人教版高中数学导数及其应用精品课件
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人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 基本初等函数的导数
2
=-3 .
-3
(3)y'=14x13.
1
(4)∵y=4 =x-4,
∴y'=-4x
4
=-5 .
-5
1
5
;(4)y= 4 ;(5)y=
1 x
3
x ;(6)y=(3) ;(7)y=log3x.
-2
0
14
(1)y=e ;(2)y=x ;(3)y=x
5
解 (5)∵y= x 3 =
3 -2
∴y'= x 5
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进
行求解.两种情况的区别就在于切点已知和未知的问题,都需要借助导数的
几何意义求解.
变式训练3[2024广东惠州高二统考]已知函数f(x)=x3.求:
(1)曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
★★(2)曲线y=f(x)过点B(0,16)的切线方程.
解 (1)因为f'(x)=3x2,所以f'(1)=3,
又f(1)=1,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
(2)设切点为(x0,03 ),则 f'(x0)=302 ,所以切线方程为 y-03 =302 (x-x0).
因为切线过点 B(0,16),
m
n
x ,从而 f'(x)=(x
m
n
m
)'= n
·x
m
-1
n
.
思考辨析
对于幂函数f(x)=xα,当α分别取1,2,3,-1,
1
时,f'(x)分别为多少?
2
人教版高中数学课件-导数及其应用
45°dx+ 20dx 90
= 83500(x+20)dx+ 825900(x+20)dx+9102020dx
=
8312x2+20x| 500+
8212x2+20x|
9500+20x|
120 90
=
3 8 (1
250+1
000)+
2 8 (2
800+800)+20(120-90)
=1
125 4
3+450
2+600(N·cm).
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
用定积分求变力做功:
(1)求变力做功,要根据物理学的实际意义,求出变力F的
表达式,这是求功的关键.
(2)由功的物理意义知,物体在变力F(x)的作用下,沿力
F(x)的方向做直线运动,使物体从x=a移到x=b(a<b).因此,
求變速直線運動的路程、位移
有一動點P沿x軸運動,在時間t的速度為v(t)=8t -2t2(速度的正方向與x軸正方向一致).求:
(1)P從原點出發,當t=3時,離開原點的路程; (2)當t=5時,P點的位置; (3)從t=0到t=5時,點P經過的路程; (4)P從原點出發,經過時間t後又返回原點時的t值. [思路點撥] 首先要確定的是所要求的是路程還是位移, 然後用相應的方法求解.
解析: 在AB段運動時F在運動方向上的分力F1=Fcos 30°.在BC段運動時F在運動方向上的分力F2=Fcos 45°.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
由变力做功公式得
W=∫50014x+5cos
= 83500(x+20)dx+ 825900(x+20)dx+9102020dx
=
8312x2+20x| 500+
8212x2+20x|
9500+20x|
120 90
=
3 8 (1
250+1
000)+
2 8 (2
800+800)+20(120-90)
=1
125 4
3+450
2+600(N·cm).
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
用定积分求变力做功:
(1)求变力做功,要根据物理学的实际意义,求出变力F的
表达式,这是求功的关键.
(2)由功的物理意义知,物体在变力F(x)的作用下,沿力
F(x)的方向做直线运动,使物体从x=a移到x=b(a<b).因此,
求變速直線運動的路程、位移
有一動點P沿x軸運動,在時間t的速度為v(t)=8t -2t2(速度的正方向與x軸正方向一致).求:
(1)P從原點出發,當t=3時,離開原點的路程; (2)當t=5時,P點的位置; (3)從t=0到t=5時,點P經過的路程; (4)P從原點出發,經過時間t後又返回原點時的t值. [思路點撥] 首先要確定的是所要求的是路程還是位移, 然後用相應的方法求解.
解析: 在AB段運動時F在運動方向上的分力F1=Fcos 30°.在BC段運動時F在運動方向上的分力F2=Fcos 45°.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
由变力做功公式得
W=∫50014x+5cos
高中数学_课时导数及其应用课件_新人教A版选修
1
(7)(lnx)′= x ; 1 (8)(loga x)′ = xlna (a>0 且
a≠1).
基础知识梳理
4.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x) ; (2)[f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;
f′(x)g(x)-f(x)g′(x)
课堂互动讲练
考点二
导数的运算
1.运用可导函数求导法则和导 数公式,求函数y=f(x)在开区间(a, b)内的导数的基本步骤:
(1)分析函数y=f(x)的结构和特 征;
(2)选择恰当的求导法则和导数公 式求导;
(3)整理得结果.
