第四章 仿真输入与输出数据分析(3)

假定 X ~ t (n) ， 给定：0 ＜ ＜ 1 ， 如果一个数 c 满足： P { | X | ＞ c } = ，/2 – t/2(n) o
tn (x)
/2
x t/2(n)
则称这个数 c 是自由度n 的 t 分布的双侧 分位点 (数) ，记成 t / 2 (n) 。
1.706
1.703
0.975
3.182
2.086
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
2.056
2.052
38
解：样本均值为:
3.74 4.53 3.84 3.98 X 4.0225 4
样本方差为:
1 n S ( n) ( X i X )2 n 1 i 1
称为终止事件。
17
在现实世界中，终态仿真是很多的。例如
对某银行系统从上午9:00到下午5:00之间的营业 情况 进行仿真，仿真运行8小时就终止； 在军事仿真中，有一方兵力减少到一定标准时就终
止
仿真； 在管理系统仿真中，如果某一突发事件发生时也可 能 终止仿真，这些也是终态仿真，终止事件就是突发事件。
x Sx
t
它不再服从标准正态分布
服从具有n-1自由度t-分布
T分布类似于正态分布，也是一种对称分布，它只有一个参数，就是自由 度 所谓自由度是指独立观测值的个数，应为计算标准差时所使用的n个观测值， 受到平均数x的约束，这就等于有一个观测值不能独立取值，因此自由度为 df=n-1
t 分布的双侧分位点
对称分布的双侧 分位点就是上侧 /2 分位点
标准正态分布 N (0,1 ) 的双侧 分位点
记为 ： u / 2
(x)
/2
/2
– u/2 o x u/2
如：双侧 0.05 分位点 u0.025 = 1.96
t-分布的特点
（1）t分布为对称分布，关于t = 0对称；只有一个峰，峰值 在t = 0处；与标准正态分布曲线相比，t分布曲线顶部略低， 两尾部稍高而平 （2）t分布曲线受自由度df 的影响，自由度越小，离散程度越大 （3） t分布的极限是正态分布。df越大，t分布越趋近标准正 态分布 当n >30时，t分布与标准正态分布的区别很小；n >100时，t 分布基本与标准正态分布相同；n→∞时，t 分布与标准正态 分布完全一致
4.3随机数与随机变量
如何根据确定的分布类型及其参数产生随机变量?
定义：产生[0, 1]区间上均匀分布的随机变量, 亦称为 随机数发生器。 说明： 1）随机数发生器不是在概率论意义下的真正的随机数, 而 只能称为伪随机数，因为无论哪一种随机数发生器都采用 递推算法 ； 2）如果算法选择得合适, 由这种算法得到的数据统计检验 能具有较好的统计特性(如均匀性, 独立性等), 则将这种伪 随机数用于仿真仍然是可行的。

t n 1,1 / 2
S ( n) n
2
2
S ( n) t n 1,1 / 2 n X ( n) X ( n)
36
作业
设对某系统进行了4次独立重复仿真运行，其输出结
果为: n X 1 3.74 2 4.53 3 3.84 4 3.98
若要求的置信水平为95%，试求规定精度的置信区间。

S (10) 3.172 1.823 1.032 10 10
置信区间为 [1.982-1.032, 1.982+1.032]，即[0.95, 3.014]。 35
基于置信区间的精度



上例中的半区间长过大，置信区间过大，结果不够精确。 直观结论增加模拟次数可以缩小半区间长，从而提高精 度。 条件：在一定条件下，n次模拟可以认为是独立同分布的， 则模拟结果应该呈正态分布(n足够大） 绝对精度： 相对精度：
证仿真输出结果的准确是十分重要的环节。
14
(6) 实验的设计
模拟实验的设计是对各类分析方案的初始条件、数 据及实验次序进行综合安排，虽然不直接影响模拟的结 果，但可以影响决策的结果。
(7)模拟的长度和运行次数
增加模拟长度和运行次数会提高模拟输出结果的 精度，但过分增加模拟长度和运行次数，在时间和投 入上是不允许的。通常对系统独立重复运行多次，每
4.4.1 终止型仿真的结果分析
第4章
这里介绍终止仿真的结果分析主要采用重复运行法和序贯程序 法。重复运行法也称为复演法，序贯程序法又称序贯法。 1.重复运行法
终止型系统的置信区间 无论是终止型还是稳态型，都需要足够多次的模拟。 通过对数据结果的置信区间及其可信度的评价来检验 模拟数据的合理性

