线性偏微分方程通解
第七章 一阶线性偏微分方程
第七章 一阶线性偏微分方程7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。
1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=t y x dtdy y x dt dx 2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dtdy y x dt dx 2 ，当0=t 时，1==y x 3）xy dz z x dy y z dx -=-=- 解 1） 方程组的两式相加，得t y x dt y x d ++=+)(2)(。
令 y x z +=，上方程化为一阶线性方程t z dtdz +=2， 解之得412121--=t e C z t 即得一个首次积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-。
方程组的两式相减，得t dty x d -=-)(， 解之得另一个首次积分为 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。
易验证 021111det det 2211≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂x x y x 。
因此，11),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-， 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。
从中可解得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+'-'=---'+'=81414181414122212221t t C e C y t t C e C x t t 。
2）方程组的两式相比，得 yx y x dy dx --=2， 变形得恰当方程 02=--+x d y y d x y d y x d x ，解之得一个首次积分为 12222C xy y x =-+，即 =Φ),,(1y x t 2122)(C y y x =+-。
给方程组第一式乘以y ，第二式乘以x ，再相减得])[()22(2222y y x xy y x y x x y +--=-+-='-'，1)(22-=+-'+'-'-'yy x y y y x y y x y ， 1)(22=+-'+'-'-'-y y x y y y x y y x y 两边积分，得另一个首次积分为=Φ),,(2y x t 2arctanC t y x y =--， 易验证 211),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为2122)(C y y x =+-，2arctan C t yx y =--， 通解为 ⎩⎨⎧'+'='-'+'+'=t C tC y t C C t C C x s i n c o s s i n )(c o s )(211212，其中211sin C C C ='，212cos C C C ='。
偏微分方程的特解与通解
偏微分方程的特解与通解偏微分方程是数学分析中重要的分支之一，主要研究的是多元函数的微分方程。
与常微分方程不同，偏微分方程中的未知函数不仅仅是一个变量的函数，而是多个变量的函数，因此处理方式也有所区别。
在偏微分方程的研究中，解方程是一个非常重要的任务，因为只有通过解方程，才能深入研究该方程的性质。
对于偏微分方程，通解与特解是两个重要的概念。
通解是指偏微分方程的一般解，它可以表示任意形式的解。
在求解通解时，我们需要确定方程中的关键参数，并通过这些参数来构造一个变量形式的通解。
这里需要注意的是，通解是通过一组通用的参数来构造的，因此它并不包含所有的解，但是可以用来表示所有的解。
特解则是指偏微分方程的某个具体解，它是由特殊条件所决定的。
在研究偏微分方程的特解时，我们需要根据方程的特殊条件，来构造一个与之相应的特解。
需要注意的是，特解不一定是唯一的，但是它是满足特殊条件下的一个最简单的解。
为了更好地理解偏微分方程的特解与通解，我们以下面的偏微分方程为例：$$\frac{\partial u}{\partial t} +3u = 0$$这是一个一阶常系数线性偏微分方程，该方程的通解可以写成如下的形式：$$u(x,t)=Ce^{-3t}$$其中 $C$ 是一个任意常数。
这是因为我们可以通过通解形式的一般参数来表示方程的所有解。
接着，我们来研究该方程的特解。
假设该方程的特殊条件为$u(x,0)=1$，那么我们可以通过构造如下的特解：$$u(x,t)=e^{-3t}$$可以看出，该特解满足特殊条件，并且是一个最简单的解。
需要注意的是，该特解并不包含所有的解，但是可以用来表示所有满足特殊条件的解。
当然，上述例子只是一个最简单的示例，在实际应用中偏微分方程往往更为复杂，需要通过更加深入的研究才能得出相应的特解与通解。
此外，在进行偏微分方程的解析研究时，还需要注意方程的边界条件与初值条件，以充分考虑方程的全部情况。
总结而言，偏微分方程的特解与通解在研究偏微分方程时有着重要的作用。
高数通解的求法
高数通解的求法
高等数学中的通解是指在特定条件下求得的一个方程或方程组的所有解的集合。
通解的求法取决于不同类型的方程或方程组。
对于常微分方程：
通常的方法是使用分离变量、变量替换、积分因子、常数变易等技巧来求解。
例如，对于一阶线性常微分方程, 可以使用积分因子法来求解。
首先，将方程化为标准形式，然后计算积分因子，最后进行积分得到通解。
对于偏微分方程：
常见的方法有分离变量法、特征线法、变量替换法、变换域法、Laplace 变换等。
例如，对于二阶齐次线性偏微分方程，可以通过变量分离法将方程转化为两个常微分方程，然后分别求解得到通解。
对于线性代数中的方程组：
通常使用高斯消元法、克拉默法则、矩阵求逆等方法来求解。
例如，对于一个线性方程组，可以将其转化为增广矩阵形式，然后利用高斯消元法将其化简为简化行阶梯形矩阵，并通过回代法求解得到通解。
总的来说，通解的求法涉及不同的数学领域和技巧，具体的求解方法
需要根据具体问题的类型来确定。
在实际应用中，需要综合运用数学知识和技巧来解答问题。
偏微分方程(1)
对于固定时刻 t0 , G( x at0 )
只是自变量x的函数。
考虑时刻 t0 1, 由于 G( x at0 ) G( x a a(t0 1))
这说明弦上点x在时刻 t0 的振幅和弦上点x+a在时刻 t0 1 的振幅相同，或者说，弦上点x在时刻 t0 的振幅在时刻 t0 1
2 2i u Au Bu Cu D,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
例1.化标准形式并求通解 例2.化标准形式
uxx uxy 2u yy 0.
auxx 2auxy au yy bux cu y u 0. uxx 4uxy 5u yy ux 2u y 0.
新变量方程（1）化为标准形 u Au Bu Cu D,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
(2)当 0 时，特征线 ( x, y ) c.
令 ( x, y ), ( x, y ).
其中 ( x, y )是与 ( x, y )线性无关的任意函数，这样以 , 为新变量方程(1)化为标准形 u Au Bu Cu D, 其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。 (3)当 0 时，令 1 ( ), 1 ( ). 以 , 为新 变量方程（1）化为标准形 u
表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
dx 。utt 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
则根据牛顿第二定律，有
dxutt FT , xdx sin 2 FT , x sin 1 F ( x, t )dx.
偏微分方程的解法
例 7.6 求解如下定解问题：
utt − a uxx = f (x, t),(−∞< x < ∞, t > 0) ut (x,0) =ψ (x) u(x,0) = ϕ(x),
2
本题可根据线性方程的性质,假定原问题的解可以表示为: 解: 本题可根据线性方程的性质,假定原问题的解可以表示为:
d’Alembert公式 公式
考察泛定方程的通解: 考察泛定方程的通解: 泛定方程 作一变换: 作一变换: x ' =
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
x + at ,则有 f1 ( x + at ) = f1 ( x ') .这表明在相对于
运动的坐标系中来看, 原来坐标轴以速度 a 运动的坐标系中来看,通解中的第一部分贡献是和 时间无关的;回到原来坐标系中观察, 时间无关的;回到原来坐标系中观察,则第一部分贡献的波形随时间变 轴正向移动.同理, 化以速度 a 沿 x 轴正向移动.同理,通解中第二部分可以看作另外一列 反向传播的行波的贡献. 反向传播的行波的贡献.
其中 F
( x )、G ( y ) 是任意两个独立的函数.
