1）集合与映射（2）数域（3）Δ排列与对换（4）*有理系数多项系的有理根第二章n阶行列式1、教学基本要求（1）了解全排列、行列式、代数余子式概念（2）理解n阶行列式的定义；（3）掌握行列式性质，会应用行列式的性质计算行列式；（4）理解行列式按行（列）展开定理并应用于行列式计算与证明；（5）掌握克莱姆法则。

《线性代数》课程教学大纲

《线性代数》课程教学大纲课程编号：课程类别：学分数：学时数：适用专业：应修基础课程：一、本课程的地位和作用《线性代数》在高等学校的教学计划中是一门必修的基础理论课，是计算机专业的重要基础课之一，它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，特别是在计算机日益普及的今天，使求解大型线性方程组成为可能，因此本课程所介绍的方法，广泛地应用与各个学科。

所以该课程的地位与作用也更为重要。

通过该课程的学习，使学生掌握该课程的理论与方法，可以培养和提高学生的抽象思维能力、创新能力和解决实际问题的能力，并为为后续课程的学习及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

二、本课程的教学目标通过该课程的学习，要求学生把握线性代数的基本内容。

如：行列式、矩阵、线性方程组、线性空间等。

把握线性代数的体系结构。

从知识的扩充层面上，发展自身的创新思维。

并且要求学生掌握线性代数的基本计算方法，较好地理解线性代数这门课的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

三、课程内容和基本要求按教学顺序提出课程各部分教学内容，并具体到知识点，用“*”明确难点内容，用“Δ”明确重点。

“*”或“Δ”一律写在课程内容的前面。

“*”与“Δ”可以并用，表明此内容既是重点又是难点。

在各部分课程内容的前面，首先写明该部分内容须要了解、理解、熟练掌握、应用等层次的教学基本要求。

其格式为：第一章预备知识1、教学基本要求（1）了解集合与映射的基本概念及有理系数多项系的有理根的求法（2）理解数域的概念及排列与对换2、教学内容（1）集合与映射（2）数域（3）Δ排列与对换（4）*有理系数多项系的有理根第二章n阶行列式1、教学基本要求（1）了解全排列、行列式、代数余子式概念（2）理解n阶行列式的定义；（3）掌握行列式性质，会应用行列式的性质计算行列式；（4）理解行列式按行（列）展开定理并应用于行列式计算与证明；（5）掌握克莱姆法则。

高等教育数学分析高等代数参考书书单

数学分析高等代数参考书书单1.前言由于目前网络上数学分析与高等代数的参考书籍鱼龙混杂,特别制作一份书单,帮助学习数学分析与高等代数的学友清除认知障碍.事先声明,由于精力有限,笔者未能将书单中所有书籍细读过,只对笔者精读过的或者主流书籍做详细评价,其中部分评价是来源于网络与网友,若有不同的见解或者认为笔者的理解有误,恳请指出或补充。

2.数学分析板块以下分四个梯队介绍国内主流的数学分析读物(包含教材和习题集),最后还整理了一份硬核书单,建议读者量力而行。

梯队顺序是结合难度、应试、流畅性、流行度等等综合考虑的,并不是排在后面的一定质量不行。

同一梯队中一般不以质量设先后排名。

2.1第一梯队1.谢惠民.恽自求.易法槐.钱定边《数学分析习题课讲义》真正的数学分析习题集,数学分析的巅峰，打穿数学分析的必经之路。

正文介绍了许多在其他书中看不到的内容（如Dirichlet判别法的充要性,Gibbs现象），作者搜集了许多美国数学月刊上的问题。

思考题一针见血，正中靶心，完美诠释了初学者对一些问题的疑问;练习题多为中档题（考研难度，大量题目是考研真题），但也有些难题参杂其中;参考题整体难度偏高,许多题材来自于美国数学月刊,第二组参考题会涉及后续课程（实变泛函拓扑组合概率等等）的内容。

北大历年大一习题课教材，如果能全部独立做完足以和清北大佬谈笑风生。

唯一感觉不足的是小部分习题的选取煞风景，例如多元部分摘取了大量吉米多维奇上的繁琐计算题，又有些参考题难度的习题放在练习题，练习题难度的习题放在参考题。

当然，都是少数，瑕不掩瑜。

谢惠民也有一份讲稿,但不成气候,不作推荐。

2.徐森林.薛春华《数学分析》《数学分析精选习题全解》难度不逊于谢惠民,曾经的CMC数学类题库。

多元部分较为精彩（有较多篇幅介绍流形）,高度与深度齐备，内容齐全厚实，许多题目给了多种解法。

题材上与谢惠民史济怀有大量重复，尤其是史济怀的问题基本上可以在徐森林上找到，谢惠民的一些参考难题也可以找到。

高等数学绪论

有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
26
3.邻域: 点 x0 的实心邻域: U ( x0 , )
{x x x0 } ( x0 , x0 ) .
点 x0 为邻域的中心, 0, 为邻域的半径.
(x, y)
x
x
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为函数y f ( x)的图形.
32
有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则，并用约定的符号予以表示:
例1 “x R, 对应的 y 是不超过x 的最大整数”. 称为取整函数
例如：[5.3]= 5， [ - 4.9]= 5 .
《高等数学习题全解指南》（上、下）同济大学数学系编
18
附：《高等数学》成绩考核与作业要求：
1、成绩考核:
平时成绩： 20% 期末考试： 80% 2、作业要求：
总成绩：满分100分
1）独立完成全部作业，及时上交作业。全学期作业次数不满三分之二，不准参加期末考试。作业本或作业纸上写上班级、姓名、学号
x0
x0
x0
x