满
泊松分布
泊松分布
4.4仿真输出结果分析
模拟所获得的大量输出数据是否就可以直 接用来对管理系统进行决策，这些数据的精度 和可靠性如何，如何利用这些数据进行输出分 析？
10
仿真输出的目的，是用适当的统计技术对
仿真过程中产生的数据进行统计分析，从而实
现对未知参数的估计。
仿真输出结果是随机变量，每次运行的结果仅仅
4.3随机数与随机变量
4.3.1 随机变量的产生方法
1. 逆变换法
第4章
习题：4，5
P106
离散随机变量产生的原理
0 p( xi ) 1
，且

i 1
n
p( x i ) 1 。
离散随机变量产生的原理
离散随机变量产生的原理

设离散随机变量x的质量函数及累积分布函 数如下：

产生随机数u~U(0,1)，若u = 0.72， X为多少
深入。调查不深入等。管理专家和计算机人员相结合。
12
(2)输入数据概率分布的确定
数据收集十分困难；原始数据存在假象；收集
的数据不是足够多；输入数据的拟合概率分布和系
统实际的概率分布的差异较大。
(3)模型初始条件的确定
有时模拟模型的初始条件对模拟的输出结果有着
直接的影响，特别是在模拟时间长度不大的情况下,
平均数为：
x
标准差为：
x
为样本平均数抽样总体的标准误差简称为标准误，标 准误表示平均数抽样误差的大小，反映样本平均数与 新总体平均数之间的离散程度。
经计算得出两个重要结论 抽样的样本平均数的平均数等于总体平均数,即
x
抽样的抽样平均数的标准差等于总体标准差除以 样本单位数的平方根。即
x
次运行采用不同的随机数流，以保证输出结果的独立
性。
15
模拟所需的长度或次数太大，时间和投入 困难；太少，又不能保证精度。 因此，要合理确定模拟长度。
16
按照模拟模型的终止条件可以将仿真分为：
终态仿真和稳态仿真
（1）终态仿真
如果一个仿真模型在事先确定的事件发生时 停止，这种仿真称为终态仿真，事先确定的事件
21
稳态仿真的特点
1）仿真的长度是无限的，因此其仿真输出结果与模 型的初始状态无关。 2）对于稳态仿真，一般情况下是在系统达到稳态情况下 才开始收集数据，这里所谓稳态并不意味输出结果是常
数或输出结果变化不大，而是指仿真输出变量的分布已
经稳定。
两种类型的仿真中，终态仿真主要研究在规定时间内
的系统行为，而稳态仿真主要研究系统长期运行的稳态
X（n） =1.982
问题： X（n）的可信度有多大？理论等待时间Wq？
34
输出结果的置信区间

置信区间的构造： X ( n) t n 1,1 / 2
S 2 ( n) n
X(n)是样本的均值，n为样本量；第二部分是置信区 间的半区间长，S2(n)为样本的方差，是检验水平，t为 其分布检验值。 n
这种影响是非常明显的。
13
(4)随机数发生器的质量。
随机数发生器可以说是模拟模型中的基本细胞，它
的质量对模拟输出的结果至关重要的。但是有的随机
数发生器会较早进入退化状态，或者是周期不够长。
(5)模型程序编制的质量。
程序是实现模拟模型的重要途径，如何使程序完全
符合模拟模型的要求，实现模型中的各个过程，从而保
是对这一随机变量的一次抽样，因此，必须经过适当
的统计分析才能得到有意义的性能估计。
11
对一个管理系统进行计算机模拟分析，要经过系 统调查、系统分析、建立模型、编制程序、模拟实验
等主要阶段。其中，每个阶段的工作都能影响模拟模
型及其输出结果的质量。主要有：
(1)模型的质量
首先，在建模型过程中，忽略了部分次要因素。 没有明确的评价指标。人为因素等等。 其次，模型的编制人员对所研究的管理系统不够
n
4. t-分布（不要求）
设有服从正态分布的随机变量x，正态分布的标准化公式为：
u
x