课堂互动讲练
2.对较简洁的函数求导时,应 先化简再求导,格外是对数函数真数 是根式或分式时,可用对数的性质把 真数转化为有理式或整式求解更为便 利.
f(x0);
(2)
求
平
均
变
化
率
Δy Δx
=
f(x0+Δx)-f(x0); Δx
课堂互动讲练
(3)得导数 f′(x0)=Δlxim→0 ΔΔxy.简记作: 一差、二比、三极限.
课堂互动讲练
例1 利用导数的定义求函数 y= 1 的导数. x
【思路点拨】
→ 求Δlixm→0
Δy Δx .
求Δy → 求ΔΔxy
第1课时 变化率与导数、导数的计算
基础知识梳理
1.导数的概念
(1)f(x)在 x=x0 处的导数
是 liΔ函xm→数0 fy(=x0+ f(xΔ)Δ在xx)-x=f(xx00)处=的liΔ瞬xm→时0 变ΔΔxy化,称率
其为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作
(7)(lnx)′= x ; 1 (8)(loga x)′ = xlna (a>0 且
a≠1).
基础知识梳理
4.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x) ; (2)[f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;
f′(x)g(x)-f(x)g′(x)
课堂互动讲练
考点二
导数的运算
1.运用可导函数求导法则和导 数公式,求函数y=f(x)在开区间(a, b)内的导数的基本步骤:
(1)分析函数y=f(x)的结构和特 征;
(2)选择恰当的求导法则和导数公 式求导;
(3)整理得结果.
课堂互动讲练
2.对较简洁的函数求导时,应 先化简再求导,格外是对数函数真数 是根式或分式时,可用对数的性质把 真数转化为有理式或整式求解更为便 利.
f(x0);
(2)
求
平
均
变
化
率
Δy Δx
=
f(x0+Δx)-f(x0); Δx
课堂互动讲练
(3)得导数 f′(x0)=Δlxim→0 ΔΔxy.简记作: 一差、二比、三极限.
课堂互动讲练
例1 利用导数的定义求函数 y= 1 的导数. x
【思路点拨】
→ 求Δlixm→0
Δy Δx .
求Δy → 求ΔΔxy
第1课时 变化率与导数、导数的计算
基础知识梳理
1.导数的概念
(1)f(x)在 x=x0 处的导数
是 liΔ函xm→数0 fy(=x0+ f(xΔ)Δ在xx)-x=f(xx00)处=的liΔ瞬xm→时0 变ΔΔxy化,称率
其为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.1.2 导数及其几何意义
即
202 =1,∴x0=±
2
.
2
2
2
当 x0=- 时,切线 l 的方程为 y-2× 2
2
2
2
当 x0= 时,切线 l 的方程为 y-2×
2
2
2
2
2
2
-1=4× x-4× 2
2
2
2
-1=4× x-4×
2
2
2
,即 y=-2√2x;
2
,即 y=2√2x.
故过点 P(0,0)且与曲线 C 相切的直线 l 的方程为 y=-2√2x 或 y=2√2x.
Δ (0 +Δ)-(0 )
(2)求平均变化率Δ =
.
Δ
f(x0 +x)-f(x0 )
(3)取极限,得导数 f'(x0)= lim
.
x
Δ→0
【变式训练1】 求函数f(x)=3x2+ax+b在x=1处的导数.
解:当自变量在x=1处的改变量为Δx时,
∵Δf=f(1+Δx)-f(1)=[3(1+Δx)2+a(1+Δx)+b]-(3+a+b)=3(Δx)2+(6+a)Δx,
则Δ =
=
Δ
Δ
=(Δx)2+3x0Δx+302 .
所以 f'(x0)= lim [(Δx)2+3x0Δx+3x02 ]=3x02 .
Δ→0
故切线方程为 y-x03 =3x02 (x-x0).
而该切线经过点(1,1),所以 1-x03 =3x02 (1-x0),
1
解得 x0=1 或 x0=-2.
202 =1,∴x0=±
2
.
2
2
2
当 x0=- 时,切线 l 的方程为 y-2× 2
2
2
2
当 x0= 时,切线 l 的方程为 y-2×
2
2
2
2
2
2
-1=4× x-4× 2
2
2
2
-1=4× x-4×
2
2
2
,即 y=-2√2x;
2
,即 y=2√2x.
故过点 P(0,0)且与曲线 C 相切的直线 l 的方程为 y=-2√2x 或 y=2√2x.