点 x0 的空心邻域：U O ( x0 , )
{x 0 x x0 } ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 ) .
x0
x0
x0
x
27
4.常用不等式:
绝对值 :
x R ,
x
x x
, ,
x0, x0.
1o. x R, x 0 .
y M

微分中值定理的主要作用

微分中值定理的主要作用微分中值定理是高等数学中微分学的主要知识点。

在确定罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的基础上，深入分析了不同中值定理的推广形式。

在确定微分中值定理经典证明的前提下，分析以上之间的关系。

找出所有相关的证明形式，并分析1.引言在数学研究中，微分中值定理起着非常重要的作用。

在最近的数学考研中，与微分中值定理相关的命题层出不穷。

因此，对这部分问题的分析不仅能使我们深刻理解和认识微分中值定理的知识，而且对后续问题的解决也至关重要。

微分中值定理一般涵盖罗尔（Roll）定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理和泰勒(Taylor)公式。

上述部分彼此不断递进。

分析某个函数整体和部分，和众多函数彼此间的关系。

对了解函数的属性和根的存在性等部分具有关键的价值。

学微分中值定理这部分的时候，我们需要了解为何要学习，以及与其他定理间的关系与使用。

基于教材进行分析，我们逐渐了解到导数微分的关键性，然而并未讲解怎样使用，所以需要强化导数的使用，但是微分中值定理是导数使用的理论前提。

因此此部分知识非常关键。

其是此后分析函数极限，单调，凹凸性的前提。

基于微分中值定理的形成进行分析，此处主要的基础是函数最值问题。

而处理上述问题是使用微分中值定理。

学者们对微分中值定理的分析经历了200多年，主要从费马大定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展时期。

也正是在上述发展时期，学者们开始了解它们的内在联系和根本特征。

微分中值定理是浓缩版的概括，上面的概括和美国数学家克莱默对数学史上任何阶段大众对数学贡献的评价，那些能够统一过去，为未来发展找到出路的概念，应该算是最深的定义了。

从广义的角度看，微分中值定理定义如下。

微分中值定理是微分学的主要定理，在数学研究中具备关键位置，是分析函数在某区间内的综合性质的重要方式。

其主要包含众多定理。

此处拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，柯西中值定理是罗尔中值定理的推广；反之，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊案例，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊案例。

高等数学上册第七章课件.ppt

y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节可降阶的二阶微分方程
小结可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节可降阶的二阶微分方程
例求解解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]

矩阵的可对角化及其应用

附件：分类号O15商洛学院学士学位论文矩阵的可对角化及其应用作者单位数学与计算科学系指导老师刘晓民作者姓名陈毕专业﹑班级数学与应用数学专业07级1班提交时间二0一一年五月矩阵的可对角化及其应用陈毕（数学与计算科学系2007级1班）指导老师刘晓民摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。

本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用.关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换Matrix diagonolization and its applicationChen Bi(Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science)Advisor:Lecturer Liu Xiao MinAbstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory of matrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of solving method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc.Key words: The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。

过度矩阵的求法(数学考研)

过渡矩阵的求法1．预备知识1.1定义设{}12,,...,n ∂∂∂和{}12,,...,n βββ是数域p 上n 维线性空间V （简称V ）的两个基，那么11112121212122221122.................................n nn n n n n nn n a a a a a a a a a βββ=∂+∂++∂⎧⎪⎪=∂+∂++∂⎪⎨⎪⎪=∂+∂++∂⎪⎩(1)这里{}12,,...,j j nj∂∂∂就是j β关于基{}12,,...,n ∂∂∂的坐标()1,2,,j n = .以这n 个坐标为例作一个n 级矩阵T=1111n n nn a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ，矩阵T 叫作由基{}12,,...,n∂∂∂到基{}12,,...,n βββ的过度矩阵.上述关系式（1）又可以写成下面形式：{}{}1212,,...,,,...,n n T βββ=∂∂∂ (2)1.2 定理1．2．1 如果向量关于基{}12,,...,n∂∂∂的坐标是()12,,...,n x x x ；关于基{}12,,...,n βββ的坐标是()12,,...,n y y y ，则有坐标变换关系式：1122n n x y x y T x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 或11221n n y x y x T y x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3) 1．2．2 如果{}12,,...,n∂∂∂，{}12,,...,n βββ，{}12,,...,n γγγ都是V 的基，且由{}12,,...,n∂∂∂到基{}12,,...,n βββ的过度矩阵是A ，由基{}12,,...,n βββ到基{}12,,...,n γγγ的过度矩阵是B ，则由基{}12,,...,n ∂∂∂到基{}12,,...,n γγγ的过度矩阵是AB.1.2.3如果由基{}12,,...,n∂∂∂到基{}12,,...,n βββ的过度矩阵是T ，则由基{}12,,...,n βββ到基{}12,,...,n ∂∂∂的过度矩阵是1T -.2 对一般的n 维线性空间中基的过度矩阵的求法.2.1 利用定义中的关系式（1）据(1),求由基{}12,,...,n∂∂∂到基{}12,,...,n βββ的过度矩阵是T ，只要能计算出j β关于基{}12,,...,n∂∂∂的线性组合系数12,,...,j j nj a a a ()1,2,,j n = ,就可得出T 的第J 列元素，从而写出过度矩阵T.例1在n 维空间n p 中，12(1,0,...,0)(0,1,...,0)............(0,0, (1)n ξξξ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩，是一组基。

