复变函数PPT课件

由欧拉公式 eikcoksisikn得到
[ c c 2 o c o 3 o s s c n ] s o i [ s s s 2 i i s 3 n n i s n n ]
e i e i2 e i3 e i n
(1ein )ei 1ei
ei(cosisin) ei ei 2cos
由欧拉公式 eicosisi n
(c o issi)n n (e i)n e i n
再由欧拉公式
ei nco n s isin n
所以证得
(c o iss i)n n co n sisn in
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（复数的表达） 例题： 求下列函数的有限表达式
s i n s2 i n s3 i n sn in
e i e i2 e i3 e i n
(1ein )ei 1ei
ei/(21(eeii/n2)eeii/2) eine/i2(/2e(eini/2/2eeini//22))ei
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eieii(2sin)
e i e i2 e i3 e i n
(1ein )ei 1ei
ei/(21(eeii/n2)eeii/2) eine/i2(/2e(eini/2/2eeini//22))ei
则有
（2）
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比较以上两式得
（1） （2）
即是极坐标系中的C-R条件．
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第一篇 复变函数论
第一章 复变函数
第一节 复数与复数运算 第二节 复变函数 第三节 导数 第四节 解析函数 第五节 平面标量场 第六节 多值函数
(ein(/e2ie/2in/e2i)e/i2(n)1)/2
i[2sinn(/2)]ei(n1)/2
i[2sin(/2)]
si nn /2 ) ( co n 1 s )/[ 2 ] (isin n 1 )[ /2 ] ( si/n 2 )(
所以s 得 i s n2 i n s3 i n sn i n sn in /2 )s (i n n 1 )/[ 2 ](
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第一篇 复变函数论
第一章 复变函数
第一节 复数与复数运算
第二节 复变函数 重点：
第三节 导数
复数的概念、无限远点的定义.
第四节 解析函数
第五节
平面标量场
难点： 主辐角、复数“零”、无限远点
第六节 多值函数
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（复数的表达）
例题： 证明里莫夫公式
(c o iss i)n n co n sisn in
复变函数f(z)的导数存在，则可用下面两式 表示 (1.31)(1.32)
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26
例 试推导极坐标系下的C-R条件． 解：因为在直角坐标系下C-R条件为：
27
例 试推导极坐标系下的C-R条件． 解：因为在直角坐标系下C-R条件为：
则有
（1）
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例 试推导极坐标系下的C-R条件． 解：因为在直角坐标系下C-R条件为：
ei ei i(2sin)
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（复数的表达）
例题： 求下列函数的有限表达式
s i n s2 i n s3 i n sn in
由欧拉公式 eikcoksisikn得到
[ c c 2 o c o 3 o s s c n ] s o i [ s s s 2 i i s 3 n n i s n n ]
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第一篇 复变函数论
第一章 复变函数
第一节 复数与复数运算
第二节 复变函数 重点：
第三节 导数
复变函数定义、复变函数的表示.
第四节
解析函数
区域的概念、构成区域的两个条件、区域 的表示. 复变初等函数.
第五节 平面标量场
第六节 多值函数
难点
复变函数例中复变正弦、余弦函数、复变
指数函数、复变的双曲正弦函数、双曲余弦函
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区域的概念
1. 全由内点组成 2. 具有连通性
圆形区域
z z0 r z z0 r
圆形域
闭圆域
Imz y
z0 r
Rez
O
x
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P9. 2(1)
求
解：
的值．
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Sinz 和 cosz具有实周期 2π，即：
在实数领域中 但在复数领域中将定义按照指数函数展为实部和虚部，就可求得模：
这样
和
可以大于 1
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导数
设 w=f(z) 函数为区域B上的单值函数，
若在 B 某点 z, 极限
存在，则函数 w=f(z)在z点可导，极限称为 f(z)在z点的导数 f ' ( z) df / dz 形式上与实变函数的定义相同
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Imz
y z
Rez
O
x
复变函数的可导比实变函数可导的要求
严格的多
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Cauchy-Rieman方程 Cauchy-Rieman条件
（C-R条件）
复变函数可导的
必要条件
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课本P12的表述 证明：因为偏导数存在且连续，所以 u v 可微
偏导数
可微 方向导数
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课本P12的表述 证明：因为偏导数存在且连续，所以 u v 可微
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于是 利用 C-R条件
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于是 利用 C-R条件
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于是 利用 C-R条件
(
f(z) 可导
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第一篇 复变函数论
第一章 复变函数
第一节 复数与复数运算 第二节 复变函数 第三节 导数 第四节 解析函数 第五节 平面标量场 第六节 多值函数
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数学物理方法
Baidu Nhomakorabea
第一篇 复变函数论
第一章 复变函数
第一节 复数与复数运算 第二节 复变函数 第三节 导数 第四节 解析函数 第五节 平面标量场 第六节 多值函数
数、复变对数函数与相应的实变函数的区别
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复变函数知识回顾
Imz y
O
z
Rez x
在复数平面（复数球面）上，存在一个点集 E， 对于E的每一个点（每一个z值），按照一定的 规律，有一个或多个复数值w与之对应，则称 w 为 z 的函数。 复变函数
z为w的 宗量 （自变量）
w f (z), z E 定义域
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指数函数 ez ex iy exeiy ex(cyo issiy)n
具有纯虚数周期 2πi 双曲函数
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第一篇 复变函数论
第一章 复变函数
第一节 复数与复数运算
第二节 复变函数 第三节 导数 第四节 解析函数
重点： 柯西-黎曼条件， 复变函数可导的判断
第五节 平面标量场 难点： 第六节 多值函数 复变函数可导的判断
si/2 n ) (
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[ co sco2sco3s cons] i[sinsin2si3nsin]
ssiinnn((//22))cosn[1()/2]is inn[(1)/2]
求下列函数的有限表达式
c o c s2 o c s3 o scn o s
ssiinnn (/(/22))con s [1()/2]