1 2
如果指定 F
( x ) =0，
特解. G ( y ) = 0 ; 则 u ( x, y ) = xy 2 − x 2 y 是原方程的一个特解 特解
一般地，一个 n 阶常微分方程的通解含有 n 常数。一 个 n 阶偏微分方程的通解含有 n 个任意函数。
9Leabharlann 原方程满足初始条件的 解可以表示为: 故原方程满足初始条件的特解可以表示为: 满足初始条件
1 1 x + at u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) ]+ ∫ ψ ( x ') dx ' 2 2a x − at
偏微分方程的解法
（4）
的通解．
显然，方程（4）是可分离变量方程．分离变量后，得 dy P ( x )dx y 两边积分，得 ln y P ( x )dx ln C 即
ye
P ( x ) dx ln C
Ce
P ( x ) dx
(5-1)
这就是一阶线性齐次微分方程(4)的通解公式． 注意 在用上式进行具体运算时，其中的不定积分 P ( x )dx
3
dy ． 例1 求 微 分 方 程 2 xy 的 通 解 dx 解 分离变量，得 dy 2 xdx, y dy 两边积分，得 2 xdx
y
得
ln y x 2 C
y e
即
x 2 c1
e e ,
c1
x2
y e c1 e x2．
y Ce
x2
因为 e c1 仍是任意常数 ， 令C eC1 0 , 得方程的通解为
代入公式（5-2），得
2 5 dx 2 x 1 ye dx C ( x 1) e 5 2 ln( x 1 ) 2 ln( x 1 ) 2 e dx C ( x 1) e 2 dx x 1
5 2 2 ( x 1) ( x 1) dx C ( x 1)2
将上式中的任意常数C 换成函数C(x) ，即设原方程的通解为
y C ( x)( x 1)2
1 dy 将y和 代入原方程,得 C ( x ) ( x 1) 2 . 3 dx 2 C ( x ) ( x 1) 2 C . 两边积分，得 3 再代入（8）式，即得所求方程的通解为
(7)
由此可知：一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特 解与对应的齐次方程的通解之和．
各类微分方程的解法
各类微分方程的解法一、常微分方程的解法。
1. 分离变量法。
分离变量法是解常微分方程的一种常见方法，适用于一阶微分方程。
其基本思想是将微分方程中的变量分离开来，然后对两边分别积分得到解。
例如，对于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，可以将其化为dy/g(y) = f(x)dx，然后对两边积分得到解。
2. 积分因子法。
积分因子法适用于一阶线性微分方程，通过求解积分因子来将微分方程化为恰当微分方程，进而求解。
其基本思想是通过乘以一个适当的函数来使得微分方程的系数函数具有某种特殊的性质，使得微分方程变为恰当微分方程。
3. 特征方程法。
特征方程法适用于二阶线性常系数齐次微分方程，通过求解特征方程来得到微分方程的通解。
其基本思想是将二阶微分方程化为特征方程，然后求解特征方程得到微分方程的通解。
4. 变量替换法。
变量替换法是一种常见的解微分方程的方法，通过引入新的变量替换原微分方程中的变量，从而将原微分方程化为更简单的形式，然后求解。
例如，对于形如dy/dx = f(ax+by+c)的微分方程，可以通过引入新的变量u=ax+by+c来简化微分方程的形式，然后求解得到解。
二、偏微分方程的解法。
1. 分离变量法。
分离变量法同样适用于偏微分方程，其基本思想是将偏微分方程中的变量分离开来，然后对各个变量分别积分得到解。
例如，对于形如∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2的一维热传导方程，可以将其化为∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2，然后对各个变量分别积分得到解。
2. 特征线法。
特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，通过引入特征线变量来化简偏微分方程的形式，然后求解。
例如，对于一维波动方程∂^2u/∂t^2 = c^2∂^2u/∂x^2，可以通过引入特征线变量ξ=x-ct和η=x+ct来化简方程的形式，然后求解得到解。
3. 分析法。
分析法是一种常见的解偏微分方程的方法，通过分析偏微分方程的性质和特征来求解。
线性偏微分方程的解法-分离变量法
由 2.1.1 中 例 题 （ 1 ） 可 知 ， 当 f (x,t ) ≡ 0 时 ， 定 解 问 题 的 本 征 函 数 族 为
⎨⎧sin ⎩
nπx l
⎬⎫, ⎭
(n
=
1,2,3L)
。
因此，设
∑ u(x, t )
=
∞
Tn (t)sin
n =1
nπx l
将（12）带入（11）中的泛定方程，得
∑∞
⎡ ⎢Tn
（23）
上述定解问题和初始条件是非齐次的，但边界条件是齐次的，可以用上一小节的本征函数发 或者冲量定理法继续求解。
另一个函数 v(x,t )，可以用线性函数构造，令
v(x,t) = α (t) + β (t) − α (t) x
l
将（24）式带入（23）式，即可求得ω(x,t )，最终由（22）式可得
= 0,
= u1
0,
x=
l
=
0,
⎪ ⎪⎩u1
t=0
=
ϕ (x ),
u1t t=0 = ψ (x),
（16）
( ) ⎪⎪⎨⎧uu
2 tt
2 x
−
=0
a 2u 2 = 0,
xx = u2
f x,t , x=l = 0,
⎪
⎪⎩u2 t =0 = 0,
u
2 t
t=0 =
0,
（17）
齐次方程（16）可用上一小节分离变量法直接求得，方程（17）泛定方程为非齐次，但初始 条件已经转化为齐次。
nπa l
sin
nπx l
=ψ
(x),
(0 < x < l)
（9）式左边是傅里叶正弦级数展开，因此其系数
1.3一阶线性偏微分方程的通解法
1.3 一阶线性偏微分方程的通解法1.3.1 (3)，1.3.2 (3)，1.3.3(2)通解法：对某些偏微分方程，通过积分先求出通解，再由定解条件定出特解的解法。
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程(,)(,)(,)(,)0.1(,),(,),(,),(,)D (,),(,)u ua x yb x yc x y u f x y x y a x y b x y c x y f x y a x y b x y ∂∂++=∂∂（）其中，为平面区域上的连续函数，且不同时为0.1D (,)0,(,)0,(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)=exp -exp ()0.3(,)(,)(,)()a x y b x y u c x y f x y u y b x y b x y x c x y c x y f x y u x y dy dy dy g x b x y b x y b x y g x C ≡≠∂+=∂⎡⎤⎛⎞⎛⎞+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫∫若在上，则（0.2）可看做含参数的常微，其通解.（其中，为任意函数。
）D (,)(,)0,=,)(,)(,)(,)0(,)a x y b x y x y x y xyJ x y xyξϕηψϕϕϕψϕψψψ≠⎧⎨=⎩∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂若在上，则方程（0.2）不能直接积分求解。
试作变量代换（（0.4）要求其雅可比行列式（保证新变量的独立性）利用链式法则++(,)=((,,(,)(,.=,)(,)(,)=0u u u u u ux x x y y y u x y u u x y u u u a b a b cu f xy x y x y a x y b x y x y ϕψϕψξηξηξηξηξηϕϕψψξηξϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂++++=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂+∂∂，的方程（0.1）变成)))的新方程（0.5）若取（是一阶齐次线性偏微分方程（0.6）的解，则新(,(,)u a b cu f xy u u ψψηηξη⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂⎝⎠方程（0.5）成为（0.2）型的方程，（0.7）对积分即可求出其通解)，代回原自变量即得通解。
第二节 两个自变量的二阶线性偏微分方程
u( x, y) f ( ( x, y)) g (( x, y)) f (1x 1 y) g(2 x 2 y)
： B 4 AC 0时，
Step2: 化方程为标准型，求其通解。 Step3: 将第二步所求通解中的变量 , 换成 x, y