矩阵的初等变换及其应用

㊀㊀㊀㊀㊀㊀矩阵的初等变换及其应用矩阵的初等变换及其应用Һ顾江永㊀（宿迁学院文理学院，江苏㊀宿迁㊀２２３８００）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵的初等变换在代数学中具有重要的地位，本文给出了运用初等变换求解方程组的基础解系㊁特征值㊁多项式的最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形相似变换矩阵等方法，这些方法具有直观㊁简捷㊁有效等特点．ʌ关键词ɔ初等变换；基础解系；最大公因式；相似变换矩阵ʌ基金项目ɔ２０１９江苏省高校教学研究一般项目（２０１９ＳＪＡ１９９７）一㊁引㊀言矩阵的初等变换包括矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，矩阵的初等行（列）变换有三种形式［１］：（１）交换两行（列）；（２）任一行（列）的ｋ倍（ｋʂ０）；（３）任一行（列）的ｋ倍加到另一行（列）．在代数学中，矩阵的初等变换有着非常重要且广泛的应用，它常被应用于行列式的计算㊁方程组以及矩阵方程的求解㊁向量线性关系的判定㊁求矩阵的秩以及逆㊁λ－矩阵的不变因子和矩阵的Ｊｏｒｄａｎ标准形等．张家宝给出了初等变换求逆的几种方法［２］；石擎天等研究了初等变换求解方程组的特殊方法［３］；于莉琦等介绍了初等变换在行列式㊁矩阵和方程组中的应用［４］．本文给出了矩阵的初等变换求解方程组的基础解系㊁最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形的相似变换矩阵等方法及应用．二㊁预备知识引理１［５］㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，其中Ｐｍˑｍ，Ｑｎˑｎ为可逆矩阵，则有Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷．证明㊀因为Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，所以Ｅｒ０００æèçöø÷＝Ｐ－１ＡｍˑｎＱ－１，故Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＱ－１Ｑ－１æèçöø÷＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷，注：引理１给出了化一个矩阵为标准形的求Ｑ－１的方法．引理２㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，则矩阵ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２，，βｒ，０，，０Ｑ－１æèçöø÷，其中β１，β２，，βｒ线性无关，且ＡＱ＝β１，β２，，βｒ，０，，０()．证明㊀因为Ａｍˑｎ的秩为ｒ，所以Ａｍˑｎ的列秩等于ｒ，即矩阵Ａｍˑｎ列向量组的最大线性无关组由ｒ个向量构成，不妨设为β１，β２，，βｒ，故由初等变换的性质可得ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２，，βｒ，０，，０Ｑ－１æèçöø÷．引理３［６］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，将矩阵λＥ－Ａ经初等变换化为上三角形矩阵ｆ１（λ）００∗ｆ２（λ）０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）æèççççöø÷÷÷÷，则ｆｉ（λ）＝０（ｉ＝１，２，，ｎ）在数域Ｐ上的根即为矩阵Ａ的全部特征根．证明㊀根据初等变换的性质可知，初等变换不改变λＥ－Ａ＝０的根，故ｆ１（λ）００∗ｆ２（λ）０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）＝ｆ１（λ）ｆ２（λ）ｆｎ（λ）＝０的根即为矩阵Ａ的全部特征根．引理４㊀设ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），，ｆｓ（ｘ）是数域Ｐ上的多项式，且ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），，ｆｓ（ｘ）()Ｔ经初等行变换化为ｄ（ｘ），０，，０()Ｔ，则ｄ（ｘ）即为ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），，ｆｓ（ｘ）的最大公因式．证明㊀由辗转相除法原理直接可得［１］．三㊁主要结论定理１㊀设齐次线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０，其系数矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，又设Ｑ－１＝（η１，，ηｒ，ηｒ＋１，，ηｎ），则ηｒ＋１，ηｒ＋２，，ηｎ是线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０的基础解系．证明㊀设Ｑｘ＝ｙ１︙ｙｒ︙ｙｎæèçççççöø÷÷÷÷÷＝ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷，由Ａｍˑｎｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝０，可得Ｙｒ＝ｙ１︙ｙｒæèççöø÷÷＝０，所以ｘ＝Ｑ－１ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝Ｑ－１０︙０ｙｒ＋１︙ｙｎæèççççççöø÷÷÷÷÷÷．㊀㊀㊀㊀㊀令Ｑ－１＝（η１，，ηｒ，ηｒ＋１，，ηｎ），则ｘ＝ｙｒ＋１ηｒ＋１＋ｙｒ＋２ηｒ＋２＋＋ｙｎηｎ．因为Ｑ是可逆矩阵，则ηｒ＋１，ηｒ＋２，，ηｎ线性无关，所以ηｒ＋１，ηｒ＋２，，ηｎ为方程组的一个基础解系．定理２［７］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，矩阵λＥｎ－ＡＥｎæèçöø÷经初等变换化为φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）Ｑ（λ）æèççççöø÷÷÷÷（其中初等行变换只能在前ｎ行进行）．设Ｑ（λ）的第ｊ列为ｑｊ（λ），若λ－λ０()ｋ为φｊ（λ）的初等因子，则Ａｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！，，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷＝ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！