笔记(高中数学—平面向量)

高中数学—平面向量

非坐标

1．平面上不共线三点A ，B ，O 若满足OB OA OC βα+=，则当α，β满足条件 时，A ，B ，C 三点共线．

2．设a ，b 是两个不共线的向量，若b k a AB +=2，b a CB 3+=，b a CD -=2，且A ，B ，D 三点共线，则实数=k ．

3．等边△ABC 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于

4．设向量a ，b 是两个非零向量，如果)57()3(b a b a -⊥+，且)27()4(b a b a -⊥-，则a 与b 的夹角

5．已知1||2=a ，2||=b ，且a b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角

6．设向量a ，b 满足1||||==b a ，3|23|=-b a ，则=+|3|b a

7．在ABC ∆中，DC BD 2

1=，ED AE 3=，a AB =，b AC =，则=BE

8．设P 、Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，a BC =，b DA =，并且a ，b 不共线，则=PQ

9．已知向量b a m 32-=，b a n 24-=，b a p +=3，则将p 用m ，n 表示为

10．在OAB ∆中，OA OC 41=，OB OD 2

1=，AD 与BC 交于M 点，设a OA =，

b OB =，（1）用a ，b 表示OM ；（2）在已知线段AC 上取一点E ，在线段

BD 上取一点F ，使EF 过点M ，设OA p OE =，OB q OF =，求证：17371=+q

p ．

11．已知212-=⋅b a ，4||=a ，且向量a 与向量b 的夹角为 135，则||b 的

值为 ．

12．已知6||=a ，4||=b ，且a ，b 的夹角为 60，则

=-⋅+)3()2(b a b a ．

13．已知向量1e ，2e 是互相垂直的单位向量，且2123e e a +=，2143e e b +-=，则=⋅b a ．

14．已知ABC ∆的三边长为22==BC AB ，3=AC ，则

15．已知1e ，2e 是一组基底，若0)2(221=-+e e λλλ，则=λ ． 16．已知a ，b ，c 是三个非零向量，下列结论中正确的是 ． ①若||||b a b a =⋅，则b a //；②若c b b a ⋅=⋅，则b a =；③若||||b a b a -=+，则b a ⊥；④0)()(=⋅⋅-⋅⋅b a c c b a ；⑤c b c a a c b ⊥⋅-⋅)()(；⑥若b a //，c b //，则c a //．

17.如图所示,已知在矩形ABCD 中,34=AD ,设AB a,BC b,BD c ===.试求a b c ++.

18.如图所示,在ABCD 中,已知AB a,DB b ==,用a 、

b 表示向量AD 、AC .

坐标

1．已知向量a ，b ，且0)(4)2(2)(3=+---++b a x a x a x ，则=x

2．已知)2,1(A ，)2,3(B ，向量)43,3(--+=y x x a 与AB 相等，则=y

3．设梯形ABCD 的顶点坐标为)2,1(-A ，)4,3(B ，)1,2(D ，且DC AB //，CD AB 2=，则C 的坐标为

4．已知)0,1(=a ，)3,2(=b ，则=-2

)(b a

5．与向量)5,12(=a 平行的单位向量为

7．已知)3,1(-A ，)1,8(-B ，如果点)2,12(+-a a C 在直线AB 上，则=a

8．已知OAB ∆的两个顶点为原点O 和)2,5(A ，且 90=∠A ，AO AB =，则B 点的坐标为 ．

9．在ABC ∆中，设)3,2(=AB ，),1(k AC =，且ABC ∆是直角三角形，则=k

10．设)3,1(-+=m a ，)1,1(-=m b ，若)()(b a b a -⊥+，则=m

11．已知)8,2(-=+b a ，)16,8(-=-b a ，则=⋅b a

12．已知)1,3(=a ，)2,32(-=b ，则a 和b 的夹角

13．设)3,(x a =，)1,2(-=b ，若a 和b 的夹角为钝角，则x 的取值范围

14．已知向量)10,5(=a ，)4,3(--=b ，)0,5(=c ，则向量c 可以由a ，b 表示为

15．已知)cos ,2(2α++=m m a ，)sin 2

,

(α+=n n b ，若b a 2=，则m 的取值范围

16. P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的什么心

17．已知a =(1,2),b =(-3,2),当k 为可值时:

(1)k a +b 与a -3b 垂直;

(2)k a +b 与a -3b 平行,平行时它们是同向还是反向?

18．已知向量)2,6(=a ，),3(k b -=，当k 为何值时：（1）b a //；（2）b a ⊥；

（3）a 与b 的夹角为钝角．

19．已知1||=a ，3||=b ，)1,3(=+b a ，试求：（1）||b a -；（2）b a +与b a -的夹角．

20．已知坐标平面内)5,1(=OA ，)1,7(=OB ，)2,1(=OM ，P 是直线OM 上一个动点，当PB PA ⋅取最小值时，求OP 的坐标，并求APB ∠cos 的值．