对于总体方差σ2已知的总体，根据公式可以知道样本平均数在某一区间内 出现的概率，公式为：
u
x
x
u x x u x
附： x
服从标准正态分布

n
假如σ2未知，而且样本容量又比较小（n≤30）时： 标准化公式可变换为：
其中，用到的t分布的临界值如下表所示。
37
其中，t分布的临界值如下表所示：
1 2
0.90
自由度
3
20
21
22
23
24
25
26
27
1.638
1.325
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
1.315
1.314
0.95
2.353
1.725
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708

取n=10,=0.1，结果为：
2
X (n) xi / n X (10 ) 1.982
i 1 n
S (n) [ X i X (n)]2 /(n 1) S 2 (10 ) 3.172
i 1
t检验值，t9,0.95 = 1.833， 半区间长 = 2
t9, 0.95
真结果求平均值。
19
3）若仿真的终止是由某个终止事件确定的，那么 实际的仿真时间是不确定的。假若仿真运行时间不 长，也就是说系统还没有进入一个稳定的状态，此 时终止事件发生，那么系统的初始条件对仿真输出 结果的影响是很大的。 总之，终态仿真是在有限时段[0,TE ]内进行仿真实 验，这里TE表示仿真中某一指定事件E发生的时刻。它 可以是一个固定的常数，也可以是一个随机变量。一 般说来，终态仿真的结果与系统初始状态有关。
行为。
22
下面我们重点讲解终态仿真的输出分析方法，终态 仿真的输出分析方法主要有：
重复运行法 序贯程序法
稳态仿真的输出分析方法，使用起来很复杂，本
课程不做介绍。
23
t-分布
(t-distribution)
1. 提出者是William Gosset，也被称为学生分布(student’s t) 2. t 分布是类似正态分布的一种对称分布，通常要比正态分 布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参 数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
t (df = 5)
z
x
t 分布与标准正态分布的比较
不同自由度的t分布
t
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T分布 几个重要概念
从一个正态总体中抽取的样本统计量的分布样本平 x 均数 和样本方差S2是描述样本特征的两个最重 要的统计量 如果原总体的平均数为μ，标准差为σ，那么样 本平均数抽样总体：

• 简单，直观
• 能满足一般系统分析的要求
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例：已知某排队系统，其顾客到达时间间隔与服务时间 的比值为0.9，我们设计了一个每次模拟25个顾客，并 模拟10次的模拟模型，每次模拟都改变程序的随机数发 生器的种子，得到顾客平均等待时间的结果如下. 1.051 0.546 6.438 2.287 2.646 2.822 0.805 0.414 1.505 1.307
20
（2）稳态仿真
如果一个模型的终止时间是无穷大，也就是说仿真是
没有终止时间的，这种类型的仿真称为稳态仿真。这种类
型的仿真通常需要很长的时间，当系统被认为进入了一个 稳定的状态，并且获得足够的数据时，仿真才可能被人为 地终止。 比如生态系统，可以说是一个永无止境的系统；流水 生产线（铸钢生产线、化工原料生产线）等。在现代化管 理系统中这类稳态型仿真是十分常见的。
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终态仿真的特点
1）终态仿真是按事先确定的终止事件来确定仿真的 结束，因此这种类型的仿真每次进行时，其仿真的 长度是有限的，不会永无止境地仿真下去。
2）对于具有随机过程的终态仿真，无论它的终止事件
什么时候发生，在仿真终止时，它的结果是随机的。因
此，需要进行独立重复实验，进行不同的实验时，采用
不同的随机数流，以保证输出结果的独立性，最后对仿
2
(3.74 4.0225) 2 (4.53 4.0225) 2 (3.84 4.0225) 2 (3.98 4.0225) 2 3 0.1242