胡海岩机械振动基础答案2

ωn =
(b )
keq =
1.96 ×106 = = 70(rad / s) m 400
k ⋅ kbeam = 3.675 ×105 k + kbeam
ωn =wk.baidu.com
keq m
= 30.3(rad / s)
P58.1-8: 钢索的刚度为4 × 105 N/m, 绕过定滑轮吊着质量为100kg的物体以匀速 0.5m/s下降， 若钢索突然卡住， 求钢索内的最大张力。
F／ 2
x
F x3 1 l 3 3l 2 w( x) = x − < x− > − EI 12 6 2 48
kbeam =
F = w(l / 2)
F 48EI = 3 3 l F l − 48EI
(a)
keq = k + kbeam
keq
48EI 48 ×1.96 ×106 5 = k + 3 = 4.9 ×10 + = 1.96 ×106 ( N / m) 3 l 4
T12 ζ = 1− 2 T2
ωn
2π
ωd
=
2π 1 − ζ 2 ωn
T1 = 1− ζ 2 T2
µ=
ζ =
c 2 Aµ AµT1 = = 2mωn 2m 2π 2π m T1
2π m T22 − T12 AT1T2
P59.1-17: 已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为m = 17.5kg, k = 7000N/m, 求该系统在零 初始条件下被简谐力f (t ) = 52.5sin(10t − 300 )N激发的响应。
2
积分：
F x3 1 l 3 w( x) = − < x − > + Cx + D EI 12 6 2
边界条件：
w(0) = w(l ) = 0
F x3 1 l 3 3l 2 w( x) = x − < x− > − EI 12 6 2 48
w
F
F／ 2
0 0 0 0
= (5 cos 300 + j (5sin 300 + 7))e jωt = 10.44e j (ωt + 65.5
u (t )与u1 (t )的相位差： 0 − 300 = 35.50 65.5
0
)
P57.1-4: 求两简谐运动u1 (t ) = 5 cos 40t , u2 (t ) = 3cos 39t的合成运动的最大振幅和最小振幅， 并求其拍频和周期。
N
m
mg
P57.1-3: 求简谐位移u1 (t ) = 5e j (ωt +30 )与u2 (t ) = 7e j (ωt +90 )的合成运动u (t ), 并求u (t )与u1 (t )的相位差。
0 0
u (t ) = u1 (t ) + u2 (t ) = 5e j (ωt +30 ) + 7e j (ωt +90 ) = (5e j 30 + 7e j 90 )e jωt
u (t ) = u1 (t ) + u2 (t ) = Re[5e j 40t + 3e j 39t ] = Re[(5e jt + 3)e j 39t ] = Re[((5 cos t + 3) + j 5sin t )e j 39 t ] = Re[u (t )e jϕ ( t ) e j 39t ] = u (t ) cos(39t + ϕ (t ))
P59.1-16: 图示系统的薄板质量为m, 系统在空气中(认为无阻尼)振动周期为T1 , 在粘性液体中振 & & 动周期为T2 , 液体阻尼力可表示为f d = −2 Aµ u , 其中2 A为板的面积， 为粘性系数， 为板 µ u
µ 运动的速度。求证： =
T1 =
T2 =
2π
2π m T22 − T12 AT1T2
2 2 && + c l θ& + (k l − mgl )θ = 0 ωn = kl − mg = 224 × 0.49 − 1× 9.8 = 7.14(rad/s) ml θ 4ml 4 ×1× 0.49 16 4 4 2
cl 2 c 48 16 ζ = = = = 0.21 2 mg 1× 9.8 kl mgl ) 16 1× (224 − ) − 2 ml 2 ( ) 16 m(k − l 0.49 4 4
u (t ) = 0
t1为负值， 无意义， 即无解， 表明系统不经过平衡位置
u0 & u 0 + ω n u0
& # 如果u0 ≠ 0, u0 ≠ 0
u (t ) = 0
t1 = −
& & u (t1 ) = [u 0 + ω n u 0 ]e
ω n u0 & u0 +ωn u0
经过平衡位置一次
≠0
θ 很小， θ ≈ θ sin
mg sin α
θ
ωn =
P58.1-13: 证明对临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。
(1) 对临界阻尼情形
& u (t ) = [u0 + (u0 + ω n u0 )t ]e −ωnt & & & u (t ) = [u0 − ω n (u0 + ω n u0 )t ]e −ωn t
第一章习题
P57.1-1: 一物体作简谐振动, 当它通过距平衡位置为0.05m, 0.1m处时的速度分别为0.2m/s和0.08m/s。 求其振动周期、振幅和最大速度。
u (t ) = a sin(ω t + ϕ ) & u (t ) = aω cos(ωt + ϕ )
两边平方，相加
& [a − u (t )]ω = u (t )
&& 系统的运动方程： mu (t ) + ku (t ) = f 0 sin(ωt − ϕ )
奇次方程通解：
% u (t ) = a1 cos ω n t + a2 sin ω n t
ω n = 7000 /17.5 = 20(rad / s )
特解为： u＊(t ) = Bd sin(ω t − ϕ )
u (t ) = (5 cos t + 3) 2 + (5sin t ) 2 = 34 + 30 cos t
ϕ (t ) = arctan(
5sin t ) 5 cos t + 3
umax = 34 + 30 = 8 umin = 34 − 30 = 2
拍频 =| ω2 − ω1 |=| 40 − 39 |= 1 rad/s