的函数即可。 评点该方法： 化标准型的过程很麻烦，很容易出错。但
是对于一些特殊方程，它们的标准型有一定的规律，给
求解带来很大的方便。 三、 Auxx Buxy Cuyy 0的通解求法
四、 Auxx Buxy Cuyy D( x, y)的通解求法
Auxx Buxy Cuyy D( x, y)
的齐次方程(2)的通解与(6)的特解之和。 例4：u xx 4u xy 4u yy e
y
(5)
(5)是非齐次线性方程，易得到(5)的通解等于它所对应
y
u ( y), 代入方程得到： 解：设原方程的特解为
e 4u yy e , 可以找到一个特解为 u 4 设原方程的通解为 : ey u ( x, y ) xf (2 x y) g (2 x y ) 4
y
u( x, y) xf (2 x y) g (2 x y)
例3： uxx u yy 0
2
dy 解： 特征方程： 1 0 dx ix y C1 特征线： ix y C2
u( x, y) f (ix y)) g (ix y)
： B 2 4 AC 0时，
1x 1 y c1 1x 1 y 求出特征线： ,引入变量 2 x 2 y c2 2 x 2 y 其中1 ，2，1 ，2为复数
高中数学备课教案解偏微分方程的方法总结
高中数学备课教案解偏微分方程的方法总结一、引言在高中数学备课教案中，解偏微分方程是一个关键的内容。
偏微分方程是数学中一类重要的方程，对于学生的数学思维能力和问题解决能力有着重要的培养作用。
本文将总结解偏微分方程的方法，以便教师在备课过程中能够更好地指导学生。
二、常见的偏微分方程类型及解法1. 一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程是形如 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 的方程。
常见的解法有分离变量法和恰当方程法。
a) 分离变量法：步骤1：将方程移项，将所有含有 y 的项移到方程的一边，将所有含有 x 的项移到方程的另一边。
步骤2：分别对 x 和 y 求积分。
步骤3：解得方程的通解，其中的任意常数可通过边界条件确定。
b) 恰当方程法：步骤1：判断方程是否为恰当方程。
一个方程是恰当方程，当且仅当存在函数 u(x, y)，使得 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 等于 du = Mdx + Ndy。
步骤2：求解函数 u(x, y)。
步骤3：解得方程的通解，其中的任意常数可通过边界条件确定。
2. 一阶可降秩偏微分方程一阶可降秩偏微分方程是形如 F(x, y, y') = 0 的方程。
常见的解法有换元法和积分因子法。
a) 换元法：步骤1：令 y' = p(x)。
步骤2：将方程转化为只含有 x 和 p(x) 的形式。
步骤3：对方程进行求解，解出 x 和 p(x) 的关系。
步骤4：再次积分，解得方程的通解，其中的任意常数可通过边界条件确定。
b) 积分因子法：步骤1：将方程整理为 y' + P(x)y = Q(x) 的形式。
步骤2：求解方程的积分因子μ(x)。
步骤3：用积分因子乘以方程，化为恰当方程。
步骤4：按照恰当方程的解法，解得方程的通解，其中的任意常数可通过边界条件确定。
3. 二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程是形如 P(x, y)u_xx + Q(x, y)u_xy + R(x,y)u_yy + S(x, y)u_x + T(x, y)u_y + U(x, y)u = G(x, y) 的方程。
06 通解法
物理学院 邓胜华
(i) ∆ ≡ b 2 − 4ac > 0 →双曲型方程（ , *）有两个不同实根 λ1 , λ2
u( x , y ) = F ( y + λ1 x ) + G ( y + λ2 x )
(ii) ∆ ≡ b 2 − 4ac =0 →抛物型方程， （*）有两个相等实根： λ1 = λ2 = − b (2a )
稳 定 场 方 程
标 准 形 式
A11 = 0,
A22 = 0 ⇒
1 − [ B1 uξ + B2 uη + Cu + F ] uξη = 2 A12
= α 再作自变量代换： β = 1 (ξ + η ) 2 1 (ξ − η ) 2i
是 抛 物 型 方 程
6/43
uαα + uββ
（注：上式中的第二项乘以
x 是为了保证两根线性独立）
(iii) b 2 − 4ac < 0 椭圆型， (**)方程有两个共轭复根
q1 ( p) =α ( p) + i β ( p), q2 ( p)=α ( p) − i β ( p)
= u( x , y ) c1e px +α y + i β y + c2 e px +α y − i β y
aλ 2 F "( y + λ x ) + bλ F "( y + λ x ) + cF "( y + λ x ) = 0
需求方程的非零解，可要求
F "( y + λ x ) ≠ 0 aλ 2 + bλ + c = 0
chapter1_偏微分方程定解问题
对于一般的偏微分方程，找出通解非常困难。但我们可以根据方程的物理背景或数学特点，
找出某些特定形式的特解来满足实际需要。例如，根据解析函数的实、虚部是调和函数，即 可得到二维 Laplace 方程2u 0 的中心对称解u ln 1 (r 0) ，周期解u ex sin y ，多项式解
r
u x2 y 2 等。
u
c(x, y)
u
f (x, y) ，
(1)
y b(x, y) b(x, y)
利用一阶线性常微分方程的求解方法得其通解：
， y c( x, )
u(x,
y)
e ( y0
d ) b( x, )
y
y
0
c( b(
x,s x,s
) )
ds
e y
0
f (x,)
d g(x)
b( x, )
其中g(x) 是任意的C1 函数。
1.2 定解问题及其适定性：
偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数，例如：
例 1.2.1：求解二阶偏微分方程 2u 0 ，u u( ,) 。
解：两边依次对 ， 积分，得
u f ( ) g() ， 对于任意C1(R) 函数 f 和 g ，都是方程在全平面的解。
#
称m 阶偏微分方程的含有m 个任意函数的解为方程的通解，不含任意函数或某些任意函数 为常数的解为方程的一个特解。通解中的任意函数一旦确定，通解就成了特解。
第一章． 偏微分方程定解问题
偏微分方程：是指含有多元的未知函数u
u(
x)
,
x
(
x1,
x2,,
xn)
及其若干阶偏导数的关式
u u u F (x,u, , ,..., ,...,
中国海洋大学vhdl习题
习题七1.写出下面方程的阶,判别它们是齐次还是非齐次的,线性还是非线性的.(1)u t −u xx +1=0;(2)u t −u xx +xu =0;(3)u t −u xxt +uu x =0;(4)u tt −u xx +x 2=0;(5)u x +e y u y =0;(6)u t +u xxxx +√1+u =0;(7)u x (1+u 2x )−1/2+u y (1+u 2y )−1/2=0.2.求下面的一阶线性偏微分方程的通解:(1)xu x −2yu y =0;(2)xu x +yu y =0;(3)xu x +3u =x 2;(4)xu x +2u y −2u =0;(5)(1+x 2)u x +u y =0;(6)3u y +u xy =0;(7)u x −u y =1;(8)yu x −xu y =3x ;(9)x 2u x +y 2u y =(x +y )u ;(10)au x +bu y +cu =0.3.求解下面的初值问题:(1){u t =x 2,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=x 2,−∞<x <+∞.(2){2u t +3u x =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞.(3){u t −au x =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=x 2,−∞<x <+∞.4.求方程u x −u y =1满足条件u (x,0)=x 2的解.5.求方程yu x +xu y =u 分别满足条件u (x,0)=x 3和条件u (0,y )=y 3的解.6.求方程u x +3y 23u y =2满足条件u (x,1)=1+x 的解.7.求解方程u x +u y +u =1,使其在曲线y =x 2+x (x >0)上满足条件u (x,y )=sin x .8.试证明如果u 1(x,t )和u 2(x,t )分别是下面两个热传导方程初值问题{u 1t =a 2u 1xx ,−∞<x <+∞,t >0,u 1(x,0)=φ1(x ),−∞<x <+∞和{u 2t =a 2u 2yy ,−∞<y <+∞,t >0,u 2(y,0)=φ2(y ),−∞<y <+∞的解,则u (x,y,t )=u 1(x,t )u 2(y,t )是初值问题{u t =a 2(u xx +u yy ),−∞<x,y <+∞,t >0,u (x,y,0)=φ1(x )φ2(y ),−∞<x,y <+∞1的解.9.