，，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷λ０１００λ００︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．证明㊀由题设知，存在可逆矩阵Ｐ（λ），Ｑ（λ），使得Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()Ｑ（λ）＝φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）æèççöø÷÷．因为ｑｊ（λ）是Ｑ（λ）的第ｊ列，所以Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０，，０，φｊ（λ），０，，０）Ｔ．又设ｑｊ（λ）的幂级数展开式为ｑｊ（λ）＝ｑｊ（λ０）＋ｑᶄｊ（λ０）１！λ－λ０()＋ｑᵡｊ（λ０）２！λ－λ０()２＋，代入Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０，，０，φｊ（λ），０，，０）Ｔ，得λ０Ｅｎ－Ａ()ｑｊ（λ０）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑᶄｊ（λ０）＋ｑｊ（λ）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！＋ｑｋ－２()ｊ（λ０）ｋ－２()！＝０．上面等式两边相加㊁移项并提取矩阵Ａ可得Ａ(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！，，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)＝(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！，，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)λ０１００λ００︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．四㊁应用举例例１㊀求多项式ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式，其中ｆ１（ｘ）＝ｘ４＋２ｘ３＋４ｘ２＋３ｘ＋２，ｆ２（ｘ）＝ｘ４＋ｘ３＋３ｘ２＋ｘ＋２，ｆ３（ｘ）＝ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２．解㊀因为ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｆ１（ｘ）－ｆ２（ｘ）ｆ２（ｘ）－ｘｆ３（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘ－ｘ３－ｘ＋２ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２ｘ２＋ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２０æèççöø÷÷＝ｘ２＋ｘ＋２００æèççöø÷÷，所以由引理４知，ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式为ｄ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ＋２．例２㊀求齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＝０，３ｘ１＋２ｘ２＋ｘ３＋ｘ４－３ｘ５＝０，５ｘ１＋４ｘ２＋３ｘ３＋３ｘ４－ｘ５＝０{的基础解系．解㊀对系数矩阵Ａ施行初等行变换如下Ａ＝１１１１１３２１１－３５４３３－１æèççöø÷÷ ｒ２－３ｒ１ｒ３－５ｒ１１１１１１０－１－２－２－６０－１－２－２－６æèççöø÷÷ ｒ１＋ｒ２ｒ２ˑ（－１）ｒ３－ｒ２１０－１－１－５０１２２６０００００æèççöø÷÷．又１０－１－１－５０１２２６１０００００１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３＋ｃ１ｃ４＋ｃ１ｃ５＋５ｃ１１０００００１２２６１０１１５０１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３－２ｃ２ｃ４－２ｃ２ｃ５－６ｃ２１０００００１０００１０１１５０１－２－２－６００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷则由引理２知，方程组的基础解系为η１＝（１，－２，１，０，０）Ｔ，η２＝（１，－２，０，１，０）Ｔ，η３＝（５，－６，０，０，１）Ｔ．ʌ参考文献ɔ［１］王萼芳，石生明．高等代数（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９：５．［２］张家宝．浅谈求逆矩阵的几种方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（１０）：４－５．［３］石擎天，黄坤阳．线性方程组求解及应用［Ｊ］．教育教学论坛，２０２０（１２）：３２５－３２７．［４］于莉琦，高恒嵩．初等变换概述［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（０６）：１１６．［５］徐仲，陆全，等．高等代数考研教案（第２版）［Ｍ］．西安：西北工业大学出版社，２００９．［６］卢博，田双亮，等．高等代数思想方法及应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７．［７］朱广化．关于‘相似变换矩阵的简单求法“的改进［Ｊ］．数学通报，１９９４（１１）：４４－４６．。

考研数学常用预备知识之复数

七．复数1.基本定义称形如z x iy =+，,x y R ∈的数为复数，其中，i =，x 称为复数z 的实部，记为Re z ，y 称为复数的虚部，记为Im y z =。

当0y ≠时，称z x iy =+为虚数。

特别地，若0x =，又称z iy =为纯虚数。

当0y =时，0z x y x =+⋅=，为实数。

两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。

复数z 为零当且仅当其实部和虚部均为零。

2.复数运算令111z x iy =+，222z x iy =+。

(1) 加法运算121212()z z x x i y y +=+++(2) 减法运算121212()z z x x i y y -=-+-(3) 乘法运算1212121221()z z x x y y i x y x y =-++(4) 除法运算若20z ≠，则112122112222222222z x x y y x y x y i z x y x y +-=+++【备注1】实数四则运算规律以及实数运算中的代数恒等式都适合于复数。

