线性偏微分方程通解

aλ 2 + bλ + c = 0
实根 λ1 , λ2
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(*)
(i) ∆ = b2 − 4ac > 0 ，对应于双曲型方程,（*）有两个不同的
u ( x, y ) = F ( y + λ1 x) + G ( y + λ2 x)
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第11章 线性偏微方程通解
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第11章 线性偏微方程通解
其中 a, b, c, d , e, 代入方程得
2
f
均为实常数．我们可以令
2
u ( x , y ) = e px + qy
ap + bpq + cq + dp + eq + f = 0
双曲型，上述方程有两个不同的实根
其中 F1 , F2 是任意两个二次可微函数．可由初始条件确定。 由初始条件得到
u ( x, 0) = F1 ( x) + F2 ( x) = ϕ ( x)
a F1′( x ) − aF2′( x ) = ψ ( x )
1 x 将上式积分得到 F1 ( x ) − F2 ( x ) = ∫ ψ (ξ )dξ + c a x
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第11章 线性偏微方程通解
根据其物理意义，该定解问题可以等效于求解一系列 前后相继的瞬时冲量 f ( x,τ ) ∆τ (0 < τ < t ) 所引起的振动
⎧vtt − a2vxx = 0 (−∞< x < +∞,τ < t <τ +∆τ ) ⎨ ⎩v (x,τ ) = 0,vt (x,τ ) = f (x,τ ) 的解 v ( x, t ;τ ) 的叠加. 而这种用瞬时冲量的叠加
0
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第11章 线性偏微方程通解
其中 x 0 , c 均为常数．其中C 可以通过上式令 代入确定，即为
x = x0
c = F1 ( x0 ) − F2 ( x0 )
联立求解得到 1 1 x 1 F1 ( x) = ϕ ( x) + ∫x0 ψ (ξ )dξ + 2 [ F1 ( x0 ) − F2 ( x0 )] 2 2a 1 1 x 1 F2 ( x) = ϕ ( x) − ψ (ξ )dξ − [ F1 ( x0 ) − F2 ( x0 )] 2 2a ∫x0 2 进而得到定解问题的解
q1 ( p ) = α ( p ) + iβ ( p ),
u ( x, y ) = c1e
px +α y + iβ y
+ c2 e
px +α y − iβ y
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第11章 线性偏微方程通解
达朗贝尔公式
本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.
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第11章 线性偏微方程通解
例3. 求解定解问题
⎧utt − a2uxx = x + at, ⎨ ⎩ u(x,0) = 0,
【解】由公式(11.4.20)有
1 u ( x, t ) = 2a
t x + a ( t −τ )
(−∞< x <+∞,t > 0) ut (x,0) = 0
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⎧ ⎪ 0 ( x ≤ x1 ) ⎪ 1 x + at ⎪ 1 Φ ( x) = ∫x − at ψ (ξ )d ξ = ⎨ 2 a ( x − x1 )ψ 0 ( x1 ≤ x ≤ x 2 ) 2a ⎪ ⎪ 1 ⎪ 2 a ( x 2 − x1 )ψ 0 ( x 2 ≤ x ) ⎩ 这里 Φ 指的是（图11.1）的曲线。
1 1 x + at u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫x−at ψ (ξ )dξ 2 2a
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第11章 线性偏微方程通解
当函数 ϕ ( x ) 是二次连续函数，ψ ( x ) 是一次连续可微函数时, 此式即为无界弦自由振动的解,称之为达朗贝尔(D.Alembert) 公式. 无界弦自由振动定解问题的解称为达朗贝尔解。
(ii)
∆ = b2 − 4ac = 0，对应于抛物型方程， b （*）有两个相等的实根 λ1 = λ2 =− ，则 2a u ( x, y ) = F ( y + λ1 x ) + xG ( y + λ1 x )
(iii)
∆ = b − 4ac < 0
2
，对应于椭圆型方程，
（*）有两个虚根 λ1 = α + iβ , λ2 = α − iβ ，则
1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程
为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单 二阶线性偏微分方程
au xx + bu xy + cu yy = 0
系数
a, b, c 为实常数．
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（说明：小写字母 a , b, c 表示它是实常数，而不是的函数）
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1 t ξ2 a −τ dτ ∫ (ξ + aτ )d ξ = dτ [ + aτξ ] x + a (( tt −τ )) x− ∫0 x − a ( t − τ ) 2 a ∫0 2 t xt 2 at 3 = ∫ [ x ( t − τ ) + aτ ( t − τ )]d τ = + 0 2 6
按照叠加原理可令其解为 u
I
= u I + u II
使 u 满足自由振动定解问题
⎧ utt − a 2u xx = 0, ⎨ ⎩u ( x, 0) = ϕ ( x),
第11章 线性偏微方程通解
由公式(11.3.2), 可作出
Φ ( x)
+Φ ( x) 和 −Φ ( x)
两个图形，让它们以速度 a 分别向左、右两个方向移动， 两者的和就描画出各个时刻 的波形，由此即得出位移分布.