函数1+x,1−x和1+x+x2是线性相关还是线性无关的?为什么?10.下面哪些算子是线性的?(1)Lu=u x+xu y;(2)Lu=u x+uu y;(3)Lu=u x+u2y;(4)Lu=u x+u y+1.11.证明非齐次线性算子方程Lu=f的任意两个解的差是齐次线性算子方程Lu=0的解.12.判别下列方程的类型,并将其化为标准型:(1)4u xx+5u xy+u yy+u x+u y=2;(2)u xx−4u xy+4u yy=e y;(3)u xx+u xy+u yy+u x=0.13.求方程3u xx+10u xy+3u yy=0的通解.14.求方程u xx+2u xy+u yy=0的通解.15.判断能否找到方程u xx+2u xy+5u yy+u x=0的通解?为什么?16.对偏微分方程u tt=a2u xx+bu x,其中a,b为常数,寻找合适的函数变换u(x,t)=w(x)v(x,t)使得v满足的偏微分方程中不含一阶偏导数项.17.化简偏微分方程u tt=a2u xx+bu x+cu t+du,其中a,b,c,d为常数.18.试求满足方程u tt=a2u xx和u2t=a2u2x的公共解.习题八1.求解下列特征值问题:(1){X′′+λX=0,0<x<l,X′(0)=X′(l)=0;(2){X′′+λX=0,0<x<l,X′(0)=X(l)=0;(3){X′′+λX=0,a<x<b,X(a)=X(b)=0;(4){X′′+λX=0,0<x<l,X(0)=0,X′(l)+γX(l)=0;2.一根长为l的弦,两端固定,初始位移为A sin πxl,初始速度为零.求该弦的振动规律.3.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=sinπxl,u t(x,0)=sinπxl,0≤x≤l.24.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=sin3πxl,u t(x,0)=x(l−x),0≤x≤l.5.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u x(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=cosπx2l,0≤x≤l,u t(x,0)=cos3πx2l+cos5πx2l,0≤x≤l.6.一根长为l的均匀细杆,它的初始温度为常数u0,两端温度恒为零.试求杆上的温度分布情况.7.求解混合问题u t=u xx,0<x<1,t>0, u x(0,t)=u x(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=1+cosπx,0≤x≤1.8.用分离变量法求解梁振动方程混合问题u tt+a2u xxxx=0,0<x<l,t>0, u(0,t)=u xx(0,t)=u(l,t)=u xx(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x),0≤x≤l.9.求解阻尼弦振动方程混合问题u tt=a2u xx−2hu t,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x),0≤x≤l,其中0<h<aπl是一个常数.10.求解混合问题u t=a2u xx−b2u,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),0≤x≤l,其中b为已知常数.311.求解混合问题u tt=a2u xx+g,0<x<l,t>0, u(0,t)=0,u x(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤l,其中g为已知常数.12.求解混合问题u t=u xx+sinπx,0<x<1,t>0, u(0,t)=u(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤1.13.求解具有放射性衰变的热传导方程混合问题u t=a2u xx+A e−βx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=T0,0≤x≤l,其中A,β,T0均为已知常数.14.求解混合问题u tt=u xx,0<x<1,t>0, u(0,t)=E,u(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤1,其中E为已知常数.15.求解混合问题u t=a2u xx,0<x<l,t>0, u x(0,t)=0,u(l,t)=u0,t≥0,u(x,0)=u0lx,0≤x≤l,其中u0为已知常数.16.设弹簧的一端固定,另一端在外力作用下作周期振动,此时归结为混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=0,u(l,t)=A sinωt,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤l,其中A,ω>0为已知常数,试求解.417.求解混合问题u t=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=A sinωt,u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤l,其中A,ω>0为已知常数.18.试证明如果w(x,t;τ)是混合问题w t=a2w xx,0<x<l,t>τ, w(0,t;τ)=w(l,t;τ)=0,t≥τ,w(x,τ;τ)=f(x,τ),0≤x≤l的解,其中τ≥0表示初始时刻,则u(x,t)=∫tw(x,t;τ)dτ是混合问题u t=a2u xx+f(x,t),0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤l的解.这是热传导方程混合问题的齐次化原理. 19.考察由下列定解问题描述的矩形平板上的温度分布u xx+u yy=0,0<x<a,0<y<b, u(0,y)=0,u(a,y)=0,0≤y≤b,u(x,0)=f(x),u(x,b)=0,0≤x≤a,其中f(x)为已知的连续函数.20.求解定解问题u xx+u yy=0,0<x<a,0<y<b, u x(0,y)=A,u x(a,y)=A,0≤y≤b,u y(x,0)=B,u y(x,b)=B,0≤x≤a,其中A,B为已知常数.21.求解单位圆上的拉普拉斯方程狄利克雷边值问题u rr+1ru r+1r2uθθ=0,0<r<1,−π≤θ≤π, u(1,θ)=f(θ),−π≤θ≤π,5其中f(θ)分别为(1)f(θ)=A cosθ;(2)f(θ)={A,|θ|<α,0,|θ|≥α,这里A和α都是常数.22.求解定解问题u rr+1ru r+1r2uθθ=0,0<r<l,0≤θ≤α, u(r,0)=0,u(r,α)=0,0≤r≤l,u(l,θ)=f(θ),0≤θ≤α,其中f(θ)为已知的连续函数,而α<2π.习题十1.求下列函数的傅里叶变换(1)sin axx(a>0);(2)1x2+a2;(3)sinηx2,cosηx2(η>0);(4)x e−ax2(a>0).2.已知∫+∞−∞f(ξ)dξ(x−ξ)2+a2=1x2+b2(0<a<b),求未知函数f(x).3.用傅里叶变换求解下列定解问题(1){u t+au x=f(x,t),−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=φ(x),−∞<x<+∞,(2)u tt=a2u xx+f(x,t),−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=0,−∞<x<+∞,u t(x,0)=0,−∞<x<+∞,(3){u t=u xx+tu,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=f(x),−∞<x<∞.(4)u tt+2u t=u xx−u,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=0,−∞<x<+∞,u t(x,0)=x,−∞<x<+∞,(5)∗u tt+a2u xxxx=0,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=φ(x),−∞<x<+∞,u t(x,0)=0,−∞<x<+∞.4.试证明若w(x,t;τ)是齐次初值问题{w t=w xx,−∞<x<+∞,t>τ,w(x,τ;τ)=f(x,τ),−∞<x<∞.6的解,则u(x,t)=∫tw(x,t;τ)dτ是非齐次初值问题{u t=u xx+f(x,t),−∞<x<+∞,t>0,u(x,0)=0,−∞<x<+∞.