3.共轭复数称z x iy =-为复数z x iy =+的共轭复数。

共轭复数满足如下几条性质： (1) 1212z z z z ±=±；(2) 1212z z z z =⋅； (3) 1122z z z z =； (4) 22(Re )(Im )zz z z =+； (5) 2Re z z z +=，2Im z z i z -=；4.复数的模称z =z 的模。

复数的模满足如下性质 (1) Re z z ≤，Im z z ≤，Re Im z z z ≤+； (2) 2z zz =； (3) 1212z z z z =⋅； (4) 1122z z z z =； 5.复数的表示(1) 代数表示z x iy =+就是一般的代数表示法。

(2) 三角表示复数z x iy =+对应了平面直角坐标系中的点(,)P x y ，而平面直角坐标系中的点也对应复数z x iy =+。

【考研数学】01.考研数学预备知识初高中知识点01讲义

预备知识轻松学一、函数基础知识1.函数的概念设数集R D ⊂，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数，通常简记为D x x f y ∈=),(，其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，{}D x x f y y D f ∈==),(|)(称为值域，f 称为对应法则。

2.函数的性质（1）单调性任取21x x <，有)()(21x f x f <，则函数)(x f 单调递增；任取21x x <，有)()(21x f x f >，则函数)(x f 单调递减。

（2）周期性若)()(x f T x f =+，则()f x 是以T 为周期的周期函数。

（3）奇偶性设函数()f x 的定义域D 关于原点对称.如果对其定义域D 内的任意一点x ，都有()()f x f x -=（或()()f x f x -=-），则称()f x 是一个偶函数（或奇函数）。

（4）有界性若M x f ≤)(，则函数有上界；若m x f ≥)(，则函数有下界；若0>M，对于I x ∈∀，有⇒≤M x f )(函数有界。

3.复合函数和反函数（1）复合函数设函数)(u f y =的定义域为f D ，函数)(x g u =的定义域为g D ，且其值域f g D D g ⊂)(，则由下式确定的函数[]g D x x g f y ∈=,)(称由函数)(x g u =与函数)(u f y =构成的复合函数，它的定义域为g D ，变量u 称为中间变量。

（2）反函数设函数)(:D f D f →是单射，则它存在逆映射D D f f →-)(:1，称此映射1-f 为函数f 的反函数，即：对每个)(D f y ∈，有唯一的D x ∈，使得y x f =)(，于是有)(1y f x -=.由于习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示，所以D x x f y ∈=),(的反函数也常记为)(),(1D f x x f y ∈=-.二、常用函数1．基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数，三角函数与反三角函数称为基本初等函数.以下为几个常见的基本初等函数的图像及性质：名称及表达式定义域图形（举例）特性幂函数y x α=随α而不同，但在(0,)+∞中都有意义经过点(1,1)；在第一象限内当0>α时，为增函数；当0<α时，为减函数指数函数xy a =(0,1)a a >≠(,)-∞+∞图象在x 轴上方，过点(0,1)．当01a <<时，为减函数；当1a >时，为增函数对数函数log a y x=(0,1)a a >≠(0,)+∞图像在y 轴的右侧；过点(1,0)；当01a <<时，为减函数；当1a >时为增函数三角函数正弦函数sin y x=(,)-∞+∞以2π为周期；奇函数，图形关于原点对称；在两直线1y =与1y =-之间，即1sin 1x -≤≤余弦函数cos y x=(,)-∞+∞以2π为周期；偶函数，图形关于y 轴对称；在两直线1y =与1y =-之间，即1cos 1x -≤≤正切函数tan y x=(21)2x k π≠+(0,1,2,)k =±±⋅⋅⋅以π为周期；奇函数；在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；值域为R反三角函数反正弦函数arcsin y x=[1,1]-单调增加；奇函数；值域：,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦反余弦函数arccos y x=[1,1]-单调减少；值域：[0,]π反正切函数arctan y x=(,)-∞+∞单调增加；奇函数；值域：,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭2．初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.3．分段函数12(),()(),g x x I f x h x x I ∈⎧=⎨∈⎩；(1)符号函数：1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩；(2)绝对值函数：(),()0()(),()0f x f x f x f x f x ≥⎧=⎨-<⎩；(3)取整函数：[()]f x ：不超过()f x 的最大整数值；(4)最值函数：{}(),()()max (),()(),()()f x f x g x f x g x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩；{}(),()()min (),()(),()()g x f x g x f x g x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩.三、常用公式1．代数（1）幂函数公式1(0)aa x x x-=≠，a b a bx x x +⋅=，()a k ak x x =，a b a b x x =.（2）对数公式ln ln ln (0),(0)x x v v u e e x x u e u ==>=>ln ln ln()a b ab +=，ln ln lnaa b b-=,ln ln k a k a =，其中0,0a b >>.（3）一元二次方程（2(0)y ax bx c a =++≠）图像：若0a >，开口向上；若0a <，开口向下；对称轴为2bx a-=。