Δ (0 +Δ)-(0 )
(2)求平均变化率Δ =
.
Δ
f(x0 +x)-f(x0 )
(3)取极限,得导数 f'(x0)= lim
.
x
Δ→0
【变式训练1】 求函数f(x)=3x2+ax+b在x=1处的导数.
解:当自变量在x=1处的改变量为Δx时,
∵Δf=f(1+Δx)-f(1)=[3(1+Δx)2+a(1+Δx)+b]-(3+a+b)=3(Δx)2+(6+a)Δx,
则Δ =
=
Δ
Δ
=(Δx)2+3x0Δx+302 .
所以 f'(x0)= lim [(Δx)2+3x0Δx+3x02 ]=3x02 .
Δ→0
故切线方程为 y-x03 =3x02 (x-x0).
而该切线经过点(1,1),所以 1-x03 =3x02 (1-x0),
1
解得 x0=1 或 x0=-2.
最新人教版高中数学选修导数及其应用ppt课件
• 1.利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一, 其步骤为: • (1)求导数f′(x); • (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0; • (3)确定并指出函数的单调增区间、减区间. • 特别要注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,” 隔开,绝对不能用“∪”连接.
• 2.如果函数y=f(x)在区间(a,b)的导数f′(x)>0总成立,则 该函数在(a,b)上单调递增;f′(x)<0总成立,则该函数在 (a,b)上单调递减,求函数的单调区间转化为解不等式 f′(x)>0或f′(x)<0.
第一章 导数及其应用
1.导数的概念 对于函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0 处有增量 Δx, Δy 那么函数 y 相应地有增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0), 比值Δx就 Δy 叫做函数 y=f(x)从 x0 到 x0+Δx 的平均变化率,即 = Δx f(x0+Δx)-f(x0) Δy .如果当 Δx→0 时,Δx有极限,我们就说 y Δx =f(x)在点 x0 处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x0 处的 f(x0+Δx)-f(x0) Δy 导数, 即 y′|x=x0=f′(x0)=Δ lim lim . x→0 Δx=Δ x→0 Δx
函数 y=f(x)的导函数 f′(x), 就是当 Δx→0 时, 函数的 Δy 增量 Δy 与自变量的增量 Δx 之间的比值 的极限, 即 f′(x) Δx f(x+Δx)-f(x) Δy =Δ lim lim . x→0 Δx=Δ x→0 Δx
• 2.导数的意义 • (1) 几何意义:函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f′(x0) 就是曲线 y =f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=f′(x0). • (2)物理意义:函数s=s(t)在点t处的导数s′(t),就是当物体 的运动方程为s=s(t)时,运动物体在时刻t时的瞬时速度v, 即v=s′(t).而函数v=v(t)在t处的导数v′(t),就是运动物体 在时刻t时的瞬时加速度a,即a=v′(t).
高中数学第一章导数及其应用本章整合课件新人教版B
令 y=0,得 xk=xk-1-1(2≤k≤n).
(2)由 x1=0,xk-xk-1=-1,得 xk=-(k-1),
所以|PkQk|= e = e − ( − 1), 于是
Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)=
1-e-
1-e-1
()d > 0, 所以 =
()d < 0, 所以 =
()d. (2)如图②所示, () < 0,
()d
=
−
()d. (3)如图③所示, 当≤x≤c
时,f(x)≤0, ()d < 0; 当≤x≤b 时,f(x)≥0, ()d > 0,
所以 = ()d + ()d = − ()d + ()d.
专题一
专题二
专题三
专题四
由两条曲线 f(x)和 g(x),直线 x=a,x=b(a<b)所围成的平面图形的
面积为 S.如图④所示,若 f(x)>g(x),则 S=
[() − ()]d.
当x<-1时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,-1)内是减函数;
当x>-1时,f'(x)>0,f(x)在(-1,+∞)内是增函数.
所以x=-1为f(x)的极小值点.
答案:D
1
2
3
4
5
6
7
(2)由 x1=0,xk-xk-1=-1,得 xk=-(k-1),
所以|PkQk|= e = e − ( − 1), 于是
Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)=
1-e-
1-e-1
()d > 0, 所以 =
()d < 0, 所以 =
()d. (2)如图②所示, () < 0,
()d
=
−
()d. (3)如图③所示, 当≤x≤c
时,f(x)≤0, ()d < 0; 当≤x≤b 时,f(x)≥0, ()d > 0,
所以 = ()d + ()d = − ()d + ()d.