的解.这就是热传导方程初值问题的齐次化原理.5.利用延拓法求解热传导半无界问题u t=a2u xx,x>0,t>0, u x(0,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),x≥0.6.利用延拓法求解弦振动半无界问题u tt=a2u xx,x>0,t>0, u(0,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x)x≥0.7.求下列函数的拉普拉斯变换(1)f(t)=e−2t;(2)f(t)=t2;(3)f(t)=sin t cos t;(4)f(t)=cosh t;(5)f(t)=cos2kt;(6)f(t)=sin2t cos3t.8.求函数f(t)=(t−1)[H(t−1)−H(t−2)]的拉普拉斯变换,其中H(t)是单位阶跃函数.9.求下列函数的拉普拉斯变换(1)f(t)=(t−1)2e t;(2)f(t)=e−2t sin3t;(3)f(t)=H(3t−5);(4)f(t)=t e−3t sin2t;(5)f(t)=∫t0t e−3t sin2t d t;(6)f(t)=t∫te−3t sin2t d t.10.按定义10.4计算下列卷积(1)t∗t;(2)t∗e t;(3)t∗sin t;(4)cos t∗cos t;(5)sin t∗cos t;(6)e kt sin t∗e kt cos t.11.求下列函数的拉普拉斯逆变换7(1)1s+5;(2)2s4;(3)1s2+9;(4)2s+3s2+4;(5)s−2(s+1)(s−3);(6)s+1s2+s−6;(7)s(s2−1)2;(8)1s3(s2+4);(9)s2+2s−1s(s−1)2;(10)s(s2+1)(s2+4);(11)s+8s2+4s+5;(12)s+2(s2+4s+5)2;(13)s(s2+1)2;(14)2s2+3s+3(s+1)(s+3)3;(15)1(s−1)(s−2)(s+3).12.利用拉普拉斯变换公式计算如下积分(1)∫+∞0e−t sin2t d t;(2)∫+∞t e−3t cos2t d t.13.求解下列微分方程(1){y′+y=1,t>0,y(0)=0.(2){y′−y=−3e2t,t>0,y(0)=2.(3){y′′−6y′+9y=e3t,t>0,y(0)=y′(0)=0.(4){y′′−3y′+2y=5,t>0,y(0)=1,y′(0)=2.(5){y′′−2y′+2y=2e t cos t,t>0,y(0)=y′(0)=0.(6){y′′−2y′+5y=e t sin2t,t>0,y(0)=0,y′(0)=7/4.(7){y′′′+3y′′+3y′+y=6e−t,t>0,y(0)=y′(0)=y′′(0)=0.(8){y′′′+2y′′+y′=−2e−2t,t>0,y(0)=2,y′(0)=y′′(0)=0.14.求解下列微分方程组(1)x′+2x+2y=10e2t,y′+y−2x=7e2t,x(0)=1,y(0)=3.(2)3x′+y′+2x=1,x′+4y′+3y=0,x(0)=y(0)=0.15.求解积分方程f(t)=sin t+2∫tcos(t−τ)f(τ)dτ.16.利用拉普拉斯变换求解下列定解问题(1){u xy=1,x>0,y>0, u(0,y)=y+1,u(x,0)=1.(2)u tt=a2u xx,x>0,t>0, u(x,0)=0,u t(x,0)=b,u(0,t)=0.8(3)u t =a 2u xx ,0<x <l,t >0,u x (0,t )=0,u (l,t )=u 0,u (x,0)=u 1(u 0,u 1为常数).(4)u tt =a 2u xx +cos ωt,x >0,t >0,u (x,0)=0,u t (x,0)=b,u (0,t )=0.习题十一1.求出下列弦振动方程初值问题的解:(1)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=0,u t (x,0)=1;(2)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=sin x ,u t (x,0)=x 2;(3)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=x 3,u t (x,0)=x ;(4)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=cos x ,u t (x,0)=e −1.2.求解无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为φ(x ),初始速度为−aφ′(x ).3.对方程u tt =4u xx ,x ∈R ,t >0,写出点(4,1)的依赖区间,区间[2,4]的决定区域.4.求解弦振动问题的古尔萨问题u tt =u xx ,−∞<x <+∞,t >0,u (x,−x )=φ(x ),−∞<x <+∞,u (x,x )=ψ(x ),−∞<x <+∞,其中φ(x ),ψ(x )为充分光滑的已知函数,且φ(0)=ψ(0).5.试求出方程∂∂x [(1−x h )2∂u ∂x ]=1a 2(1−x h )2∂2u∂t 2的通解为u =f (x −at )+g (x +at )h −x,其中h 为已知常数,f,g 为充分光滑的任意函数.提示：令v (x,t )=(h −x )u (x,t ).6.一根无限长的弦与x 轴的正半轴重合,并处于平衡状态中,弦的左端位于原点.当t >0时左端点作微小振动A sin ωt ,试求弦的振动规律为u (x,t )= 0,t ≤x a ,A sin ω(t −x a ),t >x a ,其中A,ω为已知常数.97.求解定解问题u xx +2u xt −3u tt =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,u t (x,0)=x,−∞<x <+∞,8.求解下列非齐次弦振动方程初值问题:(1)u tt −a 2u xx =x +at,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t (x,0)=0,−∞<x <+∞,(2) u tt −u xx =t sin x,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,(3) u tt −u xx =−1,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,u t (x,0)=x,−∞<x <+∞,(4)u tt −a 2u xx =x,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t(x,0)=3,−∞<x <+∞.习题九1.在点x =x 0处用幂级数方法求解下列微分方程:(1)y ′′−xy =0,x 0=0,1;(2)y ′′−xy ′−y =0,x 0=0,1;(3)(1−x )y ′′+y =0,x 0=0;(4)(1−x 2)y ′′−xy ′+4y =0,x 0=0.2.试判别x =−1,0,1是下面方程的什么点（常点、正则奇点或非正则奇点）:(1)xy ′′+(1−x )y ′+xy =0;(2)(1−x 2)y ′′−2xy ′+n (n +1)y =0;(3)2x 4(1−x 2)y ′′+2xy ′+3x 2y =0;(4)x 2(1−x 2)y ′′+2xy ′+4y =0.3.写出下列方程的指标方程及其根:(1)x 3y ′′+(cos 2x −1)y ′+2xy =0;(2)4x 2y ′′+(2x 4−5x )y ′+(3x 2+2)y =0;(3)x 2y ′′+3xy ′+4xy =0;(4)x 3y ′′−4x 2y ′+3xy =0.4.求出下列方程的两个线性无关的弗罗贝尼乌斯级数解:(1)xy ′′+2y ′+xy =0;(2)xy ′′−y ′+4x 3y =0;(3)x 2y ′′−x 2y ′+(x 2−2)y =0;(4)4xy ′′+2y ′+y =0.5.证明勒让德多项式P n (x )满足:(1)P n (−1)=(−1)n ;(2)P 2m −1(0)=0;(3)P 2m (0)=(−1)m(2m )!22m (m !)2.106.证明勒让德多项式有如下的积分表示公式,即施列夫利公式P n(x)=12n2πiC(z2−1)n(z−x)n+1d z,(1)其中C是围绕x的任意周线.7.利用上题中的施列夫利公式,取积分路径为圆周C:|z−x|=√1−x2,证明勒让德多项式的拉普拉斯积分表示公式P n(x)=1π∫π(x+i√1−x2cosφ)n dφ.(2)设x=cosθ,进一步证明|P n(x)|=|P n(cosθ)|≤1.8.证明P n(x)在开区间(−1,1)内有n个单零点.9.证明P n(x)=n∑k=0(n+k)!(n−k)!(k!)22k(x−1)k.10.证明勒让德多项式满足递推关系式P n(x)=P′n+1(x)−2xP′n(x)+P′n−1(x),n=1,2,···.11.