第六章 定积分的应用 单元测试

第六章、定积分的应用 单元测试题

（一）选择题（每小题4分，共40分）

1. 曲线r ae θ

=及直线θπ=-，θπ=所围图形的面积为（ ） A.22012a e d πθ

θ⎰ B. 22202

a e d πθθ⎰ C.

22a e

d π

θ

πθ-

⎰ D. 222

a e d π

θ

π

θ-⎰

2. 心形线4(1cos )r θ=+，直线0θ=，2

π

θ=

所围图形绕极轴旋转而成旋转体的体积为

（ ）

A. 220

16(1cos )d π

πθθ+⎰

B. 2220

16(1cos )sin d π

πθθθ+⎰

C. 2220

16(1cos )sin [4(1cos )cos ]d π

πθθθθ++⎰

D.

0222

16(1cos )sin [4(1cos )cos ]d π

πθθθθ++⎰

3. 横断面积为s 、深为h 的水池中装满了水，把池中的水全部抽到距地面高为H 的水塔中

所作的功W =（ ） A.

()h

s H h y dy ++⎰

B. 0

()H

s H h y dy +-⎰

C.

()h

s H y dy +⎰

D. 0

()h H

s H h y dy ++-⎰

4. 曲线(0)r ae λθ

λ=>，从0θ=到θα=一段的弧长s =（ ）

A.

a

ae

λθ

θ⎰

B. 0θ⎰

C.

θ⎰

D. 0

θ⎰

5. 矩形闸门的一边恰与水面相齐，且此闸门垂直于水面，过闸门的中心作水平线将矩形分

为面积相等的上、下两部分，设上部所受的压力为1P （吨），下部所受压力为2P （吨），则

1

2

P P =（ ） A.

12 B.1 C.13 D.23

6. 曲线1

y x

=，y x =，2x =所围成的图形面积为A ，则A =（ ）

A.

2

1

1()x dx x -⎰

B. 211

()x dx x

-⎰

C.

2

11

01

(2)(2)dy y dy y

-+-⎰

⎰ D. 22111(2)(2)dx x dx x -+-⎰⎰

7. 曲线2

2

x y =在[0,1]之间的一段绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积为（ ）

A. 1

2⎰ B. 1

202x dx π⎰

C.

1

2x π⎰

D. 10

x π⎰

8. 设(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()()g x f x m <<（m 为常数），则曲线()y g x =，

()y f x =，x a =及x b =所围平面图形绕直线y m =旋转而成的旋转体积为（ ）

A.

[2()()][()()]b

a

m f x g x f x g x dx π-+-⎰

B. [2()()][()()]b

a

m f x g x f x g x dx π---⎰

C. [()()][()()]b

a

m f x g x f x g x dx π-+-⎰

D.

[()()][()()]b

a

m f x g x f x g x dx π---⎰

9. 设在区间[,]a b 上，()0f x >，()0f x '<，()0f x ''>，令1()b

a

S f x dx =

⎰

，

2()()S f b b a =-，31

[()()]()2

S f b f a b a =+-，则

A. 123S S S <<

B. 213S S S <<

C. 312S S S <<

D. 231S S S << 10. 两个半径为a 的直交圆柱体公共部分的体积V =（ ） A. 22

4

()a

a x dx -⎰

B. 220

8()a

a x dx -⎰

C. 22

16

()a

a x dx -⎰

D. 220

2()a

a x dx -⎰

（二）填空题（每小题4分，共60分）

1. 抛物线()(0)y x x a a =->与直线y x =所围图形的面积为＿＿。

2. 已知1

()(1||)(1)x

f x t dt x -=

-≥-⎰

，则曲线()y f x =与x 轴所围图形的面积为＿＿。

3. 曲线(0)x

y e x =<，0x =，0y =所围图形绕Ox 轴旋转一周所得旋转体的体积为＿＿。

4. 摆线(sin )

(1cos )

x a t t y a t =-⎧⎨

=-⎩的一拱与x 轴所围图形的面积为＿＿。

5. 曲线y =

⎰的全长为＿＿。

6. 星形线3

3

cos (0)sin x a t

a y a t

⎧=⎪>⎨=⎪⎩绕Ox 轴旋转所得旋转曲面的面积为＿＿。

7. 曲线r θ=

与2cos 2r θ=所围图形的公共部分的面积S =＿＿。

8. 正椭圆锥的高为h ，底面边界是椭圆22

221x y a b

+=，则此正椭圆锥的体积为＿＿。

9. 双纽线22cos2(0)r a a θ=>所围图形的面积为＿＿。

10. 设()V a 是由曲线x y xe -=，0x ≥，0y =，x a =所围图形绕Ox 轴旋转一周的立体的

体积，则lim ()a V a →+∞

=＿＿。

11. 曲线3cos r θ=，1cos r θ=+所围图形的公共部分面积A =＿＿。 12. 曲线(cos sin )

(sin cos )

x a t t t y a t t t =+⎧⎨

=-⎩从0t =到t π=一段弧长s =＿＿。

13. 由曲线1

y x x

=+

，2x =及2y =所围图形的面积A =＿＿。

14. 函数2

y =

在区间1[2上的平均值为＿＿。 15．曲线3

sin

3

r a θ

=在03θπ≤≤一段的弧长s =＿＿。