专题一
专题二
专题三
专题四
由两条曲线 f(x)和 g(x),直线 x=a,x=b(a<b)所围成的平面图形的
面积为 S.如图④所示,若 f(x)>g(x),则 S=
[() − ()]d.
当x<-1时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,-1)内是减函数;
当x>-1时,f'(x)>0,f(x)在(-1,+∞)内是增函数.
所以x=-1为f(x)的极小值点.
答案:D
1
2
3
4
5
6
7
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.2.2课时)
新知探究
例7
x+3
求y = 2
在点x = 3处的导数.
x +3
2
1
(
x
3) ( x 3) 2 x
'
解:y
( x 2 3) 2
x2 6 x 3
( x 2 3) 2
9 18 3 24
1
y |x 3
2
(9 3)
144
6
'
新知探究
2.导数的运算法则
1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′
2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
f x f′
x g x - f x g′
x
3.
g x 0
′=
2
g x
新知探究
名词解释
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数
为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为
y x′= y u′
u x′.
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即
(u v) u v
新知探究
1.和(或差)的导数
(u v) u v
证明: y f ( x) u( x) v( x)
u ( x x) u ( x) v( x x) v( x)
导数及其应用课件新人教版
所以当 0<x<4a2 时 h′(x)<0,h(x)在(0,4a2)上递减;
当 x>4a2 时,h′(x)>0,h(x)在(0,4a2)上递增.
所以 x=4a2 是 h(x)在(0,+∞)上的唯一极值点,且是极
小值点,从而也是 h(x)的最小值点.
所以 φ(a)=h(4a2)=2a-aln4a2.
│ 要点热点探究
│ 要点热点探究
下面用反证法证明 假设 f′(x1)=f′(x2),由于曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2)) 处的切线都过点(0,2),
23x13-a2x21+1=0,1 则下列等式成立23x32-a2x22+1=0,2
x21-ax1=x22-ax2,3
│ 主干知识整合
2.导数的四则运算法则 (1)(u±v)′=u′±v′; (2)(uv)′=u′v+uv′; (3)uv′=u′v-v2 uv′(v≠0).
│ 主干知识整合
三、导数的应用 1.利用导数求曲线的切线. 2.利用导数判断函数的单调性: (1) 导 数 与 单 调 性 的 关 系 : 在 某 个 区 间 内 , 如 果 f′(x)>0(f′(x)<0),那么函数 f(x)在这个区间内单调递增 (减);如果 f′(x)=0,那么函数在这个区间内是常数函数; 如 果 f(x) 在 某 个 区 间 内 是 增 ( 减 ) 函 数 , 则 导 数 f′(x)≥0(f′(x)≤0). (2)求 单 调 区 间 的 一 般 步 骤 : ① 确 定 定 义 域 , ② 求 f′(x),③解不等式 f′(x)>0 得函数的递增区间;解不等 式 f′(x)<0 得函数的递减区间.
│ 主干知识整合
(人教版)高中数学选修1-1课件:第3章导数及其应用3.3.2
• [提示] 在山峰左侧f′(x)>0,上升趋势; 右侧f′(x)<0,降落趋势.
极小值点与极小值
• 如图,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它 在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而 且在点x=a的左侧________,右侧 _f_′(_x_)<_0_______,则f′(x把)>0点a叫做函数y=f(x)的极小值 点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
• 对函数的极值的理解
• (1)极值是一个局部概念:由定义可知,极值只 是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大 或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内 最大或最小.
• (2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区 间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
• (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系, 即一个函数的极大值未必大于极小值,如图所 示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).
x=a 解的个数,可转化为函数 g(x)=13x3-x 与函数 y=a 图象交
点个数.函数 y=a 的图象为平行于 x 轴的直线,下面研究 g(x)
=13x3-x 的图象.
2分
由题意知,g′(x)=x2-1,
令 g′(x)=x2-1=0,
解得 x=1 或 x=-1.
4分
∴当 x>1 或 x<-1 时,g′(x)>0;
由上表可知,函数 f(x)在区间(-∞,0)上是减函数,在区间
0,34上还是减函数,因此 x=0 不是函数的极值点;而函数 f(x)
在区间0,34上是减函数,在区间34,+∞上是增函数,因此在 x=34处取得极小值,其值为-22576.
合作探究 课堂互动
极小值点与极小值
• 如图,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它 在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而 且在点x=a的左侧________,右侧 _f_′(_x_)<_0_______,则f′(x把)>0点a叫做函数y=f(x)的极小值 点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
• 对函数的极值的理解
• (1)极值是一个局部概念:由定义可知,极值只 是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大 或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内 最大或最小.
