组合变形习题解答

第12章 组合变形的强度计算

主要知识点：（1）弯曲与拉伸（压缩）组合变形的强度计算；

（2）弯曲与扭转组合变形的强度计算。

1. 试判断图中杆AB 、BC 和CD 各产生哪些基本变形？

答：如图12-1a 所示，将力F 平移到B 点，可知图中杆AB

产生弯曲变形；

如图12-1b 所示，将力F 平移到C 点，可知杆BC 产生

压缩和弯曲组合变形;

如图12-1c 所示，杆CD 产生（横力）弯曲变形。

a) b) c)

图12-1

2. 若在正方形截面短柱的中间处开一个槽，如图所示，使横截面面积减少为原截面面积的一半。试求最大正应力比不开槽时增大几倍？

解：正方形短柱截面不开槽时最大正应力2004a

F A F ==σ 正方形短柱截面开槽时，BC 段受偏心压缩，偏心距e =0.5a ，

抗弯截面系数3/3

a W Z =，最大正应力 2321max 235.02a

F a

a F a F

W Fe A F Z =⨯+=+=σ max σ/80=σ，所以开槽后最大正应力比不开槽时增大7倍。

3. 如图所示的支架，已知载荷F =45kN ，作用在C 处，支架材料的许用应力[]a MP 160=σ，试选择横梁AC 的工字钢型号。

解：（1）外力分析

作ABC 梁的受力图，如图12-3a 所示。

平衡方程

030sin ,

0)(01=⨯-⨯=∑=AC F AB F F M B n i i A

图12-3

解得kN F B 120=。由受力图可知，梁的AB 段为拉伸与弯曲的组合变形，而BC 段为弯曲变形。

(2)内力分析，确定危险截面的位置

AB 段受到拉力，kN F F B N 10430cos 0==，作出图12-3b 所示轴力图。 梁的AB 段、BC 段剪力均为常数，弯矩图均为斜直线，算得m kN M B ⋅-=45，作出图12-3c 所示弯矩图。故危险截面是B -截面，即B 截面左侧。

危险截面上的轴力kN F N 104=、弯矩m kN M B ⋅-=45

(3)应力分析，确定危险点的位置 危险截面上拉伸正应力A

F N =1σ，弯曲正应力y I M Z max 2=σ（见图12-3d ）。根据危险截面上的应力分布规律可知，危险点在危险截面的上侧边缘。其最大应力值为

Z

N W M A F max max +=σ (4)强度计算

因危险点的应力为单向应力状态，所以其强度条件为

[]σσ≤⨯+⨯=+=Z

Z N W A W M A F 33max max 104510104a MP 160= (a) 因上式中有截面面积A 和抗弯截面系数W Z 两个未知量，故要用试凑法求解。用这种方法求解时，可先不考虑轴力N F 的影响，仅按弯曲强度条件初步选择槽钢的型号，然后再按(a)式进行校核。由

[]a Z

Z P W W M 63max max 101601045⨯=≤⨯==σσ 得336328110

1601045cm m W Z =⨯⨯≥。查表得22a 工字钢3309cm W Z =，代入(a)式进行校核

[]σσ>=⨯⨯+⨯⨯=+=--a a Z N MP P W M A F 17010

309104510128.4210104(6343max max ） max σ为[]σ的106%，所以要重新选择工字钢。查表得22b 工字钢3325cm W Z =，代入(a)式进行校核

[]σσ>=⨯⨯+⨯⨯=+=--a a Z N MP P W M A F 16110325104510528.4610104(6

343max max ） 虽然最大应力大于许用应力，但其值不超过许用应力的5%，在工程上是允许的。所以横梁AC 可以选择22b 工字钢。

4. 电动机带动带轮如图所示，轴的直径d =40mm ，带轮直径D =300mm ，带轮重量G =600N ，若电动机的功率P =14kW ，转速n=980r/min 。带轮紧边拉力与松边拉力之比F 1/F 2=2，轴的许用应力[]a MP 120=σ。试按第三强度理论校核轴的强度。

图12-4

解：(1)外力分析

已知功率P 和转速n ，计算电动机输入的力偶矩 m N m N n P M ⋅=⋅⨯==4.136980

14955095500 该力偶矩与带轮拉力F 1、F 2构成的力矩M B 平衡，即

0212

2M D F D F =⨯-⨯

已知F 1/F 2=2，代入上式得m N F F ⋅==1819221。于是得到轴的计算简图，如图12-4b 所示。 (2)内力分析，确定危险截面的位置

作出轴的扭矩图（见图12-4c ）和弯矩图（见图12-4d ），由内力图可以看出B +截面为危险截面，其上的内力为

m N T B ⋅=4.136， m N M B ⋅=666

(3)强度计算

按第三强度理论校核，由

[]a a a Z B B r MP MP P W T M 120108040.032

4.1366663

2

22

23=≤=⨯+=+=σπσ 所以该轴满足强度要求。