电动力学课件格林函数电多极矩

z
x′
r
R' r'
θ
R0
θ' o
α
R
ϕ′ ϕ
x y
x
10
其中： R = x2 + y2 + z2
R′ = x′2 + y′2 + z′2
上节例2中a对应于R'，b对应于 R02/ R'，镜像电荷所在点的坐标为
b a
x′ =
R02 R′2
x′
cosα = cosθ cosθ ′ + sinθ sinθ ′ cos(ϕ −ϕ′)
+
27
= f (a,b,c) +
+ (x − a) ∂ f (a,b,c) + ( y − b) ∂ f (a,b,c) + (z − c) ∂ f (a,b,c)
T ± G = ∑(Tij ± Gij )eˆieˆ j = ∑ Dijeˆieˆ j = D
ij
ij
23
点乘： c ⋅T = c ⋅ (ab) = (c ⋅ a)b
T ⋅ c = (ab) ⋅ c= a(b ⋅ c) 可见 c ⋅T ≠ T ⋅ c
（左点乘） （右点乘）
同样，定义叉乘 c ×T = c× (ab) = (c × a)b ≠ T × c = a(b× c)
6
2. 格林函数与实际问题的对应关系：
实际问题:
格林函数:
求解区域 V内： 方程：
边界S上：
已知ρ( x’ )
∇2ϕ( x) = − 1 ρ( x′) ε0
已知
ϕ S
∂ϕ
已知
∂n S
ρ = δ ( x − x′)
∇2G( x, x′) = − 1 δ ( x − x′) ε0
令 G =0 S
∂G
令
∂ϕ
若方程的解满足第二类边界条件
=− 1 ，
∂n S ε 0S
则方程的解就叫做第二类边值问题的格林函数。
5
格林函数是为了求解实际问题的泊松方程而找到的特 殊函数，不同的实际问题对应不同的格林函数。 格林函数一般用G表示，则G所满足的微分方程为：
∇2G( x, x′) = − 1 δ ( x − x′) ε0
V
V
∫ ∫ [ψ∇2ϕ −ϕ∇2ψ ]dV = (ψ ∂ϕ −ϕ ∂ψ )dS
V
S ∂n ∂n
这就是格林公式，它对任意两个标量函数都适用
12
2. 边值问题的解
先考虑第一类边值问题 ，设V内有电荷分布ρ，
边界S上给定电势ϕ |s ，求V 内的电势ϕ (x)。
设区域内有两个函数ϕ (x) 和ψ (x) ，格林公式:
+
26
如果在x=a, y=b, z=c 点邻域展开，则展开式为
f (x, y, z) = f (a,b, c) +
+
1 1!
(
x
−
a)
∂ ∂x
+
(
y
−
b)
∂ ∂y
+
(z
−
c)
∂ ∂z
f
(a,
b,
c)
+
1 2!
(x
−
a)
∂ ∂x
+
(y
−
b)
∂ ∂y
+
(z
−
c)
∂ ∂z
2
f
(a, b, c)
2. 点电荷的电荷密度
处于原点上的单位点电荷的密度用函数δ(x)表示
∫V ρ( x)dV = ∫V δ ( x)dV = 1
处于原点上的点电荷Q的密度可用Qδ(x)表示,即
ρ( x) = Qδ ( x)
处于x’点上的点电荷Q的密度可用Qδ(x-x’)表示,即
ρ( x) = Qδ ( x − x′)
1
−
R2 + z2 + R′2 + z′2 + 2zz′ − 2RR′cos(φ -φ′)
19
因为在上半空间ρ＝0，因此这问题 是拉普拉斯方程第一类边值问题。
上半空间的电势为
ϕ
(
x
)
=
－ε
0
∫S
ϕ
(
x′
)
∂ ∂n′
G
(
x′,
x
)dS
′
先计算格林函数的法向导数
[ ] − ∂G = ∂G = 1 ∂n′ ∂z′ z′=0 2πε 0
r = x − x′
= (x − x′)2 + ( y − y′)2 + (z − z′)2
25
在一元函数f (x)情况下，在原点x=0邻域的泰勒 级数为： f (x) = f (0) + xf ′(0) + 1 x2 f ′′(0) +
2!
如果在x=a邻域展开，泰勒级数是：
f (x) = f (a) + (x − a) f ′(a) + (x − a)2 1 f ′′(a) + 2!