• (2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区 间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
• (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系, 即一个函数的极大值未必大于极小值,如图所 示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).
x=a 解的个数,可转化为函数 g(x)=13x3-x 与函数 y=a 图象交
点个数.函数 y=a 的图象为平行于 x 轴的直线,下面研究 g(x)
=13x3-x 的图象.
2分
由题意知,g′(x)=x2-1,
令 g′(x)=x2-1=0,
解得 x=1 或 x=-1.
4分
∴当 x>1 或 x<-1 时,g′(x)>0;
由上表可知,函数 f(x)在区间(-∞,0)上是减函数,在区间
0,34上还是减函数,因此 x=0 不是函数的极值点;而函数 f(x)
在区间0,34上是减函数,在区间34,+∞上是增函数,因此在 x=34处取得极小值,其值为-22576.
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(人教版)高中数学选修2-2课件:第1章 导数及其应用1.2.1、2(1)
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求简单函数的导函数有两种基本方法: (1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂; (2)用导数公式求导 ,可以简化运算过程、降低运算难 度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调 整,再选择合适的求导公式.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
A.(0,0)
B.(0,1)
C.(1,0)
D.以上都不是
解析: (x3)′=3x2,若切线平行或重合于x轴则切线斜率k
=0,即3x2=0得x=0,
∴y=0,即切点为(0,0).故选A.
答案: A
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第一章 导数及其应用
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3.函数f(x)=sin x,则f′(6π)=________. 解析: f′(x)=cos x,所以f′(6π)=1. 答案: 1
6分 8分
10 分 12 分
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1.求过点P的切线方程时应注意,P点在曲线 上还是在曲线外,两种情况的解法是不同的.
2.解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系: 一是切点坐标满足曲线方程;二是切点坐标满足对应切线 的方程;三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值.
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(1)y′=-3x-4.(2)y′=3xln 3.
(4)y′=xln1 5.(5)y=sin x,y′=cos x. (6)y′=0.(7)y′=1x.(8)y′=ex.
高中数学优质课件精选人教版选修1-1课件第3章导数及其应用3.2
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(2)设切点为 P(x0,y0),
则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x02+1,
6分
直线 l 的方程为 y-y0=(3x20+1)(x-x0),
即 y=(3x20+1)(x-x0)+x30+x0-16.
8分
又因直线 l 过点(0,0),所以(3x20+1)(0-x0)+x03+x0-16=0,
32.
• 【错因】 错解中没有验证点M与曲线的位 置关系,而直接把它当作是曲线上的切点.
【正解】 设切点坐标为 N(x0,2x30-3x0),由导数的几何意义 知切线的斜率 k 就是切点处的导数值,而 f′(x)=6x2-3,所以 切线的斜率 k=f′(x0)=6x20-3,所以切线方程为 y=(6x20-3)x+ 32.又点 N 在切线上,所以有 2x30-3x0=(6x20-3)x0+32,解得 x0 =-2.故切线方程为 y=21x+32.
方法二:∵y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6, ∴y′=18x2-8x+9. (3)方法一:y′=xx- +11′ =x-1′x+1x+-1x2-1x+1′ =x+1x+-1x2-1=x+212.
方法二:∵y=xx+-11=x+x+1-1 2=1-x+2 1, ∴y′=1-x+2 1′=-x+2 1′ =2′x+1x+-122x+1′=x+212.
x12′=(x-2)′=-2x-3
-
1x′=(-x-12
)′=12x-32
=1 2x
x
2.已知函数 f(x)=1x,则 f′(-3)=( )
A.4
B.19
C.-14 解析:
D.-19 f′(x)=-x12,f′(-3)=--132=-19.
高中数学优质课件精选人教版选修2-2课件第1章导数及其应用1.5.12
6分
(3)求和
sn=i=n1Δsi=i=n1gi-n 1·t·nt
=gnt22[0+1+2+…+(n-1)] =12gt21-1n. (4)取极限 当n无限趋近于∞时,sn无限趋近于12gt2.
10分 12分
1.求变速直线运动的路程问题,方法和步骤
类似于求曲边梯形的面积,仍然利用以直代曲的思想,将变速
物体下落的距离记作 Δsi(i=1,2,…,n).
3分
(2)近似代替
在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路
程.