北京科技大学825高等代数一2020年考研专业课初试大纲

《高等代数I》考试大纲一、课程教学基本要求1．课程重点：高等代数主要分为以下部分:矩阵,线性空间，线性变换, 多项式理论，线性方程组理论，行列式.矩阵理论的重点在矩阵的运算、分块矩阵.线性空间理论的重点在线性空间的概念、向量的线性关系、基、维数、坐标以及线性空间的直和分解.线性变换的重点是线性变换的像、核求法以及不变子空间的判定.多项式理论的重点在多项式的整除性，及多项式的因式分解理论.线性方程组理论的重点在线性方程组的解的结构和求解的算法.行列式的重点在行列式的计算.欧氏空间、二次型等内容上.矩阵与行列式是研究线性关系的重要工具，也是课程的重点内容之一，矩阵的方法贯穿课程的始终.2．课程难点：本课程的难点很多，从知识上讲，线性空间的概念、向量的线性相关性、线性映射，多项式在有理数域的分解、方程组解的判定、二次型正定的判定等等；从方法上讲，高等代数课程解决问题的方法比较灵活，技巧性比较强，是不易学习和掌握的.3．能力培养要求：要求学生熟练掌握线性空间和线性变换的基本理论，熟练掌握矩阵的初等变换、行列式这种重要的数学工具，掌握多项式的因式分解理论、向量组线性相关及线性无关理论.初步掌握线性代数的方法和技巧.二、课程教学内容与学时1．预备知识熟悉基本的概念：集合及运算，等价关系，映射、数域；2．多项式2.1 多项式，带余除法，整除性掌握带余除法，多项式的整除性.2.2 最大公因式了解公因式的概念，掌握最大公因式的定义、性质、算法.2.3 因式分解了解多项式的唯一分解定理，了解重因式及其判断方法、掌握不可约多项式及性质.2.4多项式的根熟练掌握余式定理及其应用.2.5复系数、实系数多项式掌握代数学基本定理，了解复系数、实系数多项式在相应数域中的分解形式，掌握根与系数的关系定理.2.6整系数多项式了解本原多项式的概念及Gauss引理，掌握Eisenstein判别法.3．矩阵3.1 矩阵的概念及运算了解矩阵的背景，熟练掌握矩阵的和、差、数乘、乘法、转置运算.3.2 矩阵的初等变换1。

一类特殊正定矩阵的证明问题

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2021, 10(4), 1324-1328 Published Online April 2021 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2021.104141
2. 预备知识
定理[2]：矩阵相似
设 A, B 为数域 P 上两个 n 级矩阵，如果有数域 P 上 n 级矩阵 X，使得 B = X -1AX 。
定理[2]：矩阵合同
数域 P 上 n × n 矩阵 A, B 称为合同的，如果有数域 P 上 n × n 矩阵 C，使得 B = C′AC 。
定理[2]：正定矩阵
是正定矩阵。
方法三[5]：
证明：必要性显然，
现证充分性： AB = BA ， ( AB=)) B= ′A′ BA ，显然 AB 是对称矩阵，我们只需要 AB 的特征值都大于
零就可以了。这里由于 A 是正定矩阵，则 A = CTC ，其中 C 是可逆矩阵，则有= AB C= C′B CC′BCC−1 。根据相似与合同的定义可以得到 CC′BCC−1 ≈ C′BC ≅ B (相似不改变特征值，合同不改变特征值的正负)，
Abstract
Positive definite matrix is a special kind of matrix. As a subclass of symmetric matrix, positive definite matrix has a wide range of applications in mathematical analysis, such as discriminating the extreme value of multivariate functions and judging the monotonicity of functions. It possesses not only the diagonalization property of symmetric matrices, but also the higher property that

高等数学《极限与连续-绪论》课件

2 x 2
. x0
3.初等函数由基本初等函数及常数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的可用一个式
子表示的函数,称为初等函数.
4.双曲函数与反双曲函数（自学）
内容小结
1. 预备知识
2. 函数的定义
3. 函数的特性
有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性 4. 复合函数、初等函数
作业: P1 1.1 课后作业: 书上习题1.1
1 x sin
(1) y e 1x (2) y (arctan sin3 x )3 解 (1)由y eu , u sinv, v w , w 1 x 复合而成
1 x
(2) y u3 , u arctan v, v w , w t 3 , t sin x
复合而成.
例3 设 x2
若M2 , x X , 有 f ( x) M2成立, 则称f ( x)在X上有下界
可以证明（课后完成） f (x) 在 X上有界 f (x) 在 X上既有上界又有下界
如: y sin x 在 ,内有界.
例1: 试证
y 1 在1,2内有界,在0,1内无界.
x
证: (1) x 1, 2, 1 1 y 1 在1, 2内有界.
预习：数列的极限、函数的极限
U(a, ) a ,a x x a
{x a x a }
a
a
a x
去心邻域: U 0 (a, ) x 0 x a , 0
3. 极坐标系
P
O称为极点, Ox称为极轴,
M
MM点点的的直极角坐坐标标记记为为MM((,x,y)或) (r, )
是射线OP上由O到M的距离
y tan x
余切函数
y cot x