证明n∑k=0(2k+1)P k(x)=P′n(x)+P′n+1(x),n=0,1,2,···.12.证明∫1−1P n(x)d x=0,n=1,2,···.13.证明∫1−1(1−x2)[P′n(x)]2d x=2n(n+1)2n+1,n=0,1,2,···.14.计算下列积分:(1)∫1−1xP n(x)P n+1(x)d x;(2)∫1−1x2P n(x)P n+2(x)d x;(3)∫1−1[xP n(x)]2d x.15.将函数f(x)=5x3+3x2+x+1展开成F–L级数.16.将单位阶跃函数f(x)={0,−1<x<0,1,0≤x<1展成F–L级数.17.将函数f(x)=|x|在区间(−1,1)内展开成F–L级数.1118.求解球坐标系下的下列定解问题:(1)∆u =0,r >1,u (1,θ)=cos 2θ,lim r →+∞u (r,θ)=0.(2) ∆u =0,1<r <2,u (1,θ)=cos θ,u (2,θ)=1+cos 2θ.(3)∆u =0,r <a,0≤θ<π2,u (a,θ)=u 0,∂u ∂n θ=π2=0.19.试求半径为R 的球体的定常温度分布.假定球面上的温度分布恒为u (R,θ)=u 0cos θ.20.有一个单位球,使其上半球面温度恒为1,下半球面温度恒为0.试求球内的温度分布.21.在半径为a 的接地金属球壳内,在到球心的距离为b 的位置处放置一个点电荷4πε0q .求球内的电势分布.22.设半径为a 的半球球面保持恒温u 0cos θ,底面保持零度.求半球内的温度分布.23.在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球,球的半径为a .设球心即球坐标系的原点处的电势为u 0,求球外的电势分布.24.用分离变量法求偏微分方程∂2u ∂t 2−∂∂x [(1−x 2)∂u∂x]=0,−1<x <1的通解.25.证明P m n (−x )=(−1)m +n P mn (x ).26.证明如下递推公式:(1)(1−x 2)12[P m n (x )]′=P m +1n (x )−mx (1−x 2)−12P mn (x );(2)2mx (1−x 2)12P m n (x )=P m +1n (x )+[n (n +1)−m (m −1)]P m −1n (x ).27.证明递推公式(9.52)和(9.53).28.利用递推公式(9.50)–(9.53)证明如下递推公式:(1)P m n (x )=xP m n −1(x )+(n +m −1)(1−x 2)12P m −1n −1(x );(2)(1−x 2)12P m +1n (x )=(n −m )xP m n (x )−(n +m )P m n −1(x );(3)(1−x 2)[P m n (x )]′=(n +m )P m n −1(x )−nxP m n (x );(4)(1−x 2)[P m n (x )]′=mxP mn (x )−(n +m )(n −m +1)(1−x 2)12P m −1n(x ).1229.将下列函数展开成球面调和函数的广义傅里叶级数:(1)sinθcosφ;(2)32(5cos2θ−1)sinθsinφ;(3)3sin2θcos2φ−1.30.在半径为r0的球体外部区域求解∂2u∂r2+2r∂u∂r+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂u∂θ)+1r2sin2θ∂2u∂φ2=0,r>r0,0<θ<π,−∞<φ<+∞, u(r0,θ,φ)=u0(sin2θcos2φ−13),0≤θ≤π,−∞<φ<+∞,limr→+∞|u(r,θ,φ)|<+∞,0≤θ≤π,−∞<φ<+∞.31.分别在半径为r0的球体的内部区域和外部区域求解∆3u=0,u(r0,θ,φ)=4sin2θ(cosφsinφ+12).32.分别在半径为r0的球体的内部区域和外部区域求解∆3u=0,u r(r0,θ,φ)=−sin2θcos2φ+13.33.在内半径为r1,外半径为r2的球壳区域内求解∆3u=0,u(r1,θ,φ)=u1cosθ,u(r2,θ,φ)=u2sinθcosθsinφ,其中u1,u2为常数.34.在半径为r0的球体内部区域求解泊松方程定解问题{∆3u=Ar cosθ,u(r0,θ,φ)=0,其中A为常数.35.证明对任意实数x有e x2(z−1z)=+∞∑n=−∞J n(x)z n,0<|z|<+∞.因为这个等式,函数e x2(z−1z)称为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）.1336.证明e i x cosθ=J0(x)+2+∞∑n=1i n J n(x)cos nθ.这个等式的物理意义为平面波按柱面波展开.由它导出cos(x cosθ)=J0(x)+2+∞∑m=1(−1)m J2m(x)cos2mθ,sin(x cosθ)=2+∞∑m=0(−1)m J2m+1(x)cos(2m+1)θ.37.证明:(1)cos x=J0(x)+2+∞∑m=1(−1)m J2m(x);(2)sin x=2+∞∑m=0(−1)m J2m+1(x);(3)1=J0(x)+2+∞∑m=1J2m(x);(4)x=2+∞∑m=0(2m+1)J2m+1(x).38.利用第35题的结论证明J n(x)=12πiCe x2(ζ−1ζ)ζn+1dζ,n=0,±1,±2,···,其中C是任一围绕z=0的周线.进一步证明当C为单位圆周时有J n(x)=1π∫πcos(x sinθ−nθ)dθ.39.证明J0(x)=2π∫1cos xt√1−t2d t.由此证明J0(x)在(π/2,π)内有一个零点.40.证明|J n(x)|≤1,n=0,1,2,···.41.证明除原点外,Jν(x)和J′ν(x)的其它零点都是单零点.42.试证贝塞尔函数的加法公式J n(x+y)=+∞∑k=−∞J k(x)J n−k(x),n=0,±1,±2,···.43.证明1=J20(x)+2+∞∑k=1J2k(x).1444.证明:(1)J2(x)−J0(x)=2J′′0(x);(2)J3(x)+3J′0(x)+4J′′′0(x)=0;(3)J2(x)=J′′0(x)−x−1J′0(x);(4)x2J′′n(x)=(n2−n−x2)J n(x)+xJ n+1(x).45.证明∫x n J0(x)d x=x n J1(x)+(n−1)x n−1J0(x)−(n−1)2∫x n−2J0(x)d x.46.计算积分:(1)∫J3(x)d x;(2)∫x4J1(x)d x.47.计算积分∫+∞e−ax J0(bx)d x,其中a,b为实数,a>0.48.设ωm是J1(x)的第m个正零点,m=1,2,···.将函数f(x)=x在区间(0,1)上展为J1(ωm x)的傅里叶-贝塞尔级数.49.设ωm是J0(x)的第m个正零点,m=1,2,···.将函数f(x)=1−x2在区间(0,1)上展为J0(ωm x)的傅里叶-贝塞尔级数.50.考虑一个半径为a、高为h的均匀圆柱体,下底和侧面的温度保持为零度,上底温度分布恒为u0,求柱内稳定的温度分布.51.考虑一个半径为a、高为h的均匀圆柱体,侧面绝热,下底的温度保持为零度,上底温度分布恒为1−r2a2,求柱内稳定的温度分布.52.设有半径为1的薄均匀圆盘,边界上温度为0,初始温度分布为1−r2,求盘内的温度分布.53.考虑一个半径为R的无限长均匀圆柱体,侧面保持常温u0,柱内初始温度为0,求柱内的温度分布.54.考虑一张边界固定的环形膜,内外半径分别为r1和r2,试求它振动的特征频率.55.证明半奇数阶第二类贝塞尔函数Y n+12(x)=(−1)n+1J−(n+12)(x).这说明所有的半奇数阶第二类贝塞尔函数都是初等函数,从而所有的第二类球贝塞尔函数也都是初等函数.56.证明艾里微分方程y′′−xy=0的通解可以表示为y=CJ13(2i3x32)+DY13(2i3x32).57.证明微分方程x2y′′+axy′+(x2−ν2)y=0(a=1)可以化为贝塞尔方程.15。
偏微分方程的解法
? 把通解代入初始条件易得 :
f1 ?x ??
f2
?x ??
1 a
x
?
x0
?x '?dx ' ? C0
从中易解得 :
f1 ?x??
1 [?
2
?x ??
?1
x
?
a x0
?x '?dx ' ? C ]
f2 ?x??
1 [? ?x ??
2
?1
x
?
a x0
?x '?dx ' ? C]
9
故原方程满足初始条件的特解可以表示为:
容易知道 ,若设 ? ? b2 ? 4ac ,则分别当 ? ? 0、? ? 0 和
? ? 0 时该方程分别对应于 xy 平面上的双曲线、抛物线和椭圆。
一般地 ,对于一个任意的二次函数
n
n
? ? ? ? f x1, , xn ? aij xi x j ? bi xi ? c
总可以化为如下标准形式：
i, j?1
11
? ? ? ? 时间(足够短 ) 内,外力的冲量为 f x,? ? ? ,? 时刻该冲量在弦
中引起的振动可以由以下方程确定 :
??vtt ? a2vxx ? 0, ??? ? x ? ?? ,? ? t ? ? ? ? ? ?