在 i-n 1t,int 上任取一时刻ξi(i=1,2,…,n),可取ξi使v(ξi)
=gi-n 1t近似代替第i个小区间上的速度,
因此Δsi≈gi-n 1t·nt (i=1,2,…,n).
直线运动问题转化为匀速直线运动问题,求解过程为:分割、
近似代替、求和、取极限.
2.将区间分成n等份时,每个小区间的表示易出现漏乘区
间长度
t n
的错误,主要原因在于常常将区间长度默认为1个单
位.
• 2.汽车行驶的速度为v=t2,求汽车在0≤t≤1 这段时间内行驶的路程s.
解析: (1)分割 将区间[0,1]等分为n个小区间 0,1n,1n,2n,…,i-n 1,ni ,…,n-n 1,1, 每个小区间的长度为Δt=ni -i-n 1=1n.
• 解析: 作近似计算时,Δx=xi+1-xi很小, 误差可忽略,所以f(x)可以是[xi,xi+1]上任一值
2.已知汽车在时间[0,t1]内以速度v=v(t)做直线运动, 则下列说法不正确的是( )
A.当v=a(常数)时,汽车做匀速直线运动,这时路程s= vt1
B.当v=at+b(a,b为常数)时,汽车做匀速直线运动, 这时路程s=bt1+12at21
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= lim (2+Δx)=2.
6分
Δx→0
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第一章 导数及其应用
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2.已知自由下落物体的运动方程是 s=12gt2(s 的单位是 m, t 的单位是 s),求:
(1)物体在 t0 到 t0+Δt 这段时间内的平均速度; (2)物体在 t0 时的瞬时速度; (3)物体在 t0=2 s 到 t1=2.1 s 这段时间内的平均速度; (4)物体在 t=2 s 时的瞬时速度.
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3.一個物體的運動方程為s=1-t+t2.其中s的單位是米,t 的單位是秒,那麼物體在3秒末的瞬時速度為________.
解析:
v=lim Δt→0
1-3+Δt+3+Δt2-1-3+32 Δt
=lim (Δt+5) Δt→0
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1.已知函数 f(x)=x+1x,分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变 到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数 值变化得较快.
解析: 自变量 x 从 1 变到 2 时,函数 f(x)的平均变化率 为
[提示 2] 在考察 yC-yB 的同时必须考察 xC-xB,函数的本 质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个 量的改变.
我们用比值yxCC--yxBB近似地量化 B,C 这一段曲线的陡峭程 度,并称该比值为[32,34]上的平均变化率.
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解後反思
解析答案
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當堂檢測
12345
1.函數f(x)=-x2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分別是( B )
A.f(2),f(3)
B.f(3),f(5)
C.f(2),f(5)
D.f(5),f(3)
解析 ∵f′(x)=-2x+4,
∴當x∈[3,5]時,f′(x)<0,
故f(x)在[3,5]上單調遞減,
整理,得 2c2-c-3≥0,解得 c≥32或 c≤-1. 所以 c 的取值范围是(-∞,-1]∪32,+∞.
解析答案
思想方法 分類討論思想的應用 例 4 设 f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; (2)讨论 g(x)与 g1x的大小关系; (3)求 a 的取值范围,使 g(a)-g(x)<1a对任意 x>0 成立.
第三章 § 3.3 導數在研究函數中的應用
3.3.3 函數的最大(小)值與導數
學習 目標
1.理解函數最值的概念,瞭解其與函數極值的區別與聯繫. 2.會求某閉區間上函數的最值.
欄目 索引
知識梳理 題型探究 當堂檢測
自主學習 重點突破 自查自糾
知識梳理
自主學習
知識點一 函數f(x)在閉區間[a,b]上的最值 函數f(x)在閉區間[a,b]上的圖像是一條連續不斷的曲線,則該函數在[a,b] 上一定能夠取得最大值與最小值,函數的最值必在 端點 處或 極值點處取得. 知識點二 求函數y=f(x)在[a,b]上的最值的步驟 (1)求函數y=f(x)在(a,b)內的 極值 . (2)將函數y=f(x)的各極值與 端點處 的函數值f(a),f(b)比較,其中最大的一 個是 最大值,最小的一個是 最小值.