δ = ln
A0 A A , δ = ln 1 , L , δ = ln n −1 A1 A2 An
δ = ln
1 n
ζ =
1 2π n
ln
A0 An
c = 2 mk ζ = 2 m
mg
δs
ζ = 2mζ
g
δs
=
A m g ln( 0 ) π n An δ s
10 6.4 ×10−3 9.8 = ln( ) = 6.91(Ns/m) π × 20 1.6 × 10−3 0.01
拍周期 = 2π 2π = = 2π (s) | ω2 − ω1 | | 40 − 39 |
P57.1-5: 写出图示系统的等效刚度的表达式。 m = 2.5kg, k1 = k2 = 2 × 105 N/m, k3 = 3 × 105 N/m时， 当 求系统的固有频率。
分析表明：k1和k 2并联， 之后与k3串联
P58.1-14: 一单自由度阻尼系统， = 10kg时， 弹簧静伸长δ s =0.01m。自由振动20个循环后， 振 m 幅从 6.4 × 10 −3 m 降至1.6 × 10 −3 m。 求阻尼系数c及 20个循环内阻尼力所消耗的能量。
nδ = ln(
A0 A1 An −1 A ) = ln 0 A1 A2 An An A0 ≈ 2πζ An
设等效刚度系数为keq， 则：f = keq
(a + b ) 由以上各式得到：keq = 2 a b2 + k 2 k1
2
b∆x1 + a∆x2 a+b
b ∆ x1 + a ∆ x2 a+b
∆ x1
k1∆ x1
k 2 ∆ x2
o
a
∆ x2
b
f
P57.1-7: 图中简支梁长l = 4m, 抗弯刚度EI = 1.96 × 10 6 Nm 2 , 且k = 4.9 × 105 N/m, m = 400kg。 分别求图示两种系统的固有频率。
w
F
F／ 2
F／ 2
x
任意截面处的弯矩：
F l M ( x) = x − F < x − > 2 2
挠曲线微分方程：
l x− l < x − >= 2 2 0
当x >
l 2 l 当x ≤ 2
F l x−F < x− > d w M ( x) 2 2 = = 2 dx EI EI
& 越过平衡位置的条件：u (t1 ) = 0, u (t1 ) ≠ 0 & # 如果u0 = 0, u0 = 0， 系统静止在平衡位置上。 & # 如果u0 = 0, u0 ≠ 0
u (t ) = 0
& & u (t1 ) = u0 ≠ 0
t1 = 0
经过平衡位置一次
& # 如果u0 ≠ 0, u0 = 0
2 2 2 2
代入已知条件
[a2 − 0.052 ]ω 2 = 0.22 2 2 2 2 [a − 0.1 ]ω = 0.08
解出
振动周期： = 2π / ω = 2π / 2.1167 = 2.9684 T 振幅： = 0.1069 a 最大速度=aω = 0.1069 × 2.1167 = 0.2263
k1和k2并联后的等效刚度：keq = k1 + k 2
整个系统的等效刚度：keq = keq k3 keq + k3 = ( k1 + k 2 ) k3 k1 + k 2 + k3
系统的固有频率：ωn =
keq m
= 261.86 rad/s
P57.1-6: 写出图示系统的等效刚度的表达式。
垂直方向力平衡：f = k1∆x1 + k2 ∆x2 对o力矩平衡：k1∆x1a = k 2 ∆x2b
g
ω2
u(t ) ≤
g
ω2
&& mu(t ) + mg ≥ 0
&& u ( t ) = −ω 2 u ( t )
(•) 如果 sin(ω t + ϕ ) ≤ 0, 则上式恒成立
(•) 如果sin(ωt +ϕ) > 0, 则上式变为a ≤ g g 9.8 ≤ 2= = 9.9mm ω2 sin(ωt +ϕ) ω (2×π ×5)2
P58.1-11: 系统在图示平面内作微摆动， 不计刚杆质量， 求其固有频率。
l && (ml + 2ml )θ = −k θ − mglθ 4
2 2 2
ωn =
kl + 4mg 12ml
P58.1-12: 图示摆， 其转轴与铅垂方向成α 角， 摆长l， 质量不计。 求摆动固有频率。
&& ml 2θ = − mg sin(α )l sin θ && ml 2θ + mg sin(α )l sin θ = 0 && ml 2θ + mg sin(α )lθ = 0 mg sin(α )l = 2 ml g sin(α ) l
a = 0.1069, ω =2.1167
P57.1-2: 一物体放在水平台面上， 当台面沿铅垂方向作频率为5Hz的简谐振动时， 要使物体不跳离平台， 对台面的振幅有何限制？
m
u
&& 质量m运动方程： − mg = mu(t ) N
&& N = mu(t ) + mg
不跳离条件: N ≥ 0
a sin(ω t + ϕ ) ≤
20周阻尼器消耗的能量 = = 1 1 mg 2 2 2 k ( A02 − An ) = ( A0 − An ) 2 2 δs 10 × 9.8 ((6.4 × 10−3 ) 2 − (1.6 × 10−3 ) 2 ) = 0.19(NM) 2 × 0.01
P58.1-15: 图示系统的刚杆质量不计，m = 1kg，k = 224N/m, c = 48Ns/m, l1 = l = 0.49m, l2 = l / 2, l3 = l / 4。 求系统固有频率及阻尼比。
系统固有频率： n = ω k m
& 初始条件： (0) = 0, u (0) = v0 u
& u0 v0 m k
2 振幅： = u0 + ( a
ωn
)2 =
ωn
= v0
最大张力： = mg + ka T = mg + v0 mk = 1000 × 9.8 + 0.5 1000 × 4 ×105 = 1.98 ×104 (N)
Bd = f 0 /( k − mω 2 ) = 0.01
响应： 响应：
u (t ) = a1 cos ω n t + a2 sin ω n t + 0.01sin(ω t − ϕ )
& u(0) = 0, u(0) = 0 a1 = 0.005 a2 = −0.0043