? ?
v
?x,?
??
0,
vt ?x,? ??
f
?x,? ?
而原问题的解则可以看作持续冲量作用在弦中产生的振动的叠加 ,即:
n
? di 'uxixi ? c 'u ? f ' ? 0 i
7
行波法 d'Alembert 公式
微分方程的特解与通解
微分方程是研究自变量、因变量及其导数之间关系的方程，常见的微分方程包括常微分方程和偏微分方程。
微分方程的特解和通解是求解微分方程时的两个重要概念。
特解是指满足微分方程的一个解，而通解是指微分方程的所有解的集合。
对于一阶常微分方程，其一般形式为dy/dx = f(x)，其中f(x)是已知的函数。
我们想要求解这个微分方程，即找到函数y(x)满足该方程。
特解即为满足该微分方程的一个具体函数解，而通解则是由多个特解构成的函数族。
举个例子来说明。
考虑一阶常微分方程dy/dx = x，我们可以猜测y(x) = x的确是一个解。
通过验证，我们可以发现当x=0时，左边的导数为0，右边的函数值也为0，所以y(x) = x是该微分方程的一个特解。
而对于这个微分方程来说，特解就是它的通解，即y(x) = x。
而对于二阶或高阶的微分方程，情况稍微复杂一些。
我们可以用特征方程的方法求得特解，然后通过线性叠加的方式得到通解。
举个二阶常系数齐次线性微分方程的例子。
考虑方程d^2y/dx^2 + 3dy/dx +2y = 0，可以先假设y=e^(rx)为一个特解。
带入方程，得到特征方程r^2 + 3r + 2 = 0。
解得r=-1和r=-2，于是我们就可以得到两个特解y=e^(-x)和y=e^(-2x)。
通解可以表示为y(x) = C1e^(-x) + C2e^(-2x)，其中C1和C2为任意常数。
通解与特解的区别在于，特解是针对某个具体的微分方程求解得到的一个解，而通解则是针对该微分方程的所有解给出的一般形式。
可以说通解比特解更加完备，因为在通解中包含了特解及其线性组合的形式，从而得到了所有的解。
总结起来，微分方程的特解和通解是求解微分方程时的重要概念。
特解是指满足微分方程的一个解，而通解是由特解及其线性组合构成的微分方程的所有解。
特解是通解的一个特殊情况，即特解等于通解的情况。
通过求解微分方程并找到特解，我们可以进一步推导出通解，从而得到微分方程的所有解。
两类一阶线性偏微分方程的解
因为 Ｐ（ ）无零 点 ， 故
求 状 态概 率 Ｐ （ ）的 问题就 转 化 为求 方 程 （ ４ ）的 通
解 表达 式．
本 文 给 出一 阶线 性齐 次偏 微分 方程 （ ４ ） 和
Ｐ（ ｚ）厂 ＋ Ｑ（ Ｊ ｃ ）＿ 厂 一 Ｒ（ ｚ） 厂， （ ５ ）
第 １ ６卷 第 ３期
２ ０ １ ３年 ５ 月
高 等 数 学 研 究
ＳＴ ＵＤ Ｉ ＥＳ Ｉ Ｎ Ｃ０ ＬＬＥＧＥ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ ＣＳ
Ｖ ｏ１ ．１ ６ Ｎｏ． ３ Ｍａ ｙ，２Ｏ １ ３
两 类 一 阶 线 性 偏 微 分 方 程 的 解
时 统 业 ，尹 亚 兰
中图 分 类 号
生灭 过程 Ｘ（ ￡ ） 的状态 概率 Ｐ （ ￡ ） 满足 微分 方程 ｆ ： （ ￡ ）一 — Ｐ （ ） 一（ ＋ ） 户 （ ￡ ） ＋
Ｐ（ ｚ）ｇ ＋ Ｑ（ ｙ） ｇ 一 ０，
（ ６ ）
而方 程 （ ５ ）可 化 为
｛
Ｈ Ｐ ｉ ＋ ｌ （ ）（ ≥１ ） ，
（ 海 军 指 挥 学 院 浦 口分 院 ，江 苏 南京 ２ １ １ ８ ０ ０ ）
ห้องสมุดไป่ตู้
摘
要 利 用 二元 复合 函 数 求 导 的链 式 法 则 ， 推导 一 阶 线 性 齐 次 偏 微 分 方 程 Ｐ（ ｚ ） ＋ Ｑ（ ） ； ０的解 ， 由 — Ｒ（ Ｊ ｃ ） ｆ和 Ｐ（ ｚ ） ＋ Ｑ（ ． ） ， ） 一 Ｒ（ ） ，的 通解 ．
证 明 不 妨 设
一
则 由方程 （ ２ ） 得
二阶线性齐次偏微分方程的几种解法及比较
2019年第08期学术专业人文茶趣收稿日期：2019年6月15日。
本文介绍310330xx xy yy x y u u u u u ++--=的三种解法以及这三种方法的比较。
1三种解法1.1行波解法：即同阶时，方程解的形得到通解为，方程解的形式为()mxu e f kx y =+，例如450xx xy yy x y u u u u u ++++=，将()u f kx y =+代入方程，得到通310330xx xy yy x y u u u u u ++--=令u x n =，h 对h 积分，6()u f e hn x -==再对x 积分，解2三种方法的比较通过二阶线性齐次偏微分方程的三种解法的介绍发现，只要知道方程解的结构，设出解的形式，代入方程，会求导，会解一元二次方程，总可以求出方程的解，不需要积分的知识，这种方法大部分学生都能理解掌握，特征线法不仅需要高等数学中的积分知识，还要会求常微分方程，掌握求解常微分方程各种方法，难度较大，微分算子法比较简单，但是对于有些比较复杂的二阶线性齐次偏微分方程，微分算子法就非常难了，对于各项阶数相同的二阶线性齐次偏微分方程，微分算子法非常简单。
三种方法各有优势。
参考文献[1]陆平，数学物理方程[M]，北京：国防工业出版社，2016.[2]谷超豪，数学物理方程[M]，北京：高等教育出版社，2002.[3]王高雄，常微分方程[M]，北京：国防工业出版社，2007.二阶线性齐次偏微分方程的几种解法及比较孟晓仁（中北大学信息商务学院，山西晋中）摘要：数学物理方程是本科工科专业学习的一门基础的较难的数学学科，本文就二阶线性齐次偏微分方程的几种解法进行总结,并对这几种方法进行比较，以方程310330xx xy yy x y u u u u u ++--=为例，介绍它的几种解法.关键词：二阶线性齐次偏微分方程；行波解法；特征线法；微分算子法220。
常微分方程一阶线性偏微分方程
常微分方程一阶线性偏微分方程7.1基本概念对于自变量 x_1、x_2、…x_n（n\geq2）与未知函数 u 的一阶偏导数 \frac{\alpha u}{\alpha x_1}、\frac{\alpha u}{\alpha x_2}、…\frac{\alpha u}{\alpha x_n}一阶偏微分方程：F(x_1,x_2,…x_n;u,\frac{\alphau}{\alpha x_1},\frac{\alpha u}{\alphax_2},…\frac{\alpha u}{\alpha x_n})=0 （7.1）一阶线性偏微分方程：\sum_{i=1}^{n}{X_i(x_1,x_2,…x_n)\frac{\alphau}{\alpha x_i}}=X(x_1,x_2,…x_n)（7.2）a一阶齐次线性偏微分方程：\sum_{i=1}^{n}{X_i(x_1,x_2,…x_n)\frac{\alphau}{\alpha x_i}}=0 （7.2）b一阶拟线性偏微分方程：\sum_{j=1}^{n}{Y_j(x_1,x_2,…x_n;z)\frac{\alphaz}{\alpha x_j}}=Z(x_1,x_2,…x_n;z)（7.3）解 u=\varphi(x_1,x_2,…x_n)可以想象为在空间(x_1,x_2,…x_n,u)中的一张n维曲面，通常称为偏微分方程（7.1）的积分曲面。
称\frac{dx_1}{X_1}=\frac{dx_2}{X_2}=…=\frac{dx_n}{X_n} （7.5）为（7.2）b的特征方程。
（7.3）的求解问题则可化为（7.2）b的方程类型来处理。
7.2 一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系考虑初值问题（p344）首次积分：n个首次积分称为彼此独立的：常微分方程组与一阶线性偏微分方程之间的关系：7.3 利用首次积分求解常微分方程组考虑方程组通积分：方程组（7.11）的n个彼此独立的首次积分的全体（7.12）称为（7.11）的通积分。
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1 1 x + at u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫x−at ψ (ξ )dξ 2 2a
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第11章 线性偏微方程通解
当函数 ϕ ( x ) 是二次连续函数，ψ ( x ) 是一次连续可微函数时, 此式即为无界弦自由振动的解,称之为达朗贝尔(D.Alembert) 公式. 无界弦自由振动定解问题的解称为达朗贝尔解。
q1 ( p ) = α ( p ) + iβ ( p ),
u ( x, y ) = c1e
px +α y + iβ y
+ c2 e
px +α y − iβ y
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第11章 线性偏微方程通解
达朗贝尔公式
本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.
