chapter4向量组及其线性组合

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运算;
向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)组成的集合
如 a11
A
a21
a12 a22
a1n a2Βιβλιοθήκη nam1am2
amn
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
am1
am2
amn
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 , , m ,
构成一个n m矩阵,记为
例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求 出表示式
解 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b) 因为
所以R(A)R(B) 因此向量b能 由向量组a1 a2 a3线性表示
2、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一列,称为列向量,也就是列 矩阵,通常用 等表示,如:
n 维向量写成一行,称为行向量,也就是行 矩阵,通常用 等表示,如:
注意
1. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
2. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向 量; 3. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行
向量组a1 a2 an线性无关R(a1 a2 an)n
例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T
试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵
提示 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即
2 1 0 0
那么
b
3
2
0
3
1
7
0
2e1
3e2
7e3
7 0 0 1
线性组合的系数
一般地,对于任意的 n 维向量b ,必有
b1 b2
1
0
0
1
0
0
0
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn
0
bn 0 0 0
1
b1 b2
1
0
0
1
0
0
0
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn
0
bn 0 0 0
1
1 0 0 0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0 1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量.
给定向量组 A : 1,2 ,,m和向量 b,
a2 an线性无关的充分必要条件是R(A)n,即|A| 0
向量组a1 a2 an线性无关R(a1 a2 an)n
例1 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵为
是n阶单位矩阵
E(e1 e2 en)
由|E|10 知R(E)n 即R(E)等于向量组中向量个数 所
以此向量组是线性无关的
下页
小结:
定理 1 向量 b 可由向量组 1 , 2 , m 线性表示
矩阵A (1 ,2 , ,m )的秩等于矩阵 B (1 ,2 , ,m ,b)的秩,即R( A) R(B).
向量组 B:b1, b2, …, bl 能由向量组 A:a1, a2, …, am 线性表示 R(A) = R(A, B) (P.84 定理2) R(B) ≤ R(A) (P.86 定理3)
推论:向量组 A:a1, a2, …, am 及 B:b1, b2, …, bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B).
§4.2 向量组的线性相关性
观察如图三维空间中的向量, 必有
k11 k2 2
共面
3 不可能 l11 l2 2 异面
再观察下面方程组增广矩阵的行向量组
向量组a1 a2线性相关的几何意义是这两个向量共线
(4)a1 a2 am线性无关当且仅当数k1 k2 km 全为零。
怎样判定一组向量的线性相关性?
向量组 A : 1,2 ,,n 线性相关
(按定义) 存在不全为零的数 x1, x2 ,, xn 使
x11 x22 xnn 0
(转化为方程组) 上面方程组有非零解.
(用矩阵的秩) R( A) R[A | b]
有解
另外, 如果解唯一, 则表示方法是唯一的. 如果 ……
学会这种转换就可以了!
3、定理
定理 1 向量 b 可由向量组 1 , 2 , m 线性表示
矩阵A (1 ,2 , ,m )的秩等于矩阵 B (1 ,2 , ,m ,b)的秩,即R( A) R(B).
m 个 n维行向量所组成
的向量组
T 1
,
T 2
,
T m
,
构成一个 m n矩阵
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
设 j (a1 j , a2 j , , amj )T ( j 1,2,, n)
b1 k11a1 k21a2 km1am b2 k12a1 k22a2 km2am bl k1l a1 k2l a2 kml am
线性表示的 系数矩阵
b1, b2 ,, bl
a1 , a2 ,, am
k11 k21
km1
k12 k22 km2
K
k1l k2l
证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
记作BAK 因为|K|20 知K可逆 因此A,B列等价, 所以R(B)R(A)
因为A的列向量组线性无关 所以R(A)3 从而R(B)3 因此b1 b2 b3线性无关
必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B).
证明:向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示
R(A) = R(A, B) R(B) = R(A, B)
从而有R(A) = R(B) = R(A, B) .
例2 设a1(1 1 1 1)T a2(3 1 1 3)T b1(2 0 1 1)T b2(1 1 0 2)T b3(3 1 2 0)T 证明向量组a1 a2与向量组b1 b2 b3等价
该定义不是用数学式子表达的,不便于理论推导. 如何改成数学表达式?
等价定义 如果存在不全为零的数 k1, k2 ,, km 使得
k11 k22 kmm 0
则称该向量组线性相关. 否则,如果设
k11 k22 kmm 0
只能推出 k1 k2 km 0 则称该向量组线性无关.
怎样判断b能否由向量组A线性表示?如果能线 性表示,怎样求线性组合的系数?
向量 b 可由向量组 A :1,2 ,,m 线性表示
(按定义) 存在数 k1, k2 ,, km 使
k11 k22 kmm b
注意:符号混用
(转换为方程组) 上面方程组有解.