对于三元函数f (x,y,z)，在原点 x =0, y =0, z=0邻域
的泰勒级数是：
f (x, y, z) = f (0,0,0) + x ∂ f (0,0,0) + y ∂ f (0,0,0) + z ∂ f (0,0,0)
∂x
∂y
∂z
+
1 2!
x
∂ ∂x
+
y
∂ ∂y
+
z
∂ ∂z
2
f
(0,0,0)
z
R2 + z2 + R′2 − 2RR′cos(φ -φ′) 3 2
20
由于S上只有圆内部分电势不为零，所以只需对 r≤a积分
∫ ∫ ∫ [ ] − ε0
∂G ϕ (x′)dS′ = V0
∂n′
2π
a
R′dR′
0
2π
dφ ′
0
z
R2 + z2 + R′2 − 2RR′cos(φ -φ′) 3 2
4πε0 (x − x')2 + ( y − y')2 + (z − z')2
证明略。 8
（2）上半空间的格林函数。 当Q＝1时，由上节例1可得上半空间第一类边值
问题的格林函数。
以导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷所在
点的坐标为(x’,y’,z’) ，场点坐标为(x,y,z)，上半空间格
林函数为：
V
=
∫S
[G(
x′,
x)
∂ϕ( x′)
∂n′
−
ϕ
(
x′)
∂ ∂n′
G(
x′,
x)]dS
′
ϕ(x) = ∫V G#43; ε0
[G( x′, x) ∂ϕ −ϕ( x′) ∂ G( x′, x)]dS′
S
∂n′
∂n′
这就是用Green函数求解静电问题的一种形式解。
14
在第一类边值问题中，格林函数满足边界条件
T11 T12 T13
∑ ab = Tijeˆieˆ j = T = Tij = T21 T22 T23
ij
T31 T32 T33
2.单位张量：
3
1 0 0
I = eˆ1eˆ1 + eˆ2eˆ2 + eˆ3eˆ3 = ∑ eˆieˆi = 0 1 0
i =1
0 0 1
3.张量的运算法则：
加法：
§2.5 格林函数
本节研究的问题： 如何借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决 较复杂的边值问题。
第一类边值问题：
给定V内电荷分布ρ和V的边界S上各点的电势 ϕ S
第二类边值问题：
给定V内电荷分布ρ和电场法向分量
∂ϕ / ∂n S
1
一、点电荷密度的δ函数表示
1. δ函数 δ ( x) = 0,
(x≠0)
3 2
R′2
−
2RR′cos(φ
R2 + z2
−φ′)
+
15 8
R′2 − 2RR′cos(φ − φ′) 2
R2 + z2 2
+
( ) ( ) = V0a2 2
R2
z + z2
3
2
1 −
3 4
a2 R2 +
z2
+
8
15 R 2a 2 R2 + z2
2
+
21
§2.6 电多极矩
一、张量和并矢的运算
ρ = Qδ ( x − x′) = 0, (x≠x’点)
∫ Qδ ( x − x′)dV = Q, (积分区域V包含x=x’点)
V
3
3. δ函数的一个重要性质
若 f (x)在x’点附近连续，则
∫V f ( x)δ ( x − x′)dV = f ( x′)
同理，若 f (x) 在原点附近连续，则
∫ ∫ (ψ∇2ϕ −ϕ∇2ψ )dV = (ψ ∂ϕ −ϕ ∂ψ )dS
V
S ∂n ∂n
取ϕ (x)为实际问题的解，满足泊松方程
∇2ϕ = − 1 ρ ε0
13
取ψ (x)为格林函数G(x , x’) ，将x与x’互换，则有
∫ [G( x′, x)∇′2ϕ( x′) −ϕ( x′)∇′2G( x′, x)]dV ′
−
((
RR′ ) 2 R0
+
R02
1
1
− 2RR′ cosα ) 2
]
11
三、格林公式和边值问题的解
1. Green公式
∇ ⋅ (ψ∇ϕ) =ψ∇2ϕ + ∇ϕ ⋅∇ψ
∇ ⋅ (ϕ∇ψ ) = ϕ∇2ψ + ∇ϕ ⋅∇ψ
二式相减，得到 ψ∇2ϕ −ϕ∇2ψ = ∇ ⋅ (ψ∇ϕ −ϕ∇ψ )
∫ ∫ (ψ∇2ϕ −ϕ∇2ψ )dV = ∇ ⋅ (ψ∇ϕ −ϕ∇ψ )dV
两并矢点乘：
T ⋅ G = (ab) ⋅ (cd ) = (b ⋅ c)(ad ) T∶G = (ab)∶(cd ) = (b ⋅ c)(a ⋅ d )