根据达朗贝尔公式即得位移为
1 1 u ( x, t ) = ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) 2 2
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第11章 线性偏微方程通解
例2. 设初始位移为零，即ϕ ( x ) = 0 ，且初速度 ψ (x) 也只在区间 ( x1 , x 2 ) 上不为零 ⎧ψ 0 , x ∈ ( x1 , x2 ) ψ ( x) = ⎨ x ∉ ( x1 , x2 ) ⎩0,
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px + q1 ( p ) y
+ c2 xe
px + q1 ( p ) y
（注明：上式中的第二项乘以
x 是为了保证两根线性独立）
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第11章 线性偏微方程通解
q 2 ( p ) = α ( p ) − iβ ( p )
(iii) b2 − 4ac < 0, 双曲型，上述方程有两个共轭虚根
u ( x, y ) = F ( y + λ1 x ) + G ( y + λ2 x ) = F [( y + α x ) + iβ x ] + G[( y + α x ) − iβ x ]
2. 更为一般的含实常系数的偏微分方程
如果方程具有更一般的形式
∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u a 2 +b + c 2 + d + e + fu = 0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y
1 t ξ2 a −τ dτ ∫ (ξ + aτ )d ξ = dτ [ + aτξ ] x + a (( tt −τ )) x− ∫0 x − a ( t − τ ) 2 a ∫0 2 t xt 2 at 3 = ∫ [ x ( t − τ ) + aτ ( t − τ )]d τ = + 0 2 6
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第11章 线性偏微方程通解
其中 a, b, c, d , e, 代入方程得
2
f
均为实常数．我们可以令
2
u ( x , y ) = e px + qy
ap + bpq + cq + dp + eq + f = 0
双曲型，上述方程有两个不同的实根
第11章 线性偏微方程通解
由公式(11.3.2), 可作出
Φ ( x)
+Φ ( x) 和 −Φ ( x)
两个图形，让它们以速度 a 分别向左、右两个方向移动， 两者的和就描画出各个时刻 的波形，由此即得出位移分布.
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x1
x2
图 11.2
x
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aλ 2 + bλ + c = 0
实根 λ1 , λ2
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(*)
(i) ∆ = b2 − 4ac > 0 ，对应于双曲型方程,（*）有两个不同的
u ( x, y ) = F ( y + λ1 x) + G ( y + λ2 x)
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第11章 线性偏微方程通解
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第11章 线性偏微方程通解
例3. 求解定解问题
⎧utt − a2uxx = x + at, ⎨ ⎩ u(x,0) = 0,
【解】由公式(11.4.20)有
1 u ( x, t ) = 2a
t x + a ( t −τ )
(−∞< x <+∞,t > 0) ut (x,0) = 0
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第11章 线性偏微方程通解
容易得知，偏微分方程的判别式 ∆ = 4a 2 > 0 ，该方程为 双曲型．由
λ2 −a2 = 0
泛定方程的通解为
λ1 = a, λ2 = −a
u ( x, t ) = F1 ( x + at ) + F2 ( x − at )
其中 F1 , F2 是任意两个二次可微函数．可由初始条件确定。 由初始条件得到
u ( x, 0) = F1 ( x) + F2 ( x) = ϕ ( x)
a F1′( x ) − aF2′( x ) = ψ ( x )
1 x 将上式积分得到 F1 ( x ) − F2 ( x ) = ∫ ψ (ξ )dξ + c a x
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⎧ ⎪ 0 ( x ≤ x1 ) ⎪ 1 x + at ⎪ 1 Φ ( x) = ∫x − at ψ (ξ )d ξ = ⎨ 2 a ( x − x1 )ψ 0 ( x1 ≤ x ≤ x 2 ) 2a ⎪ ⎪ 1 ⎪ 2 a ( x 2 − x1 )ψ 0 ( x 2 ≤ x ) ⎩ 这里 Φ 指的是（图11.1）的曲线。
第11章 线性偏微方程通解
非齐次偏微分方程的求解
1. 纯强迫振动定解问题 冲量原理法求解 欲求解纯强迫力（即指仅有强迫力，而初始条件为齐次的）
f ( x, t )所引起振动的定解问题：
⎧utt − a2uxx = f (x, t), ⎨ ⎩ u(x,0) = 0,
(−∞< x < +∞, t > 0) ut (x,0) = 0
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第11章 线性偏微方程通解
根据其物理意义，该定解问题可以等效于求解一系列 前后相继的瞬时冲量 f ( x,τ ) ∆τ (0 < τ < t ) 所引起的振动
⎧vtt − a2vxx = 0 (−∞< x < +∞,τ < t <τ +∆τ ) ⎨ ⎩v (x,τ ) = 0,vt (x,τ ) = f (x,τ ) 的解 v ( x, t ;τ ) 的叠加. 而这种用瞬时冲量的叠加
振动，求此振动过程中的位移. 【解】根据达朗贝尔公式，初始速度
ϕ ( x)
u0
ψ ( x ) = 0，而初始位移 ϕ (x )
x1 + x 2 处达到最大值 u 0 且在 x = 2
如图所示。故得解： 只在区间 ( x1 , x 2 ) 上不为零，
x1
图 11.1
x2
x
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S.H. DENG
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理学院 邓胜华
第11章 线性偏微方程通解
其中 x 0 , c 均为常数．其中C 可以通过上式令 代入确定，即为
x = x0
c = F1 ( x0 ) − F2 ( x0 )
联立求解得到 1 1 x 1 F1 ( x) = ϕ ( x) + ∫x0 ψ (ξ )dξ + 2 [ F1 ( x0 ) − F2 ( x0 )] 2 2a 1 1 x 1 F2 ( x) = ϕ ( x) − ψ (ξ )dξ − [ F1 ( x0 ) − F2 ( x0 )] 2 2a ∫x0 2 进而得到定解问题的解
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第11章 线性偏微方程通解
假设方程的行波解具有下列形式 u ( x, y ) = F ( y + λ x ) 代入方程即得
aλ F′′( y + λ x) + bλF′′( y + λ x) + cF′′( y + λ x) = 0
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需要求方程的非零解，故
F ′′( x + λ x) ≠ 0
1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程
为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单 二阶线性偏微分方程
au xx + bu xy + cu yy = 0
系数
a, b, c 为实常数．
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（说明：小写字母 a , b, c 表示它是实常数，而不是的函数）
17/11/2009
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17/11/2009