第五章 曲线运动 章末总结 章末检测(附有详细答案)

章末总结

要点一 小船渡河和牵连速度问题的分析

1．小船渡河过程中，随水漂流和划行这两个分运动互不干扰，各自独立而且具有等时性．因此只要分运动时间最短，则合运动时间最短，即船头垂直指向对岸渡河时间最短，t min ＝d

v 船.航程最短，则要求合位移最小．当v 水v 船时，船不能垂直到达河岸，但仍存在最短航程，当v 船与v 合垂直时，航程最短，x min ＝

v 水

v 船

d. 2．跨过定滑轮拉绳(或绳拉物体)运动的速度分解

物体运动的速度为合速度v ，物体速度v 在沿绳方向的分速度v 1就是使绳子拉长或缩短的速度，物体速度v 的另一个分速度v 2就是使绳子摆动的速度，它一定和v 1垂直．

要点二 抛体运动的规律及应用 1．平抛运动的研究方法及其规律

(1)研究方法：根据运动的合成与分解，可将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动来进行研究．

(2)平抛运动规律

①

图5－1

位移：若以初速度v 0水平抛出，以抛出点为坐标原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，如图5－1所示，则经时间t 的位移为

⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝v 0t (a )y ＝12

gt 2 (b ) 时间t 内物体的位移为 s ＝x 2＋y 2＝ (v 0t )2＋(1

2

gt 2)2

tan θ＝y x ＝gt 2v 0

②速度⎩⎪⎨

⎪⎧

v x ＝v 0

v y ＝gt

某点的瞬时速度为v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋g 2t 2

tan α＝v y v x ＝gt

v 0

③平抛运动轨迹是抛物线 由(a)(b)两式消去t 得y ＝g

2v 20x 2

④飞行时间

由(b)式得t ＝

2y g ＝ 2h g

物体做平抛运动的飞行时间t 仅由抛出点的高度h 决定，与抛出时的初速度v 0无关． ⑤水平位移x ＝v 0t ＝v 02h g

物体做平抛运动的水平位移x 由v 0和高度h 共同决定．在h 一定时，x 仅由v 0决定． ⑥速度变化量：Δv

＝gΔt.

图5－2

平抛运动的物体在任意一段时间内的速度变化量方向竖直向下，其中v 0、Δv 、v 三个矢量经过平移可构成直角三角形，如图5－2所示．[来源:学科网ZXXK]

⑦平抛运动速度偏向角与位移偏向角的关系

位移偏向角θ：tan θ＝y x ＝gt

2v 0

速度偏向角α：tan α＝v y v x ＝gt

v 0

所以tan α＝2tan θ

t

1．圆周运动的运动学分析

(1)正确理解描述圆周运动的快慢的物理量及其相互关系

线速度、角速度、周期和转速都可描述圆周运动的快慢，但意义不同．线速度描述做圆周运动的物体沿圆周运动的快慢．若比较两物体沿圆周运动的快慢，则只看线速度大小即可；而角速度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，由ω＝

2π

T

＝2πn 可知，ω越大，T 越小，n 越大，则物体转动得越快，反之则越慢．三个物理量知其中一个，另两个也就成为已知量．

(2)对公式v ＝rω及an ＝v 2

r

＝rω2的理解

①由v ＝rω知，r 一定时，v 与ω成正比；ω一定时，v 与r 成正比；v 一定时，ω与r 成反比．

②由an ＝v 2r ＝rω2

知，在v 一定时，an 与r 成反比；在ω一定时，an 与r 成正比．

2．正交分解法处理圆周运动的受力

解决圆周运动问题的关键是正确地对物体进行受力分析，搞清向心力来源． 由于做圆周运动的物体，其受力并不一定在它的运动平面上，所以在对物体进行受力分析时往往要进行正交分解．对圆周运动进行分析时，建立的坐标系不是恒定不变的，而是在每一个瞬间建立坐标系．

(1)匀速圆周运动：采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体(视为质点)，相互垂直的两个坐标轴中，一定有一个坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．

说明 若做匀速圆周运动的物体仅受两个力的作用，也可用直接合成法确定向心力，合力一定指向圆心．

(2)变速圆周运动：采用正交分解法，有一个坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．加速度沿半径方向的分量an(指向圆心)即为向心加速度，其大小为an ＝v 2

r ＝rω2；加速度沿轨迹

切线方向的分量at 即为切向加速度．

合力沿半径方向的分量Fn(或所有外力沿半径方向分力的矢量和)提供向心力，其作用是改变速度的方向；其大小为：Fn ＝m v 2

r ＝mω2r.合力沿切线方向的分力Ft(或所有外力沿切线

方向的分力的矢量和)使物体产生切向加速度，其作用是改变速度的大小，其大小为Ft ＝mat.

3．处理匀速圆周运动问题的基本步骤

(1)确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象． (2)确定圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径． (3)对研究对象进行受力分析，作出受力示意图． (4)运用平行四边形定则或正交分解法求出向心力Fn.

(5)根据向心力Fn ＝m v 2r ＝mω2

r ＝m 4π2T

2r ，选择其中一种公式列方程求解．

4．临界问题的分析

(1)当物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态，出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”．

(2)解决临界问题的常用方法

①极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现

象显露，达到尽快求解的目的． ②假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题．

(3)关于临界问题总是出现在变速圆周运动中，而竖直平面内的圆周运动是最典型的变速圆周运动．

在竖直平面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，但物体经最高点或最低点时，所受的重力与其他力的合力指向圆心，提供向心力．

①

图5－3

用绳子系物体或物体沿轨道内侧运动(如图5－3所示)

此种情况下，如果物体恰能通过最高点，即绳子的拉力或轨道对物体的支持力等于零，只有重力提供向心力，即mg ＝mv 2

0R ，得临界速度v 0＝gR.当物体的速度大于v 0时，才能经

过最高点．

②用杆固定物体在竖直平面内做圆周运动

此种情况下，由于物体所受的重力可以由杆给它的向上的支持力来平衡，所以在最高点时的速度可以为零．当物体在最高点的速度v ≥0时，物体就可以完成一个完整的圆周运动.

一、速度的分解 例1 如图5－4所示，

图5－4

在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？

解析 绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，