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3.一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 Δx→0 fx0+Δx-fx0 Δy = lim ,我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处 Δx Δx
Δx→0
lim
fx0+Δx-fx0 lim Δx . 的导数,记作 f ′(x0)或 y′|x=x0,即 f ′(x0)=Δx→0
3.如果质点 A 的运动方程是 s(t)=2t3,则在 t=3 秒时的 瞬时速度为( A.6 C.54 ) B.18 D.81
[答案]
C
[解析]
Δs=s(3+Δt)-s(3)=2Δt3+18Δt2+54Δt,
Δs =2Δt2+18Δt+54,在 t=3 秒时的瞬时速度为: Δt Δs lim Δt = lim (2Δt2+18Δt+54)=54. Δt→0 Δt→0
[点评]
瞬时速度是平均速度在 Δt→0 时的极限值.因此,
要求瞬时速度,应先求出平均速度.
(2012~2013 学年度山东潍坊高二期末测试)已知物体的运 动方程是 S=-4t2+16t(S 的单位为 m;t 的单位为 s),则该物 体在 t=2s 时的瞬时速度为( A.3m/s C.1m/s
[答案] D
Δy fx0+Δx-fx0 (3)求平均变化率 = , 要注意 Δx, Δy 的值 Δx Δx 可正,可负,但 Δx≠0,Δy 可为零,若函数 f(x)为常值函数, 则 Δy=0.
3.瞬时变化率、瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 4.一般地,如果物体的运动规律是 s=s(t),那么物体在 时刻 t 的瞬时速度 v, 就是物体在 t 到 t+Δt 这段时间内, 当 Δt→0 Δs 时平均速度的极限,即 v= lim Δt 为 t 时刻的瞬时速度. Δt→0
s2-s1 置为 s1≤s≤s2,则他的平均速度为 t2-t1 .
2.已知函数 y=f(x),令 Δx= x2-x1 ,Δy= f(x2)-f(x1),
fx2-fx1 则当 Δx≠0 时,比值 x2-x1
Δy =Δx,为函数 f(x)从 x1 到 x2
的平均变化率,即函数 f(x)图象上两点 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)) 连线的 斜率.
命题方向 利用定义求函数在某点处的导数
[例 3] 数.
1 根据导数定义求函数 y=x + +5 在 x=2 处的导 x
2
[解析]
2
1 1 2 当 x=2 时, Δy=(2+Δx) + +5-2 +2+5 2+Δx
2
-Δx =4Δx+(Δx) + , 22+Δx Δy 1 所以Δx=4+Δx- , 4+2Δx
●学法探究 导数是微积分的初步知识,是研究函数、解决实际问题的 有力工具. 学习本章要认真理解平均变化率、 瞬时速度的概念, 进一步理解导数的概念和导函数的定义,掌握导数的几何意 义,掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,通 过具体实例,认识导数的工具性及其与实际问题的联系,感受 导数在解题中的作用, 充分体会数形结合思想、 分类讨论思想、 等价转化思想及理论联系实际的思想方法.
值 f(x0 -Δx)-f(x0)所对应的自变量的改变量为 (x0 -Δx)- x0 = -Δx.
[正解]
∵f(x)在 x0 可导,
fx0-Δx-fx0 ∴ lim Δx Δx→0 fx0-Δx-fx0 =- lim -Δx -Δx→0 =-f ′(x0).
课堂巩固练习
一、选择题 1.若函数 f(x)=2x2-1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+ Δy Δx,1+Δy),则Δx等于( A.4 C.4+2Δx ) B.4x D.4+2(Δx)2
[答案]
C
[解析]
2
Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2+1=4Δx+
Δy 2Δx ,∴ =4+2Δx. Δx
2.一物体的运动方程是 s=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内 的平均速度是( A.0.41 C.0.3 ) B.2 D.0.2
[答案]
B
[解析] Δs=(3+2×2.1)-(3+2×2)=0.2, Δt=2.1-2=0.1, Δs 0.2 ∴ = =2. Δt 0.1
4.求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的步骤: (1)求函数的增量 Δy= f(x0+Δx)-f(x0) ;
fx0+Δx-fx0 Δx Δy lim Δx (3)取极限,得导数 f ′(x0)= Δx→0 .
Δy (2)求平均变化率Δx=
;
上述求导方法可简记为:一差、二比、三极限.
5.函数 y=x2 在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率为 k1,在 x0-Δx 到 x0 之间的平均变化率为 k2,则( A.k1>k2 C.k1=k2 B.k1<k2 D.不确定 )
[解析]
当自变量从 x0 变化到 x0+Δx 时, 函数的平均变化
3 fx0+Δx x0+Δx3-x0 2 率为 = =3x2 + 3 x Δ x + (Δ x ) . 0 0 Δx Δx
1 当 x0=1,Δx= 时, 2 1 12 19 平均变化率的值为 3×1 +3×1×2+2 = 4 .
