数列与数学归纳法.

专题39 数列与数学归纳法

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数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.

1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明

2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可.证明的步骤如下：

（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立

（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立 3、第一归纳法要注意的地方：

（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始

（2）归纳假设中，要注意0k n ≥，保证递推的连续性

（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件.在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系

4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k ≤的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k ≤，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立.可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：

（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立

（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N ≤≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立.

5.注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳

法，确认n的初始值n0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.

【经典例题】

例1.【2018届重庆市第一中学5

______. 【答案】

【解析】分析：由题意首先求得. 详解：由题意结合

以下用数学归纳法进行证明：

，

综上可得数列的通项公式是正确的.

据此可知：

利用等差数列前n

结合对勾函数的性质可知，当或

点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．

例2. 设S n为数列{a n}的前n项和，满足S n＝2a n－2 (n∈N*)

（1{a n}的通项公式a n；

（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

【答案】（1（2）见解析.

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×a4－2，∴a4＝16.

由此猜想：(n∈N*)．

(2)证明：①当n＝1时，a1＝2，猜想成立．

②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立，即，

那么n＝k＋1时，

a k＋1＝S k＋1－S k＝2a k＋1－2a k

∴a k＋1=2a k，

这表明n＝k＋1时，猜想成立，

由①②知猜想成立．

点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.

例3

的值；

的通项公式.

【答案】

.

由此猜想

下面用数学归纳法证明之：

∴当时，结论成立.

点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：

1；

第二步：归纳递推（即假设；

3

得到的形式应与前面的完全一致.

例4.【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列

．

（1

（2

（3，求证：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；（2

（3）由（2

求和公式可证结论.

（2

所以，数列

（3）由（2

时，

例5.已知函数()()2ln ,10b

f x ax x f x

=-

-= （1）若函数()f x 在1x =处切线斜率为0，'211

11n n a f n a n +⎛

⎫=-+ ⎪-+⎝⎭

，已知14a =，

求证：22n a n ≥+

（2）在（1）的条件下，求证：

12

11

12

11

15

n a a a +++

<+++ 【答案】见解析

下面用数学归纳法证明：22n a n ≥+ 当1n =时，1422a n =≥+成立

假设()

n k k N *

=∈成立，则1n k =+时

()121k k k a a a k +=-+ 22k a k ≥+ ()()1222145212k a k k k +∴≥+⋅+=+>++

1n k ∴=+时，不等式成立

,22n n N a n *∴∀∈≥+

（2）

()2

12121n n n n n a a na a a n +=-+=-+

由（1）可知22n a n ≥+ 121n n a a +∴≥+

()11111

1211

21

n n n n a a a a ++∴+≥+⇒

≤

⋅

++ 2112111111

11

12121

21

n n n n a a a a ---∴

≤⋅≤⋅≤≤

⋅

---+ 12

11111111111122n

n a a a a ⎡⎤

⎛⎫∴+++<+++⎢⎥ ⎪++++⎝⎭

⎢⎥⎣⎦

1112121211152512

n n

a ⎡⎤

⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢

⎥⎛⎫⎣⎦=⋅<-<⎢⎥

⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 例6．【浙江省绍兴市2018届5

（1

（2

，证明：

【答案】（1）见解析；（2）见解析

详解：（1

②假设当