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x1
x2
图 11.2
x
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u ( x, t ) = ∫ v ( x, t ;τ )dτ
0
t
代替持续作用力来解决定解问题的方法称为冲量原理法。 这样纯强迫振动定解问题 (11.3.4)的解为
1 t x + a ( t −τ ) u ( x, t ) = ∫0 ∫x−a (t −τ ) f (ξ ,τ )dξ dτ 2a
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px + q1 ( p ) y
(i) b2 − 4ac > 0,
q1 ( p), q2 ( p) ，则
2
u ( x, y ) = c1e
+ c2 e
px + q2 ( p ) y
(ii) b − 4ac = 0,
抛物型，上述方程有相等的实根
q1 ( p ) = q2 ( p ) ，则
u ( x, y ) = c1e
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Hale Waihona Puke Baidu
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第11章 线性偏微方程通解
2. 一般的强迫振动的定解问题 对于一般的情形，则振动方程非齐次，且初始条件也非 齐次，即为下列定解问题
⎧utt − a 2u xx = f ( x, t ), (−∞ < x < ∞, t > 0) ⎨ ut ( x, 0) = ψ ( x) ⎩ u ( x, 0) = ϕ ( x),
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Methods of Mathematical Physics
第11章 线性偏微分方程的通解
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第11章 线性偏微方程通解
行波法与达朗贝尔公式
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以自变量的线 性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类 型的求解十分有效.
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第11章 线性偏微方程通解
容易得知，偏微分方程的判别式 ∆ = 4a 2 > 0 ，该方程为 双曲型．由
λ2 −a2 = 0
泛定方程的通解为
λ1 = a, λ2 = −a
u ( x, t ) = F1 ( x + at ) + F2 ( x − at )
根据达朗贝尔公式即得位移为
1 1 u ( x, t ) = ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) 2 2
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第11章 线性偏微方程通解
例2. 设初始位移为零，即ϕ ( x ) = 0 ，且初速度 ψ (x) 也只在区间 ( x1 , x 2 ) 上不为零 ⎧ψ 0 , x ∈ ( x1 , x2 ) ψ ( x) = ⎨ x ∉ ( x1 , x2 ) ⎩0,
的无界弦振动，求此振动过程的位移分布。 【解】由达朗贝尔公式得
1 x+at 1 x−at u( x, t ) = ∫ ψ (ξ )dξ − ∫ ψ (ξ )dξ = Φ( x + at ) − Φ( x − at ) 2a −∞ 2a −∞
根据已知初速度可得
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px + q1 ( p ) y
+ c2 xe
px + q1 ( p ) y
（注明：上式中的第二项乘以
x 是为了保证两根线性独立）
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第11章 线性偏微方程通解
q 2 ( p ) = α ( p ) − iβ ( p )
(iii) b2 − 4ac < 0, 双曲型，上述方程有两个共轭虚根
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第11章 线性偏微方程通解
x1 + x2 ( x1 ≤ x ≤ ) 2 x1 + x2 ( ≤ x ≤ x2 ) 2 x ∉(x1,x2 )
x − x1 ⎧ ⎪ 2u0 x − x 2 1 ⎪ x2 − x ⎪ ϕ(x) = ⎨ 2u0 x2 − x1 ⎪ ⎪0 ⎪ ⎩
达朗贝尔公式的应用
为了加深对达朗贝尔公式的理解，让我们来讨论其应用.
齐次偏微分方程求解
齐次方程类型主要讨论自由振动问题, 即没有强迫力作 用，故泛定方程是齐次的. 可以直接利用达朗贝尔公式求解.
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第11章 线性偏微方程通解
例1. 已知初始速度为零，初始位移如图11.1所示的无界弦
u ( x, y ) = F ( y + λ1 x ) + G ( y + λ2 x ) = F [( y + α x ) + iβ x ] + G[( y + α x ) − iβ x ]
2. 更为一般的含实常系数的偏微分方程
如果方程具有更一般的形式
∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u a 2 +b + c 2 + d + e + fu = 0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y
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第11章 线性偏微方程通解
假设方程的行波解具有下列形式 u ( x, y ) = F ( y + λ x ) 代入方程即得
aλ F′′( y + λ x) + bλF′′( y + λ x) + cF′′( y + λ x) = 0
2
需要求方程的非零解，故
F ′′( x + λ x) ≠ 0
第11章 线性偏微方程通解
非齐次偏微分方程的求解
1. 纯强迫振动定解问题 冲量原理法求解 欲求解纯强迫力（即指仅有强迫力，而初始条件为齐次的）
f ( x, t )所引起振动的定解问题：
⎧utt − a2uxx = f (x, t), ⎨ ⎩ u(x,0) = 0,
(−∞< x < +∞, t > 0) ut (x,0) = 0
一维波动方程的达朗贝尔公式
设有一维无界弦自由（即无强迫力）振动的定解问题为
⎧ ∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 , −∞ < x < +∞, t > 0 ⎪ ∂t 2 ∂x ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ⎪ −∞ < x < +∞ ⎪ut ( x, 0) = ψ ( x), ⎩
（注：由于是无界弦问题，故无边界条件，只有初始条件）
振动，求此振动过程中的位移. 【解】根据达朗贝尔公式，初始速度
ϕ ( x)
u0
ψ ( x ) = 0，而初始位移 ϕ (x )
x1 + x 2 处达到最大值 u 0 且在 x = 2
如图所示。故得解： 只在区间 ( x1 , x 2 ) 上不为零，
x1
图 11.1
x2
x
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