24
二、电势的多极展开
在区域 V 内取一点 O 作为
r = x − x′
P
坐标原点，以 R 表示由原点
x
到场点 P 的距离，有：
x′
O
R = x2 + y2 + z2
1. 定义：
3
设矢量 a = axeˆx + ayeˆy + azeˆz = ∑ aieˆi
3
i =1
b = ∑ bjeˆ j j =1
定义a,b的并矢为：
3
3
3
ab = (∑ aieˆi )( ∑ bjeˆ j ) = ∑ aibjeˆieˆ j
i =1
j =1
i, j=1
22
则a,b的并矢是一个张量：
[ ] r =| x − x′ |=
R2 + R′2 − 2RR′ cosα
1 2
[ ] r′ =| x − ( R0 ) x′ |= R′
1 R′
R 2 R′2
+ R04
− 2R02RR′ cosα
1 2
根据镜像法得
G(x ⋅ x′)
=
1
4πε 0
[ (R2
+
R′2
−
1
1
2RR′ cosα ) 2
ϕ(x) = ∫V G(x′, x)ρ(x′)dV ′
∫ + ε0
[G( x′, x) ∂ϕ −ϕ( x′) ∂ G( x′, x)]dS′
S
∂n′
∂n′
对第二类边值问题，由于G(x’, x)是x点上单位点
电荷所产生的电势，其电场通量在边界面S上应
∫ 等于1/ε0，即 −
∂ G( x′, x)dS′ = 1
∫V f ( x)δ ( x)dV = f (0)
这一性质称为δ函数的选择特性。
4
二、格林函数
1. 格林函数的定义
一个处于x'点上的单位点电荷所激发的电势满足
泊松方程 ∇2ϕ( x) = − 1 δ ( x − x′) ε0
若方程的解满足第一类边界条件 ϕ = 0，则方程 S
的解就叫做第一类边值问题的格林函数。
S ∂n′
ε0
满足上式的最简单的边界条件是
∂ G(x′, x) = − 1
∂n′
x′∈S
ε0S
16
所以，第二类边值问题的解
ϕ(x) = ∫V G(x′, x)ρ(x′)dV ′
∫ + ε0
G(x′, x) ∂ ϕ(x′)dS′ +
S
∂n′
ϕ
S
其中<ϕ >s是电势在界面S上的平均值。
17
例 在无穷大导体平面上有半径为a
G( x, x′) = 1 [
1
4πε0 (x − x')2 + ( y − y')2 + (z − z')2
−
1
]
(x − x')2 + ( y − y')2 + (z + z')2
9
（3）球外空间的格林函数。 以 球 心 O 为 坐 标 原 点 。 设 电 荷 所 在 点 P’ 的 坐 标 为 (x’,y’,z’) ，场点P的坐标为(x,y,z) 。
∫ ∫ [ ] ＝V0z 2π
a
2π
R′dR′ dφ′
0
0
R2
1 + z2
32
1 +
R′2
− 2RR′cos(φ
R2 + z2
-φ′)−3
2
当R2+z2>>a2时，可以把被积函数展开，得
[ ] ϕ(x) = ( ) ∫ ∫ [ ] 2π
V0 z R2 + z2 3 2
a 0
R′dR′
2π 0
dφ′1 −
的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘 环绝缘。设圆内电势为V0，导体板 其余部分电势为0，求上半空间的电 势。
18
解:
以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板 垂直，R为空间点到z轴的距离。上
半空间的格林函数用柱坐标表出为
G(x, x′) =
1
1
4πε 0 R2 + z2 + R′2 + z′2 − 2zz′ − 2RR′cos(φ -φ′)
δ (x) = ∞,
(x =0)
∫ δ ( x)dV = 1, (积分区域V包含x = 0点)
V
δ函数不是通常意义下的函数，具体表达式也不唯 一。某些连续函数的极限可以看作δ函数，例如：
a
∫ f (x)dx = 1, −a
若a→0而曲线与 x 轴之间的面积不变，则 f(x) 极
限就可以看作δ函数。
2
=− 1 ，
∂n S ε 0S
7
3. 常见的几个格林函数：
（1）无界空间的格林函数。
在无界空间中x’点上放一个单位点电荷，激发的电
势为:
ϕ(x) = 1 =
1