即 Ax b A [1,2 ,,m ]
x1 x2 x3 3
(1)
32
x1 x1
3x2 3x2
4x3 5x3
9 1
(2) (3)
x1
2x2
3x3
6
(4)
x1 3 x2 13 x3 17 (5)
1 1 1
A~
2 3
3 3
4 5
1 2 3
3 9 1 6
T 1
T 2
T 3
T 4
1
3
13
17
T 5
即 Ax 0 A [1,2 ,,n ] 有非零解.
(用矩阵的秩) R( A) n
与以前类似,还是转换!
定理4 向量组a1 a2 an线性相关的充分必要条件是它所构成
的矩阵A(a1 a2 an)的秩小于向量个数n 向量组线性无关 的充分必要条件是R(A)n
特别的,若向量组a1 a2 an是一组n维向量,则向量a1
kml ml
向量组 B:b1, b2, …, bl 能由向量组 A:a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K,使得 AK = B
矩阵方程 AX = B 有解
R(A) = R(A, B) (P.76 定理6)(P.84 定理2)
因为 R(B) ≤ R(A, B)
R(B) ≤ R(A) (P.70 性质5)(P.86 定理3) 推论:向量组 A:a1, a2, …, am 及 B:b1, b2, …, bl 等价的充分
可同时看出矩阵(a1 a2 a3)及(a1 a2)的秩
下页
向量组a1 a2 an线性无关R(a1 a2 an)n
例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T
试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵
等价吗? 按后者不妨设 k1 0 则
1 (k2 / k1 )2 (km / k1 )m 符合前面定义. 反之,按前者不妨设 1 l22 lmm
(1)1 l22 lmm 0 又符合后者定义.
注:
(1)含零向量的向量组必线性相关 (2)一个向量a线性相关 a0 (3)两个非零向量a1 a2线性相关 a1ka2(即对应分 量成比例)
由上列行最简形 可得方程 (a1 a2 a3)xb的通解为
从而得表示式
b(a1 a2 a3)x (3c2)a1(2c1)a2ca3 其中c可任意取值
下页
说明
判断一个向量b能否由一组向量A线性表示 转化为判断线性方程组 而表达式中线性组合的系数则转化为求线性方程组
四、等价向量组
1、定义3 设有两个向量组
A : 1,2 ,,m 及 B : 1, 2 ,, s .
若 B 组中的每个向量都能由 向量组 A 线性表示 , 则称 向量组 能由向量组 线性表示 . 若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示 , 则称 向量组 A 与B 等价.
设有向量组 A:a1, a2, …, am 及 B:b1, b2, …, bl , 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示,即

列式
x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0 亦即
(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因为a1 a2 a3线性无关 故有
故方程组只有零解
x1x2x30 所以向量组b1 b2 b3线性 无关
下页
例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关
可见R(a1 a2 a3)2 R(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关
有无其他做法?
练习
例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3
b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关
证法一
由于此方程组的系数行
设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30
第四章 向量组的线性相关性
本章主要讨论以下四个问题:
1. 向量组的线性组合; 2. 向量组的线性相关性; 3. 向量组的秩; 4. 线性方程组解的结构;
第一节 向量组及其线性组合
一、n 维向量 二、向量组与矩阵 三、向量组的线性组合
四、等价向量组
一、n 维向量
1、概念
定义1 n 个有次序的数 a1,a2 ,,an 所组成的数 组称为 n 维向量,这 n 个数称为该向量的 n 个分 量,第 i 个数 ai称为第 i 个分量 .
有如下关系
T 4
T 2
T 1
T 5
2
T 2
T 3
这说明第(4)和第(5)个方程都是多余的,可以去掉.
我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推 广,并换一种叫法.
定义 设向量组 A : 1,2 ,,m 如果其中一个
向量可由其余的向量线性表示, 则称该向量组线性相关; 否则,如果任一向量都不由其余向量线性表示, 则称该向 量组线性无关(或独立).
证明 记A(a1 a2) B(b1 b2 b3) 将(A B)化为行最简形
可见 R(A)2 R(A B)2 容易看出矩阵B中有不等于0的2阶子式 故R(B)2
又R(B)R(A B)2 于是知R(B)2 因此 R(A)R(B)R(A B)
根据定理2的推论 知向量组a1 a2与向量组b1 b2 b3等价
定义2 给定向量组A :1,2 ,m,对于任何一组实数
k1, k2 , km 表达式
称为向量组A的一个线性组合 k1 , k2 , , km 称为这个线性组合的系数.
说明
线性组合
这时称向量b能由向量组A线性表示
1 0 0
例:设
E
e1 , e2
, e3
0
1
0
0 0 1
e1, e2, e3的 线性组合
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