2.情感、态度、价值观目标 通过具体实例,认识导数的工具性及其与实际问题的联 系,感受和体会导数在解决实际问题中的作用,提高学生学习 兴趣,感受导数在解题中的作用和威力,自觉形成将数学理论 和实际问题相结合的思想, 在解题过程中, 逐步养成扎实严格、 实事求是的科学态度.
●重点难点 本章重点:导数的运算和利用导数解决实际问题. 本章难点:导数概念的理解.
4.导数的概念 对导数的定义要注意两点:第一:Δx 是自变量 x 在 x0 处 的改变量,所以 Δx 可正可负,但 Δx≠0;第二:函数在某点 的导数,就是函数在该点的瞬时变化率,即函数在该点的函数 值改变量与自变量改变量之比的极限值.因此它是一个常数而 不是变数.
课前自主预习
1. 在高台跳水运动中, 运动员在 t1≤t≤t2 这段时间里的位
1 Δy 所以 y′|x=2= lim = lim 4+Δx-4+2Δx Δx→0 Δx Δx→0
1 15 =4+0- =4. 4+2×0
[点评]
用导数定义求函数在某一点处的导数的过程:一
差、二比、三极限.
ห้องสมุดไป่ตู้
求 y=f(x)=x3+2x+1 在 x=1 处的导数.
[ 解析 ]
[答案]
D
[ 解析 ]
函数在 x0 到 x0 + Δx 之间的平均变化率 k1 =
x0+Δx2-x2 0 =2x0+Δx,在 x0-Δx 到 x0 之间的平均变化率 k2 Δx
2 x2 0-x0-Δx = =2x0-Δx,因为 Δx 可正可负,∴k1 与 k2 的大 Δx
小关系不确定.
6.y=x2-2x+3 在 2 到 3 之间的平均变化率为________.
(4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则求简单函数的导数. (5)结合实例, 借助几何直观图探索并了解函数的单调性与 导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次 的多项式函数的单调区间.
(6)结合函数的图象, 了解函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件;会利用导数求不超过三次的多项式函数的极大 值、极小值,以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最 大值、最小值. (7)通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会 导数在解决实际问题中的作用.
重点难点展示
本节重点:函数在某一点的平均变化率,瞬时变化率、导 数的概念. 本节难点:导数的概念的理解.
学习要点点拨
1.本节学习的有关概念比较抽象,学习时应通过实例理 解相关概念,深刻体会数学源于生活,又应用于生活. 2.平均变化率 平均变化率是本节中的重要概念,求函数平均变化率的步 骤是: (1)求自变量的增量 Δx=x-x0. (2)求函数的增量 Δy=y-y0=f(x)-f(x0)=f(x+Δx)-f(x0).
[答案]
[解析]
3
Δy=f(3)-f(2)=(9-6+3)-(4-4+3)=3, Δx=3
Δy -2=1,∴平均变化率为 =3. Δx
课堂典例讲练
思路方法技巧
命题方向
[例 1]
平均变化率
求函数 y=x3 在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率, 并
1 计算当 x0=1,Δx=2时平均变化率的值. [分析] 直接利用概念求平均变化率, 先求出表达式, 再直 接代入数据就可以得出相应的平均变化率.
第三章
导数及其应用
本章概述
●课程目标 1.知识、技能、过程、方法目标 (1)通过分析实例, 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的 过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数, 体会导数的思想及其内涵. (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 1 (3)能根据导数定义,求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x的导 数.
)
B.2m/s D.0m/s
[解析] 4Δt2,
ΔS=-4(2+Δt)2+16(2+Δt)+4×22-16×2=-
2 ΔS -4Δt ∴ = =-4Δt, Δt Δt
ΔS ∴v=lim Δt =lim (-4Δt)=0. Δt→0 Δt→0 ∴物体在 t=2s 时的瞬时速度为 0m/s.
探索延拓创新
2
[ 点评 ]
解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的意
义. 只要求出平均变化率的表达式, 它的值就可以很容易求出. 求函数 f(x)的平均变化率的一般步骤为: ①求函数值的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy fx0+Δx-fx0 ②计算平均变化率:Δx= . Δx
某质点沿曲线运动的方程为 f(x)=-2x2+1(x 表示时间, f(x)表示位移),则该质点从 x=1 到 x=2 的平均速度为( A.-4 C.6 B.-8 D.-6 )