数项级的敛散性判别法

第六讲数项级数的敛散性判别法§1 柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理：比较原理I ：设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑都是正项级数，存在0c >，使（i ）若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑也收敛；（ii ）若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑也发散．比较原理II （极限形式）设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑均为正项级数，若则1n n u ∞=∑、1nn v∞=∑同敛散．根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法．定理1（柯西判别法1）设1nn u∞=∑为正项级数，（i ）若从某一项起（即存在N ，当n N >1q ≤<（q 为常数），则1nn u∞=∑收敛；（ii1≥，则1n n u ∞=∑发散．证（i ）若当n N >1q ≤<，即nn u q≤，而级数1nn q∞=∑收敛，根据比较原理I 知级数1nn u∞=∑也收敛．（ii ）1≥，则1n u ≥，故lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件知1nn u ∞=∑发散．定理证毕．定理2（柯西判别法2）设1nn u∞=∑为正项级数，n r =，则：（i ）当1r <时，1nn u ∞=∑收敛；（ii ）当1r>（或r =+∞）时，1n n u ∞=∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效．例1 判别下列正项级数的敛散性23123(1)()()()35721nn n ++++++；n nn e∞-∑n=1(2)n n x α∞∑n=1(3)（α为任何实数，0x >）．解 (1) 因为112n r==<，所以原级数收敛．(2) 因为lim n n nre→∞===∞，所以原级数发散．(3) 对任意α，n rx ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时，此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1α-≤时，即1α≥-时发散．例2 判别级数11[(1)]3n nnn ∞=+-∑的敛散性．解由于不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛．例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)nn n a ∞=-∑发散，试问级数111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑是否收敛？并说明理由．解答案：级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛，证明如下：由于{}n a 单调减少且0,n a ≥根据单调有界准则知极限lim n n a →∞存在．设lim ,n n a a →∞=则0a ≥．如果0,a =则由莱布尼兹判别法知1(1)nnn a∞=-∑收敛，这与1(1)nnn a∞=-∑发散矛盾，故0a >．再由{}n a 单调减少，故0,n a a >>取111q a =<+，根据柯西判别法1知111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛．下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法．定理3（广义柯西判别法1）设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的通项n u 的()0an b a +>次根的极限等于r，即lim an n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =级数可能收敛也可能发散．证因为lim an n r →∞=，即对任给正数ε，存在正整数1N ，当1n N >时，有()()an r r εε-<<+ （1）对于任给常数b ，总存在2N ，当有2n N >时有0an b +> （2）取{}12max ,N N N =，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立．当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，那么有an bn u q+<，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑收敛（因为其为等比级数且公比01nq <<），由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>，由上面的讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，则an bn u q+>，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑发散，由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑发散．当1r =时，取1n pu n =，那么，对任何0,a b >为常数，有/()1lim lim 1an p an b n n n +→∞→∞==．而11n n ∞=∑发散，211n n∞=∑收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕．例4 判别级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑的收敛性．解因为21lim lim01,31n n n →∞→∞==<-由广义柯西判别法1知，级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑收敛．注例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多．定理4（广义柯西判别法2）设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的一般项n u 的m n （m 是大于1的正整数）次根的极限等于r，即lim n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．证因为lim n r →∞=，即对任给的正数ε，存在正整数N ，当n N >时有当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上面的讨论，存在N ，当n N >时，有m n n u q <．因为mn nqq <，又正项级数1nn q ∞=∑收敛（因(0,1)q ∈），由比较审敛法知1mnn q ∞=∑收敛，所以1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上面的讨论，存在N ，当n N >时，有1mn n u q>>，那么lim 0n n u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．当1r =时，同样取()10n p u p n=>，那么这说明1r =时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．注广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法1中，取1,0a b ==，在广义柯西判别法2中，取1m =便得定理2（柯西判别法2）．例5 判断级数2121n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑的收敛性．解因为1lim lim lim1212n n n n n →∞→∞→∞===<+，由广义柯西判别法2知原级数收敛．定理5（广义柯西判别法3）设,0,0,(1,2,)n n n n n w u v u v n =≥≥=，若n u =，1limnn n v v v →∞-=．则当1uv <时，级数1n n w ∞=∑收敛；当1uv >时，级数1n n w ∞=∑发散[2]．为证明定理5，需要一些预备知识：Stolz 定理设{}n a 、{}n b 为两个数列，数列{}n b 在某顶之后单调递增,且lim n n b →∞=+∞，若11limn n n n n a a l b b -→∞--=-，（或+∞），则lim n n nal b →∞=（或+∞）．命题1 设数列{}n x ．若lim n n x l →∞=，则12lim lim nn n n x x x l x n→∞→∞+++==。

西安电子科技大学数学分析考研大纲-西安电子科技大学研究生招生信息网

西安电子科技大学数学分析考研大纲一、考试总体要求与考试要点1．考试对象考试对象为具有全国硕士研究生入学考试资格并报考西安电子科技大学理学院数学科学系硕士研究生的考生。

2．考试总体要求测试考生对数学分析的基本内容的理解、掌握和熟练程度。

要求考生熟悉数学分析的基本理论、掌握数学分析的基本方法，具有较强的抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力。

3．考试内容和要点(一) 实数集与函数1、实数：实数的概念；实数的性质；绝对值不等式。

2、函数：函数的概念；函数的定义域和值域；复合函数；反函数。

3、函数的几何特性：单调性；奇偶性；周期性。

要求：理解和掌握绝对值不等式的性质，会求解绝对值不等式；掌握函数的概念和表示方法，会求函数的定义域和值域，会证明具体函数的几何特性。

(二) 数列极限1、数列极限的概念（N ε-定义）。

2、数列极限的性质：唯一性；有界性；保号性。

3、数列极限存在的条件：单调有界准则；两边夹法则。

要求：理解和掌握数列极限的概念，会使用N ε-语言证明数列的极限；掌握数列极限的基本性质、运算法则以及数列极限的存在条件(单调有界原理和两边夹法则)，并能运用它们求数列极限；了解无穷小量和无穷大量的概念性质和运算法则，会比较无穷小量与无穷大量的阶。

(三) 函数极限1、函数极限的概念（εδ-定义、X ε-定义）；单侧极限的概念。

2、函数极限的性质：唯一性；局部有界性；局部保号性。

3、函数极限存在的条件：海涅归结原则。

4、两个重要极限。

要求：理解和掌握函数极限的概念，会使用εδ-语言以及X ε-语言证明函数的极限；掌握函数极限的基本性质、运算法则，会使用海涅归结原理证明函数极限不存在；掌握两个重要极限并能利用它们来求极限；了解单侧极限的概念以及求法。

(四) 函数连续1、函数连续的概念：一点连续的定义；区间连续的定义；单侧连续的定义；间断点的分类。

2、连续函数的性质：局部性质及运算；闭区间上连续函数的性质（最值性、有界性、介值性、一致连续性）；复合函数的连续性；反函数的连续性。

空间直线与平面的交点

专题研究•ZHUANTI YANJIU空间直线与平面的交点◎朱鹏先1项巧敏2(1.广州工商学院基础教学部，广东广州510850；2.佛山科学技术学院数学与大数据学院，广东佛山528000)【摘要】本文致力于研究空间解析几何中直线与平面的交点问题,探讨直线方程分别是对称式和一般式的情况下,该直线与平面的交点坐标，并将求交点的方法应用到求点在平面上的投影.【关键词】直线；平面；交点；投影引言在本科高等数学的教学中，空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识•本文着重介绍了直线和平面的定义，直线和平面的方程，直线与直线、直线与平面的位置关系,但是直线与平面的交点问题涉及的并不多•本文将对直线与平面的交点问题进行归纳总结,给出交点坐标公式,同时将上述结果应用到求点在平面上的投影•该问题的研究不仅拓展了空间解析几何的教学内容，同时为考研升学的同学提供知识储备.一、预备知识定义1设M0(*0，%,勺)是平面n上一已知点，n= (久B,C)是它的法向量，则方程人(*-*o)+B(厂y o)+C(z-勺)二0(1)称为平面的点法式方程.将方程(1)化简,得方程A*+By+Cz+D= 0,(2)则称方程(2)为平面的一般式方程.图2在方程(3)中，如果令*^=U=/(p</<+8m n p是参数)，那么*=*°+m/,y=y0+n/,z=z°+p力叫作直线/的参数方程.二、主要结果1.情形一:直线方程为对称式命题1设直线/的方程为一0二」=—0,平面nm n p的方程为A*+By+Cz+D= 0,则(1)当Am+Bn+卬=0,即s丄n时，直线与平面平行，无交点,其中,s二(m,n,p)为直线/的方向向量,n二(A,B,C)为平面n的法向量.(2)当Am+Bn+Cp M0,即s=(m,n,p)与n=(A,B,C)不垂直时，此时直线与平面有交点P(*,y,z)，且满足m(A*0+B y0+Cz0+D)*二*0----------------------------,Am+Bn+Cp=n(A*o+B y o+Cz o+D)(4)y V o Am+Bn+Cp，=p(A*0+B y o+Cz0+D)z z°Am+Bn+Cp•证明(1)结果显然可见.定义2方程组*+y+C2z+0=0,A2*+B2y+C2z+D2二0,称为直线的一般方程.定义3设空间直线/过定点M o(*o，y o，z。

考研数学预备知识 -定积分公式表

高等数学上 函数 教案 初等函数

《线性代数》课程教学大纲

《线性代数》课程教学大纲

高等教育数学分析高等代数参考书书单

高等数学绪论

微分中值定理的主要作用

高等数学上册第七章课件.ppt

矩阵的可对角化及其应用

过度矩阵的求法(数学考研)

矩阵的初等变换及其应用

考研数学常用预备知识之复数

【考研数学】01.考研数学预备知识初高中知识点01讲义

北京科技大学825高等代数一2020年考研专业课初试大纲

一类特殊正定矩阵的证明问题

高等数学《极限与连续-绪论》课件

数项级的敛散性判别法

西安电子科技大学数学分析考研大纲-西安电子科技大学研究生招生信息网

空间直线与平面的交点

高等数学上函数教案初等函数